北京市西城區(qū)九年級(jí)模擬測(cè)試試卷

數(shù)學(xué)

考生須知

1.本試卷共7頁(yè)，共兩部分，28道題.滿分100分.考試時(shí)間120分鐘.

2.在試卷和草稿紙上準(zhǔn)確填寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào).

3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.

4.在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.

5.考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回.

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).

1.如圖是一個(gè)立體圖形的三視圖，則該立體圖形是（）

主視圖左桎圖

俯視國(guó)

A.圓錐B.圓柱C.長(zhǎng)方體D.球

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了由三視圖還原幾何體，旨在考查學(xué)生的空間想象能力.

【詳解】解：A：圓錐的三視圖為三角形、三角形、圓，符合題意；

B：圓柱的三視圖分別為：長(zhǎng)方形、矩形、圓，不符合題意；

C：長(zhǎng)方體的三視圖沒有圓，不符合題意；

D：球的三視圖均沒有三角形，不符合題意；

故選：A

2.如圖，兩個(gè)直角三角形直角頂點(diǎn)。重合，如果NAOE>=128。，那么N3OC的大小為（）

c

A.38°B.52°C.60°D.62°

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查角和差關(guān)系，熟練掌握角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵；由題意可知

ZAOC^ZBOD=90°,求出NAO8=38°,由=NA05即可求解.

【詳解】解：由題意得：ZAOC=ZBOD=90°,

,：ZAOD=128°,

/.ZAOB=ZAOD-ZBOD=38°,

ZBOC=ZAOC-ZAOB=52°,

故選：B.

3.“雙碳”目標(biāo)戰(zhàn)略為中國(guó)汽車工業(yè)帶來了新的生命力，截至2023年底，全國(guó)新能源汽車保有量約為

2.0x107輛，根據(jù)新能源汽車產(chǎn)業(yè)規(guī)劃目標(biāo)，預(yù)計(jì)到2033年底，新能源汽車保有量將會(huì)是2023年底的5

倍，達(dá)到約機(jī)輛，則〃?的值是（）

A.l.OxlO7B.l.OxlO8C.l.OxlO9D.l.OxlO10

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法是解題的關(guān)鍵；科學(xué)

記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中14時(shí)＜10,w為整數(shù).確定w的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小

數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，”的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于或等于10時(shí)，”是正整數(shù)；當(dāng)

原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，〃是負(fù)整數(shù).

【詳解】解：2.0xl07x5=10xl07=1.0xl08；

故選B.

4.為了解某校1500名學(xué)生每天在校參加體育鍛煉的情況，下列抽樣調(diào)查方式中最合適的是（）

A.隨機(jī)抽取某個(gè)班的全體學(xué)生

B.每個(gè)年級(jí)各推薦20名學(xué)生

C.上體育課時(shí)，在操場(chǎng)上隨機(jī)抽取25名學(xué)生

D.將全校的學(xué)生名字輸入電腦程序，在電腦中隨機(jī)抽取100名學(xué)生

【答案】D

【解析】

【分析】此題考查了抽樣調(diào)查的知識(shí).注意選取的樣本需要有代表性和廣泛性.因?yàn)槌闃訒r(shí)要注意樣本的代

表性和廣泛性，根據(jù)樣本的代表性即可作出判斷.

【詳解】解：隨機(jī)抽樣是最簡(jiǎn)單和最基本的抽樣方法，抽樣時(shí)要注意樣本的代表性和廣泛性，將全校的學(xué)

生名字輸入電腦程序，在電腦中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，這些對(duì)象具有代表性和廣泛性.

故選：D.

5.六邊形的內(nèi)角和為（）

A.360°B.540°C.720°D,1080°

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，利用多邊形的內(nèi)角和=（〃-2”80°即可解決問題，熟練掌握多邊

形的內(nèi)角和公式及應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和可得：

（6-2）x180°=720°.

故選：C.

6.如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A,8表示的數(shù)分別是b.如果。匕<0,那么下列結(jié)論中一定正確的是（）

AB

1

-------------a---------------------------h1------------------?

A.a+Z?=0B.lol>\b\C.b—2a>0D.—>—

1111ab

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的運(yùn)算，由數(shù)軸可知進(jìn)而由aZ?<0可得a、3異號(hào)，

即得。<0<。，再根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由數(shù)軸可得，a<b,

ab<Q,

a<Q<b>

*,?一<0<—,故D錯(cuò)誤；

ab

令〃=一1,b=5,則”+b=4>0,同<網(wǎng)，故A、B錯(cuò)誤；

令〃=—5；

a<0<b,

b-a>0,-a>0

b-2a>Q,故C正確；

故選：C.

7.在反比例函數(shù)y=9的圖象上橫、縱點(diǎn)坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有()

x

A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)y=9,得出xy=6,再結(jié)合x、y都是整數(shù)，從而得出正確選項(xiàng)即可.

X

【詳解】解：將反比例函數(shù)y=9變形，得xy=6

x

乘積為6的整數(shù)可分為：

2和3、-2和-3、1和6、-1和-6,

所以圖象上橫、縱點(diǎn)坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有(-1,-6)、(-2,-3)、(-3,-2),(-6,-1)、(1,6)(2,3)、(3,

2)、(6,1)共8個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的特點(diǎn)，即反比例函數(shù)中k為定值,且k=xy.

8.一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊不平行的四邊形稱為梯形.若梯形中不平行的兩邊相等，則稱這樣的梯形為

等腰梯形.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G,〃分別是等腰梯形ABCD各邊的中點(diǎn)，順次連接E，F(xiàn)，G,H得

到四邊形EEGH.點(diǎn)K,L,M,N分別是四邊形EEGH各邊的中點(diǎn)，順次連接K,L,M,N得

到四邊形KZAW.以下四個(gè)結(jié)論：

①四邊形EEGH是菱形；

②連接EH,則2網(wǎng)=4。+3。；

③四邊形EEGH的面積等于四邊形KDWN面積的4倍；

④四邊形KDVW周長(zhǎng)的平方不小于梯形ABCD面積的4倍.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

C.①②④D.①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要研究等腰梯形各邊中點(diǎn)連線所構(gòu)成的四邊形的性質(zhì).運(yùn)用三角形中位線定理來推導(dǎo)四邊

形ERGH和KDW的邊、角、面積等相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而判斷四個(gè)結(jié)論的正確性.

【詳解】解：連接等腰梯形ABCD的對(duì)角線AC，BD.

■:點(diǎn)、E，F(xiàn)，G,“分別是等腰梯形A3CD各邊的中點(diǎn),

AEF=-BD,EH=-AC,

22

;等腰梯形的對(duì)角線相等，

AC=BD,

:.EF=EH.

同理跖=即=如=6/，

四邊形EFGH是菱形，結(jié)論①正確.

取5D的中點(diǎn)Q,連接FQ,QH,

,:F,H分別是AB，8的中點(diǎn)，

FQ//AD,FQ=-AD'QH//BC,QH=-BC

22

AD//BC

FQ//BC

，點(diǎn)E，Q,"三點(diǎn)共線,

即2切=4。+3。，結(jié)論②正確.

22

連接EG、FH,

...四邊形石是菱形,

EG1FH,

NFOG=90°

;點(diǎn)、K,L,M,N分別是四邊形EFGH各邊的中點(diǎn),

：.KL//EG,KL=^EG,FH//LM

:「FKLsFEG,ZKLM=AOPM=ZFOG=90°,四邊形KZAW是平行四邊形,

，KL

?uFKL|=1,四邊形KZAW是矩形,

*q

QFEGJEG

q1sivi

°EKN-10HMN-LuGLM-1

同理可得

S4‘S4'S4

uEFHruHEGruGFH寸

?,SFKL+SEKN+SHMN+SGLM~FEGEFHHEGGFH=]S四邊形EFG〃

即四邊形跖G”的面積等于四邊形KLMN面積的2倍'不是4倍，結(jié)論③錯(cuò)誤.

同理可得四邊形ABCD的面積等于四邊形EFGH面積的2倍，

四邊形A3CD的面積等于四邊形KZAW面積的4倍，

設(shè)梯形ABCD的高為M上底AD=a,下底5。=人，

(a+b)h

.?.梯形面積S

ABCD2-

;點(diǎn)K，L,M，N分別是四邊形EFGH各邊的中點(diǎn),

/.KL//EG,MN//EG,KL=-EG,MN=-EG,

22

KL//MN,KL=MN=-EG

2

...四邊形KDW是平行四邊形，設(shè)其相鄰兩邊分別為機(jī)、〃,周長(zhǎng)。=2（m+〃），C2=4（/n+n）2.

：（m+/J247〃〃（當(dāng)且僅當(dāng)冽="時(shí)取等號(hào)），四邊形KZAW的面積SKC=根〃，且

°EFGH-QKLMN'

,?[]c]-4s四邊形KZMV

CN16s四邊形1Asy

S四邊形ABC?=4S四邊形KZMN

2

C>4SABCD,即四邊形KZJWN周長(zhǎng)的平方不小于梯形A3CD面積的4倍，結(jié)論④正確，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）、相似三角

形的判定及性質(zhì)，菱形的判定（四條邊相等的四邊形是菱形）、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及均值不等式等

知識(shí).解題的關(guān)鍵在于通過連接對(duì)角線等輔助線，利用三角形中位線定理得出各邊關(guān)系，再依據(jù)相關(guān)圖形性

質(zhì)判斷結(jié)論的正確性.

第二部分非選擇題

二、填空題（共16分，每題2分）

9.若J口在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

【答案】x>2

【解析】

【分析】此題考查了二次根式的意義.根據(jù)二次根式有意義的條件即可解得.

【詳解】解：實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,，

x-2>0,

x>2,

故答案為：x>2.

10.分解因式：2ax2+4axy+lay1=.

【答案】2a（x+y『

【解析】

【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，注意多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因

式.先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答.

【詳解】解：2ax2+4axy+2ay2=2a（x1+2xy+=2?（x+y）",

故答案為：2a（x+y『.

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（2,1）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

【答案】（2,—1）

【解析】

【分析】本題考查了求關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為

相反數(shù)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)即可求解.

【詳解】解：點(diǎn)（2,1）關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2,-1）,

故答案為：（2,—1）.

12.寫出一個(gè)比百大且比J萬(wàn)小的整數(shù).

【答案】3（答案不唯一）

【解析】

【分析】先分別求出君與后在哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間，依此即可得到答案.

【詳解】解：：2〈石<3,4<717<5,

所有比JI7小且比石大的整數(shù)有3,4,

.?.這個(gè)整數(shù)可以是3,

故答案為：3（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的大小比較，也考查了無理數(shù)的估算的知識(shí)，分別求出途與J萬(wàn)在哪兩個(gè)

相鄰的整數(shù)之間是解答此題的關(guān)鍵.

32

13.方程-----------=0的解為.

x+2%-1

【答案】x=7

【解析】

【分析】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵.方程兩邊都乘

(x—l)(x+2)得出3(X—1)—2。+2)=0,求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

32

【詳解】解：-----------=0,

x+2x-1

方程兩邊都乘(X—1)(X+2),得3(%—1)—2(%+2)=0,

解得：x=7,

檢驗(yàn)：當(dāng)％=7時(shí)，(%—1)(X+2)w0,

所以分式方程的解是x=7.

故答案為：x=7.

14.2024年7月27日，聯(lián)合國(guó)教科文組織第46屆世界遺產(chǎn)大會(huì)通過決議，將“北京中軸線一一中國(guó)理想

都城秩序的杰作”列入《世界遺產(chǎn)名錄》，其中天壇、正陽(yáng)門、故宮、鼓樓都是中軸線上的著名景點(diǎn).小

明和小華分別隨機(jī)選擇這四個(gè)景點(diǎn)中的任意一個(gè)去參觀，則他們選擇參觀同一個(gè)景點(diǎn)的概率是.

【答案】4##0.25

4

【解析】

【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，分別用A、2、C、。表示天壇、正陽(yáng)門、故宮、鼓樓，畫

樹狀圖，計(jì)算即可.

【詳解】解：分別用A、B,C、。表示天壇、正陽(yáng)門、故宮、鼓樓，

畫樹狀圖：

開始

ABCD

/A\

ABCDABCDABCDABCD

共有16種可能，小明和小華選擇去同一個(gè)地方游玩有4種可能，

41

.??小明和小華選擇參觀同一個(gè)景點(diǎn)的概率為一=—,

164

故答案為：—.

4

15.如圖，在jABCD中，點(diǎn)石是5C上一點(diǎn)，延長(zhǎng)DC交于點(diǎn)F,若AD=3CE,△EC尸的面

【答案】24

【解析】

【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)邊平行）以及相似三角形的判定（兩角分別相等的兩個(gè)三角形

相似）和性質(zhì)（相似三角形面積比等于相似比的平方）.解題的關(guān)鍵在于利用平行四邊形對(duì)邊平行的性質(zhì)找

出相似三角形，準(zhǔn)確求出相似比，再運(yùn)用相似三角形面積比與相似比的關(guān)系計(jì)算所求三角形的面積.本題圍

繞平行四邊形A3CD展開，已知A0=3CE和ECF的面積，要求4A3E的面積.需要利用平行四邊形對(duì)

邊平行的性質(zhì)，找出相似三角形，再依據(jù)相似三角形的性質(zhì)來建立面積關(guān)系求解.

【詳解】解：；四邊形ABCD是平行四邊形，

/.ABDC,即A3CF.

:.NBAE=NCFE,/ABE=NFCE.

；.；ABE~_FCE.

?.?四邊形A3CD是平行四邊形，

；.AD=BC.

-：AD=3CE,

：.BC=3CE,

:.BE=BC—CE=3CE—CE=2CE.

?：ABE-FCE.

BEICEc

---=-----=2.

CECE

2

=f^Y=2=4.即^^=4,

sECFICE；6

'SABE=4x6=24

故答案為：24.

16.小林駕車去某地辦事，目的地附近有甲、乙兩個(gè)停車場(chǎng).已知小林停車時(shí)間不超過24小時(shí).甲停車場(chǎng)

收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：

停車時(shí)長(zhǎng)/(單位：小時(shí))0<?<1l<r<33<t<66<t<99<r<1212</W24

收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(單位：元)免費(fèi)510151824

乙停車場(chǎng)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是；每小時(shí)2元(不足1小時(shí)按1小時(shí)收費(fèi)).

(1)若小林10點(diǎn)25分將車停入甲停車場(chǎng)，當(dāng)天18點(diǎn)45分將車開出，則小林需交的停車費(fèi)是元；

(2)若小林將車停到乙停車場(chǎng)，且停車費(fèi)比停在甲停車場(chǎng)更優(yōu)惠，則小林停車時(shí)間最長(zhǎng)為小時(shí)，

【答案】①.15②.7

【解析】

【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，不等式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

(1)由小林10點(diǎn)25分將車停入甲停車場(chǎng)，當(dāng)天18點(diǎn)45分將車開出，即可求出停車時(shí)間，再根據(jù)表格即

可求解；

(2)根據(jù)表格分析每一個(gè)時(shí)間段，在乙停車場(chǎng)最多停車時(shí)間及費(fèi)用，即可求解.

【詳解】解：(1):小林10點(diǎn)25分將車停入甲停車場(chǎng)，當(dāng)天18點(diǎn)45分將車開出，

.,.18-10=8,45-25=20,

/.在甲停車場(chǎng)停了8小時(shí)20分鐘，

/.由表格得收費(fèi)15元，

故答案為：15；

(2)若0</41時(shí)，知甲免費(fèi)，乙至少花費(fèi)2元，不合題意；

若1</W3時(shí)，要使得乙停車費(fèi)少，則乙最多2小時(shí)4元；

若3</<6時(shí)，要使得乙停車費(fèi)少，則乙最多4小時(shí)8元；

若6<f<9時(shí)，要使得乙停車費(fèi)少，則乙最多7小時(shí)14元；

若9<f<12時(shí)，乙至少花費(fèi)20元，不合題意；

若12<fW24時(shí)，乙至少26元，不合題意，

小林停車時(shí)間最長(zhǎng)為7小時(shí)，

故答案為：7.

三、解答題(共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，

第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分)解答應(yīng)寫出文字說明、演

算步驟或證明過程.

17.計(jì)算：—+4sin60°-V27.

【答案】1-73

【解析】

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、特殊角的三角函數(shù)值、算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是掌握

相應(yīng)的運(yùn)算法則，利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)后，再合并計(jì)算.

【詳解】解：—F+g]+4sin60°-V27

=-l+2+4x--3A/3

2

=1—^3?

-3（尤-2）>4-x

18.解不等式組：\i+2x

-------->x-1

[3

【答案】x<[

【解析】

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關(guān)鍵.分別求

出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式

組的解集.

-3（x-2）>4-X（D

【詳解】解：原不等式組為,l+2x，

-------->X-1（2）

I3

解不等式①，得X<1,

解不等式②，得x<4,

...原不等式組的解集為尤<1.

19.已知x-2y-3=0,求代數(shù)式的值.

x+2y

【答案】3

【解析】

【分析】本題主要考查了分式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握的基本性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.先將分式化簡(jiǎn)為x-2y,

然后再根據(jù)x-2y-3=0,求出結(jié)果即可.

【詳解】解：—）+：（2Iy）

-2y)+y(2%_4y)

x+2y

=(x+2y)(x-2y)

x+2y

=x-2y.

%—2y—3=0,

：.x-2y=3.

.,.原式=3

20.如圖，在RtaABC中，ZACB=9Q0,48AC的平分線交BC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作龐〃力C，交

AB于點(diǎn)E,點(diǎn)廠是AC上一點(diǎn)，且CF=AE,連接E7L

（1）求證：四邊形CDEF是矩形；

3

（2）連接。尸，若AF=3,sinB=~,求的長(zhǎng).

【答案】（1）詳見解析

（2）國(guó)

【解析】

【分析】（1）首先利用角平分線的性質(zhì)得到ZC4D=/B4D,再結(jié)合AC推出

/BAD=/ADE,從而得出AE=DE.已知CE=AE,可得到DE=CF，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等

判定四邊形CD防是平行四邊形.最后由/ACB=90°,根據(jù)矩形的判定定理（有一個(gè)角是直角的平行

四邊形是矩形）得出四邊形CD防是矩形.

（2）利用矩形的性質(zhì)得到石/C。，進(jìn)而推出NAFE=/ACB=90°.已知

33

sinB=~,則sin/A跖=l，在RfAEF中，根據(jù)正弦值和AF=3求出AE和行的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到

DE的長(zhǎng)度.最后在R。。所中，根據(jù)勾股定理。尸=JDE2+ER2求出。廠的長(zhǎng).

【小問1詳解】

證明：的平分線交于點(diǎn)。，

ZCAD=ZBAD.

■：DE//AC,

，NCAD=ZADE.

ZBAD=ZADE.

；?AE=DE.

'：CF=AE,

：.DE=CF.

，四邊形CDEF為平行四邊形.

?；ZACB=9Q°,

.??四邊形CDEF為矩形.

【小問2詳解】

解：如圖所示，

CDB

?.?在矩形CDEF中，EFCD,

ZAEF=ZB,ZAFE=ZACB=90°.

sinB=—,

5

3

二sinZAEF=—.

5

?..在RtAEB中，AF=3,

AE=5,EF=-y/s2—32=4-

DE=AE=5.

???在矩形CDE產(chǎn)中，ZDEF=90°,

.??在RtZkDEb中，DF=y]DE2+EF2=A/41-

【點(diǎn)睛】平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、三

角函數(shù)以及勾股定理.解題關(guān)鍵在于利用已知條件逐步推導(dǎo)邊與角的關(guān)系，通過角平分線和平行線的組合

得到等腰三角形，利用矩形性質(zhì)找到角的等量關(guān)系，再結(jié)合三角函數(shù)和勾股定理求解邊長(zhǎng).

21.關(guān)于x的方程/+4%+2加一3=0.

(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求機(jī)的取值范圍；

(2)若方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，求正整數(shù)加的值.

7

【答案】(1)m<-

2

(2)3

【解析】

【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式以及求根公式的應(yīng)用.解題關(guān)鍵在于理解根的判別式與根

的關(guān)系，利用/判斷根的情況并求解參數(shù)范圍；同時(shí)掌握求根公式，通過對(duì)根的表達(dá)式分析及代入驗(yàn)證來

確定滿足條件的參數(shù)值.

(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式△與根的關(guān)系，已知方程有實(shí)數(shù)根，所以A20,通過構(gòu)建關(guān)于加的不

等式求解機(jī)的取值范圍.

(2)先利用求根公式得出方程的根的表達(dá)式，再結(jié)合第一問加的取值范圍確定正整數(shù)加可能的值，然后

通過代入逐一驗(yàn)證根是否為整數(shù)，從而確定符合條件的加值.

【小問1詳解】

解：???方程有實(shí)數(shù)根，

/.A>0.

.-.42-4xlx(2m-3)>0.

7

解得m<-.

2

7

即，72的取值范圍是機(jī)<一.

2

【小問2詳解】

解：解方程，得x=-4±2j7s網(wǎng)—士尸礪.

2

7

2

???正整數(shù)用的值為1,2,3.

當(dāng)m=1時(shí)，J7-2加=逐，不合題意，所以根=1舍去；

當(dāng)加=2時(shí)，J7-2m=出,不合題意，所以加=2舍去；

當(dāng)根=3時(shí)，尸石=1，得到方程的根為％i=-1,x2=-3,都是整數(shù).

...正整數(shù)加的值是3.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2x+m和函數(shù)y=m(mwO)的圖象相交于點(diǎn)A.

(1)當(dāng)〃2=4時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)X<2時(shí)，對(duì)于x每一個(gè)值，函數(shù)y=2x+i%的值都大于函數(shù)y=的值，直接寫出

m的取值范圍.

【答案】⑴(2,8)

(2)2<m<4

【解析】

【分析】本題主要考查一次函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)圖象交點(diǎn)問題.解題關(guān)鍵在于理解函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)是聯(lián)

立函數(shù)方程的解，對(duì)于比較函數(shù)值大小的問題，要結(jié)合函數(shù)圖象的位置關(guān)系，通過分析交點(diǎn)以及函數(shù)斜率等

性質(zhì)來確定參數(shù)的取值范圍.

(1)由m=4,此得y=2x+4和y=4x.可聯(lián)立這兩個(gè)函數(shù)方程求解.

(2)當(dāng)無<2時(shí)，y=2%+帆的值都大于y=點(diǎn)的值，意味著在光<2時(shí)，直線y=2x+ni在直線

y=如的上方.我們可以先考慮特殊情況，即兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)的情況，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)來

確定優(yōu)的取值范圍.

【小問1詳解】

解：當(dāng)機(jī)=4時(shí)，函數(shù)y=2x+4,y=4x.

y=2x+4

聯(lián)立方程組

y=4x

x=2

解得<

y=8

:.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,8).

【小問2詳解】

y=2x+m

解：聯(lián)立《

y=mx

2x+m-tnx,

m

解得x=--------（m手2）.

m—2

當(dāng)x<2時(shí)，y=2x+7”的值都大于丁=如的值，且當(dāng)％=2時(shí)，若兩函數(shù)值相等，貝I

2x2+m=2m，

解得m=4.

又：當(dāng)％<2時(shí)，y=如，0）在y=2X+HI的下方，

m要大于2，

2<m<4.

23.某研發(fā)小組設(shè)計(jì)了甲、乙兩款4軟件，為測(cè)試兩款軟件的實(shí)用性能，先后邀請(qǐng)普通用戶和專業(yè)人士對(duì)

甲、乙兩款軟件體驗(yàn)、評(píng)分（百分制）.

（1）邀請(qǐng)800個(gè)普通用戶對(duì)甲款軟件和1200個(gè)普通用戶對(duì)乙款軟件體驗(yàn)、評(píng)分（百分制）.從評(píng)分中各隨

機(jī)抽取20個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息：

a.甲款軟件評(píng)分：

60607070727580808080

80808181818282859091

b.乙款軟件評(píng)分頻數(shù)分布直方圖如下：（數(shù)據(jù)分5組：第1組50<x<60,第2組60<“<70,第3組

70<x<80,第4組80<x<90,第5組90W為<100）

如

頻

10

9

8

7

6

5

4

3

2

“5060708090100叫數(shù)

C.甲、乙兩款軟件評(píng)分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:

軟件平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

甲7880m

乙78n72

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

①加的值為,〃的值位于乙款軟件評(píng)分的第組；

②估計(jì)這1200個(gè)普通用戶中對(duì)乙款軟件評(píng)分X滿足100的約為個(gè);

（2）邀請(qǐng)專業(yè)人士對(duì)甲、乙兩款軟件從四個(gè)維度體驗(yàn)、評(píng)分（百分制），評(píng)分結(jié)果由維度1和維度2各占

30%,維度3和維度4各占20%組成，評(píng)分如下：

\維度

軟八維度1維度2維度3維度4

甲94k9293

乙91939392

①乙款軟件的評(píng)分為；

②若甲款軟件的評(píng)分更高，則表中左（左為整數(shù)）的最小值為.

【答案】⑴①80；3；②180；

（2）①92.2；②91

【解析】

【分析】（1）①觀察表格，根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解即可；

②用1200乘以第五組數(shù)據(jù)在樣本中所占的比即可得解.

（2）①利用加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算即可；

②根據(jù)“甲款軟件的評(píng)分更高”，列不等式求解即可.

【小問1詳解】

解：①甲組20個(gè)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是80,因此甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為80,

所以，加=80；乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)在第3組中.

3

②1200x3=180.

20

故答案為：①80；3；②180；

【小問2詳解】

解：?91x30%+93x30%+93x20%+92x20%=92.2（分）；

②由題意得94x30%+左x30%+92x20%+93x20%>92.2,

解得左>90

../的最小整數(shù)值為91.

故答案為：①92.2；②91

【點(diǎn)睛】本題考查了綜合利用表格和頻數(shù)直方圖分析數(shù)據(jù)，眾數(shù)、中位數(shù)的定義，加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方

法，用樣本估計(jì)總體等知識(shí).熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，。為VABC的外接圓，點(diǎn)A為BAC的中點(diǎn)，。的切線AD交30的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，BD

交AC于點(diǎn)E.連接Q4,0C,且NAOC=2NAED.

(1)求證：ZDAE=ZAED-,

(2)若A0=1,求的長(zhǎng).

【答案】(1)詳見解析

(2)V2

【解析】

【分析】(1)本題要證明NTMEM/AED,通過設(shè)NABC=a,利用同弧所對(duì)圓心角是圓周角的兩倍，

得到/A0C=2a.再根據(jù)等腰三角形，04。兩底角相等以及三角形內(nèi)角和求出/OAC.由切線性質(zhì)

得到NOAD=90，進(jìn)而得出NDAE的度數(shù).最后結(jié)合已知ZAOC=2/AED,得出ZAED的度數(shù),

從而證明兩角相等.

(2)求3C的長(zhǎng)，先延長(zhǎng)A0交3c于E.根據(jù)點(diǎn)A為BAC的中點(diǎn)，利用垂徑定理的推論得到A5=AC,

再通過證明.ABOM.ACO得出AFLBC.由/AF5=/E4D=90得到A。BC,進(jìn)而推出角相等

關(guān)系.結(jié)合前面(1)中角的結(jié)論，得出NOBC=/OCB=/">(?=—AQD=45，從而得到線段相等

關(guān)系OB=OC=OA=AD,最后根據(jù)，結(jié)合AD=1求出3c的長(zhǎng).

【小問1詳解】

證明：設(shè)NABC=a,則NA0C=2。，

?：OA=OC,

ZOAC=ZOCA,

：.ZOAC=90°-a,

：AD是(O的切線，

，半徑。4,4),

ZOAD=9Q°,

:.XDAE=CL，

ZAOC=2ZAED,

ZAED—a,

:.ZDAE=ZAED.

【小問2詳解】

解：延長(zhǎng)AO交于尸，則NE4D=90。,

，.?點(diǎn)A為B4C的中點(diǎn)，

：.AB=AC,

,：OA=OA,OB=OC,

：.AABO^AACO,

：.ZBAO=ZCAO,

：.AFIBC,

：.ZAFB=ZFAD=90°,

：.AD//BC,

：.ZADO=ZOBC,

VZOEC=ZAED=ZDAE,ZOCA=ZOAC=90°-ZDAE,

：.ZCOE=ZCOB=90°,

：.ZOBC=Z.OCB=ZADO=ZAOD=45°,

OB=OC=OA=AD,

???BC=OD=V2AD，

VAD=1,

???BC=4I-

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的相關(guān)知識(shí)，包括同弧所對(duì)圓心角與圓周角的關(guān)系、切線的性質(zhì)、垂徑定理及其推

論，以及等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定.解題的關(guān)鍵在于利用圓的性質(zhì)找出角之間的等量關(guān)系，通

過角的關(guān)系推導(dǎo)線段的等量關(guān)系，進(jìn)而求解問題.

25.小明媽媽早晨騎電動(dòng)車將小明送到幼兒園后再去單位上班.已知小明家到幼兒園的路程為8km,幼兒

園到小明媽媽單位的路程為3km，小明媽媽騎電動(dòng)車帶小明行駛是載重行駛，下表記錄了電池中剩余電

量占電池容量的百分比（簡(jiǎn)稱剩余電量占比）p與小明媽媽獨(dú)自行駛和載重行駛狀態(tài)下可行駛的路程S]

（單位：km）和邑（單位：km）的部分?jǐn)?shù)據(jù):

P0%10%20%40%60%80%100%

航03715233139

邑0249152230

（1）通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫跖與p,邑與P之間的關(guān)系.在給出的平面直角坐標(biāo)系中，補(bǔ)

全這兩個(gè)函數(shù)的圖象;

S/km八

45

40

35

30

25

20

15

20%40%60%80%100%P

（2）根據(jù)上述數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決下列問題:

①當(dāng)該電動(dòng)車剩余電量占比為50%時(shí)，小明媽媽獨(dú)自行駛比載重行駛多行駛_____km（結(jié)果精確到0.1）；

②假設(shè)一天早晨該電動(dòng)車剩余電量占比為30%,在電量耗盡前，判斷小明媽媽騎電動(dòng)車（填

“能”“不能”）將小明送到幼兒園；

③若在電量耗盡前小明媽媽能到達(dá)單位，則當(dāng)天早晨出門時(shí)該電動(dòng)車剩余電量占比至少為（精確到

1%).

【答案】（1）見解析（2）①7.1（答案不唯一）；②不能；③44%

【解析】

【分析】本題主要考查函數(shù)圖象的繪制、函數(shù)值的讀取與計(jì)算以及利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題.解題關(guān)鍵在

于準(zhǔn)確分析表格數(shù)據(jù)，合理繪制函數(shù)圖象，通過函數(shù)關(guān)系解決路程與電量相關(guān)的實(shí)際問題.

（1）根據(jù)給定的表格數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系中，分別找出S1與p、邑與P對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，然后用平滑

曲線連接這些點(diǎn)，即可補(bǔ)全函數(shù)圖象.例如對(duì)于Si與p,有（0%,0）,（10%,3）等點(diǎn)；對(duì)于必與p,有

(0%,0),(10%,2)等點(diǎn).

(2)①先根據(jù)函數(shù)圖象或數(shù)據(jù)找到P=50%時(shí)，I和邑的值，然后計(jì)算兩者差值.

②找到P=30%時(shí)邑的值，與小明家到幼兒園的路程8km比較大小.

③小明家到幼兒園路程為8km,幼兒園到單位路程為3km,分別估算對(duì)應(yīng)的P值，相加即可得解.

【小問1詳解】

解：如圖，

解：①?gòu)谋砀駭?shù)據(jù)或圖象估算，當(dāng)尸=50%時(shí)，5^19.1,邑a12,

A?19.1-12=7.1km.

②從表格數(shù)據(jù)或圖象估算，當(dāng)P=30%時(shí)，邑的值約為6.5km，

?/6.5<8,

.??不能將小明送到幼兒園.

③觀察邑的數(shù)據(jù)，當(dāng)P=34%時(shí)，52=8,

觀察片的數(shù)據(jù)，當(dāng)尸=10%時(shí)，，=3,

???當(dāng)天早晨出門時(shí)該電動(dòng)車剩余電量占比至少為10%+34%=44%.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ox?一2ax經(jīng)過點(diǎn)A(3,3).

(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)已知”(%,加)(%>0)和N(m,7z)是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，且n>m總成立,求見的取值范圍.

【答案】(1)(1,-1)

(2)0</<2或%>3

【解析】

【分析】本題考查了求二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)

鍵.

(1)將點(diǎn)A代入解析式即可求出。的值，進(jìn)而得到解析式，將解析式化為頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)先求出加之一1,令〃?=〃，貝b*—2加=加，求出加的值，根據(jù)〃>相，求出一1<m<0或加>3,

分-加>3兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

解：?..拋物線y=ax2-2ax過點(diǎn)A(3,3),

??9a—6a=3,

??=1,

...拋物線為了=一一2%，

y=x2-2x=(x-l)'-1,

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(L-1)；

【小問2詳解】

解：(不，利)在拋物線y=%2-2無上,

??m=XQ—2%Q=(5—1)——1>—1'

,/■/\^(加,〃)在拋物線丁=必-2%上，

n=m2-2m，

令m=n,貝「川—2m—m,

加=0或7〃=3,

當(dāng)〃〉形時(shí)，結(jié)合函數(shù)丁=必一2；1的圖象可得一1<相<0或相>3,

當(dāng)—1<〃7<0時(shí)，結(jié)合函數(shù)加=只一2%的圖象可得0<小<2,

當(dāng)機(jī)>3時(shí)，結(jié)合函數(shù)m=焉—2%的圖象可得毛<—1或%>3,

x0>0,

x0>3,

綜上所述，見的取值范圍是0</<2或毛〉3.

27.如圖，在VABC中，AB=AC,ABAC=2a(Q°<a<9Q°),點(diǎn)。為邊BC上一點(diǎn)

(BD>CD),連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段AE,連接ED交AC于點(diǎn)連

接CE.

(2)若點(diǎn)“，N,“分別為BC,DE,。尸的中點(diǎn)，連接補(bǔ)全圖形，用等式表示線段與

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)詳見解析

(2)MH=NH,圖見解析，證明見解析

【解析】

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

(2)按照題意補(bǔ)全圖形，證明狂=防，MH=-FK,NH=-EF.即可得到結(jié)論；

22

【小問1詳解】

證明：???線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段AE,

AE=AD，ZDAE=2a.

VABAC=2a，

：.ZBAC=ZDAE.

ZBAD^ZCAE.

'：AB=AC,

△ABg/\ACE.

：.ZABD=ZACE.

?：AB=AC,

：.ZABC=ZACB.

：.ZACB=ZACE.

C4平分/3CE.

【小問2詳解】

解：補(bǔ)全圖形如圖所示.

線段與N"之間的數(shù)量關(guān)系：MH=NH.

證明：在上取點(diǎn)K,使得5K=8,連接FK.

?/ZXABD^ZXACE,

：.BD=CE.

:點(diǎn)以為的中點(diǎn)，

BM=CM.

:.KM=DM,BD=CK.

CK=CE.

VZACB=ZACE,CF=CF,

/.ACKF%ACEF.

：.KF=EF.

:點(diǎn)〃為。咒的中點(diǎn)，

/.DH=FH.

：.MH=-FK.

2

:點(diǎn)N為DE的中點(diǎn)，

EN=DN.

設(shè).HF=a,NF=b,則7VW=a+b,DN-2a-\-b.

???EF=EN+NF=2a+2b.

：.NH=-EF.

2

：.MH=NH.

28.給定線段腦V和位于直線MN同一側(cè)的兩點(diǎn)P,Q,若在線段MN上（不含端點(diǎn)M,N）存在點(diǎn)

K，使得NPKM=NQKN且PK=QK,則稱點(diǎn)P與。關(guān)于線段MN等角等距.在平面直角坐標(biāo)系

xOy中，已知點(diǎn)S（2,0）.

（1）點(diǎn)丁的坐標(biāo)為（0,1）,

①在點(diǎn)4（—2,1）,5（2,1）,（2,皆，。（2,3）中，與點(diǎn)s關(guān)于線段”等角等距的點(diǎn)是；

②點(diǎn)E是直線丁=%上一點(diǎn)，若在以點(diǎn)S為圓心，1為半徑的圓上總能找到一點(diǎn)與點(diǎn)E關(guān)于線段07等角等

距，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)XE的取值范圍是；

（2）已知點(diǎn)尸（0,m）（根＞0）,在以。為圓心，1為半徑的圓上存在點(diǎn)"，使得點(diǎn)E與S關(guān)于線段OH等

角等距，直接寫出機(jī)的取值范圍.

【答案】（1）①B,C；

②＜2+g

后2

（2）0＜2或2（根＜2代

【解析】

【分析】本題考查垂直平分線，平行線的判定與性質(zhì)，圓與直線的關(guān)系，勾股定理，相似三角形的運(yùn)用，正

確分類是解題的關(guān)鍵.

（1）①判斷出點(diǎn)K為線段PQ的垂直