高聯(lián)考研為唯利而來

高等數(shù)學(xué)公式篇

?倒數(shù)關(guān)系：tana,cota=1sina,esca=1cosa?seca=1

?三角函數(shù)恒等變形公式?兩角和與差的三角函數(shù)：cos(a+0)=cosa,cos3-sina,sinPcos(a-P)=cosa?cos3+sina,sin3

sin(a±B)=sina?cosP±cosa?sin3tan(a+0)=(tana+tanP)/(1-tana?tan3)tan(u-3)=(tana-tan0)/(1+tana?tanP)

?倍角公式：sin(2a)=2sina?cosa=2/(tana+cota)cos(2a)=cos'2(a)-sin'2(a)=2cos'2(a)-1=1-2sin'2(a)

tan(2a)=2tana/[l-tan"2(a)]

三角函數(shù)的有理式積分：

.2〃1—"2，一x二、2du

1+〃21+1utg21+〃2

1

(arcsinx)'

J--

=—CSC2X1

(arccosr)*

(secx)"=secx-tgxS——

(esex)':—CSCx?1

(^a=

QaxY=a*Ina14-A72

1

(log?x\（a尸。

x\na14-X

一些初等函數(shù)：兩個(gè)重要極限：

..sinx,

雙曲正弦：=e*-e"lim-----=1

2x->0x

入、ex4-

lim(l+—y=e=2.718281828紗9045

2XT8X

雙曲正切：法=——--

chxe+e~

arshx=ln(x+y/x24-1)

archx=±ln(x4-y/x2-Y)

,1.1+X

arthx=—in-----

21-x

和差角公式:?和差化積公式:

sin(cr±/?)=sinacos/7±cosasin0sina+sinZ?=2sin力cos~-

22

cos(a±/?)=cosacos/?+sinccsinp

..aca+13.cc-p

sina-sin/>=2cos——sin——

tg(『)=詈主叫

1+tga-tg/3,、-a+/7ex,—B

/.八、etga-ct^B=F1

"g(a±/7)='方:-22

etgp±etga.a+4.oc-p

cos?—cosp=2sin―sin-

_<，_?_2

?正弦定理：sin/sin5sinC.余弦定理：c—4-/)2—2abcosC

.7T7T

arcsinx=----arccosxaretgx=----arcctgx

反三角函數(shù)性質(zhì)：2

高階導(dǎo)數(shù)公式一萊布尼茲（Leibniz）公式:

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k=0

="%+〃收~+^!^/-3+…+如-1)…(〃-1+1)/為叱+一.+“儼)

2!k\

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:

拉格朗日中值定理：f(b)—f(a)=f'3)(b—a)

—一/'(G

柯西中值定理:

F(b)—F(a)—FR)

當(dāng)F(x)=x時(shí)，柯西中值定理就曷立格朗口中值定理,

曲率:

弧微分公式：ds=y/\+y'2dx,其中y'=fga

平均曲率火=2巴.Aa:從M點(diǎn)到M，點(diǎn)，切線斜率的傾角火化量；△$：A/AY呱t<o

As

da=W”|

M點(diǎn)的曲率：K=lim—

ASTOAsds-J(l+yC)3

直線：K=0;

半徑為a的圓：K=；

矢巨形法J/(X)+乂4-???4-X?-i)

an

梯形法=+y〃)+乂+…+y〃-J

a

拋物線法j/(x)+y”)+2(>2+、4+???+、〃-2)+4(乂+、3+-.+y“T)]

定積分的近似計(jì)算："J"

定積分應(yīng)用相關(guān)公式：

-gtj==尸-s

xbc=JF'=p--

弓[力二尸=7v"y',弓I力一系外

尸一

__[/>

1^1婁攵白勺、|N士句iMl上=-......JXx)dx

37方小良人

L上一?口吃

空間解析幾何和向量代數(shù)：

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222

空間2點(diǎn)的是巨離：d=\MtM2\-y/Cx2-x,)+(y2-y,)+(z2-z,)

向量在軸上的投影Pr./?~AB=-cos^,0是7SW”車山的火角。

Pr.九(2+凡)=Pvjax+Pr/a2

ab=\a\-|z?|cos6^=axbxavbv+0二2，是-個(gè)數(shù)

cib+a、.b、,-+-a,b,

J&J+a；x2+x4/.J/2+32+22

兩向量之「可的夾用cos^=7V

iJk

%，同=同.同sin<9.例：線速度:v=wxr.

c=a-x.b=axav

b、byb=

ay

=I衣xZ?卜同cosa,a為車兌角時(shí),

l?J量門勺7昆合積^ahc~\=(axb)-d=bxb、bz

d,

代表平行六面體的體積

平面自勺方程：

1、點(diǎn)法式：X(x-x0)+8O—、o)+U(N-No)=O,其中萬={N,3,U},“o(Xo，yo，N。)

2、---六&不呈:Nx+By+Un+D=O

3、裁是巨世方程二+2+三=1

aha

'lz-面夕卜任意一點(diǎn)至II該、I面的晅巨離：d=卬>+By.+Un。+Q|

7A2+8：+C72

x=xo-￥■mt

空I句直線向勺方不呈廣_x<>=yA.=NN.=,，箕中M叁數(shù)方程4A=Ao+,zr

mnp

N=N。+

—次曲面：

.一v22

1>布布rfu：—5—F—x—?—￡1=1

cz2Z>2c2

2、現(xiàn)j物面工-+五=N,<〃，4同號(hào))

2P24

3、XX.IlliIflI:

.單-口卜XX.由mr—3—I--^5-------=1

a~h-c~

22_2

XX.n十lEj：x-—~~2~=1(三/革安lEJ)

a2bc

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

,Bu-du.&u.

全微分：dz—dx-+-dyau=-----ax-\-------cly-\-------dz

&x&yDxQyQz

全微分的近似計(jì)算：A^r=dz=/*.(xj)Ax4-/丫(x,y)z\y

多元復(fù)☆函數(shù)的求導(dǎo)法

dz_dz&uOz

N=/[W(Z),V(Z)]

dt-&uatavat

3N_6zc)uc)zav

DxduOxN

當(dāng)〃=〃(x,")，y=y(xj)時(shí)，

,S".S",0V,小

du=-----axH-------aydv=——dx-\------dy

dx&y'dxc)y

障函數(shù)的求導(dǎo)公式：

dy

隱函數(shù)尸(x,y)=O,型=_￡

dxFydx

8z氣

隱函數(shù)尸(x,y,z)=0,-----=--------

8xF=

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dFOF

隱函數(shù)方程組廣（居y°./=°（/Q=Ou京=F“耳

1G(x=05(?,v)ec6GG“G

&udv

du15(廣，G)dv1d(F、G)

J5(x,v)c^xJS(〃,x)

3u1S(廣，G)dv1S(尸，G)

dyJ3(y,y)dyJ0(”,y)

微分法在幾何上的應(yīng)用:

X=cp(t)

=y匕)=z—%

空|Hj曲線y="(，)在點(diǎn)Af(x0,y0,%）處的切線方程廣廠X。

卬（%）"(2)"Qo)

n=<y(Z)

在點(diǎn)A/處的法平面方程：0'Qo)(X—Xo)4-“(，o)0—Vo)+g'Qo)(N—z0)=0

若空間曲線方程為｛優(yōu)工《'則切向量『二GFxFxFy

G「GzG「GxG,

曲面戶（xJ,N）=01二一點(diǎn)A/（x0,yQ,zQ）,貝I」：

1、過此點(diǎn)的法向量：n=｛￡（x°J。，分）,耳（X。JO，N0）,￡（XOJ。/。）｝

2、過此點(diǎn)的切平面方程ECoJo，No）（X—Xo）+g.（XoJo，No）S—yo）+E（“oJo，Z0）（N—No）=O

3、過此點(diǎn)的法線方程t一~七三——=—匚也——=————

氣（“0Jo,N。）弓（XoJo，No）rz（x09y0,z0）

方向?qū)?shù)與梯度:

函數(shù)z=/（x,y）在一點(diǎn)沿任一方向/的方向?qū)?shù)為%"COS0+孚'Sin0

oloxay

其中0為X軸到方向/的轉(zhuǎn)角。

函她=/0,?）在--,玲0,?）的梯度：grad/（x,yy=^--i+^-J

oxoy

它與方向?qū)е碌年P(guān)系是工■=gradf（x9y）-e,其中a=cos。?i+sin（pj7為/方向上的

dl

單位向量。

名~是gra4/、（xj）在/上的投影。

多元函數(shù)的極值及其求法:

i^OoJo)=/y(XoJo)=。，令：￡x(XoJo)=4幾,(XoJo)=6,fyy(x09y0)=C

,p<0,0。J。）為極大值

AC-B2>Q|hJ

H>O,（XoJ。）為極小值

貝AC-B2vO時(shí)，無極直

AC-B2=0111,不確定

重積分及其應(yīng)用:

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JJ/{x,y)dxdy=f{rcosO,rsin0)rdrd0

D

曲面z=f(x,y)的面積4=JJdxdy

D

JJxQ(x,y)db

『以"W。

平面薄片的重心：了=紇DMy

y=-二=號(hào)=----------

MJJ夕(xj)db'MJja>j)db

DD

平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于%軸/丫=JJy2p（x,y）do-,對(duì)于y軸=JJ一夕（x,y）t/b

D

平面薄片（位壬9嚴(yán)面）對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn)”（0,0,0）,（4>0）的引力：F^{Fx,Fy,F:},其中:

F,=川Q（2）x什,工=川。(2)叩\尼_何J"(x，y)xdb,

D（x2+y2+a2）2D(x2+y2+a2yD(x2+y2+a2y

柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo):

X="COS?

JJJ/(x,y,z)dxdydz=JJJF"，z)rdrdOdn,

柱面坐標(biāo):y=rsin09

z='zCIn

其匚口：尸(廠，9，z)=/("cosd,"sine,N)

x=rsin0cos￡

球面坐標(biāo)Wy=rsin0sin夕，dv=rdcp?rsin<p-d0-dr=r2sinq)drdqxl0

z=rcostp

______2zr7tr(<p,0}

JJJ/(x,y,z)dxdydz=JJJ"(尸，0,J)尸？sincpdrdcpclO=Jd(pJF(r,(p<)>產(chǎn)sinqxlr

Qnooo

重心：三=2JTJxWv,9=±11.”"，5=￡。上加“其中”=M=Jffd/v

22222

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：Ix=JjJ{y+z)pdwIy=JJJ(x4-z)pdv?Iz=JJJ(x+y^)pciv

QQQ

曲線積分:

第一類曲線積分（對(duì)加反的曲線積分）：

Jx=0(Z)

設(shè)/（XJ）在人上連續(xù)，乙的參數(shù)方程為\y=(?</</?),WiJ：

x=t

J/(x,y)d$=\f[wOway\\lw'2(，)+“'2(I)4/(a</3)特殊情況

y=0(，)

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笫二類的線積分(對(duì)第示白勺曲線枳分):

設(shè)工的參數(shù)方程為["=0(，)，貝IJ:

[y=〃(，)

p

JP(x,y)dx+Q(xJ{P[0Q),“(，)Wa)+Q[0(E),”(，)]“(/)}〃，

Lot

兩類曲線積分之I'nJ的：JPdx+Qdy=J(尸cosa+Qcos夕)40其中a和77分別為

LL

LI二積分起止點(diǎn)處切向量Q方向用o

才各林公亍t：f[(-^^--^^-}dxdy=fPdx+Qdy^林公式：ff('?—^-^-)dxdy=<fPdx-\-Qdy

?75ox0y7Oxayy

當(dāng)尸=—y,Q=x,UP=2H\|',得至13/)的面積：A=(fdxdy=—fxdy—ydx

Oxdy*2*

?平面上rlh線積分與路徑桁關(guān)的條件：

1、G是一個(gè)單連通區(qū)域；

2、戶(x,y),0(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)目孕二孚。注意奇點(diǎn)，女1(0,0),

成

Oxoy

減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！

?二元函數(shù)的全微分求積

在=且C時(shí)，Pdx+Qdy才是二元函如/(xJ)白勺全微分，其中：

oxoy

(v,.y)

w(x,_y)=JP(x0(x,y)2H通常設(shè)％=乂)=0。

(KO，，/)

對(duì)面積的I由面積分jjf\x^y^z)ds—JJ/[xJ,z(x,y)][l+z：(xj)+z；(x

z%

對(duì)坐標(biāo)的Uh面積分JJ尸(x,y,z)"y"N+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y、z)dxdy其中：

JJRixyyyz)dxdy=±JJ及[xj,z(x,y)"x心取曲面的上側(cè)時(shí)取it號(hào)；

工％

JJ?(x,y,z)dydz=±JJP[x{y,z),y,z~\dydz取曲面的前側(cè)時(shí)取:

匯D.

JJ(?(x,y,z)dzdx=±JJQ[x,y(<z,x),z~\dzdx取曲面白勺右(則H寸取TP/J'。

ZDxx

兩類曲面積分之間的：JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ(Pcosa+Qcos/3+Rcosyjds

曲面積分：Zz

高斯公式:

也妥+耍+=妤Pdydz+Qdzdx-\-Rdxdy=妤(Pcosa+Qcos/3Rcosy)ds

ndxSNZ工

高斯公式的物理意義------通量與散度：

散度：出丫口=孚+軍+孚，即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若divVv0,則為消失..

dx&y

iS.量：JJA?nds—JJAnds=JJ(Pcoscc-\-Qcos/3?Rcosy)ds,

SNN

因此，高斯公式又可寫成:川divN〃v=弁4小

a匯

斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系:

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re,dR7QPdR、1,QQ3尸、〃,r,

11(-------------)dydz+(---------ydzdx+(——-----)dxdy=4Podxz-\-QdyTRdz

V<5y&QzdxQxcfy*.

dydzdzdxdxdycoscecosy9cos/

dddd

上式左端又可寫成jj..

y~3x百&=g~^cc)yfe

PQRPQR

3Rcap8R8Q8^

空間曲線積4卜與路徑心的條件=

/二一dz'w二dx'dx~dy

iJk

Odd

旋度：rot4=

&xdyQz

PQR

向量場(chǎng)3沿有向閉曲線T的環(huán)流量§?dx+Qdy-^Rdz=JA-Ids

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):

等匕匕數(shù)歹IJ4+4+42+...+q，i=1_q"

1-q

等差數(shù)歹U」+2+3+???+〃=("+D"

2

調(diào)和級(jí)數(shù)4+,+工+…+工是發(fā)散的

23n

級(jí)數(shù)審斂法：

1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法-----根植申斂法(柯西為別法)：

夕vl時(shí)，級(jí)數(shù)收斂

設(shè)：p—limii/n7,貝小Q>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散

“一*00

2、比值審斂法：

夕v113寸，級(jí)數(shù)收斂

貝可p時(shí)，

設(shè)：p—limU“+i,>1級(jí)數(shù)發(fā)散

TJ

“TooJn

p=1口寸，不確定

3、定義法：

s”=%+uH-------Fw?;lim”存在，貝Li收斂；否貝Lio

2n->8

交錯(cuò)級(jí)麴4-〃2+%-〃4+…(或-〃1+〃2-〃3+…”>。)的審斂法----萊布尼茲定理:

[U之〃

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿此胎二°,那么級(jí)數(shù)收斂且其和4外,其余%的絕對(duì)值|乙區(qū)八。

絕對(duì)收斂與條件收斂：

(l)w,4-w2d------F以“+…，其中〃”為任意實(shí)數(shù)；

|+|〃2|+|〃31T------------卜|“”|+…

如果(2)收斂，貝a1)肯?定收斂，」」.稱為維對(duì)1攵斂級(jí)數(shù)；

如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱⑴為條件收斂級(jí)數(shù)。

調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā):散，向：z(二)”收斂;

級(jí)數(shù)收斂；

〃級(jí)數(shù)Z芯時(shí)收斂

用級(jí)數(shù):

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高嵌考研為勝利而來

23?/國(guó)<1時(shí)，收斂于;

14-X4-X4-XH----\-X4----(X

\國(guó)士1時(shí)，發(fā)散

對(duì)于?級(jí)數(shù)(3)。0+。/+%工2■!----ha?x"+■■■,如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全

/|x|v&時(shí)收斂

數(shù)軸上都收斂，則必福泳，使(國(guó)》及時(shí)發(fā)散，其中火稱為收斂半彳至。

\x\=及時(shí)不定

/0X013寸，R=~

求收斂半徑的方法：設(shè)im巴a=0,其中?！?，a,,”是(3)的系數(shù)，貝/p-0I1J,R=4-oo

n->oca\

“\X7=+oo口寸，R=0

函數(shù)展開成基級(jí)數(shù)：

函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)：/(x)="x0)(x-Xo)+/“(Xo)(x-Xo)2+…+/(”(”。)5-項(xiàng)>)”+…

2!n\

余項(xiàng)：R“="^皂0-工。嚴(yán)1,/(》)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是:1而2=0

X。=0時(shí)即為麥克勞林公式：/(x)=/(0)+/'(0)x+/“(。)X?+…+/”"(0)x"+…

2!〃！

一些函數(shù)展開成零級(jí)數(shù)：

八、〃，.m(m—1)、-1)一?(6—〃+1)?/,

(1+x)=14-mx-\-----------x~H----1-----------——------------xH---(―1<x<1)

2!n\

5

1vV2?-1

sinx=x------1----------1-(—1)'i----------1----(—oo<x<4-oo)

3!5!(2/7-1)!

歐拉公式：

eix+e-ix

COSX=----------

2

e,x=cosx+zsinx或

cix—Tx

.e—e

sinx=----------

2

三角級(jí)數(shù):

/■Q)=4+NA?sin5a+0“)=今+N(a“

cosnx-hbnsinnx)

W=1/"=1

其中，。0=。4，以“=4,sin0〃，bn=Ancos(pn,cot=xo

正交性4,sinx,cosx,sin2x,cos2x---sin〃x,cos〃x…任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘秒在[—左,%]

上的積分=0。

傅立葉級(jí)數(shù):

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f(x)=?—+cosnx+bnsinnx),周期=2/r

2n=\

]幾

〃=—f{x)cosnxdx(?=0,1,2---)

其興—7T

■兀

bn=—ff(x)sinnxdx(?=1,2,3---)

71」.

L-兀

2

1117T111=〈(才H力口)

1H--z—I---z—1-???=----'5T+評(píng)+A卡…

325286

111,1112

1-----z-H------z--------='(相減》

hhh…2422324212

正弦級(jí)數(shù)：a=0,b=—j/'(x)sinnxdx

nnn=1,2,3…f(x)=sin〃x^奇函數(shù)

27r

a=—f/'(x)eosnxdxn=0,1,2…f(x)=￡+Z。,,cos〃Ji^M禺函數(shù)

余弦級(jí)數(shù)：bn=0,n

o

周期為21的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù):

/O)=駕+：(4“cos^^+4sin^^>周期=2/

Z,7=1II