第48講章末檢測七

一、單選題

ab,、a,8

1、（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考三模）定義c1="-歷，已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且%=1，：仆=。，

則為=（）

A.4B.±4C.8D.±8

【答案】C

【解析】依題意得64=%，。8=d，

又名>0,所以的=8.

故選：C.

2、（2023?吉林長春?統(tǒng)考三模）已知等比數(shù)列｛%｝的公比為4（q>0且#1）,若4+84=%+8%,則4

的值為（）

11

A.-B.-C.2D.4

42

【答案】C

【解析】已知等比數(shù)列｛見｝的公比為q（4>。且4/1）,若4+8弓=%+8%，

則小一%=8%-跖，所以"二幺=以包?=“3=8,解得q=2.

%—4%—q

故選：C.

3、（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測）傳說國際象棋發(fā)明于古印度，為了獎賞發(fā)明者，古印度國王讓發(fā)明者自

己提出要求，發(fā)明者希望國王讓人在他發(fā)明的國際象棋棋盤上放些麥粒，規(guī)則為：第一個格子放一粒，第

一個格子放兩粒，第三個格子放四粒，第四個格子放八?！来艘?guī)律，放滿棋盤的64個格子所需小麥的

總重量大約為（）噸.（1kg麥子大約20000粒，lg2=0.3）

A.105B.IO7C.1012D.IO15

【答案】C

i_o64

【解析】64個格子放滿麥粒共需匕/=23-1,

1-2

1kg麥子大約20000粒，1噸麥子大約2x107粒，

,64[,64,63,63

市Q63"

故選：C.

4、（2022?廣東潮州?高三期末）等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S〃，若S]9=19，則/+%7的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因?yàn)閹?19（%；-）=19（%；%）=19,

所以見+%,=-.

故選：B.

5、（2022?江蘇常州期中）已知數(shù)列｛a〃｝的前w項(xiàng)和為S”為=1，Sn=2an+1,則方=

27-9〃27r9

AA--4B-4C.yD.g

【答案】D

【解析】法一：由題意可知，當(dāng)n》2時，S“T=2%,兩式相減可得，an=S?-S?-1=2a?+1-2a?,即3a?

=2%+〃所以數(shù)列｛④｝為等比數(shù)列，其公比為|,首項(xiàng)為02=/則a4=以（|）2='1,故答案選D.

1]33

法二：因?yàn)椤?=1,S"=2即+1，所以51=2〃2=。1=1，所以〃2=2，所以S2=2〃3=l+]=2，所以〃3=不所

13Q

以S3=2〃4=1+5+Z，所以“4=0，故答案選D

Z4o

6、（2023?湖南郴州?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)〃句=依+1詞^^）的圖象在點(diǎn)],/口力處的切線的斜率為6，

則數(shù)列的前〃項(xiàng)和S“為（）

13H2+5〃n3/+5n

A.——B.r------------

n+12（〃+l）（〃+2）4（n+l）8（〃+l）（〃+2）

【答案】C

【解析】

1

所以——

4A+1

所以s.mn

4（〃+l）

故選：C.

7、（2023?廣東揭陽??？寄M預(yù)測）等差數(shù)列｛%｝滿足：詠<-1,且它的前〃項(xiàng)和S“有最大值，則（）

“2020

A.S2Q19是S"中最大值，且使S">。的〃的最大值為2019

B.邑必是S“中最大值，且使5.＞。的”的最大值為2020

C.邑必是S“中最大值，且使S“＞。的〃的最大值為4039

D.邑02。是S,中最大值，且使S“＞。的"的最大值為4040

【答案】C

【解析Jill＜-1及.S”有最大值可知，02020＞。＞a2021且。2020+。2021〈。，^2020最大;

。2020

又邑3”竣?39=40395。，5="魚404。=—上404。＜。，

.?.使邑＞0的"的最大值為4039.

故選：C

8、（2023?遼寧?大連二十四中校聯(lián)考三模）線性分形又稱為自相似分形，其圖形的結(jié)構(gòu)在幾何變換下具有

不變性，通過不斷迭代生成無限精細(xì)的結(jié)構(gòu).一個正六邊形的線性分形圖如下圖所示，若圖1中正六邊形的

邊長為1,圖〃中正六邊形的個數(shù)記為所有正六邊形的周長之和、面積之和分別記為C”,5"，其中圖”中

每個正六邊形的邊長是圖”-1中每個正六邊形邊長的;，則下列說法正確的是（）

C.存在正數(shù)加，使得C“V”恒成立D.S?=^xf2Y

【答案】D

【解析】A選項(xiàng)，圖1中正六邊形的個數(shù)為1,圖2中正六邊形的個數(shù)為7,

由題意得｛%｝為公比為7的等比數(shù)列，所以4=7"-\故&=73=343,A錯誤;

2

7工98.、口

B選項(xiàng)，由題意知G=6,C=-X6=14,Gx6=—，B%日慶;

23

7n-1

C選項(xiàng)，｛「｝為等比數(shù)列，公比為:，首項(xiàng)為6,故c“=6x7

3

n—1

因?yàn)樗訡〃=6x[g7I單調(diào)遞增，不存在正數(shù)加，使得C,v冽恒成立，C錯誤;

3

D選項(xiàng)，分析可得，圖〃中的小正六邊形的個數(shù)為4=7啟個，每個小正六邊形的邊長為故每個小

正六邊形的面積為GxqxQ12“:

貝ljSn=T-'x6x^x^|J"?=￥乂（?！?，D正確.

故選：D

二、多選題

9、（2022?江蘇蘇州市八校聯(lián)盟第一次適應(yīng)性檢測）已知公差不為0的等差數(shù)列｛a.｝的前n項(xiàng)和為S?,若a9

=S17,下列說法正確的是（）

A.。8=0B.。9=0C.ai=Si6D.Ss>5io

【答案】BC

17（的+〃17）17（2.）

【解析】由題意可知，在等差數(shù)列｛斯｝中，因?yàn)椤?9S17,所以〃9=—^~■絲=17〃9,則〃=90,

故選項(xiàng)B正確；因?yàn)楣頳70,所以。8/。，故選項(xiàng)A錯誤；因?yàn)椤?=0，所以“i+8d=0,所以g=—8d,

所以316=16勾+比分%=16（〃1+冬/）=16X（—；）d=—8d=oi，所以選項(xiàng)C正確；因?yàn)镾i。一S8=〃9+〃io=

〃io=ai+9d=—8d+9d=d,且d未知正負(fù)，所以選項(xiàng)D錯誤；綜上，答案選BC.

10、（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為S“，等比數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)積為小則下

列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列是等差數(shù)列B.數(shù)列｛S2“+2-$2“｝是等差數(shù)列

C.數(shù)列是等比數(shù)列D.數(shù)列｛炮（｝是等差數(shù)列

【答案】ABC

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則s“=嗎+皿二D1，二'=可+但也.

2n2

對于A選項(xiàng)，鼠L—2=q+㈣—4—=「.［2］為等差數(shù)歹Ij,A正確；

n+1n12122〔"J

a+

對于B選項(xiàng)，令g=^2n+2~S?n=2n+2。2〃+1，

,,Cn+1~Cn=（。2〃+4+。2〃+3）-（。2凡+2+。2〃+1）=4d,

故數(shù)列｛S2〃+2-S*｝是等差數(shù)列，B正確；

設(shè)等比數(shù)列｛bn｝的公比為q（q。0）,

對于C選項(xiàng)，令%=M=處+2,應(yīng)+1，則李=,'+4。"+3=/,故數(shù)列［冬1］是等比數(shù)列，c正確；

Z”2〃+2,”2〃+1IT2n

Ig7；-lg7；=lg^

對于D選項(xiàng),+1=Iga用不一定為常數(shù)，故數(shù)列｛1g?；｝不一定是等差數(shù)列，故D錯誤;

故選：ABC.

11、（2023?黑龍江?黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）已知是等比數(shù)列｛《｝的前”項(xiàng)和，且S"=2"”+a,則下列

說法正確的是（）

A.a-—2

B.a=—1

c213—8

c.〃]出+出％+?,,+]=———

c223-8

D.+〃2〃3H-----1■〃10〃11=---

【答案】AD

【解析】當(dāng)〃=1時，ai=Sl=4+a,

當(dāng)〃22時，an=S,-S?_x=2"M+。一（2"+a）=2".

因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，所以需滿足q=2、4+a,所以a=—2,an=T.

所以，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯誤;

因?yàn)?0=芝百=4,%%=2-8,

an+\an2.2

所以數(shù)列｛q+必,｝是以8為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)歹!J.

所以的2+。洶+…+須知=工^"=寸，所以C項(xiàng)錯誤，D項(xiàng)正確.

故選：AD.

12、（2023?黑龍江牡丹江?牡丹江市第三高級中學(xué)?？既＃┠纤螖?shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》

中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為"三角垛""三角垛"的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個

球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列｛%｝,且q=1,數(shù)列的前w項(xiàng)和為S“，則正確的選項(xiàng)是（）.

A.%=12B.an+l=an+n+l

C.S=----D.^100-4950

nn+1

【答案】BC

【解析】由題意可知：。2-。1=2,。3-。2=3,于是有&一。3=4,%-q-1=M〃〉2,〃GN*),

顯然可得：々4=4+4=10,4+1=?！?〃+1,因此選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)B正確；

n(n

當(dāng)〃22,〃wN時，=(〃〃—〃”_])+(4.1—2)+…+(%—%)+q=〃+(〃—1)+…+1=---

2

顯然4=1適合上式，%oo=I。?！?5050,因此選項(xiàng)D不正確；

1=1一2(11]

a”n(w+l)n+lj,

S“=2

故選:

三、填空題

13、（2023,湖南長沙?長沙市明德中學(xué)校考三模）中國古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載:

"三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)則此人在第六天行走的路程是

__________里（用數(shù)字作答）.

【答案】6

【解析】將這個人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列僅“｝,

?eN\?<6,其公比q=；,令數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S”，

貝|條=378,而SfLJ嚕,

1——“

2

因此粵=378,解得q=192,

所以此人在第六天行走的路程%=qx*=6（里）.

故答案為：6

14、（2023?江蘇徐州?徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎?xiàng)等差數(shù)列｛%｝滿足%“=%,，且%是。3-3與做的

等比中項(xiàng)，則｛%｝的前”項(xiàng)和S“=.

【答案】:”（〃+1）

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,.?.%=%+（〃—l）d,

所以為〃=q+（3〃T）d

又因?yàn)?。〃=即3弓+3（〃-l）d=%+（3〃-l）d

2

可得q=d,又由Q-3）0s=?4即（q+2d-3）（q+7d）=（q+3J）

即（3d—3）（d+7d）=（d+3d了即24/—24d=16屋且正項(xiàng)等差數(shù)列｛%｝,即dw0

解得d=3所以S〃=nax--^—=g+1）

故答案為：-n（?+l）.

15、（2022?江蘇蘇州?高三期末）記數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)積為北，寫出一個同時滿足①②的數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式：

an=?

①｛%｝是遞增的等比數(shù)列；②心=〃.

【答案】2"一（答案不唯一）

【解析】4=（，二。4。5。6=1，二45=1.

不妨設(shè)4=2,則4=:，%=\X2"T=2"-5.

故答案為：2"巧（答案不唯一）

16、（2022,山東臨沂?高三期末）設(shè)數(shù)列｛%｝滿足4=1,4=3且a“+2-2a.+i+a,=2,則4-%=，數(shù)

列｛%｝的通項(xiàng)凡=.

【答案】6n2-n+l

【解析】由題意,數(shù)列｛%｝滿足“,+2-2%+a,=2,

設(shè)2=%+L%,，貝憫+「2=2,且々=3-1=2,所以數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，

所以2=2"，gpan+l-an=2n,

所以%—%=&=6,

當(dāng)“22時，

可得=%+（a,_q）+（/一a,）+…+（%—=]+2x[1+2+3+,1,+（/?-1）]="一-”+1,

其中q=1也滿足aa=n2-n+l,

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4="2-〃+1.

故答案為：6；n2—n+1.

四、解答題

17、（2023.江蘇泰州.統(tǒng)考一模）在①耳，邑,S’成等比數(shù)列，②g=2%+2,③=邑+與-2這三個條件中

任選兩個，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.

已知數(shù)列｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前”項(xiàng)和為S“，且滿足,.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

1111

（2）求----1111.

C^2a2^^3CI3^^4

注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案計分.

【解析】（1）若選①②，設(shè)｛%｝公差為d,

%（4%+6d）=（24+d）

q+3d—2（q+d）+2

解得：q=2,d=4,

/.an=2+4（n—l）=4n—2；

選①③，設(shè)｛叫公差為d,

q（4q+6d）=（2q+d）2

8q+28d-4q+6d+7q+21d—2

解得：4=2,d=4,

:.an=2+4（〃-1）=4九一2；

選②③，設(shè)｛叫公差為d,

4+3d=2（q+d）+2

8q+28d-4q+6d+7a1+2Id—2

解得：q=2,d=4,

/.ctn-2+4（〃—1）—4〃—2；

i二ij1______）

（2）ana〃+i（4〃—2）（4〃+2）4（2n-l）（2n+l）812〃—12〃+J'

111]_1—

-----------1--------------F???H---------------—F,??+

4]%42a38335

Ui___iv?

虱2n+lJ4（2n+l）

18、（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛4“｝的前〃項(xiàng)和為S.，且S,=/+

⑴證明：數(shù)列代｝是等差數(shù)列;

（2）設(shè)數(shù)列｛。｝的前〃項(xiàng)積為T，若Tn=S；,求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式.

【解析】（1）當(dāng)"=1時,%=U+—，。；=2

2ax

當(dāng),0葉C_s-sn-t,1a?”S"+E1

當(dāng)n>2時，-n-+7—--,所以—

2七7"-12

所以S"2-S,-：=2（常數(shù)）,

故數(shù)列｛$：｝是以S；=2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

（2）由（1）知，S；=2+（〃-1）2=2〃，得北=2〃，

1T2Tln

當(dāng)n>2時，"〃=li=T7n=7，

Tn-i2（〃—1）n-1

當(dāng)力=1時，b]=T[=2,不符合上式，

2,〃=1

b,尸

—,n>2

故.n-1

19、（2023,廣東惠州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)列｛。"｝中，6=2,an+1=2a?-l.

⑴求證：數(shù)列｛q-1｝是等比數(shù)列;

（2）若么=an+n,求數(shù)列出｝的前n項(xiàng)和Tn.

【解析】（1）因?yàn)?。?2。,一1,所以2+1-1=2（40-1）,

因?yàn)椤?=2,則。2=2%—1=3,a3=22—1=5,L,

以此類推可知，對任意的〃EN*,凡22,所以，幺二=2,

?！ㄒ?

又4-1=1,所以數(shù)列｛凡-1｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

（2）由（1）可知a"一1=27，“eN*,所以"=%+〃=2"—+〃+1,

又由題知（=4+8+4+…+d=（2°+2）+（）+3）+（22+4）+…+（2"T+〃+l）

02n1W24W+1

=（2+2'+2+---+2-）+[2+3+4+---+（ra+l）]=jp^+^2^

2

=y+n+3n_1

2

20、（2023?江蘇南京?南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）己知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=2,S4=26.正

項(xiàng)等比數(shù)列出｝中，4=2,d+4=12.

⑴求｛%｝與也｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛。也｝的前，項(xiàng)和I,.

【解析】（1）等差數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和為S",4=2,$4=26,設(shè)公差為d

4x3

所以4x2+=d=26,解得d=3

所以+（“_l）d=2+3（“_l）=3〃_]

正項(xiàng)等比數(shù)列也｝中，4=2,b2+b3=n,設(shè)公比為q

所以2（q+q2）=12,所以/+?_6=0

解得q=2,或4=-3（舍去）

所以2=2"

（2）由（1）知：anbn=（3zz—1）2"

所以7；=2x2+5x2?+…+（3〃一1）2”

23,,,,+1

27；!=2x2+5x2+---（3n-4）2+（3n-l）2

兩式相減得：—（=2x21+3x22+3x23+…+3x2"—（3〃一1）2日

3x22x（l-2n'｝

=2x21+-------力——-（3〃-1）2n+1=（4-3?）2"+1-8

7；=（3n-4）2"+1+8

21、（2022?江蘇南京市金陵中學(xué)高三10月月考）已知等差數(shù)列僅"｝前"項(xiàng)和為S"（〃'N+）,數(shù)列也,｝是等

比數(shù)列，。1=3,'=1,b2+S2=10a5—2b2=a3

（1）求數(shù)列｛4｝和｛4｝的通項(xiàng)公式；

—〃為奇數(shù)

（2）若%=S「，設(shè)數(shù)列｛qj的前九項(xiàng)和為7；,求凡.

4，”為偶數(shù)

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列仍“｝的公比為4（qwO）,

:q=3,4=1,/?2+52=10,a5—2b2=a3,

夕+3+3+d=10

3+4d—2夕=3+2d

-1

：.d=2,^=2,：.an=2n+l,bn=2"；

,,cn(3+2n+1)/小、

(z2x)由(z1x)知，S---------------=n(n+2),

2

-^—=--—L,"為奇數(shù)

cn=<n(n+2)nn+2,

2"L”為偶數(shù)

7；,--