株洲市二中2022年高一入學考試

數(shù)學試題（A卷）

一、單選題（每題5分，每題只有一個選項為正確答案，共8題40分）

1.已知x,y為非零實數(shù)，則集合加/〃=二+二，+'匕］為（）

\x\|y||xy|J

A.{-3,1,3}B.{-1,3}C.{1,3}D.{-3,-1,3}

2.如圖，已知全集。=11,集合4={1,2,3,4,5},8={耳尤2-1一2?0},則圖中陰影部分表示的集合的

子集個數(shù)為（）

3.已知正實數(shù)〃、b滿足。+4—=1,則1上+b的最小值為（）

ba

A.4B.6C.9D.10

4.已知集合A=(X|X=A+J■女wZ==K>,貝ij(

).

II24JU42J

A.AUBB.BUAC.A=BD.A與8關(guān)系不確定

5.集合A=<x弓201,8={HOX+1W0},若AU8=A,則實數(shù)a的取值范圍是().

1A「1]「11,

A.—,1B.(~O0,—1)U1°,+°°)C.—,1D.—,0IJ(0,1)

3y33

6.某金店用一桿不準確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買10g黃金，售貨員先將5g的祛碼

放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將5g的祛碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之

平衡后又給顧客，則顧客實際所得黃金（

A.大于10gB.小于10gC.等于10gD.以上都有可能

7.命題p：^l3x&R,ax1+2ax-^>0^^為假命題的一個充分不必要條件是（）.

A.-4<aW0B.-4Wa<0C.-3WaW0D.—4WaW0

8.已知集合A=3+=7，yN。},若3耳A且集合8中恰有2個元素，則滿足條件的

集合B的個數(shù)為（)

A.1B.3C.6D.10

二、多選題（每題5分，共20分，每題至少有2個選項為正確答案，全部選對的得5分，部

分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.下列命題中，真命題是（）.

A.若x,yeR,則“x+y>2”是“x,y至少有一個大于1”的充分不必要條件

B.VXGR,2x<x2

C.。+8=0的充要條件是q=一1

b

D.命題“Vx<I,/<1”的否定形式是“3x0<1芯>1"

10.下列不等式一定成立的是（）.

3^7x4+1

A.xH—22j3B.--—22

XX

C.<x2+y2D.若x<0,y<0,則上+^4—2

2xy

r2-2r-8>0

11.己知關(guān)于x的不等式組,僅有一個整數(shù)解，則k的值可能為（）.

2x2+（2k+7）x+7k<0

A.-5B.-y/3C.71D.5

12.若正實數(shù)a,6滿足a+Z?=l,則下列說法正確的是（）.

A.勿?有最小值1B.&+甚有最大值0

4

C.―?—+—?一有最小值3D.有最小值J,

a-\-2b2a+b32

三、填空題（每小題5分，共20分）

13.設(shè)集合A=1X|X2+Z7ZX-2<O1,B={X|-1<X<31,且A\JB={x|-2<x<31,則AQB=

1

14.已知且a—3Z?+6=0,則2"+的最小值為

15.已知一1v%+y<4,2<x-y<4,則3x+2y的取值范圍是

19

16.正數(shù)a,滿足上+*=2,若存在〃，人滿足不等式2a+〃vd+3x有解，則實數(shù)x的取值范圍為

ab

四、解答題（17題10分，18-22題各12分，共70分）

17.己知集合A=<x>1>,3={x||2x—131<7},C={x|x<a}.

（1）求AUB,（aA）nB：

（2）若Af]C￥0,求a的取值范圍.

18.已知不等式以2+/zx+c>0的解集為{川一3cx<4},求不等式：一<0的解集.

19.設(shè)函數(shù)=-（a+3）x+3a,aeR.

（1）解關(guān)于x的不等式/（x）<0；

（2）當XG[4,+8）時，不等式/（X）N-9恒成立，求a的取值范圍.

20.已知命題："Vxe{x|—都有不等式d—x一根<0成立”是真命題.

（1）求實數(shù)m的取值集合B；

（2）設(shè)不等式/一（4。+2?+3。（。+2）<0的解集為A,若xeA是xeB的充分不必要條件，求實數(shù)a

的取值范圍.

21.己知命題p：關(guān)于犬的方程Y-（3加一2?+262一加_3=0的兩根均在區(qū)在（一5,4）內(nèi).

（1）若命題0為真命題，求實數(shù)機的取值范圍；

（2）命題q:l—a<〃?<l+a,是否存在實數(shù)〃使得p是q的必要不充分條件，若存在，求出實數(shù)”的取

值范圍；若不存在，說明理由.

22.設(shè)二次函數(shù)/（x）=/+//U.

（I）若對任意實數(shù)〃?/（x）>0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；

（11）若存在/€[-3,4],使得/（毛）W-4成立，求實數(shù)機的取值范圍.

株洲市二中2022年高一入學考試數(shù)學試題（A卷）

答案

一、單選題（每題5分，每題只有一個選項為正確答案，共8題40分）

1.【答案】B

【解析】當尤>0,y>0時，m=3,當％v0,yv0時，加+1=

若x,y異號，不妨設(shè)x>0,yv0,則根=1+（-1）+（-1）=一1.

因此僧=3或m=-1,則加={-1,3}.

2.【答案】D【詳解】B={%|（x+l）（x-2）<0}={x\-l<x<2],則==1時>2}

圖中陰影部分表示的集合為An（dB）={1,2,3,4,5}n{x|x<-1或x>2}={3,4,5}

集合{3,4,5}的子集有23=8（個）則圖中陰影部分表示的集合的子集個數(shù)為8.

3.【答案】C

【解析】一+〃=—+h=5+ahH----25+2,

aab

—

當且僅當《3時，取等號，故則士+方的最小值為9.

a+—=1

b

4.【答案】A

2Z+]]fk+2'

【解析】A=\xx=-----,keZ\,B=\xx=——,keZ\,故按子集的定義，必有AUB.

4J[4J

5.【答案】A

【解析】解：A={x[x<-1或A,

①當B=0時，即方+1W0無解，此時a=0,滿足題意.

a>0

②當時，即以+1K0有解，當a〉0時，可得--o要使8=則需要J],解得

——<-1

0<a<l.

a<0

當a<0時，可得xN-一，要使BqA,則需要<1,解得-』4a<0.

-->33

綜上，實數(shù)。的取值范圍是-

6.【答案】A

【解析】由于天平兩邊臂不相等，故可設(shè)天平左臂上為“，右臂長為〃(不妨設(shè)a>b),第一次稱出的黃

金重為xg,第二次稱出的黃金重為yg

由杠杠平衡原理可得，5a=xb,ya=5b,所以》=也,y=x+y=*+及=10,這樣

baba\ba

可知稱出的黃金大于10g.

7.【答案】C【解析】命題〃與工￡/?,0￥2+2辦一420為假命題，即命題「/?:VXGEar?+2辦一4<。

為真命題，

首先，。=0時，-4<0恒成立，符合題意；其次aHO時，。<0且△=(2a)2+16a<0,即-4<a<0,

綜上可知，-4<a<0.

{?|-3<<z<0}<={a|-4<?<0),即：一3WaW0是~4<aW0的一個充分不必要條件.

8.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意將x=6+J2x—y兩邊平方得V=2x+2d2移_9,

繼續(xù)平方整理得：4y2—8孫+/（尤_2）2=0,故該方程有解.

所以八=64/-16/3—2尸20,即―/+4》20,Wf<0<x<4.

因為xeN*,故x=l,2,3,4,

當x=l時，4y2+8y+l=0,方程無非負根，不滿足條件舍去；

當x=2時，y2-4y=0,方程有解，滿足條件；

當x=3時，4/-24y+9=0,方程有解，滿足條件；

當％=4時，y2_8y+i6=0,方程有解，滿足條件；

故4={2,3,4},因為8=A且集合8中恰有2個元素，所以8集合可以是{2,3},{2,4},{3,4}.

三、多選題（每題5分，共20分，每題至少有2個選項為正確答案，全部選對的得5分，部

分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.【答案】AD

【解析】“x+y>2”可以推出“x,y至少有一個大于1”，但“x,y至少有一個大于1”不能推出“x+y>2,）

故A正確；當x=2時，2x=f,故B錯誤；當a=b=0時，滿足a+方=0,但@=—1不成立，故C

b

錯誤；由含有一個量詞的否定可得D是正確的.

10.【答案】BC

3

【解析】對于A中，當x<0時，x+-<0,所以A不正確；

x

,,,.X，+121、cI21.

對打B中，由—口—=rH-->2./X?—=2,

xxvr

1Y44-1

當且僅當犬2=與時，即工=±1時，等號成立，即「—22,所以B正確；

XX

對于C中，由刀2+y2_（X；'）一=+y2_2盯）=g-獷>0,

可得"±義-4％2+2,所以C正確；

2

對于D中，x<0,y<0,可得？>0,二>0,可得上+2222?2=2,

尤y-Xyy

當且僅當？=三時，即x=y時，等號成立，即上+二22,所以D不正確.

xyxy

11.【答案】ABD

【解析】解不等式％2_2%—8>0,得尤>4或x<—2

解方程2/+（2k+7）x+7A=0,得玉=—；,/=一左

777

(1)當k>；,即一Z<—；時，不等式2/+(2%+7)工+7左<0的解為：一攵<工<一；

_9r_2>A(7、

此時不等式組17的解集為一火,一」，依題意，則—5VM<Y,即4<左<5；

2爐+(2女+7)x+7&<0I2)

777

(2)當左<；，即一人>一：時，不等式2/+(2%+7卜+7%<0的解為：—^〈xv-k

此時不等式組47'的解集為一,，一左，依題意，則一3<—AV5,即—5?左<3；

2爐+(2女+7)x+7女<0I2)

所以火的取值范圍為[—5,3)U(4,5].

12.【答案】BCD

【解析】設(shè)正實數(shù)。、6滿足a+b=l.

1=-.當且僅當a=/?=?!?時，等號成立，a人的最大值為工，A選項錯誤：

I2J424

(6+\[b)2=a+b+2>Jab<2(a+b)=2,則\[a+揚<V2,

當且僅當。=。=—時，等號成立，B選項正確;

2

---I--+---1--=1(3a+3》)11

-------------1-------------

a+2b2a+b3a+2b2a-vb

=g[(a+2b)+(2a+by\11c2a+ba+2h

-------------1-------------2+-----+-----

a+2b2a+ba+2b2a+b

>12+2,a+2力2a+力、41

—,當且僅當。=人=—時，等號成立，C選項正確;

2a+ba+2b,32

a2+b2^(a+b)2-2ab>(a+b)2-2x工-

\2J22

當且僅當a=0=!時，等號成立，D選項正確.

2

二、填空題(每小題5分，共20分)

13.【答案】{x|—l〈x<l}

【解析】由題意，集合B={x|—lWx〈3},且AUB={X[—2<X<3},

可得一2是方程f+如一2=0的根，即(-2)2+〃ZX(—2)-2=0,解得機=1,

所以A={x,2+x-2<()}={犬卜2cx<1}，則AQB=|x|-l<x<lj.

14.【答案】-

4

【解析】依題意?！?力=-6,所以析+J=2"+=?=2"+所2242"=2)^a=2后=>

8"23A4

當且僅當a=-3時等號成立.

15.【答案】［(12)

rn-vnm-n

【解析】設(shè)x+y=〃4x—y=〃，因此得:1<,7?<4,2<n<4,

x=-^—，y=2

-八-m+n八m-n5mn

3x+2y=3?——+2?————+—

22

因為一1vmv4,2v〃<4,所以一°<v10,1v3v2,因此一+“<12,

222222

3

所以一]<3%+2y<12.

16?【答案】(-oo,T)U(l,+8)

12

【詳解】由題意，正實數(shù)。，人滿足一+—=2,

ab

me,I。，J12、1<b4a)\(.lb4a)，

則2a+人=—(2a+6)—i—=—4H1>-4+2J----=4,

2\ab)abJ2[\ab)

當且僅當2=超時，即a=l為=2時，等號成立，即2a+力的最小值為4,

ab

又由不等式2Q+〃vx?+3x有解，可得f+3x>4,即f+3x-4>0,

解得或x>l,即實數(shù)％的取值范圍為(-OO,T)U(L+8).

四、解答題(17題10分，18?22題各12分，共70分)

17.【解析】(1)因為4={聞2<工<7},3={吊3<工<10},所以AU3={x|2<xv10}.

因為A={x|2<%<7},所以怎4={天k<2敢27},所以(a4)口8={司7<1<10}.

(2)因為A={H2<xv7},C={Hxva},且AC|Cw0,所以a>2,所以〃的取值范圍是(2,+8).

18.【解析】丁ax?+〃x+c>0的解集為{{目一3Vx<4},

。<()且一3和4是方程ax2+法+。=0的根.

—34-4=——

<",解得〃=—a,c=—12。.

-3x4=-

、a

.bx1+2ax-c-3b-ax2+2ax+15a八

..-------------<0可化為----------------<0,

x+3x+3

犬2—2Y—15

即-----------<0即(%+3)2(》-5)<0,解得x<5且X?！?.

x+3

...不等式小士告絲迎<o的解集為{立<5且xw-3).

19.【解析】f(x)=(x-3)(x-a)

(1)當。<3時，不等式/(犬)<0的解集為3,3),

當。=3時，，不等式/(元)<0的解集為0,

當。>3時，，不等式/(元)<0的解集為(3間).

-9Q

(2)因為無G[4,+OO),所以由/(x)之一9可得X-Q2---,a<x+----,

x-3x-3

99I9~9

因為x+——=x-3+——+322j(x-3)?一+3=9,當且僅當工一3二二一，即％=6時等號成立,

x-3x-3Vx-3x-3

所以。49.所以〃的取值范圍為.

或利用含參函數(shù)分類討論

2

函數(shù)/(X)=x-(a+3)x+3a的對稱軸為x=等.

(1)當。<5,即等<4,/(x)min?=/(4)=4-aN-9；解得aW13,所以a<5

(2)當。25,即小24；4一6。一27<0解得一3<。<9

2

所以5WaW9

綜上所述：a的取值范圍為{4a〈9}.

20?【解析】(1)命題："Vxe{x|—都有不等式/一》一根<0成立”是真命題，

得/-X-5<0在—1WxW1時恒成立，...m>(f—,得加>2,即8={加|加>2}=(2,+oo).

(2)不等式f_(4。+2)x+3a(a+2)<0可化為(x-3a)(x-a—2)<0,

①當3a>2+a,即a>l時，解集A={x[2+a<x<3a},

若xwA是無的充分不必要條件，則A是8的真子集，.?.2+a?2,此時a>l；

②當3a=2+a,即。=1時，解集A=。，滿足題設(shè)條件；

③當3a