壓軸專題10費馬點模型

9技法全歸納

知識考點與解題策略

費馬點概念：三角形內(nèi)部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.A

結(jié)論：

1）對于一個各角不超過120。的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120。的點；

2）對于有一個角超過120。的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點.

（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120°）

【解題思路】運用旋轉(zhuǎn)的方法，以AABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點之間線段最短,

得出最短長度.

【擴(kuò)展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費馬點結(jié)論

如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB,交點為點P,點P為費馬點.

圖形結(jié)論

等腰三角形A①NAPB=NBPC=NAPC=120°；

②4ABP與4ACP全等；

③4BCP為等腰三角形；

@AABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小.

等邊三角形①AP=BP=CP；

②/APB=NBPC=NAPC=120°；

③AABP、AACP>4BCP全等；

W④點P是垂心，是aABC各邊的高線的交點；

⑤點P是4ABC各邊的中線的交點；

⑥點P是內(nèi)心，是在三角形三個內(nèi)角的角平分線的

交點；

⑦4ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小.

直角三角形①4ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最??；

②/APB=/BPC=NAPC=120°

二BC

【進(jìn)階】

加權(quán)費馬點模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數(shù)都是1,如果現(xiàn)在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1,那么此類題目就叫做“加權(quán)費馬點”.

【模型拓展】

類型一單系數(shù)類

當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，

類型二多系數(shù)類

其實當(dāng)三條線段的三個系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時，都是符合加權(quán)費馬點的條件的。

以不同的點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對于給定的系數(shù)，我們該如何選取旋轉(zhuǎn)

中心呢？我們總結(jié)了以下方法：

1.將最小系數(shù)提到括號外

2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例;

3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所

在的三角形。

例：已知：在Rt^ABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,aABC內(nèi)部有一點P,連接PA,PB,PC

問題求解圖形作法

求PA+PB+PC最D△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得4CDE

小值盛BD長度即為所求，在RtABCD中有勾股定理可得

BD=>/BC2+CD2=V61

BC

求PA+PB+V2PC△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得4CDE

最小值此時4PCE為等腰直角三角形，即PE=V2PC

因止匕原式=PA+PB+VIPC=ED+PB+PE,貝I）當(dāng)B、P、E、

四點共線時取得最小值，BD長度即為所求，在RtZkBF

C

B66oV

3招????..../3中有勾股定理可得BD=VBF2+FA=回

-%.

求PA+PB+V3PCE△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得4CDE

最小值此時4PCE為等腰三角形且NPCE=120°,即

PE=V3PC,因此原式=PA+PB+百PC=ED+PB+PE,貝屋

B3Q。、C

B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所寸

在RtABFD中有勾股定理可得BD=，BF2FD2=

r+

V60+30V3

思路：原式=2(PA+^PB+?PC)

22

1)將PC邊繞點C旋轉(zhuǎn)60°,然后過點P作PFLCE」

點F,貝ijPF=3PC;2)扣B利用三角形中位線來處理；3：

PA前的系數(shù)是1,不需要轉(zhuǎn)化，所以旋轉(zhuǎn)4PCB.

過程：ABCP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后才

點P作PFLCE于點F,此時4PCE為等邊三角形，跳

pF=V3pc過點F作FG〃DE,則FG=-PB,則當(dāng)A、P

22

F、G四點共線時取得最小值，AG長度即為所求，在I

△ACG中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=V345原式

=2(PA+-PB+^PC)=2734

過程：4ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后i

點P作PFLCE于點F,此時4PCE為等邊三角形，跳

PF=^PC,過點F作FG〃DE,貝I]FG=iAP,則當(dāng)B、P

22

F、G四點共線時取得最小值，BG長度即為所求，在:F

△BCG中有勾股定理可得BG=VCG+AC2=7.5,原式=

(ipA+PB+^PC)=26

22

備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識進(jìn)行贏

可典題固基礎(chǔ)

例題1(24-25九年級上?江蘇鹽城?階段練習(xí))探究題

(1)知識儲備

①如圖1,已知點尸為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點.求證：PB+PC=PA.

②定義：在△ABC所在平面上存在一點P,使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點尸為△ABC的費

馬點，此時以+PB+PC的值為△A8C的費馬距離.

(2)知識遷移

我們有如下探尋△ABC(其中NA，ZB,NC均小于120。)的費馬點和費馬距離的方法：如圖2,在△ABC的

外部以8C為邊長作等邊△80及其外接圓，根據(jù)(1)的結(jié)論，易知線段—的長度即為△ABC的費馬距離.

(3)知識應(yīng)用

①如圖3所示的△ABC(其中均小于120。)，AB=3,BC=4,ZABC=30°,現(xiàn)取一點尸，使點

P到A民。三點的距離之和最小，求最小值；

②如圖4,若三個村莊A3、C構(gòu)成尺也ABC,其中AC=6km,BC=40km,NC=9O°.現(xiàn)選取一點尸打水井，

使P點到三個村莊A&C鋪設(shè)的輸水管總長度最小，畫出點尸所對應(yīng)的位置，輸水管總長度的最小值為

.(直接寫結(jié)果)

S新題型特加

1.如圖，在VABC中，ZC4B=90°,AB=AC=1,P是VABC內(nèi)一點，求B4+P3+PC的最小值為

2.如圖，在放AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點P是AB邊上一動點，作尸于點。，線段AO上

存在一點。，當(dāng)Q4+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時，貝UPD=

3.如圖，在VABC中，ZACB=90°,44c=30。，AB=2.若點尸是VABC內(nèi)一點，則上l+PB+PC的

最小值為?

P

CA

4.（24-25江蘇泰州階段練習(xí)）問題背景：如圖，將AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AADE,DE與BC

交于點尸，可推出結(jié)論：PA+PC=PE

問題解決：如圖，在AMNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4也.點。是AMNG內(nèi)一點，則點。到AAWG

三個頂點的距離和的最小值是

5.如圖，四邊形ABCD是菱形，A2=6,且/ABC=60。，M是菱形內(nèi)任一點，連接AM,BM,CM,則

AM+BM+CM的最小值為.

6.（2025九年級下?全國?專題練習(xí)）在邊長為4的正VABC中有一點P,連接24、PB、PC,求

（r-\2

-AP+BP+^PC的最小值.

22

7.在DABC。中，ZABC=45°,連接AC,已知A2=AC=應(yīng)，點E在線段AC上，將線段DE繞點。順

時針旋轉(zhuǎn)90°為線段OF.

B

圖1圖2圖3

(1)如圖1,線段AC與線段8￡)的交點和點E重合，連接E尸，求線段E尸的長度；

⑵如圖2,點G為DC延長線上一點，使得GC=EC,連接FG交相>于點求證：亞AH=CD;

(3)如圖3,在(2)的條件下，平面內(nèi)一點P,當(dāng)8尸+CP+VIB尸最小時，求的面積.

8.VABC中，48=60°.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,若AC>3C,CO平分/ACS交A3于點且4。=6區(qū)).證明：ZA=30°；

(2)如圖2,若AC<3C,取AC中點E,將CE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。至CF,連接班'并延長至G,使3尸=尸6,

猜想線段A3、BC、CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,若AC=3C,尸為平面內(nèi)一點，將AAB尸沿直線AB翻折至AABQ,當(dāng)3AQ+2BQ+JiiCQ取得

最小值時，直接寫出焉的值.

9.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點尸是正方形內(nèi)部一點，求PA+2PB+若PC的最小值.

10.【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師皮耶?德?費馬，提出一個問題：求作三角形

內(nèi)的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小后來這點被稱之為“費馬點”.

如圖，點尸是VABC內(nèi)的一點，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。到AAP'C',則可以構(gòu)造出等邊△的',得

AP=PP,CP=CP,所以24+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為PP+PB+PC的值，當(dāng)8,P,P',C四點共線時，

線段BC的長為所求的最小值，即點尸為VABC的“費馬點”.

如圖1,點尸是等邊VABC內(nèi)的一點，連接R4,PB,PC,將APAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AAP'C'.

①若以=3,則點P與點P之間的距離是

②當(dāng)%=3,PB=5,尸C=4時，求/APV的大小;

(2)如圖2,點P是VA2C內(nèi)的一點，且NA4c=90。，AB=6,AC=2。求+的最小值.

11.(八年級上?江蘇蘇州?期中)背景資料：在已知VABC所在平面上求一點P,使它到三角形的三個頂點

的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點被人

們稱為“費馬點如圖1，當(dāng)VABC三個內(nèi)角均小于120。時，費馬點尸在VABC內(nèi)部，當(dāng)

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120°時,則PA+PB+PC取得最小值.

圖1圖2

(1)如圖2,等邊VABC內(nèi)有一點P,若點尸到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求一AP3的度數(shù)，為

了解決本題，我們可以將AABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時AACP/△的這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段以、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出44PB=；

知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120。的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點與VABC的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點.請同學(xué)們探索以下

問題.

⑵如圖3,VABC三個內(nèi)角均小于120。，在VA2C外側(cè)作等邊三角形△ABE,連接CE,求證：CB'過VABC

的費馬點.

(3)如圖4,在RTAABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,點尸為VABC的費馬點，連接AP、BP、CP,

求上4+PB+PC的值.

(4)如圖5,在正方形A58中，點E為內(nèi)部任意一點，連接AE、BE、CE,且邊長AB=2；^AE+BE+CE

的最小值.

12.【問題提出】

(1)如圖1,四邊形ABC。是正方形，是等邊三角形，/為對角線3。(不含8點)上任意一點，將

繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到3N,連接EN、AM,CM.若連接跖V,則ABMN的形狀是.

(2)如圖2,在R/AABC中，ZBAC=90°,AB+AC=10,求3C的最小值.

【問題解決】

(3)如圖3,某高新技術(shù)開發(fā)區(qū)有一個平行四邊形的公園ABC。，AB+8c=6千米，ZABC=60°,公園內(nèi)

有一個兒童游樂場E,分別從48、C向游樂場E修三條求三條路的長度和(即AE+BE+CE)

最小時，平行四邊形公園A38的面積.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點B的坐標(biāo)為(0,2),點。在x軸的正半軸上，=30°,OE

為△BOD的中線，過B、E兩點的拋物線y=o?+3x+c與x軸相交于A、下兩點(A在歹的左側(cè)).

6

(2)等邊△QMN的頂點M、N在線段AE上，求AE及AM的長；

(3)點、P為AABO內(nèi)的一個動點，設(shè)加=PA+P3+PO,請直接寫出，"的最小值，以及加取得最小值時，

線段AP的長.

14.【閱讀材料：】如圖①，AABC中，各個內(nèi)角均小于120。，在AABC內(nèi)找一點。，使

ZAOB=ZAOC=Z.COB=120°,止匕時；Q4+O3+OC最?。贿@個點。稱為AABC的費馬點，OA+OB+OC

的值稱為“1BC的費馬距離；(費馬，17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家)

【費馬點的求作及原理：】如圖②，在AABC的外側(cè)作等邊AABD、等邊AACE,連接CD、3E交于點O,

這個交點。就是AABC的費馬點；

作圖原理：小明給了一些思路，請根據(jù)小明的思路，完成證明：

小明的部分證明思路：第一步，先證明右仞。絲448￡,...進(jìn)而得出/。。8=120。，第二

步，連接。4,并在線段。。上取一點。，使NOAQ=60。；…進(jìn)而得出/4。8=120。

第一步：;

第二步：.

【費馬距離的計算：】連接Q4.

(1)證明：OA+OB+OC=CD-,

(2)當(dāng)鉆=4,8。=5,48。=60。時，求&4BC的費馬距離.

15.1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A,B,C,求

平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該

點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角

形的某個頂點）

當(dāng)VABC的三個內(nèi)角均小于120°時，

如圖1,將繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到AA'PC,連接尸P,

由尸C=PC,ZPCP'=60°,可知APCP為①三角形,故=又=故

PA+PB+PC=PA+PB+PP>AB,

由②可知,當(dāng)P,P',A在同一條直線上時，R4+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為43,此時

的尸點為該三角形的“費馬點”，5.^"ZAPC=ZBPC=ZAPB=@；

已知當(dāng)VA2C有一個內(nèi)角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若/B4C2120。，

則該三角形的“費馬點”為⑷點.

（2汝口圖4,在VABC中，三個內(nèi)角均小于120。，且AC=3,BC=4,ZACB=30°,已知點尸為VA3C的“費

馬點”，求上4+尸3+尸（7的值；

（3）如圖5,設(shè)村莊A,B,C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知AC=4km,8C=2百km,ZACB=60°.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A,B,C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A,B,C的鋪設(shè)成本分別為a

元/km,。元/km,元/km,選取合適的尸的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.（結(jié)果

用含a的式子表示）

16.（八年級上?江蘇南京?階段練習(xí)）背景資料：在已知VABC所在平面上求一點尸，使它到三角形的三個

頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的

點被人們稱為“費馬點如圖1,當(dāng)VABC三個內(nèi)角均小于120。時，費馬點P在VABC內(nèi)部，當(dāng)

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120。時，貝！I+尸3+PC取得最小值.

(1)如圖2,等邊VABC內(nèi)有一點P,若點尸到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求一AP3的度數(shù)，為

了解決本題,我們可以將“PB繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACT處，此時△ACP'四△APB這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段出、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出/4P3=.知識生成：怎樣找三個內(nèi)角

均小于120。的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂

點與VABC的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點，請同學(xué)們探索以下問題.

⑵如圖3,VABC三個內(nèi)角均小于120。，在VABC外側(cè)作等邊三角形AAB?,連接CE,求證：CB,xtNABC

的費馬點.

(3)如圖4,在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=l,/ABC=30。，點P為VA2C的費馬點，連接AP、BP、CP,

求上4+PB+PC的值.

17.(22-23八年級下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí))背景資料：在已知VABC所在平面上求一點P,使它到三角形

的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的,

所求的點被人們稱為“費馬點如圖1,當(dāng)VABC三個內(nèi)角均小于120。時，費馬點尸在VABC內(nèi)部，當(dāng)

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120。時，貝!J上4+尸3+PC取得最小值.

(1)如圖2,等邊VA3C內(nèi)有一點P,若點尸到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求一AP3的度數(shù).為

了解決本題，我們可以將△APB繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。到△ACP處，這樣就可以將三條線段R4、PB、PC

轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出ZAPB=_。.

(2)請利用第(1)題解答的思想方法，解答下面的問題：

①如圖3,VABC中，AB=AC,E、尸為BC邊上的點，且44F=45。，判斷BE、EF、之間的數(shù)量關(guān)

系并注明；

②如圖4,在VA3C中，ZABC=30°,AB=2,BC=3,在VABC內(nèi)部有一點P,連接上4、PB、PC,求

B4+PB+PC的最小值.

18.若一個三角形的最大內(nèi)角小于120。，則在其內(nèi)部有一點所對三角形三邊的張角均為120。，此時該點叫

做這個三角形的費馬點.如圖1,當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120。時，費馬點尸在AABC內(nèi)部，此時

ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,上4+尸3+PC的值最小.

⑴如圖2,等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,若點P到頂點A,B,C的距離分別為3,4,5,求NAP3的度數(shù).為

了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△A8P繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP處，連接尸P,此時AAW/AAB尸，

這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段抬，PB,PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出Z4PB=.

(2)如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上延長3P,在射線8尸上取點E,連接AE,AD.^AD=AP,ZDAE=ZPAC,

求證：BE^PA+PB+PC.

⑶如圖4,在直角三角形ABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,鉆=1,點尸為直角三角形ABC的費馬點，

連接AP,BP,CP,請直接寫出R4+PB+PC的值.

壓軸專題10費馬點模型

技法全歸納

知識考點與解題策略

費馬點概念：三角形內(nèi)部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.A

結(jié)論：

1）對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120。的點；

DC

2）對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點.

（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120。）

【解題思路】運用旋轉(zhuǎn)的方法，以AABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點之間線段最短,

得出最短長度.

【擴(kuò)展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費馬點結(jié)論

如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB,交點為點P,點P為費馬點.

圖形結(jié)論

等腰三角形A①NAPB=NBPC=NAPC=120°；

②/\ABP與4ACP全等；

③4BCP為等腰三角形；

@AABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小.

等邊三角形①AP=BP=CP；

②NAPB=NBPC=NAPC=120°；

③AABP、AACP>4BCP全等；

④點P是垂心，是AABC各邊的高線的交點；

⑤點P是4ABC各邊的中線的交點；

⑥點P是內(nèi)心,是在三角形三個內(nèi)角的角平分線的

交點；

⑦4ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小.

直角三角形A______E①4ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

y

為費馬點時和最?。?/p>

?ZAPB=ZBPC=ZAPC=120°

BC

【進(jìn)階】

加權(quán)費馬點模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數(shù)都是1,如果現(xiàn)在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1,那么此類題目就叫做“加權(quán)費馬點”.

【模型拓展】

類型一單系數(shù)類

當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，

類型二多系數(shù)類

其實當(dāng)三條線段的三個系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時，都是符合加權(quán)費馬點的條件的。

以不同的點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對于給定的系數(shù)，我們該如何選取旋轉(zhuǎn)

中心呢？我們總結(jié)了以下方法：

1.將最小系數(shù)提到括號外；

2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；

3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所

在的三角形。

例：已知：在RtaABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,△ABC內(nèi)部有一點P,連接PA,PB,PC

問題求解圖形作法

求PA+PB+PC最D△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得4CDE

底

小值BD長度即為所求，在RtABCD中有勾股定理可得

BD=VBC2+CD2=V61

BC

求PA+PB+V2PC△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得4CDE

y

最小值此時4PCE為等腰直角三角形，即PE=V2PC

因止匕原式=PA+PB+VIPC=ED+PB+PE,則當(dāng)B、P、E、

四點共線時取得最小值，BD長度即為所求，在Rt^BF

B66O￥C

3弋多?????...八/3中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=V91

/-F-

求PA+PB+V3PCE△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得4CDE

最小值此時4PCE為等腰三角形且NPCE=120°,即

PE=V3PC,因此原式=PA+PB+百PC=ED+PB+PE,則匚

B3。沔幻

B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所可

在RtABFD中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=

V60+30V3

思路：原式=2(PA+^PB+?PC)

22

1)將PC邊繞點C旋轉(zhuǎn)60°,然后過點P作PFLCE」

點F,貝ijPF=3PC;2)扣B利用三角形中位線來處理；3：

PA前的系數(shù)是1,不需要轉(zhuǎn)化，所以旋轉(zhuǎn)4PCB.

過程：ABCP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后才

點P作PFLCE于點F,此時4PCE為等邊三角形，跳

pF=V3pc過點F作FG〃DE,則FG=-PB,則當(dāng)A、P

22

F、G四點共線時取得最小值，AG長度即為所求，在I

△ACG中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=V345原式

=2(PA+-PB+^PC)=2734

過程：4ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后i

點P作PFLCE于點F,此時4PCE為等邊三角形，跳

PF=^PC,過點F作FG〃DE,貝I]FG=iAP,則當(dāng)B、P

22

F、G四點共線時取得最小值，BG長度即為所求，在:F

△BCG中有勾股定理可得BG=VCG+AC2=7.5,原式=

(ipA+PB+^PC)=26

22

備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識進(jìn)行贏

可典題固基礎(chǔ)

例題1(24-25九年級上?江蘇鹽城?階段練習(xí))探究題

(1)知識儲備

①如圖1,已知點尸為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點.求證：PB+PC=PA.

②定義：在△ABC所在平面上存在一點P,使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點尸為△ABC的費

馬點，此時以+PB+PC的值為△A8C的費馬距離.

（2）知識遷移

我們有如下探尋△ABC（其中NA，ZB,NC均小于120。）的費馬點和費馬距離的方法：如圖2,在△ABC的

外部以8C為邊長作等邊△80及其外接圓，根據(jù)（1）的結(jié)論，易知線段—的長度即為△ABC的費馬距離.

（3）知識應(yīng)用

①如圖3所示的△ABC（其中均小于120。），AB=3,BC=4,ZABC=30°,現(xiàn)取一點尸，使點

P到A民。三點的距離之和最小，求最小值；

②如圖4,若三個村莊A3、C構(gòu)成尺也ABC,其中AC=6km,BC=40km,NC=9O°.現(xiàn)選取一點尸打水井，

使P點到三個村莊A&C鋪設(shè)的輸水管總長度最小，畫出點尸所對應(yīng)的位置，輸水管總長度的最小值為

.（直接寫結(jié)果）

【答案】（1）證明見解析；

（2）AD

（3）5,2739.

【分析】（1）在以上截取PD=PC,可證明△ACZ）多△BCP,則從而得出B4=PB+PC；

（2）利用（1）中結(jié)論得出B4+PB+PC=R1+（尸B+PC）=B4+P。，再根據(jù)“兩點之間線段最短”可得答案；

（3）①在（2）的基礎(chǔ)上先畫出圖形，再利用勾股定理求解；

②仿照①的方法可畫出P的位置，利用勾股定理可求出輸水管總長度的最小值，

【詳解】（1）解：①證明：在抬上截取PD=PC,連接CD,

\"AB=AC=BC,

所以AB=AC=BC，

ZAPB=ZAPC=60°,

...△PC。為等邊三角形，

/.ZPCD=ZACB=60°,CP=CD,

：.NPCD-Z.DCM=AACB-NDCM,即ZACD=/BCP,

在△AC。和ABCP中,

AC=BC

ZACD=NBCP

CP=CD

：.△AC。絲ABCP(SAS),

：.AD=PB,

'：PA=AD+DP,DP=PC,

：.Ri=PB+PC；

(2)如圖2,根據(jù)(1)的結(jié)論得：PA+PB+PC=PA+^PB+PC)=PA+PD,

.?.當(dāng)A、尸、。共線時，以+PB+PC的值最小，

二線段A。的長度即為△ABC的費馬距離，

故答案為：AD-

D

圖2

(3)①如圖，以8C為邊長在AABC的外部作等邊△8C。，連接AZ),則線段AO的長即為最短距離,

?.?△BCO為等邊三角形，BC=4,

ZCBD=60°,BD=BC=4,

'：ZABC=30°,

：.ZABD=90°,

在RtXABD中,

VAB=3,BD=4,

AD=ylAB2+BD2=A/32+42=5；

②以BC為邊,在BC下方作等邊△BCK,設(shè)等邊△BCK外接圓為。O,連接AK交。。于P,則由①知此時

E4+P2+PC最短，且最短距離等于AK的長度，過K作K7UAC交AC延長線于T,如圖:

?.?△3CK是等邊三角形,

/.ZBCK=60°,CK=BC=46，

'：ZCAB=90°,

...ZTCK=30°,

在C7X中，

TK=、CK=、4乖>=2瓜CT=?K=舟2拒=6,

22

/.AT=AC+CT=6+6=12,

在RfAAKT中，

AK=>JAT2+TK2=J122+(2⑹2=2A/39,

故答案為：2回.

【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，也是閱讀理解型問題，主要考查了新定義：三角形費馬點和費馬距離,

還考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等、勾股定理等知識，難度很大，理解新定義是本題的關(guān)鍵.

s新題型特3

1.如圖，在VABC中，NC4B=90。，AB=AC=1,P是VA2C內(nèi)一點，求上4+尸3+PC的最小值為

2

【分析】將小APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得小DFC,可得PC=PF,DF=AP,^PA+PB+PC轉(zhuǎn)化為

FD+BP+PF,此時當(dāng)8、P、F、。四點共線時，B4+P3+PC的值最小，最小值為8。的長；根據(jù)勾股

定理求解即可.

【詳解】解：將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得△。尸C,連接PF、AD,DB,過點。作。ELBA,交B4的

延長線于點E-

：.AP=DF,ZPCF=ZACD^60°,PC=FC,AC=CD,

：./\PCF,△AC。是等邊三角形，

:.PC=PF,AD=AC=l,/D4C=60°

PA+PB+PC=FD+BP+PF,

...當(dāng)2、P、F、。四點共線時，R4+PB+PC的值最小，最小值為的長;

VZCAB=90°,ZCAD=60°,

：.ZEAD=30°,

DE=—AD=—,

22

AE=VAD2-￡D2=—,

2

/.B￡=l+—,

2

BD=y/BE2+DE2="+3,

2

PA+PB+PC的值最小值為8.

故答案為：

【點睛】本題考查費馬點問題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得小DFC,將三條線段的長

轉(zhuǎn)化到一條直線上.

2.如圖，在放AABC中，ZBAC=90°,AB^AC,點P是A8邊上一動點，作尸。_LBC于點。，線段4。上

存在一點。，當(dāng)QA+Q8+QC的值取得最小值，且4。=2時，貝!]P￡)=.

A

【答案】3+也

【分析】如圖1,將ABQC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△8M0,連接。N,當(dāng)點A,點。，點N,點M共線時,

Q4+QB+QC值最小，此時，如圖2,連接MC,證明AM垂直平分BC,證明AO=B。，此時尸與O重合，

設(shè)則。Q=x-2,構(gòu)建方程求出x可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖1,將仆BQC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△BNM,連接QN,

：.BQ=BN,QC=NM,ZQBN=60°,

...△BQN是等邊三角形，

：.BQ=QN,

：.QA+QB+QC=AQ+QN+MN,

當(dāng)點A,點。，點N,點M共線時，Q4+QB+QC值最小,

此時，如圖2,連接MC

A(P)

圖2

:將△8QC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△BNM,

：.BQ=BN,BC=BM,ZQBN=60°^ZCBM,

...△BQV是等邊三角形，ACBM是等邊三角形，

:./BQN=/BNQ=60。,BM=CM,

；BM=CM,AB=AC,

AM垂直平分BC,

'：AD±BC,ZBQD=60°,

BD=6QD,

\"AB=AC,ZBAC=90°,ADYBC,

：.AD=BD,此時尸與。重合，設(shè)貝ljDQ=x-2,

.'.x=tan60°x(%-2)=A/3(X-2),

??x=3+y/3，

:.PD=3+B

故答案為：3+6-

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

正確運用等邊三角形的性質(zhì)解決問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題.

3.如圖，在VABC