第二課時(shí)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(習(xí)題課)1.進(jìn)一步理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和其單調(diào)性的關(guān)系.(重點(diǎn))2.能討論簡(jiǎn)單的含參的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題.(難點(diǎn))3.能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)題型一含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題[例1]

(鏈接教材第87頁(yè)練習(xí)2題)設(shè)g(x)＝lnx－ax2＋(a－2)x，a＜0，試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.2.(變條件)若本例中函數(shù)g(x)變?yōu)椤癵(x)＝ex－ax－2”，如何求解？解：g(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，g′(x)＝ex－a.若a≤0，則g′(x)＞0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增.若a＞0，則當(dāng)x∈(－∞，lna)時(shí)，g′(x)＜0；當(dāng)x∈(lna，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0.所以g(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，g(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增.利用導(dǎo)數(shù)探究含參數(shù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)分析參數(shù)對(duì)區(qū)間端點(diǎn)、最高次項(xiàng)的系數(shù)的影響，以及不等式解集的端點(diǎn)與定義域的關(guān)系，恰當(dāng)確定參數(shù)的不同范圍，并進(jìn)行分類討論；(4)在不同的參數(shù)范圍內(nèi)，解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0，確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.方法技巧題型二已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或范圍[例2]已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：由已知得f′(x)＝3x2－a，因?yàn)閒(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)內(nèi)恒成立，即a≤3x2對(duì)x∈R恒成立.因?yàn)?x2≥0，所以只需a≤0.又因?yàn)閍＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0].[發(fā)散思維]3.(變條件、變?cè)O(shè)問(wèn))若本例條件變?yōu)椤癴(x)＝x3－ax－1的單調(diào)減區(qū)間為(－1，1)”，求實(shí)數(shù)a的值.4.(變條件)本例條件變?yōu)椤癴(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不單調(diào)”問(wèn)題不變.5.(變條件)若函數(shù)f(x)＝x3－ax－1在區(qū)間(－1，1)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.由題意可知f′(x)＝3x2－a＜0在區(qū)間(－1，1)上有解，即a＞3x2在區(qū)間(－1，1)上有解，因此a＞(3x2)min.由于y＝3x2在區(qū)間(－1，1)上的最小值為0，因此a＞0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，＋∞).已知函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍的方法(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集；(2)轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問(wèn)題：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則f′(x)≥0；若函數(shù)單調(diào)遞減，則f′(x)≤0”來(lái)求解，注意此時(shí)公式中的等號(hào)不能省略，否則漏解；(3)分離參數(shù)法.由f′(x)≥0或f′(x)≤0將所求參數(shù)分離到一側(cè)，另一側(cè)為不含參數(shù)的函數(shù).只要求出其最值.即可求參數(shù)范圍.方法技巧利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式的常見形式與證明步驟(1)常見形式：已知x∈(a，b)，求證：u(x)＞v(x).(2)證明步驟：①將所給的不等式移項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝u(x)－v(x)，轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)f(x)＞0；②在x∈(a，b)上，判斷f′(x)的符號(hào)；③若f′(x)＞0，說(shuō)明f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是增函數(shù)，只需將所給的區(qū)間的左端點(diǎn)的值代入f(x)，檢驗(yàn)其值為零(或?yàn)檎?，即證得f(a)≥0即可；若f′(x)＜0，說(shuō)明f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是減函數(shù)，只需將所給的區(qū)間的右端點(diǎn)的值代入f(x)，檢驗(yàn)其值為零(或?yàn)檎?，即證得f(b)≥0即可.反思感悟隨堂檢測(cè)

內(nèi)化素養(yǎng)1.若函數(shù)f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.[1，＋∞)

B.a＝1C.(－∞，1] D.(0，1)解析：A因?yàn)閒′(x)＝3x2－2ax－1，且f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減，所以不等式3x2－2ax－1≤0在(0，1)內(nèi)恒成立，所以f′(0)≤0，且f′(1)≤0，所以a≥1.A解析：C因?yàn)閒(x)＝x－sinx，所以f(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝1－cosx≥0，則函數(shù)f(x)是增函數(shù)，則不等式f(x＋1)＋f(2－2x)＞0等價(jià)為f(x＋1)＞－f(2－2x)＝f(2x－2)，即x＋1＞2x－2，解得x＜3，故不等式的解集為(－∞，3).C3.若函數(shù)f(x)＝sinx＋kx在(0，π)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_________.解析：∵f′(x)＝cosx＋k≥0，∴k≥－cosx，x∈(0，π)恒成立.當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，－1<－cosx<1，∴k≥1.答案：k≥1課時(shí)作業(yè)

分層自檢基礎(chǔ)鞏固練1.(2021·蘭州模擬)若函數(shù)f(x)＝kx－lnx在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是(

)A.(－∞，－2]

B.(－∞，－1]C.[2，＋∞) D.[1，＋∞)123456789101112131415D123456789101112131415解析：C由題可得f′(x)＝ax2＋bx＋c，則f′(x)＞0的解集為(－3，1)，可得f′(x)＝a(x＋3)(x－1)，a＜0，則有b＝2a，c＝－3a，∴b＜a＜c，故選C.123456789101112131415C3.已知函數(shù)f(x)＝mlnx＋(x－1)2－m(x－1)在(2，＋∞)上不單調(diào)，則m的取值范圍是(

)A.(4，＋∞) B.(－∞，4]C.(－∞，0) D.(0，＋∞)123456789101112131415A123456789101112131415B1234567891011121314155.(多選)已知函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間[a，b]上恒有f′(x)＜g′(x)，則在[a，b]上，下列關(guān)系式中正確的是(

)A.f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b)B.f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)C.f(x)＋g(a)≤g(x)＋f(a)D.f(x)＋g(a)≥g(x)＋f(a)123456789101112131415BC解析：BC令φ(x)＝f(x)－g(x)，則φ′(x)＝f′(x)－g′(x)，又f′(x)＜g′(x)，∴f′(x)－g′(x)＜0，即φ′(x)＜0，∴φ(x)在[a，b]上單調(diào)遞減.當(dāng)x≤b時(shí)，φ(x)≥φ(b)，即f(x)－g(x)≥f(b)－g(b)，∴f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)a≤x時(shí)，φ(a)≥φ(x)，即f(a)－g(a)≥f(x)－g(x)，∴f(x)＋g(a)≤g(x)＋f(a)，故C正確，D錯(cuò)誤.123456789101112131415123456789101112131415BD解析：BD函數(shù)f(x)＝ex－e－x＋sin2x，定義域?yàn)镽，且滿足f(－x)＝e－x－ex＋sin(－2x)＝－(ex－e－x＋sin2x)＝－f(x)，∴f(x)為R上的奇函數(shù).又f′(x)＝ex＋e－x＋2cos2x≥2＋2cos2x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)x＝0時(shí)，2＋2cos2x≠0，∴f′(x)＞0恒成立，∴f(x)為R上的增函數(shù).又f(2x2－1)＋f(x)＞0，1234567891011121314151234567891011121314157.設(shè)f(x)＝ax3＋x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是_________.答案：(－∞，0)1234567891011121314158.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則不等式(x＋3)f′(x)＜0的解集為_________.解析：當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)＞0，解不等式(x＋3)·f′(x)＜0，得x＜－3.當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，f′(x)＜0，解不等式(x＋3)·f′(x)＜0，得－1＜x＜1.123456789101112131415當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，解不等式(x＋3)·f′(x)＜0，無(wú)解.綜上，不等式(x＋3)f′(x)＜0的解集為(－∞，－3)∪(－1，1).答案：(－∞，－3)∪(－1，1)1234567891011121314159.已知函數(shù)f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中參數(shù)a≤0，討論f(x)的單調(diào)性.123456789101112131415123456789101112131415123456789101112131415C123456789101112131415B123456789101112131415123456789101112131415123456789101112131415答案：[－1，＋∞)123456789101112131415即a≥4x－x2，令h(x)＝4x－x2，x∈(0，＋∞)，則h(x)＝4x－x2≤h(2)＝4，h(x)max＝4，即a的取值范圍為[4，＋∞).答案：[4，＋∞)1234567891011121314151