第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河南省南陽市部分學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)(4+i)?(1+5i)的虛部為(

)A.?4 B.4 C.?4i D.4i2.已知A(?2,1)，B(4,?5)，點(diǎn)P滿足AP=12AB，則點(diǎn)PA.(?3,3) B.(?8,7) C.(1,?2) D.(10,?11)3.函數(shù)f(x)=tan(2x?π12A.{x|x≠7π24+kπ,k∈Z} B.{x|x≠13π24+kπ,k∈Z}4.如圖，矩形A′B′C′D′是水平放置的平面四邊形ABCD用斜二測畫法畫出的直觀圖，其中A′B′=1，B′C′=3，則原四邊形ABCD的周長為(

)A.235+6 B.25+65.為了得到函數(shù)y=5sin(2x+3π8)的圖象，可以將函數(shù)y=5cos2x的圖象A.向右平移π16個單位長度 B.向右平移π8個單位長度

C.向左平移π16是個單位長度 D.6.在正四棱錐P?ABCD中，AB=2，PA=22，點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，則三棱錐P?ADE的體積為(

)A.273 B.2637.在平行四邊形ABCD中，AB=3,AD=2,∠DAB=π3，點(diǎn)E滿足AE=13AB，點(diǎn)F是A.?12 B.12 C.?8.已知三棱錐P?ABC的所有頂點(diǎn)都在表面積為283π的球的球面上，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2，則直線PC與AB所成角的余弦值為(

)A.26 B.24 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知向量a=(1,3)，b=(3,?1)，下列命題中正確的有(

)A.a=10B.a//b10.已知z1，z2∈C，設(shè)z1=1+i，A.若z1+z2∈R，則z2=?1?i B.若z12+z22=0，則|11.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=2AD，點(diǎn)E為線段PB上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，則下列結(jié)論正確的是(

)A.該四棱錐的體積為23

B.一定存在點(diǎn)E，使AE//平面PCD

C.一定存在點(diǎn)E，使PB⊥平面ACE

D.AE+CE三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的底面直徑為______．13.已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(2,3)，則tan(2θ?π14.如圖，為了測量一條大河兩岸A，B之間的距離，無人機(jī)升至?米的空中沿水平方向飛行至C點(diǎn)進(jìn)行測量，A，B，C在同一鉛垂平面內(nèi).在C點(diǎn)測得A，B的俯角為α，β(β<α)，則|AB|=______米.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知α為第二象限角，且tanα=?2．

(1)求sinα和cosα的值；

(2)求sin(3π?α)16.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c2+ab=(a+b)2．

(1)求C；

(2)若a+b=6，△ABC的面積為217.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=2sinωx(sinωx+3cosωx)?1(ω>0)．

(1)若f(x)的最小正周期為π，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若g(x)=f(x)?1在區(qū)間[0,π]上恰有兩個零點(diǎn)，求18.(本小題17分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，∠A1AC=60°，AC=BC=AA1=2，AB=22，A119.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對任意兩個向量m=(x1,y1),n=(x2,y2).作：OM=m，ON=n，當(dāng)m,n不共線時，記以O(shè)M，ON為鄰邊的平行四邊形的面積為S(m,n)=|x1y2?答案解析1.【答案】A

【解析】解：復(fù)數(shù)(4+i)?(1+5i)=3?4i的虛部為?4．

故選：A．

利用復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算求解即可．

本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．2.【答案】C

【解析】解：設(shè)P(x,y)，則AP=(x+2,y?1)，AB=(6,?6)，

∴由AP=12AB得：(x+2,y?1)=(3,?3)，

∴x+2=3y?1=?3，解得x=1y=?2，

∴P(1,?2)．

故選：C．

可設(shè)P(x,y)，然后根據(jù)AP3.【答案】C

【解析】解：由f(x)=tan(2x?π12)，得2x?π12≠π2+kπ，k∈Z，

解得x≠7π24+kπ4.【答案】C

【解析】解，根據(jù)題意，直觀圖中，A′B′=1，B′C′=3，∠A′O′B′=45°，

則O′A′=2，

將直觀圖還原為原圖，如圖，

則OA=2O′A′=22,OB=1,BC=3，

所以AB=CD=OA2+OB2=3，

所以原四邊形5.【答案】A

【解析】解：將函數(shù)y=5cos2x的圖象向右平移π16個單位長度，可得函數(shù)y=cos(2x?π8)的圖象，

又y=5sin(2x+3π8)=2sin(2x?π6.【答案】D

【解析】解：記AC∩BD=O，連接PO，

則PO即為棱錐的高，

又AB=2，PA=22，

所以AO=12AC=1222+22=128=2，PO=7.【答案】B

【解析】解：在平行四邊形ABCD中，AB=3,?AD=2,?∠DAB=π3，點(diǎn)E滿足AE=13AB，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，

因?yàn)锳E=13AB且點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，

所以根據(jù)中點(diǎn)向量可得AF=12(AD+AE)=12(AD+13AB)=12AD8.【答案】B

【解析】解：設(shè)球的半徑為R，所以4πR2=283π，解得R=213，

設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，所以2r=ABsin∠ACB=2sin60°，

解得r=233，

根據(jù)球心的性質(zhì)，假設(shè)底面△ABC的外接圓的圓心為O1，

則外接球的球心O一定滿足OO1⊥平面ABC，

又由于OA=OP，取PA的中點(diǎn)為D，連接OD，則OD⊥PA，

又因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以O(shè)O1//PA，

而AO1?平面ABC，所以PA⊥AO1，則OD//AO1，

即四邊形ODAO1是矩形，所以O(shè)O1=12PA，

則由勾股定理得：R=r2+(PA2)2，即213=(233)2+(PA2)2，

解得PA=2，

再取PB，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，EF，DF，AF，

因?yàn)镻A⊥平面ABC，又AC，AF?平面ABC，

所以PA⊥AC，PA⊥AF，

在等邊△ABC中，AB+BC+AC=2，9.【答案】AC

【解析】【分析】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與向量的垂直關(guān)系，向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，向量模的坐標(biāo)表示，向量平行(共線)關(guān)系的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)向量的模長公式，平行以及垂直的坐標(biāo)表示求得結(jié)果．【解答】

解：對于A，向量a=(1,3)，

所以|a|=32+1=10，故A正確；

對于B，a=(1,3)，b=(3,?1)，

因?yàn)?×(?1)?3×3=?10≠0，故B錯誤；

對于C，a=(1,3)，b=(3,?1)，

因?yàn)閍?b=1×3+3×(?1)=0，

所以a⊥b，故C正確；

對于D，10.【答案】BC

【解析】解：A選項(xiàng)，設(shè)z2=2?i，顯然滿足z1+z2∈R，但z2≠?1?i，A選項(xiàng)錯誤；

B選項(xiàng)，由z12+z22=0，得(1+i)2+(a+bi)2=0，所以a2?b2+2(1+ab)i=0，

則a2?b2=0,1+ab=0,解得a=1b=?1或a=?1b=1，所以|z2|=2，B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)，由z1=1z2，得z2=11.【答案】AC

【解析】解：因?yàn)樵谒睦忮FP?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=2AD，

所以該四棱錐的體積為V=13S?ABCD?PD=13×1×2=23，故A正確；

假設(shè)AE/?/平面PCD，則過點(diǎn)E作BC的平行線，交PC于點(diǎn)F，連接DF，

由于平面ADFE∩平面PCD=DF，所以AE/?/DF，

又因?yàn)镋F/?/BC，AD//BC，所以EF/?/AD，從而可得四邊形ADFE是平行四邊形，

即EF=AD，又因?yàn)锽C=AD，所以EF=BC，

由于點(diǎn)E為線段PB上的動點(diǎn)，則E與點(diǎn)B重合，

而點(diǎn)E為線段PB上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，則假設(shè)不成立，故B錯誤；

根據(jù)PD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，

可知直角三角形PAB與直角三角形PCB全等，

若AE⊥PB，則必有CE⊥PB，由CE∩AE=E，CE，AE?平面ACE，

所以必有PB⊥平面ACE，故C正確；

根據(jù)PD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，

可知直角三角形PAB與直角三角形PCB全等，且PA=PC=3,PB=2，

則cos∠ABP=12?∠ABP=π3，

然后把直角三角形PAB與直角三角形PCB展開成一個平面，則如下圖：

所以有AC12.【答案】83【解析】解：由題意圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4，圓心角為120°的扇形，

可得扇形的弧長L=|α|R=2π3×4=8π3，

設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為r，則2πr=L，

即2πr=8π3，得2r=83，即該圓錐的底面圓的直徑為813.【答案】3【解析】解：由三角函數(shù)的定義，可得tanθ=32，

所以tan(θ?π6)=tanθ?tanπ61+tanθtanπ6=314.【答案】?sin(α?β)sin【解析】解：由條件知∠ABC=β，∠ACB=α?β，過C作CD垂直于直線AB，垂足為D，

在Rt△ACD中，AC=?sinα，

在△ABC中，ABsin∠BCA=ACsin∠ABC，

所以AB=ACsin(α?β)sinβ=?sin(α?β)sinα15.【答案】cosα=?55，sinα=25【解析】解：(1)因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，且tanα=?2，

所以cosα=?11+tan2α=?15=?55，16.【答案】2π3；

2【解析】解：(1)因?yàn)閏2+ab=(a+b)2，所以c2+ab=a2+2ab+b2，

整理得：a2+b2?c2=?ab，

所以由余弦定理得：cosC=a2+b2?c22ab=?ab2ab=?12．

又因?yàn)?<C<π，所以C=2π3．

(2)因?yàn)椤鰽BC的面積為23，所以17.【答案】[?π6+kπ,?π3+kπ](k∈Z)【解析】解：(1)由題意知f(x)=2sinωx(sinωx+3cosωx)?1=2sin2ωx?1+23sinωxcosωx

=3sin2ωx+2×1?cos2ωx2?1=3sin2ωx?cos2ωx=2sin(2ωx?π6)，

因?yàn)閒(x)的最小正周期為π，且ω>0，所以2π2ω=π，

解得ω=1，所以f(x)=2sin(2x?π6)，

令?π2+2kπ≤2x?π6≤π2+2kπ，k∈Z，

解得?π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，

即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[?π6+kπ,?π3+kπ](k∈Z)．

18.【答案】證明見解析；

1010【解析】(1)證明：連接A1C，如圖所示．

在三棱柱ABC?A1B1C1中，∠A1AC=60°，AC=AA1=2，

所以四邊形ACC1A1是菱形，

所以AC1⊥A1C，又A1B⊥AC1，A1B∩A1C=A1，A1B，A1C?平面A1BC，

所以AC1⊥平面A1BC，

又BC?平面A1BC，所以AC1⊥BC，

在△ABC中，AC=BC=2,?AB=22，

所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC，

又AC∩AC1=A，AC，AC1?平面ACC1A1，

所以BC⊥平面ACC1A1，

又BC?平面ABC，

所以平面ACC1A1⊥平面ABC．

(2)取AC的中點(diǎn)D，連接BD，A1D，

又AD=12AC=1,?∠A1AC=60°,?AA1=2，

所以A1D⊥AC,?A1D=3，

由(1)知平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，A1D?平面ACC1A1，

所以A1D⊥平面ABC，

又B