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2022年廣東省湛江市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.在中,°,為邊BC的三等分點(diǎn),則等于(
)A.
B.
C. D.參考答案:A略2.袋中裝有4個(gè)紅球、3個(gè)白球,甲、乙按先后次序無(wú)放回地各摸取一球,在甲摸到了白球的條件下,乙摸到白球的概率是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B3.利用如圖所示程序框圖在直角坐標(biāo)平面上打印一系列點(diǎn),則打印
的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上的個(gè)數(shù)是
(
)A.0
B.1
C.2
D.3參考答案:B略4.設(shè)數(shù)列是以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則
(
)
A.1033
B.1034
C.2057
D.2058參考答案:A略5.如下圖所示是一個(gè)半徑等于2的半球,現(xiàn)過(guò)半球底面的中心作一個(gè)與底面成80°角的截面,則截面的面積為(
A.
B.
C.
D.參考答案:C6.在下列四個(gè)命題中,其中為真命題的是(
)A.命題“若,則”的逆否命題是“若,則”B.若命題p:,則
C.若,則
D.若命題:所有冪函數(shù)的圖像不過(guò)第四象限,命題:所有拋物線的離心率為1,則命題且為真參考答案:D7.(5分)(2015?麗水一模)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期為π,且f(﹣x)=f(x),則()A.f(x)在單調(diào)遞減B.f(x)在(,)單調(diào)遞減C.f(x)在(0,)單調(diào)遞增D.f(x)在(,)單調(diào)遞增參考答案:A【考點(diǎn)】:由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式;正弦函數(shù)的單調(diào)性.【專題】:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).【分析】:利用輔助角公式將函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn),根據(jù)周期與ω的關(guān)系確定出ω的值,根據(jù)函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)確定出φ的值,再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行考查篩選.解:由于f(x)=sin(ωx+?)+cos(ωx+?)=,由于該函數(shù)的最小正周期為π=,得出ω=2,又根據(jù)f(﹣x)=f(x),得φ+=+kπ(k∈Z),以及|φ|<,得出φ=.因此,f(x)=cos2x,若x∈,則2x∈(0,π),從而f(x)在單調(diào)遞減,若x∈(,),則2x∈(,),該區(qū)間不為余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,故B,C,D都錯(cuò),A正確.故選A.【點(diǎn)評(píng)】:本題考查三角函數(shù)解析式的確定問(wèn)題,考查輔助角公式的運(yùn)用,考查三角恒等變換公式的逆用等問(wèn)題,考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和意識(shí),考查學(xué)生的整體思想和余弦曲線的認(rèn)識(shí)和把握.屬于三角中的基本題型.8.已知為上的可導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),,則關(guān)于x的函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(
)A.0
B.1
C.2
D.3參考答案:A9.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是
(
)
參考答案:A略10.已知i為虛數(shù)單位,則等于(
).A.i B.1 C.-i D.-1參考答案:D【分析】利用的周期求解.【詳解】由于,且的周期為4,,所以原式=.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算和的周期性,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù),若直線,是函數(shù)圖象的兩條平行的切線,則直線,之間的距離的最大值是_____.參考答案:2【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),設(shè)兩切點(diǎn),利用兩切線平行找到兩切點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系,然后寫出兩切線方程,計(jì)算出兩切線間距離再求最值.【詳解】解:因?yàn)?,記l1,l2的切點(diǎn)分別為、,且所以所以因?yàn)閘1:,化簡(jiǎn)得同理l2:即所以因?yàn)樗?,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以距離最大值為2故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程,兩平行線間距離的最值,曲線的切線斜率即為該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),求最值過(guò)程中常用到不等式或函數(shù)相關(guān)知識(shí).12.設(shè)滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)的最大值為,則的最大值為__________.
參考答案:213.若函數(shù),則的最小正周期為
;
.參考答案:
;
14.設(shè)點(diǎn)為的焦點(diǎn),、、為該拋物線上三點(diǎn),若,則
.參考答案:6略15.如圖所示的流程圖,若輸入的值為2,則輸出的值為
.參考答案:7
【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖.L1解析:模擬執(zhí)行程序框圖,可得x=2不滿足條件x>6,x=1,x=3不滿足條件x>6,x=5,x=7滿足條件x>6,退出循環(huán),輸出x的值為7.故答案為:7.【思路點(diǎn)撥】模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫出每次循環(huán)得到的x的值,x=7時(shí),滿足條件x>6,退出循環(huán),輸出x的值為7.16.若函數(shù)f(x)=x2+ax+1是偶函數(shù),則函數(shù)的最小值為.參考答案:2
考點(diǎn):二次函數(shù)的性質(zhì);函數(shù)奇偶性的性質(zhì).專題:計(jì)算題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析:依題意,可求得a=0,從而可得y==|x|+,利用基本不等式即可求得所求函數(shù)的最小值.解答:解:∵f(x)=x2+ax+1是偶函數(shù),∴f(﹣x)=f(x),∴a=0.∴f(x)=x2+1,∴y==|x|+≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時(shí)取“=”).∴函數(shù)y=的最小值為2.故答案為:2.點(diǎn)評(píng):本題考查基本不等式,考查函數(shù)的奇偶性,求得a=0是關(guān)鍵,屬于中檔題.17.已知函數(shù),則__________.參考答案:-1【分析】由時(shí),得到函數(shù)是周期為1的函數(shù),可得,即可求解.【詳解】由函數(shù),可得當(dāng)時(shí),滿足,所以函數(shù)是周期為1的函數(shù),所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問(wèn)題,以及函數(shù)的周期性的應(yīng)用,其中解答中得到函數(shù)的周期性,準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分10分)選修4—5:不等式選講已知不等式.(1)若,求不等式的解集; (2)若已知不等式的解集不是空集,求的取值范圍.參考答案:(1),∴,或,或,解得,∴不等式的解集是.(2)設(shè),則∴,∴,,即的取值范圍為.19.已知不等式的解集為.(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值;(Ⅱ)若關(guān)于的方程有解,求實(shí)數(shù)n的值.參考答案:(Ⅰ)由題意得:,故,故或解得:,故;(Ⅱ)由題意得有解,∵,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立,故.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-3x.(1)若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若x=-是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)在[1,a]上的最大值;(3)在(2)的條件下,是否存在實(shí)數(shù)b,使得函數(shù)g(x)=bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)?若存在,請(qǐng)求出實(shí)數(shù)b的取值范圍;若不存在,試說(shuō)明理由.參考答案:(1)f′(x)=3x2-2ax-3.∵f(x)在[1,+∞)是增函數(shù),∴f′(x)在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0,即3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立,則必有≤1且f′(1)=-2a≥0.∴a≤0.
………4分(2)依題意,f′(-)=0,即+a-3=0.∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x.令f′(x)=3x2-8x-3=0,得x1=-,x2=3.則當(dāng)x變化時(shí),f′(x)與f(x)變化情況如下表x1(1,3)3(3,4)4f′(x)
-0+
f(x)-6-18-12
∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)=-6.………8分(3)函數(shù)g(x)=bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn),即方程x3-4x2-3x=bx恰有3個(gè)不等實(shí)根.∴x3-4x2-3x-bx=0,∴x=0是其中一個(gè)根,∴方程x2-4x-3-b=0有兩個(gè)非零不等實(shí)根.∴∴b>-7且b≠-3.∴存在滿足條件的b值,b的取值范圍是b>-7且b≠-3.………12分略21.數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,,是方程的兩實(shí)數(shù)根;(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求{bn}的前n項(xiàng)和Sn.參考答案:(1)(2)【分析】(1)將看成一個(gè)整體,利用一元二次方程的解法、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;(2)先利用對(duì)數(shù)恒等式解得,再利用等比數(shù)列求和即可得出.【詳解】(1),∴或4,,,又是遞增的等差數(shù)列,所以,,公差d=,所以.(2),.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)與二次的復(fù)合方程的解法、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.22.設(shè)函數(shù)f(x)=ex﹣ax﹣2.(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若a=1,k為整數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),(x﹣k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.參考答案:【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由于函數(shù)中含有字母a,故應(yīng)按a的取值范圍進(jìn)行分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性,給出單調(diào)區(qū)間;(II)由題設(shè)條件結(jié)合(I),將不等式,(x﹣k)f′(x)+x+1>0在x>0時(shí)成立轉(zhuǎn)化為k<(x>0)成立,由此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求g(x)=在x>0上的最小值問(wèn)題,求導(dǎo),確定出函數(shù)的最小值,即可得出k的最大值;【解答】解:(I)函數(shù)f(x)=ex﹣ax﹣2的定義域是R,f′(x)=ex﹣a,若a≤0,則f′(x)=ex﹣a≥0,所以函數(shù)f(x)=ex﹣ax﹣2在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增.若a>0,則當(dāng)x∈(﹣∞,lna)時(shí),f′(x)=ex﹣a<0;當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),f′(x)=ex﹣a>0;所以,f(x)在(﹣∞,lna)單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.(II)由于a=1,所以,(x﹣k)f′(x)+x+1=(x﹣k)(ex﹣1)+x+1故當(dāng)x>0時(shí),(x﹣k)f′(x)+x+1>0等價(jià)于k<(x>0)①令g(x)=,則g′(x)=由(I
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