高等流體力學(xué)-習(xí)題集

高等流體力學(xué)

一、流體的運(yùn)動用

b+cb—c.b+cb—c

x=a,y=4-,z=ec------e2~

表示，求速度的拉格朗日描述與歐拉描述。

解：由題可知速度分量為：

dx八

u=—=0

dt

dy匕+cb-c

v=—=et---e—=z

dt22

dzb+c,b-c

w=—=et---Fe—二y

dt22,

則速度的拉格朗日描述：

—tb—c「匕+cb—c\

e匕——eL——+ec——

2t22/

速度的歐拉描述：V=(O,z,y)

二、速度場由卜=(/［，丫己⑼給出，當(dāng)￡=1時(shí)求質(zhì)點(diǎn)p(l,3,2)的速度及

加速度。

解：

U=X2t4-

2

由方=可得速度分量式為：v=yt

=XZ

則當(dāng)U7時(shí)，質(zhì)點(diǎn)p(132)的速度為：方=(132)；

du,du,du.du

CL〃W—

X=TdTt+7d-x1-U-d-ybdz

dv,dv,dv,dv

加速度為

沙dtoxdydz

dw,dw,dw.dw

a=—+u—+v—+w—

zdtdxdydz

一共一*一頁，第一*一頁

222

ax=x+xt-2xt+yt-0+%z-0

222

ay=2yt+xtB0+yt-t+xz-0

2?2

{az=0+xtz+yt-0+xz-x

(CLX=14-2+0+0=3

==6+04-3+0=8,即加速度為：a=

(ciz=0+2+0+2=4

(394)

三、速度場由方=(仇％+/邛丫-產(chǎn),0)給出，求速度及加速度的拉格朗日

表不。

解：一

由題可得速度場U=(%%w)=(a%+t2,3y-

u=—dx=ax+t2(-d——xax=2

dtdt

dy

t2；0),則由〈v=祟=Sy_/得＜-ay=-t2解

dt9

dz八

IV=—=0—=0

dtdt

2

x—ceat-t2

raaza3

微分方程得+#+舒+臺即為流體質(zhì)

y=c2e^

Z=C3

點(diǎn)運(yùn)動的拉格朗日表達(dá)式，其中CL②。3為任意常數(shù)。

/3%rf2,2

(u=—=caeaL——t——r

Idl1a

則

"祟=C2￡M—/一后9

w=c3

一共一*一頁，第一*一頁

d2x22

=ca￡eaccct——

dx2Aa

d2y=c/?2e^-1

dy22

Iaz=0

at

得速度的拉格朗日表達(dá)式為：V=^C1ae-lt

總。2陞例謁?看,C3)

2at

得加速度的拉格朗日表達(dá)式為：7=^C1ae

3c2儼幽一50)

四、已知質(zhì)點(diǎn)的位置表示如下：

x=a,y=b+a(e~2t—]),z=c+a(e-3t—1)

求：(1)速度的歐拉表示；

(2)加速度的歐拉表示及拉格朗日表示，并分別求(x,y,z)=(LO,O)及

(Q,瓦c)=(1,0,0)的值;

(3)過點(diǎn)(1,0,0)的流線及「=0在(Q,4c)=(1,1,1)這一質(zhì)點(diǎn)的跡線；

(4)散度、旋度及渦線；

(5)應(yīng)變率張量及旋轉(zhuǎn)張量。

解：

x=aa=x

由y=b+a(e-2t-1)得b=y-x(e~2t-1)

、z=c+a(e~3t—1)[c=z—x^e~3t-1)

由題得《u=萼=—2ae~2t=—2xe~2t，則速度的

ot

w=萼=—3ae~3t=—3xe~3t

Idt

歐拉表示為V=(0,—2xe~2t,—3xe-3t)

⑵加速度分量為

一共一*一頁，第一*一頁

du.du.du,du八

=—+u—+v—+w—=0

dtdxdydz

dv.dv.dv,dv一2t一2t

a=—+u—+v—+w—=4xeA"=4aeA"

yvdtoxoyoz

dw,dw,dw,dw小c

a=—+u—+v—+w—=9xe=9ae”

<z7dtdxdydz

則加速度的歐拉表示為五=(0,4xe—2t,9xe-3t)；

則加速度的拉格朗日表示為五=

9ae-3t)；

當(dāng)(x*z)=(1。0)及(a,b,c)=(1,0,0)時(shí)，a=

(0,4?-2\9?-3￡)

(3)流線微分方程式為生=包=竺，因?yàn)椤?0所以,

UVW

流線微分方程轉(zhuǎn)化為:號=二餐，消去中間變

-2xezc-3xe3c

f

量積分得y=|ez+又因?yàn)閤=a9當(dāng)x=l,y=

z=0時(shí)，得到0=0,a=19即過點(diǎn)(1,0,0)的流線為

(x=1

[y=|e「z

x=a

y=b+Q—),將￡=0,

{z=c+a(e-3t—1)

x=1

@b,c)=(LL1)代入得質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為jy

_________________________Lz

(4)散度diuV=黑+*+%=0+0+0=0

dxoyoz

旋度丁”=偌-豺+線-豹，+史

一共一*一頁，第一*一頁

知k=Oi+3e~3tjH——2e~2tk

渦線微分方程畸d畸又因?yàn)轭?0,

微分方程轉(zhuǎn)化為告=普x=const,即

3_七.

渦線方程為y=——ez+。2

x=c3

Vu

⑸速度梯度W=Vv

.Vw.

rdududu-\

dxdydz

00o-

dvdvdv

2t

dxdydz=-2e~00,

dwdwdw.33-3to0.

-dxdydz-

，應(yīng)變率張量

3

u—e——e

2

—e-2t00

_九一3七o0

2

工旋轉(zhuǎn)張量

一共一*一頁，第一*一頁

五、已知拉格朗日描述為

(1)問運(yùn)動是否定常，是否是不可壓縮流體，是否為無旋流場;

(2)求t=l時(shí)在點(diǎn)(1,1,1)的加速度；

(3)求過點(diǎn)(1,1,1)的流線。

/trr*

六、已知〃=x+l,v=x,w=09求

(1)速度的拉格朗日描述；

(2)質(zhì)點(diǎn)加速度；

(3)散度及旋度；運(yùn)動是否有旋；流體是否不可壓;

(4)跡線及流線。

解：

(1)由〃=笑=%+1得％=Ci--1,又由U=?=

otot

%=Ci3—1得丫=qe*—t+C2,由w=q=0得

z=c3o再由初始條件t=0,(x,y,z)=(見瓦c)得

cr=a+1,c2=b-a-1,c3=c,則速度的拉格朗

一共一*一頁，第一*一頁

(〃=(a+l)ef

日描述為\=(a+l)ef—1

(w=0

(du

a=—=e

xrdt

質(zhì)點(diǎn)加速度為4的=*=/

⑵，ut

dw

1&=旋=0n

散度divV=^+M+要=l+0+0=l

⑶oxoyoz

旋度rotv=饋-知+繪-豹，+

(dv_du\

kIk

\3xdyj

因?yàn)樾炔粸?,故為有旋運(yùn)動

因?yàn)樯⒍炔粸?,故流體為可壓縮流體

(4)由(1)可得跡線方程為

x=(a+—1

y=(a+1)+—t+b—a—

z=c

流線微分方程把=也=絲，又因?yàn)閣=0,所以

uVw

流線微分方程轉(zhuǎn)化為黑一,解之得y=%-

ln(x+1)+c4,由初始條件t=0,(%z)=

(a,b,c)得C4=b—a+ln(a+1)

所以流線方程為

y=x—In(%+1)+b—Q+ln(a+1)

、z=c

七、一水箱尺寸如圖所示，箱外大氣壓Pag=1.013x105Pa,計(jì)算下列

兩種情況下地窗口AB兩側(cè)所受的流體合力。(a)水面上方氣體壓力p<=

一共一*一頁，第一*一頁

5

Patmi(b)pA=1.255x10Pa

解：

(a)不妨設(shè)AB兩側(cè)所受的流體合力為心

貝(jFa=y水&A=9807x(3+|x1.5x

sin30°)x(1.5x3)=1.489x10$N

s

(b)?:pA=1.255x10Pa>patm=1-013x

105Pa,需重新設(shè)立水平面，不妨設(shè)新的水平面距

離原先水平面為h,由PA=Pag+Y水八得八=

2.468m

貝(jFb=y水(h+hc)A=9807x(3+2.468+

|x1.5xsin30°)x(1.5x3)=2.579x105/V

八、如圖的微測壓計(jì)用來測量兩容器E和B中的氣體壓強(qiáng)差。試用

6,d,pi，P2表示PE?PB,并說明當(dāng)橫截面積a?A,而且兩種溶液密度，pi和P2相

近時(shí)，很小的PE?PB就能引起很大的液面高度差d,從而提高測量精度。

解:

一共一*一頁，第一*一頁

根據(jù)流體靜力學(xué)規(guī)律知PE+PI6I=PB+

Pig(h-d+5)+p2gd,

即PE-PB=P19S+(p2-Pi)gd

又由圖可知，A8=adi所以6=

A

又有題可知a?A,即5=三八3：.PE-PB=

3-pi)gd

?△_PE-PB

一(P2-Pi)g

故當(dāng)兩種兩種溶液密度相近時(shí)，很小的4-PB

就能引起河很大的液面高度差do

九、圖為裝在做水平勻加速運(yùn)動物體上的u型管式加速度測量器，已測

得兩管耶中得液面差h=4cm,兩管相距L=20cm,求該物體加速度的大小和方

向。

解：

選坐標(biāo)系。孫,。點(diǎn)置于U型管左側(cè)的自由液面

上，。%軸向右，Oy軸向上。

質(zhì)量力人=-a,fy=-g,將其代入dp=

p(fxdx+與dy)并積分得p=-p^ax+gy)+c

由邊界條件1=0,y=0,p=。得c=0o另外由

一共一*一頁，第一*一頁

x=L,y=h,p=。得a=一華

綜上所得可知該物體加速度的大小為半，方向往

L/

左。

十、如圖一圓柱形容器，其頂蓋中心裝有一敞口的測壓器，容器裝滿水,

測壓管中的水面比頂蓋高h(yuǎn),圓柱形容器直徑為D,當(dāng)它繞其豎直軸以角速

度。旋轉(zhuǎn)時(shí)，頂蓋受到多大的液體向上的總壓力？

解：_

如圖建立Oxyz坐標(biāo)系，對dp=p^fxdx+

22

fydy+fzdz)=p{a)xdx+a)ydy—gdz)積分

得p=p(亭—gz)+c,則有邊界調(diào)節(jié)》=

0,y=0,z=h,p=。得c=pgh,即得壓強(qiáng)的公

式為p=(察_z+故在頂蓋處的壓強(qiáng)為

p=pg則頂蓋受到的向上的力為

一共一*一頁，第一*一頁

F=pdA

D

2

(a)2r

+h2nrdr

P9\f2g

o

npa)2D4TcpghD2

64+4~~

十一、一個(gè)充滿水的密閉容器，以等角速度3繞一水平軸旋轉(zhuǎn)。試證明它

的等壓面為圓柱面，且該圓柱面的軸線平行于轉(zhuǎn)動軸，并比轉(zhuǎn)動軸嗚。

解：

_以Z軸為水平軸，y軸垂直向上建立空間直角坐

標(biāo)系。

2

對dp=p（fxdx+fydy+fzdz）=p｛（x）xdx+

32ydy-gdy）,又因?yàn)榈葔好鎑p=0,令dp=0再對

22

上式積分得"六一gy=。，又；「二。時(shí)，y=o得c=o,

22

于是等壓面方程為氣-=gy

?=gy轉(zhuǎn)化為竺用Ugy,即為/+

22

（y-青）=（亳），該式表明等壓面為圓柱面，半徑

為W，中心位于（0，.），即等壓面的中心軸比容器

的鬟動軸高號3

3乙

十二、試求圖中窗口所受內(nèi)外流體作用力合力的大小和位置，窗口外為

一共一*一頁，第一*一頁

大氣。

解：

窗口所受合力為F=Pc4=(690000+9807X

1.5—9807x3-9807x1.5-101300)x2.5x3=

41.95x105/V

十三、如圖所示圓柱型堰，直徑2R=3m,長L=6m,試求兩側(cè)靜止流體

解:

(1)堰的左側(cè)

水平方向分力的大?。海?y^O￡=9807x

3

-X3X6=264789N

2

鉛垂方向分力的大小：F=y^D2L=9807%

LJyO

-x32x6-207965/V

8

⑵堰的右側(cè)

一共一*一頁，第一*一頁

水平方向分力的大?。篎Rx=Y^H2L=9807x

33

-4x-2x6=66197.25N

2

鉛垂方向分力的大?。篎Ry=Y^DL=S807x

2

-8x3x6=103982.5N

故堰上總壓力水平分力的大小為

FX=FLX-FRX=198591.75N

鉛垂分力的大小為

%=/0+尸咫=311947.5N

故總壓力為

F=J芻2+%2=369797.1416N

0=tan-1￡=57.52°

Fx

所以合力的方向與%軸成0角。合力的作用線通過

（招y）點(diǎn)：%=-Rxcos57.52°=-0.806m,y=R—

Rxsin57.52=0.235m

十四、與水平面成45°的斜壁上有一半徑為R的圓孔，孔心的深度為H,

現(xiàn)用以半球面堵住孔，如圖所示，試求半球面所受液體壓強(qiáng)合力F的大小和

方向（不計(jì)大氣壓強(qiáng)的作用）

解：半球面的水平投影是橢圓:

一共一*一頁，第一*一頁

在此處鍵入公式。

十五、曲面形狀為3/4個(gè)圓柱，半徑為r=0.8m,寬度為1m,其中心線沿

水平方向，位于水面下h=2.4m深處，求曲面所受液體總壓力。

9、曲面形狀為3/4個(gè)圓柱，半徑r=1m,寬度為B=1m,位于水面下力=

3m深處，求曲面所受的液體總壓力。

解?根據(jù)對稱性，be和cd曲面受水平分力相

抵消，整個(gè)曲面abed受水平分力大小等于

ab曲面所受的水平分力，即：

4=應(yīng)4=/|0-；,夕

（1

=9800x3-X1X1

9

一/

=24500（N）―?

整個(gè)曲面所受垂直分力：

P.-Yh-r-B+-7D:B|

<4）

=9800z|3xlxl+-^xl2xl

I4

（）

=52479N|19

???凡="；”；=V245002+524792=57916.3（N）

尸怠過圓柱軸心且與垂直線的夾角為:

八巴24500~八

6=arctan—=arctan--------=25.02

P.52479

十六、已知平面流動的速度分布為〃=%?+2%-6y,u=-2xy-2yo試

確定流動：（1）是否滿足連續(xù)性方程？（2）是否有旋？（3）如存在速度勢

和流函數(shù)，求出（p和2。

一共一*一頁，第一*一頁

<▼TMT?

解（1）由dje是否為零，得

案+老=?2r卜2~匕-2=0

故滿是連續(xù)性方程C

⑵由一維流動的m忖,得

<?7>r）U-

石一石-2v-（-4）#O

故流動右旋。

心）此流場為不可用縮流動的有加:維流動，存在流函數(shù)我而速度勢夕不存在，

CA

得

—u=Jr24—4v

3、“

將上式根分，得Q=/y+2.。-2y2+JJ）

空=—u=2ry+2y

r）.r

2jy+2y+fr<T）=2xy+2y

/'（I）=0,/（,r）=C

故3=產(chǎn)了+$—2十（常數(shù)可以作為零）

十七、如圖所示，水從密閉容器中恒定流出，經(jīng)一變截面管而流入大氣

222

中，已知H=5m,p=0.5at,A}=/l3=50cm,A2=100cm,A4=25cmo若不計(jì)

流動損失，試求：（1）各截面上的流速、流經(jīng)管路的體積流量；（2）各截面

上的總水頭。（lat=98000Pa）

一共一*一頁，第一*一頁

即試=⑷_-

-2X9.807=此

投據(jù)連續(xù)性原理,由于兒=4

故V1=

乂由尸A?V|—A?u

故5?再“二死X"=7m*

由于八八、?*As

故RN和■福XM-3.5m/?

流經(jīng)管路的體積流量

Q-A,5=25X10'XH=0.035tn'/s

（2）以營口為基準(zhǔn).該處總水頭等于10E.由于不計(jì)都性損失.因此各截面上總

水頭均等于10me

十八、已知流動的速度分布為卜其中〃為常數(shù)。

試求流

v=ax（y-x~）

線方程；（2）判斷濕線是否有旋，若無旋，則求速度勢0。

解對于二維流動的流線微分方程為

蟲?依

—.rJ）ux（y-x1）

消去u（V-—）?得rdr-ydy

將卜式根分，得#="p+c

或/一丁=C

若C取一系列不同的數(shù)值，可得到流線族一雙

曲線族.它m的漸近找為）=4如習(xí)題3.22圖所示.

有關(guān)微線的指向,可由血速分布來確定：

{u=uyi.yr-jr）

Iv=arfy2—T2）

時(shí)于）>0,當(dāng)1了I>|T|時(shí),“>0

當(dāng)IyKIx|時(shí),“VO

對于y<0?當(dāng)IJ'I>IrI時(shí),“V。

當(dāng)IAIV|『I時(shí),

?29?

一共一*一頁，第一*一頁

據(jù)此可畫出流線的方向.

判別流動是否有旋，只要判別rot號是否為零即行.

殳一陰=-一.r)]

J/dyrfx<fy

=u(y2-M)—2ur?—一，)一2uy2

=；-2uz2—2ay^H0

所以流動是有旋的.不存在速度淤.

十九設(shè)一虹吸管。=2〃7,〃=6帆，管直徑d=15皿。試求：（1）管內(nèi)的流

量；（2）管內(nèi)最高點(diǎn)S的壓強(qiáng)。

碑0）以水觸底由為單準(zhǔn),對自由液面1T上的

點(diǎn)和虹吸管下縮出LI處2-2建立1-2灌線伯努利

方程.剜

&+y+2/;，+>2R

箕中tj=&+》?

p、=Pi=0.

Ui=0

則S=及處="X9.81X6=10.85m/\

管內(nèi)體積潦0Q-S號才?10.85X彳X0.15r-0.）92m"\

44

（?）以管口2-2處為基淮.對自由港面1?I處及管內(nèi)最高點(diǎn)S列l(wèi)?l—S端戰(zhàn)

伯努利方程.明

八十鄉(xiāng)十方=啊十夕+亞

其中引=力.0=&+".

Pi-0.vi=0.

t\?*iisx#10.85m/H

即用=/{—?—汨*9807X（-2-J：?蔡］7&46kPa

故S點(diǎn)的真空性強(qiáng)

A.-78.46kPa

（3）當(dāng)A不變?S點(diǎn)“增大時(shí)，當(dāng)S點(diǎn)的壓強(qiáng)網(wǎng)等于水的汽化樂強(qiáng)時(shí),此時(shí)S點(diǎn)

發(fā)生水的汽化,管內(nèi)的流動卬中止.宣亮可知，在常溫下（】5t）水的汽化壓售為

1697PM絕對壓強(qiáng)）,以管口2?2為基松，列出5-2-2點(diǎn)的伯努利方程，

拈十起十達(dá)-2.+曲+武

sr2g九十y七房

其中Zx=h4-<4??S=0

Vsrs

八一1697Pa,0：=10J325Pa（大氣絕對壓聾）

即a-紇公-h?=劃嗑J颯-6=10.16-6=4.16m

一共一*一頁,第一*一頁

二十、在相距l(xiāng).2mm的兩平行板之間充有某種黏性液體，當(dāng)其中一板以

?s的速度相對于另一板作等速移動時(shí)，作用于板上的切應(yīng)力為3500Pao

試求該液體的黏度。

[1.11]在相距1mm的兩平否平板之間充有某種黏性液體，當(dāng)其中一板以l.2m/s的速度用

對于另一板作等速移動時(shí)，作用于板上的切應(yīng)力為3500Pa,試求該液體的黏度.

解：由力，

dy1x10-，

〃?r------3500x--------------■2.9I7Pa?s

二十一、無粘性不可壓縮流體作平面無旋流動，若流場的復(fù)勢是

卬=6(2>0),在原點(diǎn)處的壓強(qiáng)為〃。，試求：上半平面的流動圖案。

【例1】平面不可壓縮流體勢流，若流場的復(fù)勢是

卬二代2(〃>0)，在原點(diǎn)處壓強(qiáng)為Po，試求：

(D上半平面的速度分布；

(2)繪制上半平面的流線圖；

(3)沿x軸的壓強(qiáng)分布.

--?J

(2)由復(fù)勢

W=az2=a(x+iy)2=a(x2-y2)+i2axy