2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)全等三角形解答題專題提升訓(xùn)

練

1.如圖，點(diǎn)A、B、C、。在一條直線上，AE〃/加且=戶，AB=CD.求證:

(l)AAEB^ADFC；

(2)四邊形BECF是平行四邊形.

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,尸為對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF.

(1)求證：LADFm4CBE；

⑵若N3CE=30。，ZAfD=80°,求/CBE的度數(shù).

3.如圖，C是/M4N的角平分線上一點(diǎn)，CE±AN,CF±AM,垂足分別為E,F.過

點(diǎn)C作切〃4V,交AM于點(diǎn)。，在射線EN上取一點(diǎn)8,使—CBE=2-DC4.

M

(1)求證：CF=CE；

⑵求證：DF=BE.

4.如圖，在VABC中，點(diǎn)。在BC邊上，ZBAD=100°,/WC的平分線交AC于點(diǎn)E,

過點(diǎn)E作垂足為b，且NA￡F=50。，連接BE.

F

⑴求的度數(shù)；

⑵求證：BE平分ZABC；

⑶若40=6,8=10,三角形ACD的面積是16,求的長(zhǎng).

5.如圖，AQ為VABC的角平分線，DEJ.AB于點(diǎn)E,DP1AC于點(diǎn)凡連接EF交AD于

點(diǎn)0.

A

(1)求證：垂直平分跖；

(2)若/朋C=60。，DO=2,求AO的長(zhǎng)度.

6.如圖，在四邊形ABCD中，8。所在的直線垂直平分線段AC,過點(diǎn)A作交CD

于F延長(zhǎng)ARDC交于點(diǎn)E.

A

⑴求證：AC平分NE4F；

⑵求證：NFAD=ZE；

(3)若/皿＞=90。,4￡=5,△?!￡右的面積為"，求CF的長(zhǎng).

7.如圖在VA5c中，點(diǎn)。在BC邊上，440=40。，/ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E

作交班的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E且NAEF=20。，連接OE.

(2)若AB=6,AD=5,CD=7,且5.48=12,求_43￡■的面積.

8.如圖，在，ABCD中，BE、DG分別平分/ABC、^ADC,交AC于點(diǎn)E、G.

(1)求證：△AGgACEB；

(2)過點(diǎn)E作所，AB,垂足為若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為48,EF=8,求ABC。的

面積.

9.如圖，DE/AB于E,DblAC于E若BD=CD,AD平分NA4C；

(1)求證：BE=CF；

⑵已知AC=20,BE=4,DF=8,求四邊形ABDC的面積.

10.如圖，點(diǎn)A,8分別在NMON的邊ON,ON上,NMON的平分線OC與48的垂直平

分線C。交于點(diǎn)C,CELOM于點(diǎn)E,CF1ON于點(diǎn)、F.

⑴求證：AE=BF；

(2)若08=8,OE=6,求。4的長(zhǎng).

11.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,D是邊AC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作交BD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作砂，AC于點(diǎn)孔過點(diǎn)。作DGL4B于點(diǎn)G,若AG=EF.

(1)試判斷VADE的形狀，并說明理由.

⑵若CD=2,求AF的長(zhǎng).

12.如圖，在VABC中，點(diǎn)。在BC邊上，NBAO=100。,NABC的平分線交AC于點(diǎn)E,過

點(diǎn)石分別作^^凡^欣^人2即,臺(tái)0垂足分別為尸，G,H,且NAEF=50。，連接OE.

(2)若A8=7,AD=4,C￡>=8,且548=15,求ABE的面積.

13.如圖，在VABC中，點(diǎn)。在BC邊上，ZBAD=U0°,BE平分工ABC交AC于點(diǎn)E,

過點(diǎn)E作跖，AB交84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E且NAEF=55。，連接DE.

F

A

E

⑴求NC4D的度數(shù)；

⑵求證：OE平分4OC；

⑶若AD=4,CD=8,且SACO=15,求跖的長(zhǎng).

14.如圖，在梯形ABCD中，ZA=ZB=90°,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，OE平分/ADC.

(1)求證：CE平分NBCD；

(2)求證：AD+BC^CD.

15.如圖，已知VABC中BC邊上的垂直平分線OE與1A4c的平分線交于點(diǎn)E,EF±AB

交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)孔￡^，4。交于點(diǎn)3.

A

(1)求證：BF=CG.

(2)求證：AG=1(AB+AC).

16.如圖，在VABC中，PE垂直平分邊2C,交BC于點(diǎn)、E,AP平分ZBAC的外角/BAD,

PGLAD,垂足為點(diǎn)G,PHLAB,垂足為點(diǎn)H.

(1)求證：ZPBH=ZPCG；

(2)若N3AC=90。，求證：BC=2PE.

17.已知：如圖，四邊形A3CD中，AB//CD,E是線段8C上一點(diǎn)，EA,ED分別平分

和NADC,AE的延長(zhǎng)線與DC延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)

DCF

(1)求證AE=FE；

(2)若AB=9,CD=3,的面積為S1,△AED的面積為S2,求號(hào)的值.

18.如圖，點(diǎn)C為線段A3上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合)，分別以AC、BC為一腰在A3

的同側(cè)作等腰ACD和等腰BCE,C4=CD,CB=CE,/ACD與/BCE都是銳角，且

ZACD=NBCE,連接AE交CD于點(diǎn)連接8。交CE于點(diǎn)N,AE與相交于點(diǎn)尸，

連接PC.

CB

求證：

(1)ACEgDCB；

Q)ZAPC=/BPC.

19.如圖，在四邊形ABC。中，過點(diǎn)。作CE1AB于點(diǎn)區(qū)并且CD=CB,

ZCBE+ZAZ)C=180°.

A

ER

⑴求證：AC平分/AD；

(2)若AB=5,BE=1,求AD的長(zhǎng)；

(3)若VABC和.ACD的面積分別為28和16,貝山3CE的面積為

20.已知：如圖，VABC中，ZC=90°,過點(diǎn)A作ZM4B=NC4B,分別在AC、AM上取點(diǎn)

。、E,使BD=BE,過點(diǎn)8作垂足為G.

⑴求證：DC=GE；

⑵若/C4M=70。，求的度數(shù)；

(3)連接OE,過點(diǎn)C作交DE于點(diǎn)、F.求證：點(diǎn)尸為DE的中點(diǎn).

《2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)全等三角形解答題專題提升訓(xùn)練》參考答案

L(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，解題關(guān)鍵是掌握全等三

角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的判定方法.

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等“得NA="，再結(jié)合已知條件并根據(jù)全

等三角形判定(邊角邊)，得AAEB公ADFC；

(2)根據(jù)(1)得AAEB且ADFC,由全等三角形的性質(zhì)得跖=CF,ZABE=/DCF,

進(jìn)一步根據(jù)平行線的判定“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”得鹿〃CF,再根據(jù)平行四邊形的判

定“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”，即可證得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：〃81,

:.ZA=ZD,

在.和△加C中，

AE=DF

<ZA=ZD,

AB=CD

:..AEB^,DFC(SAS),

(2)證明：由(1)得△AEB咨ADFC,

:.BE=CF,ZABE=NDCF,

：.l800-ZABE=180?！猌DCF

即NCBE=NBCF

:.BE//CF,

四邊形班EC是平行四邊形.

2.(1)見解析

(2)70°

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)、三角

形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵.

(1)由平行四邊形的性質(zhì)可得AD=BC,AD〃C3,則Z￡MF=ZBCE,再根據(jù)線段的和差

可得AF=CE,最后根據(jù)SAS即可證明結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得/3￡C=NAFD=80。，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解答.

【詳解】(1)證明：???平行四邊形ABC，

AD=BC,AD//CB,

：.ZDAF=NBCE,

?/AE=CF,

：.EF+AE^EF+FC,即AF=CE,

四△CBE(SAS).

(2)解:,；4ADF"ACBE,NATO=80°,

，NBEC=ZAFD=80。,

?/NBCE=30°,

：.NCBE=180?！狽BEC-ZBCE=70°.

3.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了角平分線定義，全等三角形性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于

熟練掌握全等三角形性質(zhì)和判定.

(1)結(jié)合角平分線定義，證明ZsAb四△ACE,結(jié)合全等三角形性質(zhì)即可證明CF=CE；

(2)結(jié)合平行線性質(zhì)，證明△CEDgACEF,結(jié)合全等三角形性質(zhì)即可證明。尸=BE.

【詳解】(1)證明：C是/腸W的角平分線上一點(diǎn)，

.?./3=/4=/5=90,

在△ACF和ZVICE中，

Z3=Z4

Z1=Z2,

AC=AC

ACF^ACE(AAS),

:.CF=CE；

(2)證明：CD//AN,

又：Z1=Z2,

:.N6=2N］，

又?,ZCBE=2ZDCA,即NCBE=2/7,

:./6=NCBE,

在△CTO和CEB中，

26=NCBE

<Z3=Z5,

CF=CE

CFD^C￡B(AAS),

:.DF=BE.

4.(1)40°

(2)見解析

⑶2

【分析】本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟

練掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)垂直得到NAFE=90。，利用三角形外角的性質(zhì)得到？BAE140?,再根據(jù)

ZBAE=ZBAD+ZCAD,即可求出NCAD的度數(shù)；

(2)過點(diǎn)E作根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到所=EG,EG=即，進(jìn)而得

到EF=￡H,再根據(jù)角平分線的判定定理即可證明結(jié)論；

(3)根據(jù)三角形的面積公式求出團(tuán)=2,再根據(jù)(2)中結(jié)論即可求解.

【詳解】(1)解：???EF上AB,

.?ZF=90°,

ZAEF=50°,

.?.Z^4E=ZF+ZAEF=900+50°=140°,

QNBAE=/BAD+/CAD,/BAD=100°,

ZCAD=ZBAE-ZBAD=140°-100°=40°,BPZZME=40°.

(2)證明：過點(diǎn)E作￡6，仞交入。于點(diǎn)6,E“，氏7交5。于點(diǎn)”,

QZF=90°,ZAEF=50°f

/.ZEAF=90°-50°=40°,

由(1)可知，ZC4T>=40°,

,\ZEAF=ZCAD=40°,

.:AE平分NEW,

QEF±AF,EG1AD,

:.EF=EG,

DE平分ZADC,EG_LAD,EHIBC,

:.EG=EH,

:.EF=EH

QEF1.BF,EHLBC,

...36平分/ABC.

(3)解：QSVACD=16,

,,SvADE+SycDE=16,

:.-ADEG+-CDEH=16,

22

QAD=6,CD=10,EG=EH,

/,-x6xEH+-xl0xEH=16,

22

:.EH=2,

:.EF=2.

5.⑴見解析

(2)6

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判

定，含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是證明AE=AF和=尸；證

明AD=2DE和DE=2OO.

(1)由AD為VABC的角平分線，得到。石二小，推出NAEF=NAFE,得至1］鉆=詼，從

而可以得到AO垂直平分EF；

(2)由已知推出ZEAD=30。，得到AD=2DE,在DEO中，由ZDEO=30。推出DE=2DO,

即可得到答案.

【詳解】(1)證明：：AD為VA5C的角平分線，DE±AB,DFJ.AC,

：,DE=DF,ZAED=ZAFD=90°,

ZDEF=ZDFE,

ZDEA-NDEF=ZDFA-Z.DFE,

即NAEF=N/aE,

AE=AF,

■：DE=DF,AE=AF,

.?.點(diǎn)A、。都在EF的垂直平分線上，

，AD垂直平分班'；

(2)解：VZBAC=60°,AD平分，8AC,

ZEAD=30°,

AAD=2DE,NEDA=60°,

?/AD^EF,

：.ZEOD=90°,

ZDEO=30°,

DE=2DO,

：.AD^ADO,

：.DO=-AD,

4

OA=3OD=6.

6.(1)見解析

Q)見解析

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到朋=3C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到

ABAC=NBCA,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ZCAF=ZBCA,等量代換證明結(jié)論；

(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到A4=DC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到

ZDAC=ZDCA,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)證明即可；

(3)首先推導(dǎo)出CFLAF,過點(diǎn)C作CMLAE,垂足為依據(jù)的面積為經(jīng)，求

4

33

得CM=Z，結(jié)合AC平分44尸，CM.LAE,CF±AF從而得到。尸=CM=大.

2f2

【詳解】(1)證明：???在四邊形A3CD中，所在的直線垂直平分線段AC,

:.BA=BC,

:?/BAC=ZBCA,

???過點(diǎn)A作交CD于尸，

???ZCAF=ZBCA,

：.ZCAF=ZBACf

即AC平分/ELF；

(2)證明：???在四邊形ABCD中，50所在的直線垂直平分線段4C,

???DA=DC,

：.ZDAC=ZDCAf

???ZDCA是△ACE的一個(gè)外角，

:?/DCA=/E+/EAC,

：.NE+ZE4C=NEW+NG4F,

NCAF=NEAC,

???ZFAD=ZE；

(3)解：過點(diǎn)。作CMLAE,垂足為M,如圖，

NEW=90。，

AZE+ZADE=90°,

又?；FAD=ZE,

???ZFAD+ZADE=90°,

???ZAFD=90°f

CF±AFf

V△短（?的面積為二，

4

：.-AE-CM=^-,

24

又：AE=5,

3

/.CM=-,

2

,：AC平分/E4F,CMLAE,CF1AF,

3

CF=CM=-.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角的

性質(zhì)，等面積法求高，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，

等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵.

7.⑴證明見解析；

（2）SAABE=6.

【分析】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形面積公式等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題

的關(guān)鍵.

（1）過點(diǎn)E作EG_LAD于點(diǎn)G,EH1BC于點(diǎn)H,由BE是ZABC的平分線,得到EF=EH,

再證明AE是/E4G的平分線，得到￡F=EG,進(jìn)而得到EG=E",即可得出結(jié)論；

（2）由S,ACD=12,得到gc￡>ZH+gAD-EG=12,求出EF=EH=EG=2,即可求解.

【詳解】（1）證明：過點(diǎn)E作￡3,4。于點(diǎn)6,EH上BC于點(diǎn)、H,如圖：

：8E是/ABC1的平分線，EF±AB,EH1BC,

/.EF=EH,

'：ZAEF=20°,"=90°,

AZfAE,=90°-20°=70°,

ZGAE=180°-ZFAE-ZBAD=70°,

ZGAE=ZFAE,

，AE是/E4G的平分線，

又：EGLAD,EFLAB,

：.EF=EG,

：.EG=EH,

又：EG_LAD,EHIBC,

DE平分NADC；

(2)解：如圖：

：.-CDEH+-ADEG=12,

22

VAD=5,CD=1,EH=EG,

-x7xEG+-x5xEG=12,

22

解得：EH=EG=2,

EF=EH=2,

S^ABE=-^AB-EF=^X6X2=6.

8.(1)見解析

(2)192

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟悉

掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

(1)利用平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證明即可；

(2)過點(diǎn)E作團(tuán)13c于點(diǎn)利用角平分線的性質(zhì)得到E"=￡F=8,利用三角形面積

公式列式運(yùn)算即可.

【詳解】（1）證明：石，DG分別平分/ABC,ZADC,交AC于點(diǎn)石、G,

???ZADG=-ZADC,/CBE=-ZABC,

22

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AZADC=ZABCfAD//CB,AD=CB,

：?ZADG=/CBE,/DAG=/BCE,

在△AG。和二CEB中，

ZADG=ZCBE

<AD=CB,

NDAG=/BCE

???二AGgC班(ASA)；

(2)解：過點(diǎn)石作于點(diǎn)H,如圖所示:

THE分別平分/ABC,EF_LAB于點(diǎn)產(chǎn)，

：.EH=EF=8,

9：AB=CD,BC=DA,且平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為48,

???2AB+2BC=48,

???AB+BC=24,

SABC=S筋七+SCBE=gABxEF+gBCxEH=gx8(AB+BC)=gx8x24=96,

在VABC和CDA中，

AB=CD

<BC=DA,

AC=CA

???.，ABC^AQM(SSS),

1"SAABC=SACDA=96,

SABCD=^AABC+S&CDA=96+96=192,

ABCD的面積是192.

9.⑴見解析

(2)128

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定：

(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出小尸，再由直角三角形全等的判定和性質(zhì)即可證明；

(2)先求出5AAs=80,SMED=16,再由全等三角形的性質(zhì)得到S△幽,=入陋,=16,證明

RtAADE^RtAADF,得到5。小==64,則5小此=-=48,即可得到

S四邊形ABOC=^AABD+5徵8=128.

【詳解】(1)證明：：DE工A5,DF1AC,4￡)平分NBAC,

,DE=DF,ABED=NCFD=90°,

BD=CD,

/.RtBEI注RtCFD(HL),

：.BE=CF；

(2)解：由(1)得DE=DF=8,NBED=NDFA=90。,

,：AC=20,BE=4,DF=8,

???S。。=JAC.DP=80，SmED=*DE=16,

NBED^CFD,

??SgED=S^CFD=16，

?,^AAZ>F=S^ACD-S^CDF~/\ACD~^ABED=64,

又AD=AT>,

RtAADE^RtAADF(HL),

,,S4ADE=^/\ADF=64,

,?^/\ABD=^AADE—/\BDE=48,

,?S四邊形ABDC=S&ABD+,^AACD=128.

10.（1）見解析

（2）OA=4

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí).

（1）連接AC,BC,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AC=3C,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

CE=CF,NCE4=NCFB=90。，證明RtCEA^RtCEB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CE=CF,ZCEO=ZCFO=90°,證明Rt-CEgRtCFO,得

到OE=O歹=6,推出BF=2,結(jié)合AE=BF=2,

即可求解.

【詳解】（1）證明：連接AC,BC,

C￡）垂直平分AB,

AC=BC,

CELOM,CFVON,OC平分NMON,

CE=CF,ZCEA=ZCFB=90°,

Rt_CE4^Rt..CFB（HL）,

AE=BF；

(2).CELOM,CF1,ON,OC平分AMON,

：.CE=CF,ZCEO=ZCFO=90°,

oc=oc,

：.Rt_CEO^Rt_CFO(HL),

OE=OF=6,

ABF=OB—OF=8—6=2,

由（1）知，AE=BF=2,

OA=OE—AE=6—2=4.

11.(l)4ADP是等腰三角形，理由見解析

(2)2

【分析】本題考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，熟練

掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等角的余角相等可得ZADG=ZEAF,證明AEF烏DAG(AAS)得AE=AD,從

而可證是等腰三角形；

(2)由余角的性質(zhì)證明=由角平方線的判定方法得CD=DG=2,由

AEF=_DAG得AF=DG,進(jìn)而可得AF=CD=2.

【詳解】(1)解：AE±AB,

:.ZEAB=90°f

：.ZEAF+ZDAG=90°,

丁DGLAB,

???ZAGD=9Q°

：.ZADG+ZDAG=90°,

：.ZADG=ZEAF,

???EF1AC,

：.NAFF=90。，

：.ZAFE=ZAGD=90°f

AG=EF,

：..AEF^.ZMG(AAS),

***AE=AD9

是等腰三角形；

(2)解：AE=AD,

ZADE=ZAED,

■:ZADE=ZBDC,

:.ZAED=NBDC,

VZEAB=90°,

：.ZAED+ZABD=90°

,/ZACB=90°,

：./CBD+ZBDC=90。,

：.ZCBD=ZABD,

DGLAB,ZACB=90°f

：.CD=DG=2.

■:-AEFMDAG,

AF=DG,

：.AF=CD=2.

12.(1)見解析

35

⑵了

【分析】(1)根據(jù)BE平分^ABC得到EF=EH,根據(jù)AE平分ZDAF得到EF=EG即可得證；

(2)設(shè)EG=x.由(1),得EF=EH=EG=x.利用已知建立方程解答即可.

本題考查了角的平分線的性質(zhì)，三角形的面積，解方程，熟練掌握角的平分線的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】(1)證明：：跖ZAEF=50°,

：.ZFAE=90°-ZAEF=40°.

,?ZBAD=100°,

ZCAD=ISQ°-ZBAD-ZFAE=4Q°,

：.ZFAE=ACAD即AE為ZDAF的平分線.

又；EF上AB,EGLAD,

：.EF=EG.

：BE是一ABC的平分線，EFLAB,EHLBC,

：.EF=EH,

???EG=EH.

(2)解：設(shè)石G=x.

由(1),^EF=EH=EG=x.

SMCD=15,AD=4,CD=8,

???-AD-EG+-CD-EH=15

22f

即4x+8x=30,

解得尤=:,

2

EF=x=~,

2

/.S,RF=-AB-EF=-x7x-=—.

即E2224

13.(1)35°

(2)見解析

(3)i

【分析】本題是三角形綜合題，主要考查了角平分線的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理,

三角形外角的性質(zhì)，三角形面積公式，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解

題關(guān)鍵.

⑴根據(jù)垂直得到NAFB=90。，利用三角形外角的性質(zhì)得到/BAE=145。，再根據(jù)

ZBAE=ZBAD+ZCAD,即可求出NCAD的度數(shù)；

⑵過點(diǎn)E作EG_LAD,EH1BC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF=EG,EF=EH,進(jìn)而得

到EG=即，再根據(jù)角平分線的判定定理即可證明結(jié)論；

(3)根據(jù)三角形的面積公式求出硝=|,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】(1)解：EFLAB,

/.ZF=90°,

ZAEF=55°,

ZBAE=ZF+ZAEF=90°+55°=145°,

QZBAE=ZBAD+ZCADfZBAD=11Q°,

ZCAD=ZBAE-ZBAD=145°-110°=35°；

(2)證明：過點(diǎn)E作交AD于點(diǎn)G,EH，BC交BC于點(diǎn)、H,

F

A

ZF=90°,ZAEF=55°,

B

DH

.-.ZEAF=90°-55°=35°,

由⑴可知，ZEAF=ZCAD=35°,

.:AE■平分NEW,

EF±AF,EGLAD,

：.EF=EG,

BE平分/ABC,EF1BF,EHIBC,

:.EF=EH,

:.EG=EH,

EGLAD,EHIBC,

..DE平分4r>C;

（3）解：-SAS=15,

,,SyADE+^VCDE=15,

AD-EG+-CD-EH=15,

22

AD=4,8=8,EG=EH,

.?.-x4-￡H+-x8-￡H=15,

22

5

EH=—

62

EF=-

2

14.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查角平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)角平分線這

個(gè)條件添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)作石加，CD,垂足為先根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得到鉆=,再等量代換EM=EB,

根據(jù)角平分線判定即可證明;

(2)證明RtDE4^RtDEM(HL)和RtBEC^RtMEC(HL)即可.

【詳解】(1)證明：作EM_LCD,垂足為M,如圖所示：

(2)證明：由(1)得N￡MC=NB=NA=90。，DE=DE,AE=EM,

/.RtDEA^SXDEM(HL),

/.DA=DM,

同理可證：RtBEC空RtMEC(HL),

：.CB=CM,

:CD=DM+MC,

：.CD^AD+BC.

15.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)的

應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出師=CE,根據(jù)角平分線性質(zhì)求出所=GE,即可證

明RtZXBFE鄉(xiāng)Rt^CGE,即可得出答案；

(2)證明.AFE絲AGE,推出”=AG,即可得出答案.

【詳解】(1)證明：連接BE和CE,

B.

丁。石是5C的垂直平分線，

???BE=CE,

〈A石平分/HAC,EF±AB,EG.LAC,

：.Z.BFE=ZEGC=90°,EF=EG,

在RtABfE和RtACGE中，

[BE=CE

[EF=EG'

RtCGE(HL),

:.BF=CG；

(2)證明：TA石平分/R4C,EFLAB,EG.LAC,

：.ZAFE=ZAGE=90°,ZFAE=ZGAE,

在ZiAFE和AGE中，

/FAE=/GAE

<ZAFE=ZAGE,

AE=AE

：.AGE(AAS),

：.AF=AG,

?:BF=CG,

.,.1(AB+AC)=|(AF-BF+AG+CG)

=1(AF+AF)

=AF,

即AG=1(AB+AC).

16.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì):

(1)通過HL證明絲PGC,即可求證；

(2)證明為等腰直角三角形，進(jìn)而得到為等腰直角三角形，得到

PE=BE=-BC即可得證.

2

【詳解】(1)證明：???/>_￡垂直平分邊BC,

,PB=PC,

：AP平分/A4c的外角2PG±AD,PH±AB,

：.PH=PG,NPHB=NPGC=90。,

一PHBMPGC(HL),

NPBH=NPCG；

(2),?ZPBH=ZPCG,Z1=ZPBH+ZBPC=Z.PCG+ZBAC,

：.ZBPC=ZBAC=90°,

,:PB=PC,

：.ZPBC=ZPCE=45°,

,/PE垂直平分邊BC,

BE=CE=-BC,NPEB=90°,

2

A△BEP為等腰直角三角形，

PE=BE=-BC,

2

BC=2PE.

17.(1)證明見解析

【分析】(1)由平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線的有關(guān)計(jì)算可得NADE+NZME=90。,

ZDAE^ZF,由三角形的內(nèi)角和定理及等角對(duì)等邊可得4>EA=90。，AD=DF,然后由

三線合一即可得證；

(2)過E點(diǎn)作于點(diǎn)A/,ENLAD干點(diǎn)、N,由角平分線的性質(zhì)可得=

利用A&4可證得AEB-FEC,于是可得CF=AB=9,由(1)可得=D/，進(jìn)而可得

DA=DF=U,利用三角形的面積公式分別表示出岳，S2,即可得解.

【詳解】(1)證明：：AB〃CZ),

ZCDA+ZDAB=180°,ZBAE=NF,

VEA,皮)分別平分N7MB和-4DC,

ZADE=-ZCDA,NDAE=ZBAE=-NDAB,

22

NADE+NDAE=|(ZCDA+ZDAB)=1xl80°=90°,ZDAE=ZF,

ZDEA=180°-(ZADE+ZDAE)=180°-90°=90°,AD=DF,

DE±AF,

AE=FE;

(2)解：如圖，過E點(diǎn)作于點(diǎn)M,硒_LAD于點(diǎn)N,

?/E4平分

EM=EN,

由(1)可得：AE=FE,ZBAE=ZF,

即：NEAB=NEFC,

在4_A￡B和EEC中，

ZAEB=ZFEC

<AE=FE,

ZEAB=ZEFC

：.AEB^FEC(ASA),

：.CF=AB=99

由(1)可得：DA=DF,

???DA=DF=DC+CF=3+9=12,

191

?、=

,.SiSARF=—2ABEM=—2EM,Sz?=SAtFjLD)=—2ADEN=6EN,

9

0-EM二

AA=2=』.

S26EN4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的有關(guān)計(jì)算,

三角形的內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊，三線合一，角平分線的性質(zhì)，線段的和與差，三角形的

面積公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能加以綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

18.(1)見解析;

(2)見解析.

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角的平分線定理及其逆

定理.

⑴根據(jù)ZACD=/BCE可證ZACE=/DCB,利用SAS可證ACE^,DCB(SAS)；

(2)過點(diǎn)C作C""LAE于H,。6,3。于6,因?yàn)?ACE四<OCB,所以SACE=S%B，所

以!因?yàn)樗钥傻肅H=CG,根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)

22

在角的平分線上，可得點(diǎn)C在NAPS的平分線上，從而可得/4PC=/3PC.

【詳解】(1)證明：ZACD=NBCE,

ZACD+ZDCE=ZDCE+ZBCE,

:.ZACE=ZDCB,

CA=CD

在.ACE和DCB中<NACE=ZDCB,

CE=CB

ACE組OCB(SAS)；

(2)證明：如下圖所示，分別過點(diǎn)C作CBLAE于H,CG，JBZ)于G,

D

E

ACB

由⑴知：ACE^DCB,

:.AE=BD，sACE=sDCB，

:.-AECH=-BDCG,

22

AE=BD,

：.CH=CG,

點(diǎn)C在ZAPB的平分線上，

:.ZAPC=ZBPC.

19.(1)見解析

(2)1

(3)6

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定，熟練掌握全等三角形的性

質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

(1)過點(diǎn)C作C尸，AD于點(diǎn)/，證明△(7/)尸/△CBE,得出b=CE,即可證明AC是

的角平分線，即可得證；

(2)證明△ACF0△ACE得出AF=AE=4,進(jìn)而根據(jù)AD=瓶-DP,即可求解；

==

(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出入CDFS^CBE，SACF-SMC，則可得2sBCES.ABC