2024北京重點校高二（下）期末數(shù)學(xué)匯編

數(shù)列章節(jié)綜合（人教B版（選擇題）

一、單選題

1.（2024北京海淀高二下期末）若等比數(shù)列｛q｝的前〃項和S“=2"-l,則公比4=（）

A.■-B.—C.2D.—2

22

2.（2024北京房山高二下期末）已知數(shù)歹！J｛qJ滿足4+1=-2?！?，且％=1,則%=（）

A.-B.4C.-3D.-8

4

3.（2024北京石景山高二下期末）數(shù)列｛?“｝的通項公式為（〃eN*）,前"項和為S",給出

下列三個結(jié)論：

①存在正整數(shù)根,“（機二"），使得S“=整;

②存在正整數(shù)m,n（mN〃），使得am+an=2”"%；

③記Tn=aAa2…q=1,2,3,…），則數(shù)列區(qū)｝有最大項和最小項.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.3B.2C.1D.0

4.（2024北京石景山高二下期末）已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，其前w項和為S.，貝產(chǎn)5“+2=51是

"2"=?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2024北京房山高二下期末）已知數(shù)列A：1,1,2,1,2,4,1,2,房8,1,2,4,8,16,…，其中第一項是2°,接

下來的兩項是2°,2、再接下來的三項是2。,212。，依此類推.S,是數(shù)列A的前〃項和，若S〃=21reN*）,

則〃的值可以等于（）

A.16B.95C.189D.330

6.（2024北京石景山高二下期末）在數(shù)列｛%｝中，q=-2,??=1-—（^eN*）,則出必的值為

+1an

（）

A.-2B.—C.—D.一

322

7.（2024北京順義高二下期末）對于數(shù)列｛%｝,若存在M〉0,使得對任意〃EN*,有

4+|%—出|+…+|。用-％|<”,則稱｛%｝為“有界變差數(shù)列給出以下四個結(jié)論：

①若等差數(shù)列｛〃〃｝為“有界變差數(shù)列"，則｛%｝的公差d等于0;

②若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝為“有界變差數(shù)列”，則其公比夕的取值范圍是（0,1）;

③若數(shù)列代｝是“有界變差數(shù)列"，｛%｝滿足%=[,則優(yōu)為｝是“有界變差數(shù)列”；

④若數(shù)列N｝是“有界變差數(shù)列"，｛，“｝滿足K=2〃，則］會,是“有界變差數(shù)列”；

其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2024北京順義高二下期末）碳14是透過宇宙射線撞擊空氣中的氮14原子所產(chǎn)生.碳14原子經(jīng)過P

衰變轉(zhuǎn)變?yōu)榈?由于其半衰期達(dá)5730年，經(jīng)常用于考古年代鑒定.半衰期（Half-life）是指放射性元素

的原子核有半數(shù)發(fā)生衰變時所需要的時間.對北京人遺址中某塊化石鑒定時，碳14含量約為原來的1%,則

這塊化石距今約為（）（參考數(shù)據(jù)：1g2=0.3010）

A.40萬年B.20萬年C.4萬年D.2萬年

9.（2024北京順義高二下期末）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，%+%=0,%+%=8,則臬的值

為（）

A.16B.20C.24D.28

10.（2024北京懷柔高二下期末）若｛4｝是公比為4的等比數(shù)列，其前〃項和為，％>0,則

“0<4<1”是“Sn單調(diào)遞增”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

等比數(shù)列;，-1,2,-4,……,則數(shù)列的第七項為（）

11.（2024北京懷柔高二下期末）

A.32B.-32C.64D.-64

12.（2024北京西城高二下期末）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前W項和為s“，若生=-1,32S10=31S5,則4=

（）

A.-----B.--—C.—D.—

32643264

13.（2024北京西城高二下期末）在等比數(shù)列｛?！埃?，若%=1,。4=4,則。2%=（）

A.4B.6C.2D.±6

14.（2024北京西城高二下期末）在等差數(shù)列｛〃〃｝中，％=3,%=5,貝1」q0=（）

A.8B.10C.12D.14

15.（2024北京昌平高二下期末）已矢口數(shù)歹！!｛%｝的前“項和="2-3”,則見+4=（）

A.1B.2C.4D.6

16.（2024北京大興高二下期末）已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為公比為4,且$2<。，貝1（）

A.數(shù)列｛S“｝是遞增數(shù)列B.數(shù)列｛S,｝是遞減數(shù)列

C.數(shù)列｛邑」是遞增數(shù)列D.數(shù)歹心邑"｝是遞減數(shù)列

17.（2024北京大興高二下期末）若數(shù)列c,9是等比數(shù)列，則實數(shù)b的值為（）

A.-3B.3

C.-9D.9

18.（2024?北京昌平?二模）已知數(shù)列｛%｝滿足，VnGN*,。4〃-3=-1，=1，%〃=,該數(shù)列的前〃

項和為S“，則下列論斷中管誤的是（）

A.%1=1B.〃2024=-1

C.m非零常數(shù)T,使得。5=凡D.V?eN*,都有邑”=-2

19.（2024北京西城高二下期末）在數(shù)列｛q｝中，％=2,若存在常數(shù)c（cxO）,使得對于任意的正整

數(shù)根，〃等式4+,=%,+c%成立，則（）

A.符合條件的數(shù)列｛〃“｝有無數(shù)個B.存在符合條件的遞減數(shù)列｛%｝

C.存在符合條件的等比數(shù)列｛4｝D.存在正整數(shù)N,當(dāng)〃>N時，4>2024

20.（2024北京西城高二下期末）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前“項和為S",則"｛4｝是遞增數(shù)列”是“｛S,,｝是遞增

數(shù)歹『’的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

21.（2024北京延慶高二下期末）己知數(shù)列｛%｝滿足〃用=2〃,,g=4,則數(shù)列｛%｝的前4項和等于

（）

A.16B.24C.30D.62

22.（2024北京房山高二下期末）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若為=-3,S5=-10,使S“最小的〃

的值為（）

A.4B.5C.6D.4或5

23.（2024北京第十二中學(xué)高二下期末）己知等比數(shù)列｛為｝中，個等=8,/=32,則%=（）

A.16B.4C.2D.1

24.（2024北京人大附中高二下期末）已知等比數(shù)列｛4｝滿足%=7,%=8,則〃7等于（）

A.32B.—32C.64D.-64

參考答案

1.C

【分析】根據(jù)S.,依次求出生，電，依題即可求得公比.

【詳解】由s“=2"-l,"=1時，％=1,

幾=2時，由q+%=1+%=2之一1解得,a2=2f

依題意，q=—=2.

ax

故選：C.

2.B

【分析】利用等比數(shù)列概念及通項可得結(jié)果.

【詳解】由。向=-2%可得&a=-2為定值，

an

又％=1,所以｛%｝是以％=1為首項，公比4=-2的等比數(shù)列，

a3=a4=4,

故選：B

3.A

【分析】由%=6…2,令巴=。，求得％=0,得到$6=Ss，可判定①正確；由當(dāng)根=2,九=4時，可判定

②正確；由當(dāng)時，刀，最小項，當(dāng)”=5,最大，可判定③正確.

【詳解】由題意，數(shù)列｛4｝的通項公式為

令為=0,即."=6"-〃2=。，解得〃=6或〃=0(舍去)，即4=。，

所以S6=Ss，即存在正整數(shù)相,“(mW"),使得鼠=S“，所以①正確；

由%=6"-/,存在正整數(shù)m=2,〃=4,2=8,%=8,使得a,”+冊=2"“%,所以②正確；

由數(shù)列｛%｝的通項公式為=6〃-/,

可得q=5,〃2=8,4=9,&=8,%=5,4=。，且當(dāng)〃〉6時，?！ǎ?。，

所以北=4%…%(〃=1,2,3,…)，所以當(dāng)“26時，數(shù)列｛(,｝有最小項1=0,

當(dāng)”=5時，數(shù)列｛4｝有最大項4=14400,所以③正確.

故選：A.

4.C

【分析】在已知條件下，S〃+2=S“，82〃=0者口與4=-1等價，由此即可得解.

【詳解】S“+2=S"oSn+2-Sn=an+2+an+l=a,I+1（1+q）=0,

q[l-（T）21

而見+130,所以S“+2=S“=4=TnS2"==0,充分性成立;

1—（T）

s=q（i_q-"Lo

反過來若一1-q-"nq=T,若q=l,則一定有邑.=2wq?0,

qwl

所以，＜7=-1,故S“+2=邑+。“+1+?！?2=5”，必要性成立；

也就是說，已知數(shù)列僅“｝是等比數(shù)列，則“S,+2=S“”是"52“=?！钡某浞直匾獥l件.

故選：C.

5.B

【分析】將數(shù)列分組，使每組第一項均為1,第一組：2°，第二組：2。，2、第三組：2°,21,22,……，第

左組：2。,）,22根據(jù)等比例數(shù)列前〃項和公式對選項逐一驗證即可.

【詳解】將數(shù)列分組，使每組第一項均為1,即：

第一組：2°

第二組：2°,2】

第三組:2°,2',22

第z組：2。,21,2?,…,2一

根據(jù)等比例數(shù)列前〃項公式，得每組和分別為：2-1,22-1,-1,

每組含有的項數(shù)分別為N=l+2+3+…+%+業(yè)型.

2

所以SN=21_]+22_]+…+2斤_]=^^|^_左=2從1_2_左=2印_（左+2）

若S"="（feN*）,即2小一（笈+2）=2，?eN*）,

將選項A代入，若〃=16,貝蛛=5,即k為前5組與第6組的第1個數(shù)的和，

此時兒=26-（5+2）+1=2'，匹N*無解;

同理若〃=95,貝必=13,此時595=2"_（13+2）+1+2+4+8=214,即n四eN*,符合題意；

同理若〃=189,貝|%=18,止匕時$89=百9。-2|8=219—（19+2）—218=218-22=2',/eN*無解；

同理若〃=33。，貝"左=25,此時S330=2“一（25+2）+1+2+4+8+16=2*+4=2',teN*無解；

綜上可知，n—95,

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于找出數(shù)列的規(guī)律，對該數(shù)列進行分組，利用等比數(shù)列前"項和公式構(gòu)

造方程，即可求解.

6.D

【分析】數(shù)列｛%｝中，由4=-2,??+1=1--,計算出，。3，。4，…，可得見+3=雙，利用周期性

an

計算得出.

113

【詳解】數(shù)列｛風(fēng)｝中，由4=-2,?！?1=1---,得%=1-----=-,

a]]

同理可得%=-,&=-2,

3

所以"”+3—4,則〃2024=々674x3+2=々2=萬?

故選：D.

7.C

【分析】對于①，利用反證法即可判斷；對于②，討論4=1和0<q<l,4>1,并結(jié)合等比數(shù)列求和及性

質(zhì)即可判斷；對于③④，證明若｛七｝,｛%｝均為有界變差數(shù)列，且%?%>0,則Z是有界變差數(shù)列,

yn]

即可判斷.

【詳解】對于①，假設(shè)｛q｝的公差d不等于0,貝心“+「%=4,

故%一+|%一/|+L+|a”+i—="同>

所以不存在A1>0,使得對任意〃eN*,有㈤—力+|%-匈+L+|a”+i-,

所以若等差數(shù)列｛4｝為“有界變差數(shù)列"，則｛見｝的公差d等于0,故正確①;

對于②，因為｛%｝的各項均為正數(shù)，所以%>。，4>。，

當(dāng)4=1時，%+]-聞=0,二-4|=0,

k=l

任取M>0即可，所以｛4｝為有界變差數(shù)列.

nflfl—q"\

當(dāng)gwl時，Ek+]kSi+為+L+a?)|t?-l|=-----%-lp

k=\l-q

n

若。<4<1，則—^——=ai(\-q^<ax>

令M=q即可，所以｛%｝為有界變差數(shù)列，

若…,則“J?It-st，

當(dāng)”—十?時，0](q"—1)->+oo,

顯然不存在符合條件的M,故｛%｝不是有界變差數(shù)列.

綜上，4的取值范圍是(0』，故②錯誤;

先證明若｛%｝,｛%｝均為有界變差數(shù)列，且%2%>。，則Z是有界變差數(shù)列.

P.J

由有界變差數(shù)列的定義可知,

￡鼠+1-3|=|%2I+|%3-尤2〔+L+氏+1-X」<叫,

k=\

M

El%+1fl=昆f1+1%f|+L+|y?+1-y?|<2-

k=\

因為|無“+1H菁閆招+1fH（無2-%）+（W-“2）+（x“+l-X"）|

-x\<M,

<|X,-AJ|+|X3-X2|+L+|X?+1nl

所以上+1歸給+聞.

故$_=I加%f%+J=I玉+J%+I+Z+J%

yn+iy?|x,+ibJ

（"+國）|為「%|

一十2

%%

因止匕之氏iL_至W小匚"

鼻（必+寓|）心,

"C<M±+

白刃+1%-%

所以］是有界變差數(shù)列.

對于③，易知。設(shè)Z"=’,

=—,且z〃2%>0,

由前面結(jié)論知是有界變差數(shù)列，即｛招％｝是“有界變差數(shù)列”，故正確③;

對于④，因為％=2”,所以％2%>0,

所以％?是有界變差數(shù)列，故④正確.

bJ

故所有正確結(jié)論的個數(shù)是3.

故選:C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于③④，先證明若｛%｝,｛%｝均為有界變差數(shù)列，且％2%>。，則是有界

變差數(shù)列.

8.C

【分析】根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)是一個等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列求出第〃個半衰期結(jié)束時碳14含量為

【詳解】設(shè)第〃個半衰期結(jié)束時，碳14含量為凡,

由題意可得，第一個半衰期結(jié)束時，碳14含量為q=：,第二個半衰期結(jié)束時，碳14含量為%=；,

以此類推，｛%｝為以首項％=：,公比為q=g的等比數(shù)列，

所以，第〃個半衰期結(jié)束時，碳14含量為%=&j,

-2

人f1Y=1in%/>n=log.IO_=as6.64

令""U解得IlgJ__0.301

所以這塊化石距今約為57305730x6.64=38047.2年，即約為4萬年.

故選：C.

9.C

【分析】法一：由基本量法求出公差d和首項6,再由等差數(shù)列前項和公式可得結(jié)論.法二：利用等差數(shù)

列的性質(zhì)即可整體代入求和.

【詳解】法一：

設(shè)等差數(shù)列｛0｝的公差為d,

+(4+d)=0

因為-0,…4=8,所叫CLq+2d)+(q+3d)=8，

=—16xS

解得《』.,所以S6=6qH—--xd=6x(-1)+15x2=24.

[a=22

法二：

因為在等差數(shù)列｛%｝中，%+4=4+%=8,

所以$6=2匈3=24.

622

故選：C

10.A

【分析】結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)判斷和“S“單調(diào)遞增”之間的邏輯關(guān)系，即可得答案.

【詳解】由題意可知｛%｝是公比為q的等比數(shù)列，

當(dāng)4>。，0<4<1時，則V,

i-q

由于1-4>。，0<q-<l,且q"隨〃的增大而減小，故S“單調(diào)遞增，

當(dāng)/>。，q=l時，S"="4也單調(diào)遞增，推不出0<4<1,

故"。<"1”是"S”單調(diào)遞增，，的充分而不必要條件，

故選:A

11.A

【分析】觀察等比數(shù)列的前幾項，確定該數(shù)列的首項和公比，由此確定第7項.

【詳解】設(shè)該等比數(shù)列為｛可｝,數(shù)列｛4｝的公比為4,

由已知，%=-1,

所以q=-2,

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為an=^x(-2)1,

所以%=；x(-2『=32.

故選：A.

12.C

【分析】設(shè)公比，將等式運用公式化簡求出心再代入通項公式即可求得.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為心由32Ho=3域可知#1(否則320%=155%不成立)，

1_/7101-(751

貝U有32x_—=31x—,化簡得，32(1+^5)=31,解得，q7,

1-q1-q2

于是，&=*=_(_[)，=，.

故選：C.

13.A

【分析】應(yīng)用等比數(shù)列通項公式性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為｛4｝是等比數(shù)列，所以%%=%%=1x4=4.

故選：A.

14.C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量運算即可.

【詳解】因為q=3,%=5=q+2d,

所以d=1,%。=%+9d=3+9=12.

故選：C.

15.D

【分析】根據(jù)/+%=5’-邑計算可得.

【詳解】因為S〃=〃2—3幾，貝”4=42—3x4=4,邑=22—3x2=—2,

所以。3+。4=邑一與=4—(—2)=6.

故選：D

16.D

【分析】利用作差法及等比數(shù)列通項公式得到S2“+2-S2〃<0,即可判斷C、D,利用特殊值判斷A、B.

【詳解】因為等比數(shù)列｛“〃｝的前〃項和為公比為4,顯然

若S2<。，即%+%<0,所以^2n+2~^2n=。2n+2+。2〃+1=(4+“2)夕<。，

所以｛$2“｝是遞減數(shù)列，故C錯誤、D正確；

若％=1,q=-2,貝!]?！?(―2),滿足%+%=—1<。，

但是S用-S〃=4=1X(_2)"T,則｛S“｝不具有單調(diào)性，故A、B錯誤.

故選：D.

17.B

【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)計算可得.

【詳解】因為數(shù)列1M,仇G9是等比數(shù)列，

所以/2=1x9,解得6=3或Z?=-3,

當(dāng)b=-3時，不滿足1x6=1,故舍去；

當(dāng)6=3時，經(jīng)檢驗符合題意，所以6=3.

故選：B

18.C

【分析】由已知%=時口=1可得A正確；由已知遞推關(guān)系化簡

“2024-。2創(chuàng)012-%012-。2506-0506-026253-。253-。464-31可得B正確；由已知遞推關(guān)系息結(jié)數(shù)列的規(guī)律,

再用反證法得到C錯誤；由已知遞推關(guān)系找到前〃項和的規(guī)律再結(jié)合等比數(shù)列的前〃項和可得D正確.

【詳解】對于A,因為。4”一1=1，所以⑸=。4?81=1，故A正確；

對于B,因為&"-3=-1，%,=%，

所以。2024="2創(chuàng)012="1012="2506=0506="2倉253="253=0464-3二一1,故B正確；

對于C,由%一3=-1可得％=%=%=…=-1，

由=1可得。3=%=?11

a

由2n=%可得％=。2=。4=。8=%0=…=11,

W?3=06=012=?24='''=1>所以

設(shè)存在非零常數(shù)TN〃eN*,使得%+7=%，

貝！JO-T+T=%■=2%=>%=0,矛盾,

所以不存在非零常數(shù)T,VweN*,使得a,”=4,故C錯誤；

對于D,當(dāng)〃=1時，與=昆=4+。2=-1+(-1)=-2,

當(dāng)〃=2時，S?2=S4=a1+a2+a3+a4=—1—1+1—1=—2,

即"=2時，有相鄰兩項%+4的和為零，

即有接下來22T=2個項和為零；

當(dāng)〃=3時，

S聽—S?=〃]+%+/+。4+%+。6+47+。8=—1—1+1—1—1+1+1—1——2,

即〃=3時，有相鄰兩項。3+。4的和與相鄰四項。5+4+%+。8為零，

即有接下來+2*=6個項和為零；

+++

當(dāng),22時,a4n-3?4?-2+?4?-1?4??4?=°，

a

所以S?”=q+%+q-----^2n=-2+0=-2,故D正確.

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題D選項關(guān)鍵在于能理解邑“=-2的意義，即表示數(shù)列中前兩項和—2為外的3到

4項，5到8項，9到16項和分別為零.

19.D

【分析】賦值可得%+1=%+。。.=。“+。％，然后分c=l,cwl討論可得%=2”,然后逐一判斷即可.

【詳解】因為對于任意的正整數(shù)"％"等式品+"=(+??"成立，4=2,

所以4+i=%+can'a”"am+c%，

所以a“+i=4+%=%+叫，整理得(cT)a“=(cT)q=2(c-l),

若cwl,則