第三章矩陣的特征值與特征向量§1方陣的特征值與特征向量§2

矩陣的對角化5/12/20231第1頁，共45頁。第1節(jié)方陣的特征值與特征向量5/12/20232第2頁，共45頁。定義3.13.1.1特征值與特征向量的基本概念

5/12/20233第3頁，共45頁。例1解是不是5/12/20234第4頁，共45頁。命題1命題2命題3矩陣A的任一特征向量所對應的特征值是唯一的。5/12/20235第5頁，共45頁。它有非零解的充分必要條件是即怎樣求矩陣A的特征值與特征向量？5/12/20236第6頁，共45頁。矩陣的特征方程和特征多項式定義3.2A的特征方程A的特征多項式A的特征矩陣特征方程的根稱為A的特征根，也稱為A的特征值。5/12/20237第7頁，共45頁。求矩陣的特征值與特征向量的步驟求矩陣A的特征方程2.求特征方程的根，即特征值3.對每個特征值解方程組求出該齊次線性方程組的通解，除去0向量便得屬于的全部特征向量。5/12/20238第8頁，共45頁。例2：求矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項式為A的特征值為5/12/20239第9頁，共45頁。得基礎解系得基礎解系5/12/202310第10頁，共45頁。練習:求下列矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項式為A的特征值為即對應的特征向量可取為5/12/202311第11頁，共45頁。對應的特征向量可取為5/12/202312第12頁，共45頁。3.1.2特征值與特征向量的性質(zhì)

定理1定理2推論若n階方陣有互不相同的特征值則其對應的特征向量線性無關(guān)。5/12/202313第13頁，共45頁。定理35/12/202314第14頁，共45頁。(2)由于5/12/202315第15頁，共45頁。定理4設A是n階方陣，是的特征值.若為A的特征值，則5/12/202316第16頁，共45頁。5/12/202317第17頁，共45頁。例3設A是一個三階矩陣，1，2，3是它的三個特征值，試求（1）A的主對角線元素之和（2）解的特征值依次為5/12/202318第18頁，共45頁。例4試證n階矩陣A是不可逆(奇異)矩陣的充要條件是A中至少有一個特征值為0。證明因為為A的特征值）所以的充分必要條件是至少有一個特征值為零。5/12/202319第19頁，共45頁。第2節(jié)矩陣的對角化5/12/202320第20頁，共45頁。定義3.3

設A和B為n階矩陣,如果存在n階可逆矩陣P，使得則稱A相似于B，或說A和B相似(similar),記做AB.性質(zhì)（1）反身性A相似于A（2）對稱性A相似于B，可推出B相似于A（3）傳遞性A相似于B，B相似于C，可推出A相似于C。3.2.1相似矩陣及其性質(zhì)

～5/12/202321第21頁，共45頁。容易證明相似矩陣的如下性質(zhì)：（1）反身性，即（2）對稱性，即如果則,（3）傳遞性，即如果,則,證明證明證明5/12/202322第22頁，共45頁。方陣的跡定義3.4方陣的跡是它的主對角線上的元素和例5tr(A)=2+(-3)+0=-1性質(zhì)：(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)(2)tr(AB)=tr(BA)(性質(zhì)3.1)5/12/202323第23頁，共45頁。性質(zhì)3.1(2)設則證明故5/12/202324第24頁，共45頁。相似矩陣的性質(zhì)若A和B相似，則A和B有相等的秩。2.方陣A和B有相等的行列式。(性質(zhì)3.2)證明（1）5/12/202325第25頁，共45頁。3.方陣A和B有相等的跡。(性質(zhì)3.2)4.方陣A和B有相同的特征多項式，因而有相同的特征值。TH5推論如果矩陣A相似于一個對角矩陣，則對角矩陣的主對角線上的元素就是A的全部特征值。5/12/202326第26頁，共45頁。易證對角形矩陣則是的全部特征值。5/12/202327第27頁，共45頁。定理3.6n階矩陣A與n階對角矩陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。充分性3.2.2矩陣的對角化

5/12/202328第28頁，共45頁。必要性設A相似于對角矩陣即存在可逆矩陣B，使得由B可逆便知：都是非零向量，因而都是A的特征向量，且線性無關(guān)。5/12/202329第29頁，共45頁。推論如果n階矩陣A的特征值互不相同則A相似于對角矩陣定理3.7n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是對于每一個重特征值,對應著個線性無關(guān)的特征向量.5/12/202330第30頁，共45頁。相似變換若A有n個線性無關(guān)的特征向量則A相似于對角陣5/12/202331第31頁，共45頁。例矩陣能否相似于對角陣?解A的特征方程為得特征值為5/12/202332第32頁，共45頁。對于解方程組解方程組可求得特征向量是對應于的全部特征向量.不存在兩個線性無關(guān)的特征向量.由定理可知A不能與對角陣相似.因為是二重根,而對應于特征根5/12/202333第33頁，共45頁。將一個方陣A對角化,可以按P88如下步驟進行:5/12/202334第34頁，共45頁。注(1):若A的全部線性無關(guān)特征向量個數(shù)小于n個,則不能對角化,此時A只能化為若當標準形.5/12/202335第35頁，共45頁。例

用相似變換化下列矩陣為對角陣解:A的特征方程為特征值為對于可求得特征向量對于可求得線性無關(guān)的特征向量這三個特征向量線性無關(guān)5/12/202336第36頁，共45頁。5/12/202337第37頁，共45頁。練一練用相似變換化矩陣為對角形.5/12/202338第38頁，共45頁。應用:利用對角化計算矩陣的冪5/12/202339第39頁，共45頁。設解:A的特征方程為特征值為對應的特征向量為對應的特征向量為例75/12/202340第40頁，共45頁。練習已知

問滿足什么條件時，A可對角化？解首先

所以，A的特征值為2（重數(shù)為1）和1（重數(shù)為2）。5/12/202341第41頁，共45頁。

考慮A的特征值1。對方程組，僅當秩時，才能使基礎解系含2個解向量。又故。

所以，當時，A可對角化。5/12/202342第42頁，共45頁。5/12/20