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公平席位的分配數(shù)學(xué)(2)班學(xué)號(hào)0907022008彭凱摘要:討論公平席位分配的模型已有很多。本文首先用比例加慣例法、Q值法、D’hondt法對(duì)問題中名額進(jìn)行了分配,再對(duì)D’hondt法的合理性進(jìn)行了分析,并在Q值法對(duì)絕對(duì)尾數(shù)(絕對(duì)不公平度)的處理方式基礎(chǔ)上,提出了相對(duì)尾數(shù)模型,并討論了其滿足Young公理的1,3,4條關(guān)鍵詞:相對(duì)尾數(shù) Balinsky&Young不可能定理1問題復(fù)述公平的席位分配問題是一個(gè)非常有趣而重要的問題,它在政治學(xué)、管理學(xué)和對(duì)策論等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。處理這個(gè)問題的最早的方法是Hamilton法,即比例加慣例法;后來出現(xiàn)了Q值法;1974年M.L.Balinski和H.P.Young引入了席位分配問題的公理體系研究方法,并于1982年證明了同時(shí)滿足五個(gè)公理的席位分配方法是不存在的;因此,我們只能根據(jù)實(shí)際建立在一定公平準(zhǔn)則下成立并盡量多的滿足Young公理的算法。這里,我們需要理解并運(yùn)用比例加慣例法、Q值法、D’hondt法對(duì)宿舍委員會(huì)名額進(jìn)行分配,繼而提出更優(yōu)的公平分配席位的方法。2模型假設(shè)2.1合理假設(shè)2.1.1比例加慣例法、Q值法等分配模型均為已知;2.1.2各個(gè)宿舍相互獨(dú)立互不影響,人數(shù)保持不變;2.1.3委員分配以各宿舍人數(shù)為唯一權(quán)重。2.2符號(hào)約定符號(hào)意義Qi第i個(gè)宿舍的Q值ni第i個(gè)宿舍的人數(shù)mi第i個(gè)宿舍分配的名額n總?cè)藬?shù)m總名額數(shù)pi第i個(gè)宿舍的理想分配名額pi總席位增加一個(gè)時(shí)第i個(gè)宿舍的理想分配名額qin—im第i個(gè)宿舍的分配比例,即n

si第i個(gè)宿舍的絕對(duì)尾數(shù)值ri第i個(gè)宿舍的相對(duì)尾數(shù)值—ri總席位增加一席時(shí)第i個(gè)宿舍的相對(duì)尾數(shù)值t按比例分配后剩余名額3模型的建立與求解3.1按比例加慣例模型分配根據(jù)比例加慣例分配模型的原理表表1(比例加慣例法分配結(jié)果):10個(gè)席位的分配15個(gè)席位的分配宿舍學(xué)生人數(shù)比例分配的席位慣例分配的結(jié)果比例分配的席位慣例分配的結(jié)果A2352334B3333345C4324466總數(shù)10009101315n2imn2im(m+1)i=A,B,CQ=首先用比例分配法對(duì)名額進(jìn)行初步分配,再根據(jù)表達(dá)式i對(duì)剩下的名額進(jìn)行分配表2(Q值法分配結(jié)果):宿舍學(xué)生人數(shù)10個(gè)席位的分配15個(gè)席位的分配比例分配名額Q值最終分配名額比例分配名額Q值最終分配名額A23529204.17234602.084B33339240.75345544.455C43249331.2564443.436總數(shù)100091013153.3D’hondt模型3.3.1模型建立設(shè)n,m分別表示宿舍總?cè)藬?shù)和總分配席位數(shù), ni('=1,2,3)表示各宿舍人數(shù),令lJ j(i=1,2,3,村1,2,…),則得到一個(gè)數(shù)列'J,將該數(shù)列按遞減順序重新排列,得很如)很, 新}到lj,其中iJ表示lj中第k大的項(xiàng)。取lj中前m項(xiàng),則相應(yīng)得到

m=#a,)}(k=1,2,...,m)中,二〃的元素的個(gè)數(shù)}(p=1,2,3)mD’hondt模型分配的結(jié)果。3.3.2按D’hondt模型分配附錄-輸入及運(yùn)根據(jù)建立的D’hondt模型,編寫MATLAB程序求出結(jié)果(附件-程序6,行結(jié)果3):附錄-輸入及運(yùn)表3(D’hondt模型分配結(jié)果):宿舍人數(shù)10個(gè)名額的分配15個(gè)名額的分配A23523B33335C43257總數(shù)100010153.4相對(duì)尾數(shù)模型3.4.1模型準(zhǔn)備討論一般情況:k個(gè)宿舍人數(shù)分別為七,'=1,2,…,k,總?cè)藬?shù)為n=?*…+氣,待分配m=立p的席位為m個(gè),理想化的分配結(jié)果是p(‘=1,2,…,k),滿足 ;=1',記nq=~Tm;-19t n nr>;-19tn1n("提'…/)。顯然,若q全為整數(shù),應(yīng)有q=Pl("1,2,.?.,k),當(dāng)q不全為整數(shù)時(shí),需要確定同時(shí)滿足下面公理的分配方案。公理—.'qJ —P.— 'qJ (,=L2,...,k)即p.取'q.'或'q'之一-其中公理:i-ii+( ),即i取i-取i+之,其中[q][q][q][q.]+1[qL*占八,-=i, ,+=i,i表示i的整數(shù)部分。八壬田一-P(m,n,n,…,n )—p(m+1,n,n,…,n ) i=1,2,...,k 日 南/十+曲而nH-公理一:i12ki 12k, ,即總席位增加時(shí),各宿舍的席位數(shù)不應(yīng)該減少。-[q]公理一顯然滿足Balinsky-[q]—hmn

s=—hm-—hm . , ,in一滿足其的公理((人口單調(diào)性)和公理3(名額單調(diào)性)。令. rG.稱其為對(duì)第i個(gè)宿舍的絕對(duì)尾數(shù)值。令 /-,稱其為對(duì)第i個(gè)宿舍的相對(duì)尾數(shù)值。3.4.2模型建立與求解 一 一一r 一… 由于人數(shù)都是整數(shù),為使分配趨于公平,需所有的i越小越好,所以趨于公平的分配方案rr應(yīng)該是最大的r達(dá)到最小,即所有的r達(dá)到最小。

為方便起見,首先考慮只有兩個(gè)宿舍的情形,即k=2, 1 2,且1 2,^1和%不全是整數(shù)(實(shí)際上,他們同為整數(shù)或小數(shù))。記Pi,!為總席位增加一席時(shí)的分配結(jié)果和相對(duì)尾數(shù)。給出定理:定理:以下分配方案滿足公理一,二,1)P2=即按比例加慣例法分配;2)r>r P1=Um+1若12則取Ln」一1)P2=即按比例加慣例法分配;2)r>r P1=Um+1若12則取Ln」一n

p2=brm—-;3)nrvr P1=Um若1\>,則取 L"定理證明見附錄。P2=按照定理,對(duì)三個(gè)宿舍的情形進(jìn)行討論。設(shè)1,七,七全部為零(實(shí)際上,如果有一個(gè)為零,即是按兩個(gè)宿舍分配),可以做以下分配:1)當(dāng)1=L=L時(shí),按比例分配取整后,剩余的席位分配給絕對(duì)尾數(shù)較大的宿舍,即按比例加慣例法分配;2) 當(dāng)1>L=七時(shí),按比例分配后,若剩余一個(gè)席位,則分配給第一個(gè)宿舍,若剩余兩個(gè)席位,則分配一席給第一個(gè)宿舍,另外一席分配給第二三個(gè)宿舍中絕對(duì)尾數(shù)值較大者;3) 當(dāng)1=3>七時(shí),按比例分配后,若剩余一個(gè)席位分配給第一二個(gè)宿舍中絕對(duì)尾數(shù)值較大者,若剩余兩個(gè)席位,則分配給第一二宿舍各一席;4) 當(dāng)1>L>七時(shí),按比例分配后,若剩余一個(gè)席位,則分配給第一個(gè)宿舍,若剩余兩個(gè)席位,則分配給第二個(gè)宿舍。k rrr r>r>...>rr豐r一般地,對(duì)"個(gè)宿舍,設(shè)1,2,…,n不全為零,且12k,則當(dāng)tt+1時(shí),t=m—E將剩余的i=1r>rr>r」-個(gè)席位分配給第一至第t個(gè)宿舍各一席,當(dāng)t—1 tt+1 t+2時(shí),n—imni=1個(gè)席位分配給第一至第t—1個(gè)宿舍及1和[+1較大的宿舍各一席,t=m-Ei=1n—imn個(gè)席位分配給第一至第t-1A.T7SSS擊K+4力存 r>r=r1VS,S<k—t、|宿舍及t, t+1,? t+s中較大的宿舍各一席,當(dāng)t—s t—S+1 t+ss ( ),寸nt=m-X—i~mi=1Ln」-個(gè)席位分配給第一至第t-s個(gè)宿舍及St,St+i,…七+s中s個(gè)較大的所對(duì)應(yīng)的宿舍各一席。表4(尾數(shù)法分配結(jié)果):宿舍人數(shù)10個(gè)名額的分配15個(gè)名額的分配A23534B33335C43246總數(shù)100010154模型檢驗(yàn)及結(jié)果分析席位分配的尾數(shù)模型滿足Young公理的1、3、4條,是以嚴(yán)格證明了的定理形式給出。對(duì)按上述四種分配模型分配的結(jié)果列表比較。表5(各方法分配結(jié)果的比較1):宿舍學(xué)生人數(shù)20個(gè)席位的分配21個(gè)席位的分配BQDRBQDRA1031011111011111110B6366667677C3443343434總數(shù)2002020202021212121表6(各方法分配結(jié)果的比較2):宿舍學(xué)生人數(shù)10個(gè)席位的分配15個(gè)席位的分配BQDRBQDRA23532234434B33333335555C43245546676總數(shù)10001010101015151515表格中,B表示比例加慣例法,Q表示Q值法,D表示D,hondt法,R表示相對(duì)尾數(shù)法?!氨壤討T例”法用各團(tuán)體人數(shù)占團(tuán)體總?cè)藬?shù)的比例乘以總席位數(shù)取其整數(shù)位為第一次分配,再次分配時(shí),則按小數(shù)位的大小分,大的先分配,直到席位分完。從表4看到,當(dāng)總席位數(shù)增加時(shí),C宿舍分得的席位卻減少;Q值法利用相對(duì)不公平度建立了衡量不公平程度的數(shù)量指標(biāo),進(jìn)而將席位分給最不公平的一方。D’hondt方法將各團(tuán)體的人數(shù)用正整數(shù)相除,其商數(shù)組成一個(gè)表,將數(shù)從大到小取,直到取得的商數(shù)的個(gè)數(shù)等于總席位數(shù),統(tǒng)計(jì)出每個(gè)團(tuán)體被取到的商數(shù)的個(gè)數(shù),即為該團(tuán)體分得的席位數(shù)。5優(yōu)缺點(diǎn)分析及改進(jìn)從對(duì)模型的檢驗(yàn)與分析可以看到,上面討論的三個(gè)模型都有自身的不足:比例加慣例法滿足公理一,卻不滿足公理二;Q值法滿足公理二但不滿足公理一;D’hondt法也不能解決對(duì)每個(gè)宿舍成員公平的大小問題;尾數(shù)法雖然滿足公理一和二,但由于兩個(gè)公理本身只滿足Young公理體系的部分,也不盡完美。優(yōu)點(diǎn):尾數(shù)模型打破Q值法的對(duì)絕對(duì)尾數(shù)的比較方法,以相對(duì)尾數(shù)來討論,使得模型滿足了Young公理體系中更多的公理,雖不盡完善,但相比之前的四種方法是很大的改進(jìn)。并且,這種對(duì)已有方法改進(jìn)的思想很有啟發(fā)意義。改進(jìn):本文中只給出了尾數(shù)法對(duì)3個(gè)宿舍的名額分配程序,對(duì)不定數(shù)量宿舍的分配沒能程序?qū)崿F(xiàn),是可以改進(jìn)的。6模型的具體意義人生活在這個(gè)經(jīng)濟(jì)的社會(huì),每個(gè)人或多或少都是一個(gè)經(jīng)濟(jì)人,即以自己最小的經(jīng)濟(jì)代價(jià)去獲取自己最大的經(jīng)濟(jì)利益,但是經(jīng)濟(jì)人永無止盡的欲望與有限的資源發(fā)生了矛盾,因此人們都盡自己最大的努力使自己獲得最大資源和利益。如此,每個(gè)人都這樣做,或多或少會(huì)引起其他人的不滿,造成人與人之間和社會(huì)內(nèi)部的矛盾,經(jīng)過長(zhǎng)久的博弈之后,人們決定讓每個(gè)人都能得到一定的滿足,但每個(gè)人也不能占盡全部利益!這就涉及到一個(gè)公平的問題。我們知道絕對(duì)的公平是不存在的,那我們?nèi)绾尾拍茏龅较鄬?duì)的公平?讓每個(gè)經(jīng)濟(jì)人都得到滿足,也滿意這種資源的分配?這就是本文所要應(yīng)用的具體意義。參考文獻(xiàn)[1:姜啟源等數(shù)學(xué)建模[M](第四版)北京高等教育出版社,2010.9:278—286.:2]岳林關(guān)于Q值法的一種新定義[J].系統(tǒng)工程.1995,13(4):70—73.:3]

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