公交車調(diào)度問題關于公交車的調(diào)度問題摘要:本文主要是研究公交車調(diào)度的最優(yōu)策略問題。我們建立了一個以公交車的利益為目標函數(shù)的優(yōu)化模型，同時保證等車時間超過 10分鐘（或者超過 5分鐘）的乘客人數(shù)在總的等車乘客數(shù)所占的比重小于一個事先給定的較小值。首先，利用最小二乘法擬合出各站上（下）車人數(shù)的非參數(shù)分布函數(shù)，求解時先用一種簡單方法估算出最小配車數(shù)43輛。然后依此為參照值，利用Maple優(yōu)化工具得到一個整體最優(yōu)解：最小配車數(shù)為48輛，并給出了在公交車載客量不同條件下的最優(yōu)車輛調(diào)度方案，使得公司的收益得到最大，并且乘客等車的時間不宜過長，最后對整個模型進行了推廣和評價，指出了有效改進方向。關鍵詞：公交車調(diào)度；優(yōu)化模型；最小二乘法問題的重述 :公共交通是城市交通的重要組成部分， 作好公交車的調(diào)度對于完善城市交通環(huán)境、改進市民出行狀況、提高公交公司的經(jīng)濟和社會效益，都具有重要意義。下面考慮一條公交線路上公交車的調(diào)度問題，其數(shù)據(jù)來自我國一座特大城市某條公交線路的客流調(diào)查和運營資料。該條公交線路上行方向共 14站，下行方向共13站，第3-4頁給出的是典型的一個工作日兩個運行方向各站上下車的乘客數(shù)量統(tǒng)計。公交公司配給該線路同一型號的大客車，每輛標準載客100人，據(jù)統(tǒng)計客車在該線路上運行的平均速度為20公里 /小時。運營調(diào)度要求，乘客候車時間一般不要超過 10分鐘，早高峰時一般不要超過5分鐘，車輛滿載率不應超過 120%，一般也不要低于50%。試根據(jù)這些資料和要求，為該線路設計一個便于操作的全天（工作日）的公交車調(diào)度方案，包括兩個起點站的發(fā)車時刻表；一共需要多少輛車；這個方案以怎樣的程度照顧到了乘客和公交公司雙方的利益；等等。如何將這個調(diào)度問題抽象成一個明確、 完整的數(shù)學模型，指出求解模型的方法；根據(jù)實際問題的要求，如果要設計更好的調(diào)度方案，應如何采集運營數(shù)據(jù)?；炯僭O1） 該公交路線不存在堵塞現(xiàn)象，且公共汽車之間依次行進，不存在超車現(xiàn)象。2） 公共汽車滿載后，乘客不能再上，只得等待下一輛車的到來。3） 上行、下行方向的頭班車同時從起始站出發(fā)。4） 該公交路線上行方向共14站，下行方向共13站。5） 公交車均為同一型號，每輛標準載客 100名，車輛滿載率不應超過 120%，一般也不要低于50%。6） 客車在該路線上運行的平均速度為20公里/小時，不考慮乘客上下車時間。7） 乘客侯車時間一般不超過10分鐘，早高峰時一般不超過5分鐘。8） 一開始從 A13出發(fā)的車輛，與一開始從A0出發(fā)的車輛不發(fā)生交替，兩循環(huán)獨立。9） 題目所給的數(shù)據(jù)具有一定的代表性，可以做為各種計算的依據(jù)。符號說明Na：從總站A13始發(fā)出的公交車的總次數(shù)（上行方向）Nb:從總站A0始發(fā)出的公交車的總次數(shù)（下行方向）T1:上行方向早高峰發(fā)車間隔時間T2:上行方向平時發(fā)車間隔時間T3:上行方向晚高峰發(fā)車間隔時間T4：下行方向早高峰發(fā)車間隔時間T5：下行方向平時發(fā)車間隔時間T6:下行方向晚高峰發(fā)車間隔時間Ta（i,j）:第i輛車到達第j站的時刻N1（i,j）:在j站離開第i輛車的乘客數(shù)Ne（i，j）:在j站上第i輛車的乘客數(shù)D（j，j-1）:第j站與第（j-1）站間距f1（j）:上行方向第j站的上車乘客的密度函數(shù)g1（j）：上行方向第j站的下車乘客的密度函數(shù)f2（j）:下行方向第j站的上車乘客的密度函數(shù)g2（j）:下行方向第j站的下車乘客的密度函數(shù)G：一天內(nèi)公交公司的總收入A：公交車出車一次的支出，為定值B：公交公司每天的固定支出，為定值i: i=1,2,3，為一小概率事件的概率N（t）:某車站全天的上（下）車乘客數(shù)qt：第t時間段此站的上（下）車人數(shù)Q（i,j）:第i輛車到達第j站時的車上人數(shù)建模前的準備:1） 對問題的初步分析我們考慮三組相關的因素：公共汽車，汽車站與乘客對模型的影響。i） 與公共汽車有關的因素：離開公共汽車總站的時間，到達每一站的時間，在每一站下車的乘客數(shù)，在每一站的停留時間，載客總數(shù)，行進速度等。ii）與車站有關的因素： 線路上汽車的位置，車站間距， 乘客到來的函數(shù)表示，等車的乘客數(shù)，上一輛車離開車站過去的時間等。iii）與乘客有關的因素：到達某一車站的時間，乘車距離（站數(shù)），侯車時間等。2） 曲線的擬合分析樣本數(shù)據(jù)，可知對于某車站全天的上（下）車乘客數(shù) N（t）是時間 t的遞增函數(shù)，N（t）=N（t-1）+qt,其中qt^第t時間內(nèi)此站的上（下）車人數(shù)，我們可以由此來擬合其分布函數(shù)。由樣本數(shù)據(jù)知每一車站每天有兩次波峰，故根據(jù)最小二乘法將分布函數(shù)擬合為關于t的五次多項式。分析與建模分析樣本數(shù)據(jù)， 在上行方向 22：00—23：00和下行方向 5:00—6：00上、下車人數(shù)較其它時段偏小，為使模型更好地體現(xiàn)普遍性，我們單獨討論上面的兩個時段。易知各站只需一輛車就可以滿足需求。由題設要求可知，所求方案須兼顧乘客和公交公司的利益，但實際上，不可能同時使雙方都達到最優(yōu)值。因此我們將公司利益作為目標函數(shù)，將乘客利益作為約束條件。公司利益Z=G-（Na+Nb）*A-B（其中G為總收入，因樣本數(shù)據(jù)為典型工作日，因而可以看作定值，（Na+Nb）*A+B為支出。）4*607*602*605*60

NaNa=[ +T1T2T3+ ]T2kl7*60+3*60+4*604*60Nb二 T5 T4 匚 T6乘客的利益在此處即為侯車時間，由于乘客侯車時間帶有隨機性，不可能總小于(或大于)某個定值，因而可用概率來描述乘客的利益，得如下模型：I:maxZ=G-(Na+Nb)*A-Bs.t.P{等待時間 t>10分鐘的人}<1P{Q（iP{Q（i，j）+Ne（i，j）—N1（i，j）>120}<2P{Q（i，j）+Ne（i，j）—N1（ i，j）<50}<或P{等待時間t>5分鐘的人}<1P{Q（i，j）+Ne（i，j）—N1（ i，j）>120}<P{Q（i，j）+Ne（i，j）—N1（ i，j）<50}<模型的簡化與求解：對于原模型，由于約束條件難以表示為明確的函數(shù)表達式，給實際求解過程中帶來相當大的困難，因而對其簡化。1)發(fā)生間距時間的求解分析原目標值Z，易知maxZmaxT其中T為發(fā)車間距時間，它因不同的時間段而不同。下面我們就以每小時為一時間段來求解，且假設乘客上下車瞬間完成，即不考慮上下車時間。 應題設要求， 乘客侯車時間一般不超過 10分鐘，早高峰時一般不超過5分鐘。我們引進概率參數(shù)，用以控制侯車時間超過10分鐘(或5分鐘)的人數(shù)在總侯車人數(shù)的比重。對于滿載率不低于50%，由于目標值為maxZ，則可以忽略不考慮，可得如下模型：II:maxT=tT(i1,j)10fi(j)dtstT(i,j)S.? T(i1,j)千i(j)dtT(i,j)T(i1,j)T(i1,j)Q(i,j)+fi(j)dt- gi(j)dt120T(i,j) T(i,j)T(i1,j)5fi(j)dtT（i,j）T(i1,j)f1i(j)T(i,j)T(i1,j) T(i1,j)Q(i,j)+fi(j)dt-gi(j)dt120T(i,j0 T(i,j)t>0,i=1,2分析樣本數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)：對于上行車道，A13，A12，A11，A10，A9的上車人數(shù)〉下車人數(shù)，對于其余站點則相反；對于下行車道，A0, A2, A3,A4的上車人數(shù)〉下車人數(shù)，而其余站點則相反；因而對于約束條件，只需取前5個(或4個)，對于模型II,我們可以根據(jù)擬合分布函數(shù)Fj,Gj將約束條件轉化為 T的函數(shù)，利用Matlab軟件容易求解。分析II所得結果，易知在高峰時間段中，結果T有較大誤差，是由于擬合函數(shù)的誤差而引起的。為了減小誤差，可以分段擬合分布函數(shù)Fi,Gio為計算方便，可以認為在每小時內(nèi)，每站的到達人數(shù)與時間成正比，每站的下車人數(shù)亦與時間成正比，即 F,(t)=ki*t,Gi(t)=pi*t,ki,pi為斜率， 令=5%,于是將模型簡化為：III：maxT=ts.t.19t-2000(或19t-1000)k1*t-1200k1*t+k2*t-p2*t-1200k1*t+k2*t-p2*t+k3*t-p3*t-1200k1*t+k2*t -p2*t+k 3*t-p3*t +k4*t- p4*t-120 0k1*t+k2*t -p2*t+k 3*t-p3*t +k4*t- p4*t+k5*t -p5*t -1200t>0

（平時及晚高峰取19t-2000,早高峰取19t-1000）當上行時，取所有約束條件，下行時取前5個約束條件。模型川為線性規(guī)劃，利用Matlab求解，結果如下：發(fā)車間距時間表（單位皆為分鐘）910101111121213131491010111112121313145.49626.03525.31375.64796.92315.49626.03525.31375.64796.92316.2.6162.6..6747111116.2.6162.6..67471111110.5^ 3.27871.99342.97896.59959.2199.302310.52637.079.||、|||進行誤差分析在上文中，我們已提及到模型II的誤差，究其原因主要是由于擬合函數(shù)的誤差引起的。如上行萬向 A13站7：00—8：00，發(fā)車間距 T=5.26分，顯然此時的T無法使3626名乘客正常運行，而此時由擬合函數(shù)算出來的乘客總數(shù)為2023。誤差△=3626-2023=1603（人）。為使誤差減小，因而可以對函數(shù)進行分段擬合。如模型川中，以每小時為一段。此時求解的結果，能很好的使樣本數(shù)據(jù)的乘客正常運行。當然此時的解亦有誤差，因而T可有一波動范圍。在此解的情況下，容易知道客車滿載率120%（約束條件）。乘客等待時間過長的概率5%?？蛰d情形，大部分只有在最后一站方出現(xiàn)空載情形（滿載率50%）。2） 對無滯留乘客條件下的最小配車數(shù)初步求解我們對數(shù)據(jù)作進一步的處理，估算出每一段上、下行所需的最小配車數(shù)，從而得出一天內(nèi)所需配備的最小車輛數(shù)。為最小配車數(shù)的求解找到一個參照值。我們首先考慮以一小時為時間間距來考查一天的最小配車數(shù)（即設公交車在各車站所停的時間為一定值）。分析數(shù)據(jù)可知滿足各站均無滯留乘客，各發(fā)車時刻均有車可發(fā)的最小配車數(shù)應為65輛車。這只是一個初步解，為得到進一步的精確解，我們考慮以44分為一時間間距，通過擬合的分布函數(shù)得到各車滿載時各時段的所需最小配車數(shù)。滿足各站無滯留乘客，各發(fā)車時刻均有車可發(fā)的最小配車數(shù)為43輛。3） 公交公司調(diào)度方案模型的建立與求解i）我們制訂調(diào)度方案，應使公交公司和乘客雙方的利益達到均衡。一方面公交公司希望配置盡可能少的汽車以降低固定成本，又要在保證接送全部乘客的前提下盡可能減小出車次數(shù)，以降低可變成本；另一方面，應實現(xiàn)乘客滿意，即規(guī)定發(fā)車時段必定有車可乘，盡可能縮短等車時間。ii）制訂調(diào)度方案時，我們發(fā)現(xiàn)有下難點：A） -方車站到了發(fā)車時間但沒有車可發(fā)，另一方面卻有囤積。此問題有兩種解法：一是購置新車，二是調(diào)節(jié)班次。前者使成本變高，后者引起連鎖反應，使整個計算量變大且有可能求不出最優(yōu)解。B） 若迫不得已要改變總車配置數(shù)，必須調(diào)動各個時間間隔使車優(yōu)化配EXT3直，全局最優(yōu)化。這是一個最優(yōu)問題。C） 總配置數(shù)一定， 調(diào)節(jié)總車班次使總車次數(shù)增加越少，總車班次數(shù)越小，則求得的解越優(yōu)。這又是一個極值優(yōu)化問題。為解決以上難點， 我們建立了一個線性規(guī)劃模型， 用Maple優(yōu)化軟件求解。設某j時間段發(fā)車數(shù)為,車站內(nèi)車輛總數(shù)為設某j時間段發(fā)車數(shù)為,車站內(nèi)車輛總數(shù)為Cijm為總配置數(shù)，z為總班次181minz=X..ijj1j0s.七C0+Ci=mX11=q-XuX01=C0-X01m1X1mm1X1mX1j=C1+X0mm1TOC\o"1-5"\h\zj1 jX0j=C0+X1m-X0m0m1 m118 18X0m二^m1 m11)60分一120人調(diào)度方案模型若考慮到各站點乘客上下車時間相等，總行程總需耗時60分，每輛車都載120人。在初步解的模型中，配置最小車輛為 60，用Maple軟件包開始搜索優(yōu)化選擇，j=2，3 18。搜索出整體最優(yōu)解為：C0=62，C1=4，m=66，z=476。2)44分一120人調(diào)度方案模型考慮乘客上下車瞬間完成， 公交車駛完全程需44分。每輛車均載 120人，此模型中步長為 44分鐘，所考慮時段的乘客數(shù)均由擬合函數(shù)給出， 初始值為4輛，由Maple軟件包優(yōu)化選擇，得到：C0=42，C1=6，m=48，z=590。模型的推廣與改進在設計公交車調(diào)度方案時，并未充分考慮乘客利益，在進行改進時，可以試著想其它辦法找到一些更好的規(guī)則來進行對比與評價，從而得到更加優(yōu)化的方案，使雙方利益達到充分均衡，這是模型改進的方向。另外，模型求得的數(shù)據(jù)相對問題的關鍵是所給的數(shù)據(jù)太少，所得到的調(diào)度方案穩(wěn)定性很差，靈敏度較高，可以試著找其它方法解決，從而求解。我們建立了一個調(diào)度方案的一般模型，并提出了一個較普遍與實用的方法，故此模型可用于現(xiàn)實生活中其它運輸業(yè)的調(diào)配，類似交通運輸之類的調(diào)配問題，從而達到資源的優(yōu)化配置。模型的自我評價：我們通過一些合理的假設，針對公交車調(diào)度問題建立了一般模型。先對模型進行了簡化，采用由簡單到復雜，逐步深入的方法，充分利用Maple優(yōu)化軟件包進行搜索，優(yōu)化求解，從而得到一個整體最優(yōu)解。在求解（2）小題時，提出一個方法，即每次都從每段時間的起點均有車發(fā)出，到最后一班車持續(xù)等時段發(fā)出，最后剩余小段時間丟去不予考慮。列出了不同時段的公交車調(diào)度時刻表。同時引入概率來刻劃顧客利益，從而可以使抽象概念定性分析定量化，也是本模型的一大優(yōu)點。但本題中因只給了某一個工作日的數(shù)據(jù)樣本，具有典型性，得出的結果在長時間內(nèi)可行性較差，其次設計調(diào)度方案時著重考慮公司利益與大部分顧客利益，使雙方利益趨于均衡，并未同時達到雙方滿意，這是我們模型的缺點所在。參考文獻:［1］姜啟源數(shù)學模型［M］北京：高等教育出版社［2］ 葉其孝大學生數(shù)學建模競賽輔導教材［M］長沙：湖南教育出版社［3］ 王淥然與科學計算［M］北京：清華大學出版社［4］ 費培之，程中瑗數(shù)學模型實用教程［M］成都：四川大學出版社附錄：表格1上行方向前五站各時段上車人數(shù)站危危名312111095:00-6:00371605243766:00-199373325587:00063697:00-362635244948:00648788:009:00206