高一數(shù)學(xué)尖子題目及答案一、選擇題（每題5分，共20分）1.若函數(shù)f(x)=2x^2-4x+1，那么f(1)的值為：A.1B.2C.3D.42.已知向量a=(3,-2)，向量b=(1,2)，則向量a與向量b的點(diǎn)積為：A.-1B.0C.3D.53.若方程x^2-3x+2=0的兩個(gè)根為x1和x2，則x1+x2的值為：A.1B.2C.3D.44.函數(shù)y=sin(x)+cos(x)的值域?yàn)椋篈.[-1,1]B.[-√2,√2]C.[0,2]D.[1,√2]二、填空題（每題4分，共20分）1.若函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求f'(x)=_______。2.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，公差d=3，求第10項(xiàng)a10=_______。3.圓的方程為(x-2)^2+(y+1)^2=9，求圓心坐標(biāo)為(2,-1)，半徑為_(kāi)______。4.若直線l的方程為y=2x+3，求直線l的斜率k=_______。5.已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為a=5，b=7，c=8，求三角形ABC的面積S=_______。三、解答題（每題10分，共20分）1.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說(shuō)明理由。解：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，解得x=2。當(dāng)x<2時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。因此，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞)。2.已知拋物線C的方程為y^2=4x，直線l的方程為y=x+m。若直線l與拋物線C相切，求實(shí)數(shù)m的值。解：將直線l的方程y=x+m代入拋物線C的方程y^2=4x，得到(x+m)^2=4x?；?jiǎn)得x^2+(2m-4)x+m^2=0。由于直線l與拋物線C相切，所以該二次方程有且僅有一個(gè)實(shí)根。根據(jù)判別式Δ=(2m-4)^2-4m^2=0，解得m=1。四、證明題（每題10分，共20分）1.證明：若a,b,c為實(shí)數(shù)，且a^2+b^2=c^2，則a,b,c可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形。證明：已知a^2+b^2=c^2，根據(jù)勾股定理的逆定理，若a^2+b^2=c^2，則a,b,c可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形。因此，命題得證。2.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<0，f(b)>0，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)c∈(a,b)，使得f(c)=0。證明：根據(jù)零點(diǎn)存在定理，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<0，f(b)>0，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)c∈(a,b)，使得f(c)=0。因此，命題得證。五、綜合題（每題15分，共30分）1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，并說(shuō)明理由。解：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，解得x1=1，x2=2/3。當(dāng)x<2/3時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2/3<x<1時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。因此，函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為x=2/3，極小值點(diǎn)為x=1。2.已知橢圓E的方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，焦點(diǎn)F1(-c,0)和F2(c,0)。若橢圓E上的點(diǎn)P(x0,y0)滿足|PF1|+|PF2|=2a，求橢圓E的離心率e。解：根據(jù)橢圓的定義，|PF1|+|PF2|=2a。已知焦點(diǎn)F1(-c,0)和F2(c,0)，所以|PF1|=√((x0+c)^2+y0^2)，|PF2|=√((x0-c)^2+y0^2)。將這兩個(gè)式子代入|PF1|+|PF2|=2a，得到2a=√((x0+c)^2+y0^2)+√((x0-c)^2+y0^2)。由于點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓E上，所以x0^2/a^2+y0^2/b^2=1。將這個(gè)式子代入上式，化簡(jiǎn)得到2a=2√(a^2+c^2)。因此，離心率e=c/a=√(1-b^2/a^2)=√(1-(a^2-c^2)/a^2)=√(1-(2a^2-c^2)^2/(4a^2))=√(1-(4a^4-4a^2c^2+c^4)/4a^2)=√(1-(4-4e^2+e^4)/4)=√(1-(1-e^2)^2)=√(e