第2課時用樣本估計總體[考試要求]1.會用統(tǒng)計圖表對總體進(jìn)行估計，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2.能用數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.3.掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本方差．1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)取最高的小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分，分界線與x軸交點的橫坐標(biāo)平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和百分位數(shù)一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值對于數(shù)據(jù)組[a，b)，a以下的數(shù)據(jù)比例為m%，b以下的數(shù)據(jù)比例為n%，若m≤p<n，則第p百分位數(shù)為a＋(b－a)·eq\f(p－m,n－m)2．計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第2步，計算i＝n×p%；第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．3．四分位數(shù)(1)第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)，第75百分位數(shù)這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．(2)第25百分位數(shù)又稱第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等；第75百分位數(shù)又稱第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等．4.總體離散程度的估計(1)方差和標(biāo)準(zhǔn)差假設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，用eq\x\to(x)表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，稱eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2為這組數(shù)據(jù)的方差，也可以寫成eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)xeq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2的形式；稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．(2)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差①一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為eq\x\to(Y)，則總體方差S2＝.②加權(quán)式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,k,)fi(Yi－eq\x\to(Y))2.總體標(biāo)準(zhǔn)差：S＝eq\r(S2).(3)樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為eq\x\to(y)，則稱s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2為樣本方差，s＝eq\r(s2)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．[常用結(jié)論]平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\x\to(x)＋a.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．(√)(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中.(×)(3)任何一組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)與中位數(shù)的值都是相同的．(√)二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第二冊P206探究改編)平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)，在如圖兩種分布形態(tài)中，a，b，c，d分別對應(yīng)平均數(shù)和中位數(shù)之一，則可能的對應(yīng)關(guān)系是()A．a(chǎn)為中位數(shù)，b為平均數(shù)，c為平均數(shù)，d為中位數(shù)B．a(chǎn)為平均數(shù)，b為中位數(shù)，c為平均數(shù)，d為中位數(shù)C．a(chǎn)為中位數(shù)，b為平均數(shù)，c為中位數(shù)，d為平均數(shù)D．a(chǎn)為平均數(shù)，b為中位數(shù)，c為中位數(shù)，d為平均數(shù)A[在頻率分布直方圖中，中位數(shù)兩側(cè)小矩形的面積和相等，平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)乘以小矩形的面積之和近似代替，結(jié)合題圖得，a為中位數(shù)，b為平均數(shù)，c為平均數(shù)，d為中位數(shù)．故選A.]2．(人教A版必修第二冊P204練習(xí)T2改編)某車間12名工人一天生產(chǎn)某產(chǎn)品的質(zhì)量(單位：kg)分別為13.8,13,13.5,15.7,13.6，14.8，14,14.6,15,15.2，15.8,15.4，則所給數(shù)據(jù)的第25,50,75百分位數(shù)分別是________.13.7,14.7,15.3[將12個數(shù)據(jù)按從小到大排序：13，13.5，13.6,13.8,14,14.6，14.8，15,15.2,15.4，15.7，15.8.由i＝12×25%＝3，得所給數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第3個數(shù)據(jù)與第4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即eq\f(13.6＋13.8,2)＝13.7；由i＝12×50%＝6，得所給數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)與第7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即eq\f(14.6＋14.8,2)＝14.7；由i＝12×75%＝9，得所給數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第9個數(shù)據(jù)和第10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即eq\f(15.2＋15.4,2)＝15.3.]3．(人教A版必修第二冊P215練習(xí)T2改編)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是28，方差是4，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上20，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是________.484[設(shè)該組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，則新數(shù)據(jù)為x1＋20，x2＋20，…，xn＋20，記新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)′，方差為s′2，因為eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝28，所以eq\x\to(x)′＝eq\f(x1＋20＋x2＋20＋…＋xn＋20,n)＝20＋28＝48.因為s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，所以s′2＝eq\f(1,n){[x1＋20－(eq\x\to(x)＋20)]2＋[x2＋20－(eq\x\to(x)＋20)]2＋…＋[xn＋20－(eq\x\to(x)＋20)]2}＝s2＝4.]4．(人教A版必修第二冊P198練習(xí)T1改編)為了了解全民對足球的熱愛程度，組委會在某場比賽結(jié)束后，隨機(jī)抽取了1000名觀眾進(jìn)行對足球“喜愛度”的調(diào)查評分，將得到的分?jǐn)?shù)分成6段：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．圖中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，若已知這1000名觀眾評分的中位數(shù)估計值為87.5，則m＝________.0.02[由題可知，5(m＋0.025＋0.03)＋(87.5－85)×0.05＝0.5，解得m＝0.02.]考點一總體百分位數(shù)的估計[典例1](1)某中學(xué)高一年級10位女生的身高(單位：cm)數(shù)據(jù)為148,155,157,159,162,163,164,165,170,172，則數(shù)據(jù)的第50,75百分位數(shù)分別為()A．162,165 B．162.5,164.5C．162,164.5 D．162.5,165(2)(2025·淄博模擬)將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績(成績均為整數(shù))整理后畫出頻率分布直方圖如圖，則此班的模擬考試成績的第80百分位數(shù)是________.(結(jié)果保留兩位小數(shù))(1)D(2)124.44[(1)由題意，該數(shù)據(jù)已經(jīng)從小到大排列，10×50%＝5，10×75%＝7.5，所以第50百分位數(shù)為eq\f(162＋163,2)＝162.5，第75百分位數(shù)為165.故選D.(2)由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在120分以下的學(xué)生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分?jǐn)?shù)在130分以下的學(xué)生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.0225)×10×100%＝92.5%，因此，第80百分位數(shù)一定位于[120,130)內(nèi)．因為120＋eq\f(0.80－0.70,0.925－0.70)×10≈124.44，所以此班的模擬考試成績的第80百分位數(shù)約為124.44.]1.計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟2．頻率分布直方圖中第p百分位數(shù)的計算(1)確定百分位數(shù)所在的區(qū)間[a，b)．(2)確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比分別為fa%，fb%，則第p百分位數(shù)為a＋eq\f(p%－fa%,fb%－fa%)×(b－a)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)某組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)該組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、第一四分位數(shù)分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是(注：同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值近似代替)()A．x3<x1<x2 B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2 D．x1<x2<x3(2)身體質(zhì)量指數(shù)，也就是BMI指數(shù)，簡稱體質(zhì)指數(shù)，是國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個標(biāo)準(zhǔn)．某校為了解該校學(xué)生的身體健康情況，從某班隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到這20名學(xué)生的BMI指數(shù)分別是15,15.3,15.6,15.9,16.2，16.6，17.5，17.8，18.2,18.7,19.3,19.5,20.3,21.1，21.5，22.7,22.9,23.1,23.4,23.5，則這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是________.(1)A(2)20.7[(1)由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為eq\f(2＋3,2)＝2.5，即x1＝2.5，平均數(shù)x2＝0.2×1.5＋0.24×2.5＋0.2×3.5＋0.16×4.5＋0.12×5.5＋0.04×6.5＋0.04×7.5＝3.54，顯然第一四分位數(shù)位于[2,3)之間，則0.2＋(x3－2)×0.24＝0.25，解得x3≈2.208，所以x3<x1<x2.故選A.(2)因為20×0.65＝13，所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是eq\f(20.3＋21.1,2)＝20.7.]考點二總體集中趨勢的估計[典例2]某社區(qū)組織了垃圾分類知識競賽活動，從所有參賽選手中隨機(jī)抽取20人，將他們的得分按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分組，繪成頻率分布直方圖(如圖)．(1)求x的值；(2)分別求出抽取的20人中得分落在[0,20)和[20,40)內(nèi)的人數(shù)；(3)估計所有參賽選手得分的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)．解：(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)得，(0.0050＋0.0075＋x＋0.0125＋0.0150)×20＝1，解得x＝0.0100.(2)由頻率分布直方圖可得，得分落在[0,20)內(nèi)的人數(shù)為20×0.0050×20＝2，得分落在[20,40)內(nèi)的人數(shù)為20×0.0075×20＝3.(3)估計所有參賽選手得分的平均數(shù)為0．0050×20×10＋0.0075×20×30＋0.0150×20×50＋0.0125×20×70＋0.0100×20×90＝56.設(shè)所有參賽選手得分的中位數(shù)為a，則0.0050×20＋0.0075×20＋0.0150×(a－40)＝0.5，解得a＝eq\f(170,3).所有參賽選手得分的眾數(shù)估計值為eq\f(40＋60,2)＝50.頻率分布直方圖的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo)．(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和相等．(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點值與對應(yīng)頻率之積的和．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)某射擊運(yùn)動員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)(環(huán)數(shù)為整數(shù))形成的一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為8，唯一的眾數(shù)為9，極差為3，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為()A．7.6 B．7.8C．8 D．8.2(2)(2024·新高考Ⅱ卷)某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位：kg)并整理得下表：畝產(chǎn)量[900，950)[950，1000)[1000，1050)[1050，1100)[1100，1150)[1150，1200)頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是()A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間(1)B(2)C[(2)對于A，根據(jù)題表可知，6＋12＋18＝36<50，所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg，故A錯誤；對于B，畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24＋10＝34，所以畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田的占比為eq\f(100－34,100)×100%＝66%，故B錯誤；對于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大應(yīng)小于1200－900＝300(kg)，最小應(yīng)大于1150－950＝200(kg)，故C正確；對于D，由題表得平均值為eq\f(1,100)×(6×925＋12×975＋18×1025＋30×1075＋24×1125＋10×1175)＝1067(kg)，故D錯誤．故選C.]考點三總體離散程度的估計[典例3](2023·全國乙卷)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1,2，…，10)，試驗結(jié)果如下：試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為eq\x\to(z)，樣本方差為s2.(1)求eq\x\to(z)，s2；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高如果，那么認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高.解：(1)由題意，求出zi的值如表所示，試驗序號i12345678910zi968－8151119182012則eq\x\to(z)＝eq\f(1,10)×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，s2＝eq\f(1,10)×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.(2)因為2eq\r(\f(s2,10))＝2eq\r(6.1)＝eq\r(24.4)，eq\x\to(z)＝11＝eq\r(121)>eq\r(24.4)，所以可認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高．標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度．標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。甗跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均數(shù)是5，方差是9，則xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5)＋xeq\o\al(2,6)＝()A．159 B．204C．231 D．636(2)已知某7個數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2.現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)，方差為s2，則()A．eq\x\to(x)＝4，s2<2 B．eq\x\to(x)＝4，s2>2C．eq\x\to(x)>4，s2<2 D．eq\x\to(x)>4，s2>2(1)B(2)A[(1)根據(jù)題意，數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，x6中，平均數(shù)eq\x\to(x)＝5，方差s2＝9，則s2＝eq\f(1,6)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5)＋xeq\o\al(2,6))－eq\x\to(x)2＝9，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5)＋xeq\o\al(2,6)＝204.故選B.(2)因為某7個數(shù)的平均數(shù)為4，所以這7個數(shù)的和為4×7＝28.因為加入一個新數(shù)據(jù)4，所以eq\x\to(x)＝eq\f(28＋4,8)＝4.又因為這7個數(shù)的方差為2，且加入一個新數(shù)據(jù)4，所以這8個數(shù)的方差s2＝eq\f(7×2＋4－42,8)＝eq\f(7,4)<2.故選A.]課時分層作業(yè)(七十)(本試卷共97分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．(2025·菏澤模擬)下面是某城市某日在不同觀測點對細(xì)顆粒物(PM2.5)的觀測值：396275268225168166176173188168141157若在此組數(shù)據(jù)中增加一個比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù)，下列數(shù)字特征沒有改變的是()A．極差 B．中位數(shù)C．眾數(shù) D．平均數(shù)C[根據(jù)題意，若在此組數(shù)據(jù)中增加一個比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù)，即最大值變?yōu)?96＋25＝421，極差為最大值與最小值的差，會發(fā)生改變；加入數(shù)據(jù)前，中位數(shù)為eq\f(173＋176,2)＝174.5，加入數(shù)據(jù)后，中位數(shù)為176，發(fā)生改變；眾數(shù)為數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，不會改變；平均數(shù)體現(xiàn)數(shù)據(jù)的整體水平，會發(fā)生改變．故選C.]2．某工廠隨機(jī)抽取20名工人，對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如表，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是()件數(shù)7891011人數(shù)37541A．8.5 B．9C．9.5 D．10C[抽取的工人總數(shù)為20,20×75%＝15，那么第75百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)從小到大排序的第15項與第16項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，第15項與第16項數(shù)據(jù)分別為9,10，所以第75百分位數(shù)是eq\f(9＋10,2)＝9.5.故選C.]3．一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,3,5,6，m,10,12,13，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的eq\f(5,8)，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是()A．7.5 B．8C．9 D．9.5C[這組數(shù)據(jù)一共8個數(shù)，中位數(shù)是eq\f(6＋m,2)，極差為13－1＝12，所以eq\f(6＋m,2)＝12×eq\f(5,8)，解得m＝9.又8×60%＝4.8，則第60百分位數(shù)是第5個數(shù)據(jù)9.故選C.]4．為落實黨中央的“三農(nóng)”政策，某市組織該市所有鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部進(jìn)行了一期“三農(nóng)”政策專題培訓(xùn)，并在培訓(xùn)結(jié)束時進(jìn)行了結(jié)業(yè)考試．如圖是該次考試成績隨機(jī)抽樣樣本的頻率分布直方圖，則下列關(guān)于這次考試成績的估計錯誤的是()A．眾數(shù)為82.5B．中位數(shù)為85C．平均數(shù)為86D．有一半以上干部的成績在80～90分C[由頻率分布直方圖知，眾數(shù)為82.5，A正確；由(0.01＋0.03＋0.06)×5＝0.5，即中位數(shù)為85，B正確；由(0.01×72.5＋0.03×77.5＋0.06×82.5＋0.05×87.5＋0.03×92.5＋0.02×97.5)×5＝85.5，C錯誤；由(0.06＋0.05)×5＝0.55>0.5，則有一半以上干部的成績在80～90分之間，D正確．故選C.]5．(2022·全國甲卷)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：則()A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差B[講座前中位數(shù)為eq\f(70%＋75%,2)>70%，A錯誤；講座后問卷答題的正確率只有一個是80%,4個85%，剩下全部大于等于90%，所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%，B正確；講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，C錯誤；講座后問卷答題的正確率的極差為100%－80%＝20%，講座前問卷答題的正確率的極差為95%－60%＝35%>20%，D錯誤．故選B.]6．若一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為10，另一組樣本數(shù)據(jù)2x1＋4,2x2＋4，…，2xn＋4的方差為8，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為()A．17,54 B．17,48C．15,54 D．15,48A[由題意可知，數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為10，則eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝10，則eq\i\su(i＝1,n,x)i＝10n，所以數(shù)據(jù)2x1＋4,2x2＋4，…，2xn＋4的平均數(shù)為eq\x\to(x′)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(2xi＋4)＝eq\f(2,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＋4＝2×10＋4＝24，方差為s′2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,[)(2xi＋4)－(2eq\x\to(x)＋4)]2＝eq\f(4,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－10)2＝eq\f(4,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\f(4,n)×n×102＝eq\f(4,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－400＝8，所以eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)＝102n.將兩組數(shù)據(jù)合并后，新數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn,2x1＋4,2x2＋4，…，2xn＋4的平均數(shù)為eq\x\to(x″)＝eq\f(1,2n)[eq\i\su(i＝1,n,x)i＋eq\i\su(i＝1,n,)(2xi＋4)]＝eq\f(1,2)×eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(3xi＋4)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,n)\i\su(i＝1,n,x)i＋4))＝eq\f(1,2)(3×10＋4)＝17，方差為s″2＝eq\f(1,2n)[eq\i\su(i＝1,n,)(xi－17)2＋eq\i\su(i＝1,n,)(2xi＋4－17)2]＝eq\f(1,2n)(5eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－86eq\i\su(i＝1,n,x)i＋458n)＝eq\f(1,2n)(5×102n－860n＋458n)＝54.故選A.]二、多項選擇題7．(2023·新高考Ⅰ卷)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則()A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C．x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差BD[取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，則x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于2，標(biāo)準(zhǔn)差為0，而x1，x2，…，x6的平均數(shù)等于3，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(\f(22,3))＝eq\f(\r(66),3)，故A，C均不正確；根據(jù)中位數(shù)的定義，將x1，x2，…，x6按從小到大的順序進(jìn)行排列，中位數(shù)是中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位數(shù)是將x2，x3，x4，x5按從小到大的順序排列后中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，與x1，x2，…，x6的中位數(shù)相等，故B正確；根據(jù)極差的定義，知x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差，故D正確．故選BD.]8．下列結(jié)論正確的是()A．若隨機(jī)變量X，Y滿足Y＝2X＋1，則D(Y)＝2D(X)＋1B．若隨機(jī)變量X～N(3，σ2)，且P(X<6)＝0.84，則P(3<X<6)＝0.34C．線性相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近1，兩個變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)D．按從小到大排序的兩組數(shù)據(jù)，甲組：27,30,37，m,40,50；乙組：24，n,33,44,48,52，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)分別對應(yīng)相等，則m＋n＝70BCD[對于A，D(Y)＝4D(X)，A錯誤；對于B，P(3<X<6)＝P(X<6)－P(X≤3)＝0.84－0.5＝0.34，B正確；對于C，線性相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近1，兩個變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，C正確；對于D，由6×30%＝1.8,6×50%＝3，依題意，30＝n，且eq\f(37＋m,2)＝eq\f(33＋44,2)，解得n＝30，m＝40，因此m＋n＝70，D正確．故選BCD.]三、填空題9．(2025·淄博模擬)甲、乙兩名射擊運(yùn)動員參加某大型運(yùn)動會的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)绫?單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙只有1人能入選，那么入選的最佳人選應(yīng)是________.甲[甲的平均數(shù)為eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(10＋8＋9＋9＋9)＝9，乙的平均數(shù)為eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(10＋10＋7＋9＋9)＝9，甲的方差為seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(10－9)2＋(8－9)2]＝eq\f(2,5)，乙的方差為seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(10－9)2×2＋(7－9)2]＝eq\f(6,5).因為eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，所以甲、乙的平均水平相同．因為seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲的成績穩(wěn)定，故甲入選．]10．某校組織學(xué)生參與航天知識競答活動，某班8位同學(xué)成績?nèi)缦拢?,6,8,9,8,7,10，m.若去掉m，該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)保持不變，則整數(shù)m(1≤m≤10)的值可以是________.(寫出一個滿足條件的m值即可)7或8或9或10(填上述4個數(shù)中任意一個均可)[7,6,8,9,8,7,10，m，若去掉m，該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：6,7,7,8,8,9,10，則7×0.25＝1.75，故第25百分位數(shù)為第二個數(shù)即7，所以7,6,8,9,8,7,10，m，第25百分位數(shù)為7.而8×0.25＝2，所以7為第二個數(shù)與第三個數(shù)的平均數(shù)，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10.]四、解答題11．(15分)某地旅游主管部門為了更好地為游客服務(wù)，在景區(qū)隨機(jī)發(fā)放評分調(diào)查問卷100份，并將問卷評分?jǐn)?shù)據(jù)分成6組：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．(1)已知樣本中分?jǐn)?shù)在[80,85)的游客為15人，求樣本中分?jǐn)?shù)小于80的人數(shù)，并估計第75百分位數(shù)；(2)已知樣本中男游客與女游客比例為3∶2，男游客樣本的平均值為90，方差為10，女游客樣本的平均值為85，方差為12，由樣本估計總體，求總體的方差．解：(1)由頻率分布直方圖，可得分?jǐn)?shù)在[85,100]內(nèi)的頻率為(0.06＋0.05＋0.04)×5＝0.75，所以分?jǐn)?shù)在[85,100]內(nèi)的人數(shù)為100×0.75＝75，所以分?jǐn)?shù)小于80分的人數(shù)為100－75－15＝10.由題意可設(shè)第75百分位數(shù)為x，其中x∈[90,95)，則1－(0.05×5＋0.04×5)＋(x－90)×0.05＝0.75，解得x＝94.故樣本中分?jǐn)?shù)小于80的人數(shù)為10人，第75百分位數(shù)約為94.(2)由已知可得總樣本平均值為eq\x\to(z)＝eq\f(n,m＋n)·eq\x\to(x)＋eq\f(m,m＋n)eq\x\to(y)＝eq\f(3,2＋3)×90＋eq\f(2,2＋3)×85＝88，又由s2＝eq\f(n,n＋m)[seq\o\al(2,x)＋(eq\x\to(z)－eq\x\to(x))2]＋eq\f(m,n＋m)[seq\o\al(2,y)＋(eq\x\to(z)－eq\x\to(y))2]＝eq\f(3,2＋3)[10＋(88－90)2]＋eq\f(2,2＋3)[12＋(88－85)2]＝eq\f(42,5)＋eq\f(42,5)＝eq\f(84,5)，所以用樣本估計總體，總體的方差為eq\f(84,5).12．(15分)(2025·日照模擬)某濱海城市沙灘風(fēng)景秀麗，夏日美麗的海景和清涼的海水吸引了不少前來游玩的游客．某飲品店通過公開競標(biāo)的方式獲得賣現(xiàn)制飲品的業(yè)務(wù)，為此先根據(jù)前一年沙灘開放的160天的進(jìn)入沙灘的人數(shù)，做前期的市場調(diào)查來模擬飲品店開賣之后的利潤情況，考慮沙灘承受能力有限，超過1.4萬人即停止預(yù)約．以下表格是160天內(nèi)進(jìn)入沙灘的每日人數(shù)(單位：萬人)的頻數(shù)分布表．人數(shù)/萬人[0，0．2)[0.2，0．4)[0.4，0．6)[0.6，0．8)[0.8，1．0)[1.0，1．2)[1.2，1．4]頻數(shù)/天881624a4832(1)繪制160天內(nèi)進(jìn)入沙灘的每日人數(shù)的頻率分布直方圖(用陰影表示)，并求出a的值和這組數(shù)據(jù)的65%分位數(shù)；(2)據(jù)統(tǒng)計，每10個進(jìn)入沙灘的游客當(dāng)中平均有1人會購買飲品，X(單位：個)為進(jìn)入該沙灘的人數(shù)(X為10的整倍數(shù)，如有8006人，則X取8000)．每杯飲品的售價為15元，成本為5元，當(dāng)日未售出飲品當(dāng)垃圾處理．若該店每日準(zhǔn)備1000杯飲品，記Y為該店每日的利潤(單位：元)，求Y和X的函數(shù)關(guān)系式；(3)以頻率估計概率，求該店在160天的沙灘開放日中利潤不低于7000元的概率．解：(1)由題意，8＋8＋16＋24＋a＋48＋32＝160，解得a＝24.因為eq\f(8＋8＋16＋24＋24,160)＝0.5，eq\f(8＋8＋16＋24＋24＋48,160)＝0.8，所以65%分位數(shù)在區(qū)間[1.0,1.2)內(nèi)，則65%分位數(shù)為1.0＋0.2×eq\f(0.65－0.5,0.8－0.5)＝1.1.畫出頻率分布直方圖如圖所示．(2)由題意知，當(dāng)X≥10000時，Y＝10×1000＝10000(元)，當(dāng)X＜10000時，Y＝eq\f(X,10)×10－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1000－\f(X,10)))×5＝1.5X－5000，所以Y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10000X≥10000，,1.5X－50000≤X＜10000.))(3)記銷售的利潤不少于700