第1頁（共1頁）高二寒假結(jié)業(yè)測試卷一．選擇題（共8小題）1．（2022?新高考Ⅰ）若集合M＝{x|4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N＝（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|x＜16}2．（2022秋?延慶區(qū)期末）若雙曲線的方程為，則它的離心率與漸近線方程分別為（）A．， B．， C．， D．，3．（2022秋?沈河區(qū)校級月考）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1+a5+a9＝4π，則tan（a3+a7）＝（）A． B． C． D．4．（2022?達州模擬）在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2bcsinA＝b2+c2﹣a2，則A＝（）A． B． C． D．5．（2021?南安市校級二模）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an﹣1（n∈N*），則a6＝（）A．12 B．13 C．16 D．326．（2022秋?貴州月考）設點P是函數(shù)圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（）A． B． C． D．7．（2021秋?郊區(qū)校級月考）設直線與橢圓交于A，B兩點，若△OAB是等邊三角形，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．（2022秋?金溪縣校級月考）設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）＝0，當x＞0時，有0恒成立，則不等式x2f（x）＞0的解集為（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣0，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）二．多選題（共4小題）（多選）9．（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣x+1，則（）A．f（x）有兩個極值點 B．f（x）有三個零點 C．點（0，1）是曲線y＝f（x）的對稱中心 D．直線y＝2x是曲線y＝f（x）的切線（多選）10．（2022秋?長沙月考）已知點P在圓O：x2+y2＝4上，直線l：4x+3y﹣12＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，則（）A．過點B作圓O的切線，則切線長為 B．滿足的點P有3個 C．點P到直線l距離的最大值為 D．的最小值是1（多選）11．（2022秋?南關區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD為正方形，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD為正三角形，CD＝2，M為BC的中點，則下列命題中正確的是（）A．BC⊥PD B．AM∥平面PCD C．直線AM與PC所成角的余弦值為 D．二面角C﹣PD﹣M大小為（多選）12．（2021秋?漣源市校級期末）設橢圓的右焦點為F，直線與橢圓交于A，B兩點，則（）A．|AF|+|BF|為定值 B．△ABF的周長的取值范圍是[6，12] C．當時，△ABF為直角三角形 D．當m＝1時，△ABF的面積為三．填空題（共4小題）13．（2021秋?漣源市校級期末）已知，，若，則m的值為．14．（2021秋?江干區(qū)校級期末）已知直線l1：2x+ay+2＝0與直線l2：（a﹣1）x+3y+2＝0平行，則a＝．15．（2021秋?江蘇期末）過拋物線y2＝4x的焦點的直線交拋物線于點A，B，且點A的橫坐標為4，過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點C，則△ABC的面積為．16．（2022?新高考Ⅰ）若曲線y＝（x+a）ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．四．解答題（共6小題）17．（2021秋?福建期末）在“①an+1＞an，a2a9＝51，a4+a7＝20；②S5＝25a1，a2＝3；③Sn＝n2”三個條件中任選一個，補充到下面問題中，并解答．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且_____，n∈N*．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若bn，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．18．（2021秋?福建期末）如圖，已知PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分別為AB，PC的中點，求證：（1）MN∥平面PAD；（2）求PD與平面PMC所成角的正弦值．19．（2021秋?江干區(qū)校級期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求角A的大??；（2）已知，b＝2，設D為BC邊上一點，且AD為角A的平分線，求△ABD的面積．20．（2022秋?河池月考）已知圓C經(jīng)過點A（，），B（，），且圓心在直線x﹣y＝0上．（1）求圓C的方程；（2）若過點（4，0）的直線l交圓C于E，F(xiàn)兩點，問是否存在以EF為直徑且過點（0，2）的圓，若存在，求出該圓的方程，若不存在，請說明理由．21．（2021秋?西區(qū)校級月考）已知曲線C上的任意一點到點F（0，1）的距離比到直線y+2＝0的距離小1．（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）若不經(jīng)過坐標原點O的直線l與曲線C交于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓過點O，求證：直線l過定點，并求出該定點坐標．22．（2022秋?歷下區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）＝x﹣sinx．（1）求函數(shù)f（x）在點處的切線方程；（2）當x≥0時，f（x）≤ex+bx﹣1恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

高二寒假結(jié)業(yè)測試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2022?新高考Ⅰ）若集合M＝{x|4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N＝（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|x＜16}【解答】解：由4，得0≤x＜16，∴M＝{x|4}＝{x|0≤x＜16}，由3x≥1，得x，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|x}，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|x＜16}．故選：D．2．（2022秋?延慶區(qū)期末）若雙曲線的方程為，則它的離心率與漸近線方程分別為（）A．， B．， C．， D．，【解答】解：∵雙曲線的方程為，∴a＝3，b＝4，c5，∴它的離心率為e，漸近線方程為y＝±．故選：C．3．（2022秋?沈河區(qū)校級月考）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1+a5+a9＝4π，則tan（a3+a7）＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1+a5+a9＝4π＝3a5，∴a5，則tan（a3+a7）＝tan2a5＝tantan（）＝﹣tan，故選：C．4．（2022?達州模擬）在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2bcsinA＝b2+c2﹣a2，則A＝（）A． B． C． D．【解答】解：由余弦定理，知cosA，∵2bcsinA＝b2+c2﹣a2，∴sinA＝cosA，∴tanA1，∵A∈（0，π），∴A．故選：B．5．（2021?南安市校級二模）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an﹣1（n∈N*），則a6＝（）A．12 B．13 C．16 D．32【解答】解：當n＝1時，a1＝S1＝2a1﹣1，可得a1＝1；當n≥2時，由Sn＝2an﹣1，得an＝Sn﹣Sn﹣1＝2（an﹣an﹣1），即an＝2an﹣1（n≥2）；∴數(shù)列{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其通項公式為，則a6＝32，故選：D．6．（2022秋?貴州月考）設點P是函數(shù)圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴，∴，∴f'（1）＝2，∴f'（x）＝3x2﹣1≥﹣1，∴tanα≥﹣1，∴或．故選：B．7．（2021秋?郊區(qū)校級月考）設直線與橢圓交于A，B兩點，若△OAB是等邊三角形，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【解答】解：將x代入橢圓的方程可得1，可得y＝±b，所以|AB|b，由△OAB是等邊三角形，可得?b，所以a＝3b，所以離心率e，故選：D．8．（2022秋?金溪縣校級月考）設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）＝0，當x＞0時，有0恒成立，則不等式x2f（x）＞0的解集為（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣0，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）【解答】解：因為當x＞0時，有恒成立，即恒成立，所以在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．因為f（2）＝0，所以在（0，2）內(nèi)恒有f（x）＞0，在（2，+∞）內(nèi)恒有f（x）＜0．又因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以在（﹣∞，﹣2）內(nèi)恒有f（x）＞0，所以在（﹣2，0）內(nèi)恒有f（x）＜0，所以不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集，所以x＜﹣2或0＜x＜2，所以不等式的解集為（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故選：D．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣x+1，則（）A．f（x）有兩個極值點 B．f（x）有三個零點 C．點（0，1）是曲線y＝f（x）的對稱中心 D．直線y＝2x是曲線y＝f（x）的切線【解答】解：f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0，解得或，令f′（x）＜0，解得，∴f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，∴f（x）有兩個極值點，有且僅有一個零點，故選項A正確，選項B錯誤；又f（x）+f（﹣x）＝x3﹣x+1﹣x3+x+1＝2，則f（x）關于點（0，1）對稱，故選項C正確；假設y＝2x是曲線y＝f（x）的切線，設切點為（a，b），則，解得或，顯然（1，2）和（﹣1，﹣2）均不在曲線y＝f（x）上，故選項D錯誤．故選：AC．（多選）10．（2022秋?長沙月考）已知點P在圓O：x2+y2＝4上，直線l：4x+3y﹣12＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，則（）A．過點B作圓O的切線，則切線長為 B．滿足的點P有3個 C．點P到直線l距離的最大值為 D．的最小值是1【解答】解：對A選項，點∵A（3，0），點B（0，4），過點B作圓O的切線，∴切線長為，∴A選項正確；對B選項，∵以AB為直徑的圓與圓O：x2+y2＝4相交，∴的點P有2個，∴B選項不正確；對C選項，∵點B（0，4），且圓心到直線l的距離，∴點P到該直線距離的最大值為．∴C選項正確；對D選項，∵AB的中點，∴，又|PM|min＝|OM|﹣r，∴的最小值是1，∴D選項正確．故選：ACD．（多選）11．（2022秋?南關區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD為正方形，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD為正三角形，CD＝2，M為BC的中點，則下列命題中正確的是（）A．BC⊥PD B．AM∥平面PCD C．直線AM與PC所成角的余弦值為 D．二面角C﹣PD﹣M大小為【解答】解：取CD的中點O，連接OP，因為△PCD為等邊三角形，O為CD的中點，則PO⊥CD，因為平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CDPO?平面PCD，所以，PO⊥平面ABCD，又因為四邊形ABCD為正方形，以點O為坐標原點，的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，則BC⊥PD，A對；，易知平面PCD的一個法向量為，∴，故AM與平面PCD不平行，B錯；，所以，直線AM與PC所成角的余弦值為對；設平面PDM的法向量為，則，取，則，所以，，由圖可知，二面角C﹣PD﹣M的平面角為銳角，故二面角C﹣PD﹣M為，D對．故選：ACD．（多選）12．（2021秋?漣源市校級期末）設橢圓的右焦點為F，直線與橢圓交于A，B兩點，則（）A．|AF|+|BF|為定值 B．△ABF的周長的取值范圍是[6，12] C．當時，△ABF為直角三角形 D．當m＝1時，△ABF的面積為【解答】解：設橢圓的左焦點為F'，則|AF'|＝|BF|，所以|AF|+|BF|＝|AF|+|AF'|為定值6，A正確；△ABF的周長為|AB|+|AF|+|BF|，因為|AF|+|BF|為定值6，易知|AB|的范圍是（0，6），所以△ABF的周長的范圍是（6，12），B錯誤；將與橢圓方程聯(lián)立，可解得，，又易知，所以，所以△ABF為直角三角形，C正確；將y＝1與橢圓方程聯(lián)立，解得，，所以，D正確．故選：ACD．三．填空題（共4小題）13．（2021秋?漣源市校級期末）已知，，若，則m的值為6．【解答】解：∵，∴，即（1，5，﹣2）?（m，2，m+2）＝0，∴m+10﹣2m﹣4＝0，解得m＝6．故答案為：6．14．（2021秋?江干區(qū)校級期末）已知直線l1：2x+ay+2＝0與直線l2：（a﹣1）x+3y+2＝0平行，則a＝﹣2．【解答】解：直線l1：2x+ay+2＝0與直線l2：（a﹣1）x+3y+2＝0平行，則2×3＝a（a﹣1），解得a＝﹣2或3，當a＝﹣2時，直線l1與l2不重合，符合題意，當a＝3時，直線l1與l2重合，不符合題意，舍去，故a＝﹣2．故答案為：﹣2．15．（2021秋?江蘇期末）過拋物線y2＝4x的焦點的直線交拋物線于點A，B，且點A的橫坐標為4，過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點C，則△ABC的面積為．【解答】解：如圖所示，由y2＝4x，可得焦點F（1，0），準線方程為：x＝﹣1，∵點A的橫坐標為4，∴y2＝4×4，解得y＝4，∴A（4，4），∴直線AC的方程為：yx，即y＝x，聯(lián)立，解得x＝﹣1，y＝﹣1，∴C（﹣1，﹣1）．直線AF的方程為：y（x﹣1），化為：4x﹣3y﹣4＝0．聯(lián)立，解得，，∴B（，﹣1），∴BC∥x軸，∴△ABC的面積S|BC|×|yA﹣yB|5，故答案為：．16．（2022?新高考Ⅰ）若曲線y＝（x+a）ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【解答】解：y'＝ex+（x+a）ex，設切點坐標為（x0，（x0+a）），∴切線的斜率k，∴切線方程為y﹣（x0+a）（）（x﹣x0），又∵切線過原點，∴﹣（x0+a）（）（﹣x0），整理得：，∵切線存在兩條，∴方程有兩個不等實根，∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，即a的取值范圍是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），故答案為：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．四．解答題（共6小題）17．（2021秋?福建期末）在“①an+1＞an，a2a9＝51，a4+a7＝20；②S5＝25a1，a2＝3；③Sn＝n2”三個條件中任選一個，補充到下面問題中，并解答．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且_____，n∈N*．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若bn，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【解答】解：（Ⅰ）方案一：選擇條件①由題意，設等差數(shù)列{an}的公差為d，則a4+a7＝a2+a9＝20，將a9＝20﹣a2代入a2a9＝51，整理，得20a2+51＝0，解得a2＝3，或a2＝17，當a2＝3時，a9＝17，當a2＝17時，a9＝3，∵an+1＞an，∴a2＝3，a9＝17，∴d2，∴a1＝a2﹣2＝3﹣2＝1，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．方案二：選擇條件②由題意，設等差數(shù)列{an}的公差為d，則，化簡整理，得，解得，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．方案三：選擇條件③由題意，當n＝1時，a1＝S1＝12＝1，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，∵當n＝1時，a1＝1也滿足上式，∴an＝2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ），可得bn?（），則Tn＝b1+b2+???+bn?（1）?（）+????（）?（1???）?（1）．18．（2021秋?福建期末）如圖，已知PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分別為AB，PC的中點，求證：（1）MN∥平面PAD；（2）求PD與平面PMC所成角的正弦值．【解答】（1）證明：取PD中點Q，連接AQ，QN，則QN∥DC，，又因為AM∥DC，，所以四邊形AMNQ為平行四邊形，所以MN∥AQ，因為MN?平面PAD，AQ?平面PAD，所以MN∥平面PAD；（2）解：建立空間直角坐標系如圖，因為PA＝AD＝AB＝2，所以P（0，0，2），D（0，2，0），M（1，0，0），C（2，2，0），，，．設平面PMC法向量為：（x，y，z），則，，解得x＝2z，y＝﹣z，令z＝1，則（2，﹣1，1）．設PD與平面PMC所成角為θ，則sinθ＝|cos．19．（2021秋?江干區(qū)校級期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求角A的大??；（2）已知，b＝2，設D為BC邊上一點，且AD為角A的平分線，求△ABD的面積．【解答】解：（1）由正弦定理得，，因為，所以，因為sinB≠0，所以，所以．因為0＜A＜π，所以．（2）在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以28＝4+c2﹣4c?cos，解得c＝4或﹣6（舍負），由角平分線性質(zhì)知，2，所以，過A作AE⊥BC于E點，則，．所以，即S△ABDS△ABCbc?sinA2×4．20．（2022秋?河池月考）已知圓C經(jīng)過點A（，），B（，），且圓心在直線x﹣y＝0上．（1）求圓C的方程；（2）若過點（4，0）的直線l交圓C于E，F(xiàn)兩點，問是否存在以EF為直徑且過點（0，2）的圓，若存在，求出該圓的方程，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）由A（，），B（，），可得線段AB的垂直平分線方程為：y＝0，又圓心在直線x﹣y＝0上，∴圓心滿足，解得x＝y(tǒng)＝0，即圓心C（0，0），半徑r2，∴圓C的方程為x2+y2＝4．（2）①假設存在以EF為直徑且過點P（0，2）的圓，kl＝0時，∵點P在圓C上，∴PE⊥PF，因此EF必為圓C的直徑，∴存在以EF為直徑且過點（0，2）的圓，即為圓C．②kl≠0時，此時點（0，2）為直徑的一個端點．可得直線l的方程為1，化為x+2y＝4，聯(lián)立，5y2﹣16y+12＝0，解得y＝2，，∴，，可得線段EF的中點G（，），|EF|，可得此時以EF為直徑且過點（0，2）的圓的方程為：．此時點（0，2）為直徑的一個端點．綜上可得：x2+y2＝4，．21．（2021秋?西區(qū)校級月考）已知曲線C上的任意一點到點F（0，1）的距離比到直線y+2＝0的距離小1．（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）若不經(jīng)過坐標原點O的直線l與曲線C交于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓過點O，求證：直線l過定點，并求出該定點坐標．【解答】解：（Ⅰ）曲線C上的任意一點到點F（0，1）的距離比到直線y+2＝0的距離小1，可得曲線C上的任意一點到點F（0，1）的距離比到直線y+1＝0的距離小相等，由拋物線的定義可知曲線C為拋物線，且焦點（0，1），準線方程為y＝﹣1，設拋物線的方程為x2＝2py，p＞0，可得p＝2，所以拋物線的方程為x2＝4y；（Ⅱ）證明：由題意可得直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝kx+t，t≠0，設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，整理可得