第十七章勾股定理

01思維導(dǎo)圖

知識點(diǎn)01勾股定理知識點(diǎn)04勾股數(shù)

知識點(diǎn)02勾股定理證明勾股定理知識點(diǎn)05勾股定理的應(yīng)用

知識點(diǎn)03勾股定理逆定理知識點(diǎn)06平面展開圖-最短路徑問題

02知識速記

知識點(diǎn)01勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

如圖:直角三角形ABC的兩直角邊長分別為。，b,斜邊長為c,那么/.

注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可

以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.

(3)理解勾股定理的一些變式：cT=c2-b~,b2=c2-a2,c2=(a+b)'-lab.

運(yùn)用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊;

2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；

3.利用勾股定理，作出長為冊的線段

知識點(diǎn)02勾股定理證明

（1）鄒元治證法（內(nèi)弦圖）：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

1

圖（1）中==J7」成，所以/+/=1.

（2）趙爽弦圖（外弦圖）：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖（2）中-必4-：必，所以1=?*+川.

（3）總統(tǒng)證法：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

4s3=---------=2x-fl6+-<7,所以a-r

知識點(diǎn)03勾股定理逆定理

1.定義：如果三角形的三條邊長。，b,c,滿足/+尸=02,那么這個三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來判定一個三角形是否為直角三角形.

2.如何判定一個三角形是否是直角三角形

（1）首先確定最大邊（如。）.

（2）驗(yàn)證。2與/+〃是否具有相等關(guān)系.若「2=/+〃，則△ABC是/c=90°的直角三角形；若

則△ABC不是直角三角形.

注意：當(dāng)片+〃<02時，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)a2+〃>c2時，此三角形為銳角三角形，其中C為

三角形的最大邊.

知識點(diǎn)04勾股數(shù)

像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

勾股數(shù)滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數(shù)

知識點(diǎn)05勾股定理的應(yīng)用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在

具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第

三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論.

知識點(diǎn)06平面展開圖-最短路徑問題

幾何體中最短路徑基本模型如下:

圓柱階梯問題長方體

基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線，構(gòu)造直角三角形，利用

2

勾股定理求解

03題型歸納

題型一已知直角三角形的兩邊，求第三邊長

例題：（23-24八年級上.福建泉州?期末）一直角三角形的兩直角邊長分別為5和12,則斜邊的長是.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級下?吉林松原?期中）如圖，原來從A村到8村，需要沿路AfC-B（ZC=90°）繞過兩

地間的一片湖，在A、8間建好橋后，就可直接從A村到8村.若AC=5km,8C=12km,那么建好橋后從

A村至ijB村比原來減少的路程為km.

2.（23-24八年級下?河南新鄉(xiāng)?期中）在直角一ABC中，AB=8,AC=6,則3C的長為

3.（23-24七年級下?安徽馬鞍山?期中）若一個直角三角形的兩邊長為9和12,則這個三角形的斜邊長為.

題型二以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

例題：（23-24八年級下?湖南湘西?期中）如圖所示，如果正方形A的面積為625,正方形2的面積為400,

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級下?黑龍江大慶?期中）如圖，正方形ABC的邊長分別為直角三角形的三邊長，若正方形A,B

的邊長分別為4和8,則正方形C的面積為.

3

2.（23-24八年級下?黑龍江大慶?期中）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,分別以AB、BC、AC為直徑作

半圓，圖中陰影部分圖形稱為“希波克拉底月牙”.當(dāng)AB=13,8c=5時，則陰影部分的面積為一.

3.（2024?四川成都.二模）如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方

形A、B、。的面積依次為5、13、30,則正方形C的面積為

題型三利用等面積法求直接斜邊上的高問題

例題：（23-24八年級下?湖北武漢?期中）在如圖的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,A、B、C三點(diǎn)均在正方

形格點(diǎn)上，則點(diǎn)A到直線的距離是.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級下.黑龍江哈爾濱.階段練習(xí)）如圖，的頂點(diǎn)AB,C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)

上，SLAB于點(diǎn)。.則CD的長為.

4

2.（23-24八年級下.浙江金華.階段練習(xí)）如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,

B,C都在格點(diǎn)上，求8C邊上的高長=.

3.（23-24七年級上?山東泰安.期末）如圖所示，一ABC的頂點(diǎn)48、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,

BD，AC于點(diǎn)D,則BD的長為.

B

題型四勾股數(shù)的判斷

例題：（23-24八年級下.廣東湛江?階段練習(xí)）下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.5,12,13B.4,5,6C.2,5,6D.1,2,3

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級下?陜西西安?階段練習(xí)）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的

數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）

A.7,8,9B.5,12,13C.4,5,6D.2,3,4

2.（23-24八年級下?廣西來賓?期中）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.13,14,15B.4,5,6C.0.3,0.4,0.5D.9,40,41

3.（23-24八年級下.江西新余?期中）下列各組數(shù)中，為勾股數(shù)的是（）

35

A.9,40,41B.5,6,7C.―,2,—D.

題型五判斷能否構(gòu)成直角三角形

5

例題：（23-24八年級下,安徽淮北.期中）在工ABC中，/A,NB,/C的對邊分別是。，b,c.下列條件不

能說明一ABC是直角三角形的是（)

A.ZA=ZC-ZBB.〃：Z?:c=5:12:13

2

C.(b+c)(b-c)=aD.a=3+kfb=4+k,c=5+k(k>0)

鞏固訓(xùn)練

1.⑵-24八年級上?四川成都?期中）滿足下列條件的，ABC,其中是直角三角形的為（

A.ZAZB:ZC=3：4：5B.AB：BC：AC=3：4：5

C.AB=195C=4,AC=5D.ZA=30°,ZB=75°

2.（23-24八年級下?云南昭通?期中）下列條件中,不能判斷JBC為直角三角形的是（）

A.a2=2b2=3fc1-5B.〃：Z?:c=5:12:13

C.ZA+NB=NCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

3.（23-24八年級下.內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）ABC中，/A、ZB.NC的對邊分別為“、b、c,下列條件

中，不能判定二ABC是直角三角形的是（

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5B.(?+Z?)(tz-Z?)=c2

C.ZA+NB=NCD.a:b:c=]：括:2

題型六在網(wǎng)格中判斷直角三角形

例題：（23-24八年級下?云南昭通?期中）如圖，.ABC在每個小正方形邊長都為1的網(wǎng)格圖中，頂點(diǎn)都在格

點(diǎn)上，下列結(jié)論不正確的是（）

A.BC=5B.的面積為5

。.點(diǎn)A到BC的距離為g

C.NA=90。

鞏固訓(xùn)練

1.（2024八年級下.全國.專題練習(xí)）如圖，在四個均由十六個小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，各有一個三角

形，那么這四個三角形中，不是直角三角形的是（）

6

2.(23-24八年級下.遼寧鞍山?期中)如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1.

⑴求一ABC的周長；

(2)若點(diǎn)P為直線AC上任意一點(diǎn)，則線段8尸的最小值為.

3.(23-24八年級下?廣東珠海?期中)如圖，四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)都在網(wǎng)格上，且每個小正方形的邊長都

⑴求四邊形ABCD的面積；

(2)判斷線段8C和CD的位置關(guān)系，并說明理由.

題型七利用勾股定理的逆定理求解

例題：(23-24八年級下?江西吉安?階段練習(xí))在四邊形ABCD中，已知AB=AT>=8,ZA=60°,BC=10,

CD=6.

(1)連接30,試判斷△ABD的形狀，并說明理由;

⑵求一ADC的度數(shù).

鞏固訓(xùn)練

7

1.(23-24八年級下.云南昭通?期中)如圖，在一ABC中，ADJ.BC,垂足為。,8。=9,40=12,。=16.

(1)求AC的長；

(2)判斷的形狀，并說明理由.

2.(23-24八年級下?重慶長壽?期中)如圖，在四邊形ABCD中，已知？890?,NACB=30。，AB=3,AD=10,

CD=8.

(D求線段2C的長；

(2)求證：ACD是直角三角形.

3.(23-24八年級下.湖北黃石?期中)如圖，四邊形ABCD中，?B90?,AC為對角線，DE1AC于E,

AB=S,BC=6,CD=2岳,AD=2M.

(1)確定/ADC的度數(shù);

(2)求線段。E的長.

題型八勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用

例題：(23-24八年級下?廣東湛江?階段練習(xí))如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個

取水點(diǎn)A,B,由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取

水點(diǎn)H(A,H,B)在同一條直線上)，并新修一條路CH,測得C3=L5千米，3=1.2千米，HB=0.9

千米.問”是否為從村莊C到河邊最近的路？請說明理由.

8

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級下?陜西西安?期中）如圖，陽光中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCQ,為了綠化環(huán)境，學(xué)校計(jì)劃

在空地上種植草皮.經(jīng)測量NA=90。，AB=9m,DA=l2m,BC=8m,CD=17m,若每平方米草皮需要100

元，種植這塊草皮需要投入多少資金？（其他費(fèi)用不計(jì)）

2.（23-24八年級下.廣東廣州?期中）如圖，在筆直的公路A2旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停

靠站A的距離為AC=15km,與公路上另一?？空?的距離為BC=20km,停靠站A,8之間的距離為

AB=25km,為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的。處開鑿隧道修通一條公路到C處，且CDLAB.

⑴求證：ZACB=90°；

（2）求修建的公路CO的長.

3.（23-24八年級下?河北衡水?階段練習(xí)）如圖，某社區(qū)有一塊四邊形空地ABCD,AB=15m,CD=8m,

AD=17m.從點(diǎn)A修了一條垂直的小路AE（垂足為E）,E恰好是8C的中點(diǎn)，且AE=12m.

⑴求邊的長;

9

(2)連接AC,判斷△ADC的形狀;

(3)求這塊空地的面積.

題型九應(yīng)用勾股定理解決汽車是否超速與受影響問題

例題：(23-24八年級下?廣東廣州?期中)某段公路限速是27m/s.“流動測速小組”的小王在距離此公路400m

的A處觀察，發(fā)現(xiàn)有一輛可疑汽車在公路上疾駛，他趕緊拿出紅外測距儀，可疑汽車從C處行駛10s后到達(dá)

B處,測得A5=500m,若AC/3c.求出速度并判斷可疑汽車是否超速？

1.(23-24八年級下?廣西玉林?期中)某路段限速標(biāo)志規(guī)定：小汽車在此路段上的行駛速度不得超過75km/h,

如圖，一輛小汽車在該筆直路段/上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面的車速檢測儀A的正前方30m的點(diǎn)C

處，2s后小汽車行駛到點(diǎn)2處，測得此時小汽車與車速檢測儀A間的距離為50m,ZACB=90°.

車速檢測儀

⑴求的長.

(2)這輛小汽車超速了嗎？并說明理由.

2.(2024.湖南永州?模擬預(yù)測)如圖某貨船以20海里/力的速度將一批重要的物資由A處運(yùn)往正西方向的B處,

經(jīng)16〃的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時，接到氣象部門的通知，一臺風(fēng)中心、以40海里/〃的速度

由A處向北偏西60。方向移動，距臺風(fēng)中心200海里以內(nèi)的圓形區(qū)域會受到影響.(退。1.73)問:

北

(1)8處是否會受到臺風(fēng)的影響？請說明理由.

(2)如果B處受到臺風(fēng)影響，那么求出影響的時間.

10

3.（23-24八年級下?云南昭通?期中）6號臺風(fēng)“煙花”風(fēng)力強(qiáng)，累計(jì)降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞力.如

圖，臺風(fēng)“煙花”中心沿東西方向A3由A向B移動，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線上的兩點(diǎn)A、B

的距離分別為AC=300km,=400km,又AB=500km,經(jīng)測量，距離臺風(fēng)中心260km及以內(nèi)的地區(qū)會

受到影響.

C

/

AB

（1）海港C受臺風(fēng)影響嗎?為什么？

（2）若臺風(fēng)中心的移動速度為20千米/時，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？

題型十應(yīng)用勾股定理解決選扯距離相離問題

例題：（23-24八年級下?廣東珠海?期中）如圖，在筆直的鐵路上A、8兩點(diǎn)相距7km,C,。為兩村莊，

/"=31011,。3=41011,/"_143于4于艮現(xiàn)要在A3上建一個中轉(zhuǎn)站E,使得C,。兩村到E站

的距離相等，求AE的長.

AEB

□/\□

/\

//'、\

D\

''C

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級下?湖北荊州?階段練習(xí)）如圖，直線/為一條公路，4。兩處各有一個村莊，于點(diǎn)

B,OC，/于點(diǎn)C,AB=4千米，BC=8千米，CD=6千米.現(xiàn)需要在BC上建立一個物資調(diào)運(yùn)站E,使得

E到A,。兩個村莊距離相等，請求出E到C的距離.

2.（23-24八年級下.重慶開州.階段練習(xí)）如圖，開州大道上A,2兩點(diǎn)相距14km,C,。為兩商場，于

4,（2，48于8.己知。4=8km,CB=6km.現(xiàn)在要在公路AB上建一個土特產(chǎn)產(chǎn)品收購站E,使得兩

商場到E站的距離相等，

11

D

C

(1)求E站應(yīng)建在離A點(diǎn)多少km處？

(2)若某人從商場。以5km/h的速度勻速步行到收購站E,需要多少小時？

3.(23-24七年級上?山東淄博?期中)為推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，把家鄉(xiāng)建設(shè)成為生態(tài)宜居、交通便利的美麗家園，某

地大力修建嶄新的公路如圖所示，現(xiàn)從A地分別向C、。、B三地修了三條筆直的公路AC、AD和A3,C

地、。地、8地在同一筆直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又從。地修了一條筆直的公路與公

路在8處連接，且公路O"和公路AB互相垂直，已知AC=9千米，AB=15千米，3。=5千米.

A

DB

(1)求公路CD的長度;

(2)若修公路每千米的費(fèi)用是200萬元，請求出修建公路由的總費(fèi)用.

12

第十七章勾股定理

01思維導(dǎo)圖

知識點(diǎn)01勾股定理知識點(diǎn)04勾股數(shù)

知識點(diǎn)02勾股定理證明勾股定理知識點(diǎn)05勾股定理的應(yīng)用

知識點(diǎn)03勾股定理逆定理知識點(diǎn)06平面展開圖-最短路徑問題

02知識速記

知識點(diǎn)01勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c，那么片+〃2=。2.

注意：(1)勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可

以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.

(3)理解勾股定理的一些變式：a~=c2-b2,lr=c1-a1,c1=(a+b^-lab.

運(yùn)用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；

2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；

3.利用勾股定理，作出長為人的線段

知識點(diǎn)02勾股定理證明

D

Bb

(1)鄒元治證法(內(nèi)弦圖)：將四個全等的直角三角形拼成如圖(1)所示的正方形.

13

圖（1）中3蘆有5=（a—方"=/+4,所以

（2）趙爽弦圖（外弦圖）：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖0）中線刀45=1=（￡a『+4x;汕，所以1=/+兒

（3）總統(tǒng)證法：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

03+仁】AI3匚ur、I.oo

SIUKD=-----2-----=2x-a6+-<;,所以/+/=/.

知識點(diǎn)03勾股定理逆定理

1.定義：如果三角形的三條邊長a,b,C,滿足。2+〃=02,那么這個三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來判定一個三角形是否為直角三角形.

2.如何判定一個三角形是否是直角三角形

（1）首先確定最大邊（如C）.

（2）驗(yàn)證02與/+〃是否具有相等關(guān)系.若02=4+〃，則△ABC是/c=90°的直角三角形；若

c2^a2+b2,則△ABC不是直角三角形.

注意：當(dāng)/+。2<o2時，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)片+〃>°2時，此三角形為銳角三角形，其中。為三

角形的最大邊.

知識點(diǎn)04勾股數(shù)

像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

勾股數(shù)滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數(shù)

知識點(diǎn)05勾股定理的應(yīng)用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在

具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第

三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論.

知識點(diǎn)06平面展開圖-最短路徑問題

幾何體中最短路徑基本模型如下:

階梯問題長方體

基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線,構(gòu)造直角三角形，利用

14

勾股定理求解

03題型歸納

題型一已知直角三角形的兩邊，求第三邊長

例題：（23-24八年級上.福建泉州?期末）一直角三角形的兩直角邊長分別為5和12,則斜邊的長是.

【答案】13

【分析】本題主要考查了勾股定理，根據(jù)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：：一直角三角形的兩直角邊長分別為5和12,

,該直角三角形的斜邊長為疹工層=13，

故答案為：13.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級下?吉林松原?期中）如圖，原來從A村到8村，需要沿路AfC-B（ZC=90°）繞過兩

地間的一片湖，在A、8間建好橋后，就可直接從A村到8村.若AC=5km,BC=12km,那么建好橋后從

A村到B村比原來減少的路程為km.

【答案】4

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理求出A3的長，再和以前的距離作比較即可得出答案.

【詳解】解：由勾股定理得，

AB=y/AC2+BC2=V52+122=13（km）

建好橋后從A村至I]B村比原來減少的路程為（5+12）-13=4（km）,

故答案為4.

2.（23-24八年級下.河南新鄉(xiāng)?期中）在直角ABC中，AB=8,AC=6,則3C的長為

【答案】10或2近

【分析】本題考查了勾股定理.分AB=8是直角邊或AB=8是斜邊兩種情況討論，利用勾股定理求解即可.

15

【詳解】解：當(dāng)AB=8是直角邊時,

貝1BC=A/62+82=10-

當(dāng)AB=8是斜邊時，

則BC=M-&=2近,

故答案為：10或26.

3.（23-24七年級下?安徽馬鞍山?期中）若一個直角三角形的兩邊長為9和12,則這個三角形的斜邊長為.

【答案】12或15

【分析】本題考查了勾股定理.注意12可能是直角邊，也可能是斜邊，所以得分兩種情況討論.

【詳解】解：當(dāng)9和12都是直角邊時，

斜邊=,9?+122=15；

當(dāng)9是直角邊，12是斜邊時，

斜邊為12.

故答案為：12或15.

題型二以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

例題：（23-24八年級下.湖南湘西.期中）如圖所示，如果正方形A的面積為625,正方形8的面積為400,

則正方形C的邊長為.

【答案】15

【分析】設(shè)A的邊長為。，B的邊長為b,C的邊長為c,根據(jù)題意，得標(biāo)=625,〃=400,c^c^-b1,

計(jì)算即可.

本題考查了勾股定理，正確理解定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)A的邊長為。，8的邊長為b,C的邊長為c,

根據(jù)題意，得/=625,b2=400,c2^a2-b2,

c2=625-400=225.

解得c=15.

16

故答案為：15.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級下?黑龍江大慶?期中）如圖，正方形4B,C的邊長分別為直角三角形的三邊長,若正方形A,B

的邊長分別為4和8,則正方形C的面積為.

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用.由正方形的邊長分別為4和8可得中間的直角三角形的一直角邊

和斜邊分別是4和8,再用勾股定理可求另一直角邊，即可得出答案.

正方形A,2的邊長分別為4和8,

/.PN=4,MN=8

：是直角三角形，

7W2=ACV2-W2=64-16-48

正方形C的面積=可2=48.

故答案為：48.

2.（23-24八年級下?黑龍江大慶?期中）如圖，在中，NC=90。，分別以AB、BC、AC為直徑作

半圓，圖中陰影部分圖形稱為“希波克拉底月牙”.當(dāng)AB=13,BC=5時，則陰影部分的面積為一.

【答案】30

【分析】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

17

首先根據(jù)勾股定理求出AC=TAB。了=13,然后根據(jù)陰影部分面積等于以AC,BC為直徑的2個半圓的面

積加上sABC減去AB為半徑的半圓面積即sABC，然后代數(shù)求解即可.

【詳解】解：在RtAABC中，ZC=90°,

AC2+BC2=AB2

AB=13,BC=5

AC=yjAB2-BC2=13

22

1111

*'S陰影部分=-AC-BC+-TIX\-ACI+-TIX|-BCx

22222I-r

,咽舊(……)

=-ACBC

2

=-xl2x5

2

=30.

故答案為：30.

3.（2024?四川成都?二模）如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方

形A、B、。的面積依次為5、13、30,則正方形。的面積為.

【答案】12

【分析】本題主要考查了正方形和勾股定理，解題關(guān)鍵是勾股定理的正確應(yīng)用.

由所有陰影部分的四邊形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,根據(jù)勾股定理得以+品=sE=sD-sc,

由正方形A、B、O的面積依次為5、13、30,得5+13=30-Sc，故正方形C的面積為12.

【詳解】解：由所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根據(jù)勾股定理得

SA+$B=SE=SD-SC,

由正方形A、B、。的面積依次為5、13、30,得5+13=3。-S。，

故正方形。的面積為12.

18

故答案為：12.

題型三利用等面積法求直接斜邊上的高問題

例題：（23-24八年級下?湖北武漢?期中）在如圖的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,A、B、C三點(diǎn)均在正方

形格點(diǎn)上，則點(diǎn)A到直線BC的距離是.

【答案】2

【分析】本題考查了網(wǎng)格圖的問題，解題關(guān)鍵是正確應(yīng)用勾股定理.用割補(bǔ)法求出ABC的面積，用勾股定

理求出的長，然后利用面積法求解即可.

【詳解】解：ABC面積=4x4-Lxlx2-Lx2x4-、3x4=5,

222

由勾股定理得3C=療壽=5，

設(shè)點(diǎn)4到直線3c的距離是d,

得』x5xd=5,

2

解得d-2.

故答案為：2.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級下.黑龍江哈爾濱.階段練習(xí)）如圖，的頂點(diǎn)AB,C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)

上，CDLAB于點(diǎn)D.則CD的長為.

19

A

D

C

13

【答案】y

【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，利用勾股定理求出A3的長，利用網(wǎng)格求出，ABC的面積，再根

據(jù)面積法即可求出8的長，利用割補(bǔ)法求出一ABC的面積是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由勾股定理可得，A3=向百=5，

1

由網(wǎng)格可得，SABC=4x4-^x4xl-lx3xl-lx3x4=^,

2222

CDLAB,

：.S=-ABCD=-x5xCD=-CD,

口ARr222

：.-CD=—,

22

CD=y,

13

故答案為：—■

2.（23-24八年級下?浙江金華?階段練習(xí)）如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,

B,C都在格點(diǎn)上，求邊上的高長=.

【答案】2H

【分析】本題主要考查三角形面積公式，運(yùn)用分割法求出一ABC的面積，運(yùn)用勾股定理求出3c的長，再運(yùn)

用等積法即可求出BC邊上的高

111253

【詳解】解：SV*M=5X6——x2x6--x5x5一一xlx3=30-6------=10；

22222

由勾股定理得，3C=FV=50,

20

所以，BC邊上的高長=諾=20,

故答案為：2&.

3.（23-24七年級上?山東泰安?期末）如圖所示，ABC的頂點(diǎn)A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,

8DLAC于點(diǎn)。，則2。的長為.

BC

【答案】3

【分析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為。，那么

a2+b2=c2.根據(jù)題意求出.ABC的面積，根據(jù)勾股定理求出AC,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：由圖形可知，BC=5,8C邊上的高為3,

.?.ABC的面積=1X5X3=M，

22

由勾股定理得，AC=V32+42=5>

貝l］；x5x8D=J,

解得，BD=3,

故答案為：3

題型四勾股數(shù)的判斷

例題：（23-24八年級下?廣東湛江?階段練習(xí)）下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.5,12,13B.4,5,6C.2,5,6D.1,2,3

【答案】A

【分析】本題考查了勾股數(shù).解題的關(guān)鍵是理解勾股數(shù)的定義：有a,b,c三個正整數(shù)，滿足/+〃=°2,

稱為勾股數(shù).想要判定是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗(yàn)證兩條較短邊的平方和是否

等于最長邊的平方.

【詳解】解：A.52+122=169=132,能構(gòu)成勾股數(shù)，故該選項(xiàng)正確；

B.42+52=41^62,不能構(gòu)成勾股數(shù)，故該選項(xiàng)錯誤；

C.22+52=29^62,不能構(gòu)成勾股數(shù)，故該選項(xiàng)錯誤；

D.F+2?=5K32,不能構(gòu)成勾股數(shù)，故該選項(xiàng)錯誤.

21

故選A.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級下.陜西西安.階段練習(xí)）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的

數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）

A.7,8,9B.5,12,13C.4,5,6D.2,3,4

【答案】B

【分析】本題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義：若三個正整數(shù)。、b、c滿足〃+62=C2,則

稱。、6、C為勾股數(shù).根據(jù)“勾股數(shù)”的定義，逐項(xiàng)判斷，即可求解.

【詳解】解：A、72+82^92,不是“勾股數(shù)”，不符合題意；

B、52+122=132,是“勾股數(shù)”,符合題意;

C、42+52^62,不是“勾股數(shù)”，不符合題意；

D、22+32^42,不是“勾股數(shù)”，不符合題意；

故選:B.

2.（23-24八年級下?廣西來賓?期中）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.13,14,15B.4,5,6C.0.3,0.4,0.5D.9,40,41

【答案】D

【分析】本題考查勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)是滿足片+62=02的三個正整數(shù)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：4：132+142/152,.?.13,14,15不是勾股數(shù)，不符合題意；

B?.?42+52=62,???4,5,6不是勾股數(shù),不符合題意；

C、???0.3,0.4,0.5都不是整數(shù)，.?.0.3,0.4,0.5不是勾股數(shù)，不符合題意；

。、?.?92+402=412,.?.9,40,41是勾股數(shù)，符合題意；

故選：D.

3.（23-24八年級下?江西新余?期中）下列各組數(shù)中，為勾股數(shù)的是（）

3S

A.9,40,41B.5,6,7C.2,-D百，“，&

【答案】A

【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)

的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、Q92+402=81+1600=1681=412,-9,40,41是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

B、Q52+62=25+36^72,.'.5,6,7不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

22

C、:3，:5不是正整數(shù)，，3：，2,51?不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

2222

D、百，飆,君不是正整數(shù)，，百，衣，石不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

題型五判斷能否構(gòu)成直角三角形

例題：(23-24八年級下?安徽淮北?期中)在,MC中，NA,ZB,/C的對邊分別是a,b,c.下列條件不

能說明一ABC是直角三角形的是()

A.ZA=ZC-ZBB.a:b:c=5:12:13

C.(b+c)(b-c)=a2D.a-3+k,b-4+k,c=5+k(k>0)

【答案】。

【分析】本題考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，正確理解勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.判

斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

【詳解】A、ZA=ZC-ZB,

:.ZA+ZB=ZC,

ZA+ZB+ZC=180°,

\2?C180?,

.-.zc=90°,

二ABC是直角三角形，

故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、設(shè)a=5x,貝U6=12x,c=13x,

\a2+b2=(5x)2+Q2X)2_i69x?=c2,

.二ABC是直角三角形，

故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、,(￡>+c)(b-c)=a2,

b2-c2=a2,

:.a2+c2=b2,

ABC是直角三角形，

故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、a=3+k,b-4+k,c=5+k(k>0),

23

:.a2+b2

ABC不是直角三角形，

故此選項(xiàng)錯誤，符合題意.

故選

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級上?四川成都?期中）滿足下列條件的其中是直角三角形的為（）

A.ZA：ZB:ZC=3：4：5B.AB：BC-.AC=3：4：5

C.AB=\,3C=4,AC=5D.ZA=30°,ZB=75°

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和定理，能理解勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題

的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理逐個判斷即可.

【詳解】解：4、ZA：NB：NC=3:4:5,ZC+ZB+ZA=18O°,

???最大角為/。=丁二'180。=75。，

ABC不是直角三角形，

故該選項(xiàng)不符合題意；

B、設(shè)AB、BC、AC分別為3左,4后5左，

（3左）2+（44）2=25左2=（5左）2,

.-.AB2+BC2=AC2,

：.ABC是直角三角形，

故本選項(xiàng)符合題意；

C、AB=1,BC=4,AC=5,1+4=5,

二不符合三角形三邊關(guān)系，

故本選項(xiàng)不符合題意；

D、ZA=30°,ZB=75°,ZC+ZB+ZA=180°,

.?."=75°,

不是直角三角形,

故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

24

2.（23-24八年級下?云南昭通?期中）下列條件中，不能判斷..ABC為直角三角形的是（）

A./=2,b2=3,c2=5B.a:/?:c=5:12:13

C.ZA+NB=NCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

【答案】。

【分析】本題主要考查勾股定理和三角形內(nèi)角和定理，掌握判定直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵，

4根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判定即可，

2、根據(jù)比值并結(jié)合勾股定理的逆定理即可判斷出三角形的形狀，

C、根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180度，即可計(jì)算出NC的值，

D,根據(jù)角的比值求出各角的度數(shù)，便可判斷出三角形的形狀.

【詳解】A、當(dāng)“2=1,b2=2,c2=3,

,-.a2+b2=5=c2,故ABC是直角三角形；

B、當(dāng)a:b:c=5:12:13時，設(shè)a=5x,b=Ylx,c=13x,

則"+=（5x）2+（12尤）2=03x）2=02,故3Ase是直角三角形，

C、當(dāng)NA+NB=NC時，

ZA+ZB+ZC=180°,

ZC+ZC=180°,則NC=90。，故是直角三角形，

。、當(dāng)NA:N3:NC=3:4:5時，

ZA+ZB+ZC=180°,

則最大角為NC=18（Tx:=75。,故不是直角三角形，

故選：￡?.

3.（23-24八年級下.內(nèi)蒙古呼和浩特.期中）ABC中，/&、/B、NC的對邊分別為“、b、c,下列條件

中，不能判定，ABC是直角三角形的是（）

A.ZA:N3:NC=3:4:5B.（a+b）（a-b）=c2

C.ZA+ZB=ZCD.a:b:c=l:A/3:2

【答案】A

【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可判斷A、C；

如果三角形的三邊長。，b,c滿足4+62=。2,那么這個三角形就是直角三角形，據(jù)此可判斷8、D.

【詳解】解：A、VZA+ZB+ZC=180°,ZA:ZB:NC=3:4:5,

25

345

AZA=180°x----------=45°,ZA=180°x-----------=60°,ZA=180°x-----------=75°,

3+4+53+4+53+4+5

??...ABC不是直角三角形，符合題意；

B、?；（a+6）（a—b）=c~,

a2-b2=c2,

a2=c2+b2>

,ABC是直角三角形，不符合題意；

C、VZA+ZB=ZC,且ZA+/3+NC=180°,

ZC=90°,

是直角三角形，不符合題意；

D、a:b:c=l:g:2,

.,.設(shè)a=x,=y/ix,c=2x,且x?+=x2+3x2=4x2=（2x）",

“ABC是直角三角形，不符合題意；

故選：A.

題型六在網(wǎng)格中判斷直角三角形

例題：（23-24八年級下.云南昭通?期中）如圖，.ABC在每個小正方形邊長都為1的網(wǎng)格圖中，頂點(diǎn)都在格

點(diǎn)上，下列結(jié)論不正確的是（）

A.BC=5B.*ABC的面積為5

C.ZA=90°。.點(diǎn)A到BC的距離為!■

2

【答案】D

【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理，利用網(wǎng)格圖計(jì)算三角形的面積，點(diǎn)到直線的距離.熟練掌握

勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵.

利用勾股定理求出BC長可判定A,利用網(wǎng)格圖計(jì)算三角形的面積可判定8,利用勾股定理及其逆定理判定

C；利用面積公式求出，ABC邊BC的高，即可利用點(diǎn)到直線的距離判定D

26

【詳解】解：A.VBC2=32+42=25,

ABC=5,本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；

B.5ABC=4x4-1xlx2-1x2x4-|x3x4=5,本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；

C.AC2=l2+22=5,AB2=22+42=20,BC2=32+42=25，

AC2+AB2=BC2,

ABAC=90°,本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；

。.點(diǎn)A到BC的距離=25^+g=2、5+5=2,本選項(xiàng)結(jié)論錯誤，符合題意；

故答案為：。

鞏固訓(xùn)練

1.（2024八年級下?全國?專題練習(xí)）如圖，在四個均由十六個小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，各有一個三角

形，那么這四個三角形中，不是直角三角形的是（）

【答案】A

【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三邊長。，b,。滿足片+尸=02,那么這

個三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理及其逆定理對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、如圖:

AC2=12+32=10,BC2=l2+22=5,AB2=12+42=17,

「ABC不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意;

B、如圖:

AC2=22+42=20,BC