2022-2023學(xué)年河北省高中名校聯(lián)盟高一下學(xué)期聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出與的值域，得到集合，利用交集定義求出.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：D.2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部與實(shí)部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)虛部，實(shí)部定義可得答案.【詳解】由題，，則．故選：B3．立體幾何中的四個(gè)基本事實(shí)是學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)，下列四個(gè)命題中不是立體幾何中的基本事實(shí)的是（

）A．過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面B．如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)C．平行于同一條直線的兩條直線平行D．垂直于同一條直線的兩條直線平行【答案】D【分析】由立體幾何中的基本事實(shí)相關(guān)概念可判斷各選項(xiàng)正誤.【詳解】由選項(xiàng)內(nèi)容可知，ABC選項(xiàng)為立體幾何中的基本事實(shí)，D選項(xiàng)，垂直于同一條直線的兩條直線可能異面，可能相交，可能平行，故D不是立體幾何中的基本事實(shí).故選：D4．已知向量滿足，則（

）A． B．1 C．5 D．【答案】A【分析】根據(jù)向量模的計(jì)算公式計(jì)算即可得答案.【詳解】已知，由．故選：A．5．點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，起點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)為與圓的交點(diǎn)，記點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，使得（點(diǎn)在第二象限），則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依題意畫出圖形，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，則、，利用兩角和的正余弦公式計(jì)算可得.【詳解】如圖設(shè)單位圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為、、、，因?yàn)辄c(diǎn)為與圓的交點(diǎn)，所以，則，，因?yàn)?，點(diǎn)在第二象限，所以，所以，

，，即．故選：B6．將函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到一個(gè)偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用恒等變換得，根據(jù)正弦型三角函數(shù)的平移變換與奇偶性即可列方程求得實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】將函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，由函數(shù)是偶函數(shù)得到，所以，又，．故選：C.7．在直三棱柱中，，，過(guò)點(diǎn)作直線與和所成的角均為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算異面直線和所成的角，則的最小值為異面直線和所成角的一半．【詳解】依題意，直三棱柱是正方體的一半，如圖所示，

，為異面直線和所成角，又，是等邊三角形，，過(guò)C作直線的平行線，則當(dāng)與的角平分線重合時(shí)，取得最小值．故選：C8．在中，分別為角所對(duì)的邊，的面積為，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由三角形面積公式求得，由得，再結(jié)合余弦定理以及三角恒等變換求得結(jié)果.【詳解】由得，，從而，又，所以，，，．故選：B.二、多選題9．已知為虛數(shù)單位，則（

）A．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限B．C．D．，則【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及運(yùn)算規(guī)則求解.【詳解】對(duì)于A，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為在第四象限，正確；對(duì)于B，，錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故，正確；對(duì)于D，，正確；故選：ACD.10．已知向量，則（

）A．若，則 B．的最小值為C．可能成立 D．的最大值為3【答案】BC【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可判斷選項(xiàng)A、B；當(dāng)時(shí)，則有判斷選項(xiàng)C；將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題即可求解，判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，若，則．又，故A錯(cuò)誤；．對(duì)于B，，又，當(dāng)時(shí)，，，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知，當(dāng)時(shí)，，則，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，，故D錯(cuò)誤.故選：BC．11．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．//平面B．的最小值為C．直線與平面、平面、平面所成的角分別為，則D．點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則到平面的距離為【答案】ACD【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)結(jié)合線面平行判定定理、勾股定理、余弦定理、線面夾角的定義、點(diǎn)到平面的距離，逐項(xiàng)盤點(diǎn)即可得答案.【詳解】對(duì)于A，如圖連接

在正方體中，因?yàn)椋倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，又平面，平面，所以平面，同理可得，又平面，平面，所以平面，由平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確.對(duì)于B，如圖將平面和平面展開到同一個(gè)平面，連接

的最小值即為，在正方體可得平面，平面，所以，且，所以則平面中，由余弦定理得，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，過(guò)作于，

于，平面于，連接

由正方體易得平面，平面，又直線與平面、平面、平面所成的角分別為，所以，則，因?yàn)槠矫妫矫?，則，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又在矩形中可得，所以，在中，，所以，即，故C正確；對(duì)于D，連接，連接交平面于，過(guò)作交于

在正方體中可得，，平面，因?yàn)槠矫?，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，因?yàn)槠矫妫云矫?，即平面，因?yàn)檎叫蔚拿鎸?duì)角線，所以為正三角形，又，所以，則，因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)槠矫?，所以到平面的距離為，由于點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則為中點(diǎn)，于是到平面的距離為，故D正確.故選：ACD.12．在中，角的對(duì)邊分別為，為的外心，則（

）A．若有兩個(gè)解，則B．的取值范圍為C．的最大值為9D．若為平面上的定點(diǎn)，則A點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【分析】對(duì)于A，由正弦定理求解即可；對(duì)于B，由正弦定理及向量的數(shù)量積公式求解即可；對(duì)于C，法一：用投影向量求解；法二：轉(zhuǎn)化到圓心求解；對(duì)于D，由正弦定理知A點(diǎn)在以為圓心半徑為的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，再求解即可.【詳解】對(duì)于A，由正弦定理，得，有兩解的情形為，且，則，故A正確；對(duì)于B，由正弦定理，得外接圓半徑，由正弦定理知A點(diǎn)在以為圓心半徑為的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，，于是，故B正確；對(duì)于C，法一：用投影向量求解：當(dāng)在上的投影向量的模最大，且與同向時(shí)，取得的最大值，此時(shí)，設(shè)為的中點(diǎn)，則，在上的投影向量的模為，最大值為，故C錯(cuò)誤；

法二：轉(zhuǎn)化到圓心：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如下圖，由正弦定理知A點(diǎn)在以為圓心半徑為的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，由兩段優(yōu)弧拼接成，每段優(yōu)弧所對(duì)圓心角為，所以A點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故D正確．

故選：ABD.三、填空題13．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.若，則.【答案】/【分析】利用大邊對(duì)大角結(jié)合正弦定理可求得，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系直接求解即可.【詳解】在中，由正弦定理可得，解得，又，所以，所以為銳角，所以.故答案為：14．已知點(diǎn)，則在上的投影向量為．（用坐標(biāo)表示）【答案】【分析】由投影向量定義可得答案.【詳解】在上的投影向量為，其中為與同向的單位向量，則.又，，，則.故答案為：15．已知函數(shù)滿足為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式可能為（寫出一個(gè)即可）．【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義選擇函數(shù)的解析式即可.【詳解】取，則符合題意．故答案為：.16．已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為3，．過(guò)頂點(diǎn)作底面的垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作側(cè)面的垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，連接相關(guān)線段形成四面體，則四面體的外接球的表面積為．【答案】【分析】利用空間中的垂直關(guān)系可得三棱錐的各面均為直角三角形，故可證為三棱錐外接球的直徑，據(jù)此可求外接球的表面積.【詳解】由正三棱錐可得為等邊的中心，由題設(shè)可得等邊的邊長(zhǎng)為．取的中點(diǎn)為，連接，則，故，，故.而平面，故平面，而平面，故平面平面，過(guò)作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，故平面，故重?過(guò)作的垂線，垂足為，因?yàn)?，故，，而，平面，故平面，而平面，故平面平面，而平面平面，平面，所以平面，故重合，由平面，平面可得，同理而，平面，故平面，而平面，?故三棱錐的各面均為直角三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，則，故為三棱錐外接球的直徑.故外接球的表面積為．故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：空間幾何體的外接球的球心位置的確定，可依據(jù)球心的性質(zhì)（到各頂點(diǎn)的距離相等）來(lái)確定，當(dāng)然可以根據(jù)截面圓的圓心與球心的連線垂直于該截面圓來(lái)確定的.四、解答題17．已知，向量的夾角為，其中．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)向量共線定理進(jìn)行求解；（2）根據(jù)兩個(gè)向量垂直，數(shù)量積為零進(jìn)行求解.【詳解】（1）由，設(shè)，即，則且，解得.（2）已知，向量的夾角為,.則，解得：.18．在中，角的對(duì)邊分別為．(1)求的大??；(2)若為銳角，求的取值范圍．【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用條件，切化弦得到，再利用正弦的和角公式及誘導(dǎo)公式得到，即可求出結(jié)果；（2）利用（1）中結(jié)果，用表示出，通過(guò)化簡(jiǎn)變形得到，再利用的圖像與性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由，得到，即，所以，又，所以，則，又，所以或.（2）∵角是銳角，由（1）知，,，所以，故，所以，又,所以的取值范圍是．19．意大利數(shù)學(xué)家卡瓦里在《不可分量幾何學(xué)》中講解了通過(guò)平面圖形旋轉(zhuǎn)計(jì)算體積的方法．如圖，為半圓的直徑，、為半圓弧上的點(diǎn)，，，陰影部分為弦、、與半圓弧所形成的弓形．將該幾何圖形繞著直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周，陰影部分旋轉(zhuǎn)后會(huì)形成一個(gè)幾何體．

(1)寫出該幾何體的主要結(jié)構(gòu)特征（至少兩條）；(2)計(jì)算該幾何體的體積．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征可得出結(jié)論；（2）連接，則，分別過(guò)、作的垂線，垂足分別為、，分析可知該幾何體的體積為球的體積減去兩個(gè)圓錐的體積以及一個(gè)圓柱的體積，計(jì)算出圓錐的底面半徑和高、圓柱的底面半徑和高，利用球體、錐體以及柱體的體積公式可求得該幾何體的體積.【詳解】（1）解：該幾何體中間空心部分為一個(gè)圓柱和兩個(gè)等高的圓錐拼接而成的組合體，且圓柱的上下底面分別為兩個(gè)圓錐的底面．該旋轉(zhuǎn)體為球體挖去上述組合體而形成的幾何體．（2）解：連接，則，分別過(guò)、作的垂線，垂足分別為、．因?yàn)椋瑒t，因?yàn)椋瑒t，，．同理，，，則，因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，故，所以，該幾何體的體積為球的體積減去兩個(gè)圓錐的體積以及一個(gè)圓柱的體積，故該幾何體的體積為．

20．某地政府為了解決停車難問(wèn)題，在一塊空地上規(guī)劃建設(shè)一個(gè)四邊形停車場(chǎng)．如圖，經(jīng)過(guò)測(cè)量，中間是一條道路，其面積忽略不計(jì)．

(1)求的值；(2)的面積分別記為，求的最大值．【答案】(1)(2)98【分析】（1）在中，利用余弦定理求解即可；（2）由（1）得，再利用三角形面積公式及二次函數(shù)求最值得出結(jié)果.【詳解】（1）在中，，根據(jù)余弦定理，．同理，在中，．所以，化簡(jiǎn)得．（2）由（1）有．由題意，同理可得，的面積，．令，則，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為98．21．如圖，在正四棱錐中，分別為的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求該四棱錐被平面所截得的兩部分體積之比，其中．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）連接，利用線面、面面垂直的判定，結(jié)合正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征推理作答.（2）求出點(diǎn)到平面的距離即可求出線面角的正弦.（3）由（2）中信息求出四棱錐及的體積，再求出比值作答.【詳解】（1）在正四棱錐中，連接，連接，由正方形，得，由，得平面，則平面，而分別為的中點(diǎn)，即，因此平面，又平面，所以平面平面.

（2）設(shè)與相交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，由，得，則為等邊三角形，，因?yàn)槠矫嫫矫妫覟榻痪€，所以到平面的距離等于到直線的距離，，在中，由余弦定理得，則，則到直線的距離，直線與平面所成角的正弦值．（3）過(guò)作于，設(shè)，則，，由，得，解出，由，得，在中，，四棱錐的高，則，四邊形的對(duì)角線垂直，則，下方幾何體體積，所以．22．（1）已知函數(shù)，指出函數(shù)的單調(diào)性．（不需要證明過(guò)程）；（