第20講圓的有關(guān)概念及性質(zhì)第20講圓的有關(guān)概念及性質(zhì)1考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)一圓的有關(guān)概念和性質(zhì)

1.圓的定義:在同一平面內(nèi),一條線段OA繞著它的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點(diǎn)A所形成的封閉圖形,叫做圓;直徑等于半徑的2倍.

2.垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的弧.

推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧.

3.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦的弦心距相等.

推論:在同圓或等圓中,如果兩個圓心角以及這兩個圓心角所對的弧、所對的弦、所對的弦的弦心距中,有一組量相等,那么其余的各組量也都相等.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)一圓的有關(guān)概念和性質(zhì)

考點(diǎn)一考點(diǎn)二4.圓的對稱性圓是軸對稱圖形,其對稱軸是過圓心的直線,圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,其對稱中心是圓心.

5.三角形的外接圓、外心(1)確定圓的條件:①過不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓;②已知圓心和半徑;③已知直徑.

(2)三角形的外接圓、外心:三角形的三個頂點(diǎn)確定一個圓,這個圓叫做三角形的外接圓,這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形,這個圓的圓心叫做三角形的外心.

6.圓的內(nèi)接多邊形如果一個多邊形的每一個頂點(diǎn)都在同一個圓上,那么這個多邊形叫做這個圓的內(nèi)接多邊形,這個圓叫做這個多邊形的外接圓.

7.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ),并且一個外角等于它的內(nèi)對角.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二4.圓的對稱性考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)二圓周角與圓心角

1.圓心角:頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角,圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).

2.圓周角:頂點(diǎn)在圓上、兩邊分別和圓相交的角叫做圓周角,圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半.

3.圓周角定理(圓周角和圓心角的關(guān)系):在同圓或等圓中,一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等,在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等;

推論2:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弧是半圓,所對的弦是直徑.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)二圓周角與圓心角

考法1考法2考法3圓心角與圓周角的相關(guān)計(jì)算問題在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓心角等于它所對的圓周角的2倍.利用這個關(guān)系來解決的問題常常是:已知圓周角求圓心角或已知圓心角求圓周角,有時(shí)也結(jié)合勾股定理進(jìn)行半徑或直徑的計(jì)算.考法1考法2考法3圓心角與圓周角的相關(guān)計(jì)算問題考法1考法2考法3例1(2020山東聊城)如圖,在☉O中,弦BC與半徑OA相交于點(diǎn)D,連接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,則∠C的度數(shù)是(

)A.25° B.27.5°C.30° D.35°答案:D

解析:∵∠A=60°,∠ADC=85°,∴∠B=85°-60°=25°,∠CDO=95°,∴∠AOC=2∠B=50°,∴∠C=180°-95°-50°=35°.故選D.

方法點(diǎn)撥直接利用三角形外角的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角的關(guān)系得出∠B以及∠ODC的度數(shù),再利用圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理得出答案.考法1考法2考法3例1(2020山東聊城)如圖,在☉O中,弦考法1考法2考法3垂徑定理及其推論的應(yīng)用利用垂徑定理和勾股定理相結(jié)合,進(jìn)行有關(guān)弦、弦心距、半徑(直徑)的計(jì)算是中考中關(guān)注熱度較大的題型.例2(2020河北張家界)如圖,AB是☉O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,OC=5cm,CD=8cm,則AE=(

)A.8cm B.5cmC.3cm D.2cm答案:A

解析:∵弦CD⊥AB于點(diǎn)E,CD=8cm,∴CE=CD=4cm.在Rt△OCE中,OC=5cm,CE=4cm,∴OE=3cm,∴AE=AO+OE=5+3=8cm.故選A.

考法1考法2考法3垂徑定理及其推論的應(yīng)用考法1考法2考法3方法點(diǎn)撥根據(jù)垂徑定理可得出CE的長度,在Rt△OCE中,利用勾股定理可得出OE的長度,再利用AE=AO+OE即可得出AE的長度.考法1考法2考法3方法點(diǎn)撥根據(jù)垂徑定理可得出CE的長度,在R考法1考法2考法3例3(2020浙江杭州)如圖,☉O的半徑OA=6,以A為圓心,OA為半徑的弧交☉O于B,C兩點(diǎn),則BC=(

)考法1考法2考法3例3(2020浙江杭州)如圖,☉O的半徑O考法1考法2考法3答案:A

解析:設(shè)OA與BC相交于D點(diǎn).連接AB,OB.∵AB=OA=OB=6,∴△OAB是等邊三角形.又根據(jù)垂徑定理可得,OA平分BC,方法點(diǎn)撥在應(yīng)用垂徑定理時(shí),往往需要作垂直于弦的直徑或半徑,利用垂徑定理及其推論和勾股定理達(dá)到解題的目的.考法1考法2考法3答案:A方法點(diǎn)撥在應(yīng)用垂徑定理時(shí),往往需考法1考法2考法3圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì)包括半徑與直徑的關(guān)系、圓心角與圓周角的關(guān)系,圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系、圓的對稱性等.題型有有關(guān)圓的角度的計(jì)算,圓的內(nèi)接三角形的相關(guān)計(jì)算,直徑(半徑)、弦、弦心距的計(jì)算問題,往往綜合性較大.考法1考法2考法3圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用考法1考法2考法3例4(2020浙江衢州)如圖,AC是☉O的直徑,弦BD⊥AO于點(diǎn)E,連接BC,過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F,若BD=8cm,AE=2cm,則OF的長度是(

)考法1考法2考法3例4(2020浙江衢州)如圖,AC是☉O的考法1考法2考法3答案:D

解析:連接OB,∵AC是☉O的直徑,弦BD⊥AO于點(diǎn)E,BD=8cm,AE=2cm,在Rt△OEB中,OE2+BE2=OB2,即OE2+42=(OE+2)2解得OE=3,∴OB=3+2=5,∴EC=5+3=8,方法點(diǎn)撥根據(jù)垂徑定理得出OE的長,進(jìn)而利用勾股定理得出BC的長,再利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可.考法1考法2考法3答案:D方法點(diǎn)撥根據(jù)垂徑定理得出OE的長1.(2020甘肅)如圖,☉A過點(diǎn)O(0,0),C(,0),D(0,1),點(diǎn)B是x軸下方☉A上的一點(diǎn),連接BO,BD,則∠OBD的度數(shù)是(B

)A.15° B.30° C.45° D.60°1.(2020甘肅)如圖,☉A過點(diǎn)O(0,0),C(14解析:連接DC,∴∠DCO=30°,∴∠OBD=30°.故選B.解析:連接DC,∴∠DCO=30°,152.(2020甘肅蘭州)如圖,在☉O中,點(diǎn)C是的中點(diǎn),∠A=50°,則∠BOC=(A

)A.40° B.45° C.50° D.60°解析:在△OAB中,OA=OB,所以∠A=∠B=50°.根據(jù)題意得OC平分弦AB所對的弧,所以O(shè)C垂直平分弦AB,即∠BOC=90°-∠B=40°,故選A.2.(2020甘肅蘭州)如圖,在☉O中,點(diǎn)C是163.(2020甘肅蘭州)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,四邊形ABCO是平行四邊形,則∠ADC=(C

)A.45° B.50° C.60° D.75°解析:連接OB,則∠OAB=∠OBA,∠OCB=∠OBC,∵四邊形ABCO是平行四邊形,則∠OAB=∠OBC,∴∠ABC=∠OAB+∠OBC=∠AOC,∴∠ABC=∠AOC=120°,∠OAB=∠OCB=60°,連接OD,則∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC,由四邊形的內(nèi)角和等于360°可知,∠ADC=360°-∠OAB-∠ABC-∠OCB-∠OAD-∠OCD,∴∠ADC=60°.3.(2020甘肅蘭州)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,四邊174.(2017甘肅武威)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,若∠OAB=32°,則∠C=58

°.

解析:連接OB,則OA=OB,所以∠OBA=∠OAB=32°,所以∠AOB=180°-2×32°=116°,因?yàn)椤螦OB=2∠C,所以2∠C=116°,所以∠C=58°.4.(2017甘肅武威)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,若∠OAB18解析:∵∠ABC=45°,∴∠AOC=90°,解析:∵∠ABC=45°,19第20講圓的有關(guān)概念及性質(zhì)第20講圓的有關(guān)概念及性質(zhì)20考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)一圓的有關(guān)概念和性質(zhì)

1.圓的定義:在同一平面內(nèi),一條線段OA繞著它的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點(diǎn)A所形成的封閉圖形,叫做圓;直徑等于半徑的2倍.

2.垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的弧.

推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧.

3.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦的弦心距相等.

推論:在同圓或等圓中,如果兩個圓心角以及這兩個圓心角所對的弧、所對的弦、所對的弦的弦心距中,有一組量相等,那么其余的各組量也都相等.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)一圓的有關(guān)概念和性質(zhì)

考點(diǎn)一考點(diǎn)二4.圓的對稱性圓是軸對稱圖形,其對稱軸是過圓心的直線,圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,其對稱中心是圓心.

5.三角形的外接圓、外心(1)確定圓的條件:①過不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓;②已知圓心和半徑;③已知直徑.

(2)三角形的外接圓、外心:三角形的三個頂點(diǎn)確定一個圓,這個圓叫做三角形的外接圓,這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形,這個圓的圓心叫做三角形的外心.

6.圓的內(nèi)接多邊形如果一個多邊形的每一個頂點(diǎn)都在同一個圓上,那么這個多邊形叫做這個圓的內(nèi)接多邊形,這個圓叫做這個多邊形的外接圓.

7.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ),并且一個外角等于它的內(nèi)對角.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二4.圓的對稱性考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)二圓周角與圓心角

1.圓心角:頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角,圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).

2.圓周角:頂點(diǎn)在圓上、兩邊分別和圓相交的角叫做圓周角,圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半.

3.圓周角定理(圓周角和圓心角的關(guān)系):在同圓或等圓中,一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等,在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等;

推論2:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弧是半圓,所對的弦是直徑.

考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)二圓周角與圓心角

考法1考法2考法3圓心角與圓周角的相關(guān)計(jì)算問題在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓心角等于它所對的圓周角的2倍.利用這個關(guān)系來解決的問題常常是:已知圓周角求圓心角或已知圓心角求圓周角,有時(shí)也結(jié)合勾股定理進(jìn)行半徑或直徑的計(jì)算.考法1考法2考法3圓心角與圓周角的相關(guān)計(jì)算問題考法1考法2考法3例1(2020山東聊城)如圖,在☉O中,弦BC與半徑OA相交于點(diǎn)D,連接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,則∠C的度數(shù)是(

)A.25° B.27.5°C.30° D.35°答案:D

解析:∵∠A=60°,∠ADC=85°,∴∠B=85°-60°=25°,∠CDO=95°,∴∠AOC=2∠B=50°,∴∠C=180°-95°-50°=35°.故選D.

方法點(diǎn)撥直接利用三角形外角的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角的關(guān)系得出∠B以及∠ODC的度數(shù),再利用圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理得出答案.考法1考法2考法3例1(2020山東聊城)如圖,在☉O中,弦考法1考法2考法3垂徑定理及其推論的應(yīng)用利用垂徑定理和勾股定理相結(jié)合,進(jìn)行有關(guān)弦、弦心距、半徑(直徑)的計(jì)算是中考中關(guān)注熱度較大的題型.例2(2020河北張家界)如圖,AB是☉O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,OC=5cm,CD=8cm,則AE=(

)A.8cm B.5cmC.3cm D.2cm答案:A

解析:∵弦CD⊥AB于點(diǎn)E,CD=8cm,∴CE=CD=4cm.在Rt△OCE中,OC=5cm,CE=4cm,∴OE=3cm,∴AE=AO+OE=5+3=8cm.故選A.

考法1考法2考法3垂徑定理及其推論的應(yīng)用考法1考法2考法3方法點(diǎn)撥根據(jù)垂徑定理可得出CE的長度,在Rt△OCE中,利用勾股定理可得出OE的長度,再利用AE=AO+OE即可得出AE的長度.考法1考法2考法3方法點(diǎn)撥根據(jù)垂徑定理可得出CE的長度,在R考法1考法2考法3例3(2020浙江杭州)如圖,☉O的半徑OA=6,以A為圓心,OA為半徑的弧交☉O于B,C兩點(diǎn),則BC=(

)考法1考法2考法3例3(2020浙江杭州)如圖,☉O的半徑O考法1考法2考法3答案:A

解析:設(shè)OA與BC相交于D點(diǎn).連接AB,OB.∵AB=OA=OB=6,∴△OAB是等邊三角形.又根據(jù)垂徑定理可得,OA平分BC,方法點(diǎn)撥在應(yīng)用垂徑定理時(shí),往往需要作垂直于弦的直徑或半徑,利用垂徑定理及其推論和勾股定理達(dá)到解題的目的.考法1考法2考法3答案:A方法點(diǎn)撥在應(yīng)用垂徑定理時(shí),往往需考法1考法2考法3圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì)包括半徑與直徑的關(guān)系、圓心角與圓周角的關(guān)系,圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系、圓的對稱性等.題型有有關(guān)圓的角度的計(jì)算,圓的內(nèi)接三角形的相關(guān)計(jì)算,直徑(半徑)、弦、弦心距的計(jì)算問題,往往綜合性較大.考法1考法2考法3圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用考法1考法2考法3例4(2020浙江衢州)如圖,AC是☉O的直徑,弦BD⊥AO于點(diǎn)E,連接BC,過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F,若BD=8cm,AE=2cm,則OF的長度是(

)考法1考法2考法3例4(2020浙江衢州)如圖,AC是☉O的考法1考法2考法3答案:D

解析:連接OB,∵AC是☉O的直徑,弦BD⊥AO于點(diǎn)E,BD=8cm,AE=2cm,在Rt△OEB中,OE2+BE2=OB2,即OE2+42=(OE+2)2解得OE=3,∴OB=3+2=5,∴EC=5+3=8,方法點(diǎn)撥根據(jù)垂徑定理得出OE的長,進(jìn)而利用勾股定理得出BC的長,再利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可.考法1考法2考法3答案:D方法點(diǎn)撥根據(jù)垂徑定理得出OE的長1.(2020甘肅)如圖,☉A過點(diǎn)O(0,0),C(,0),D(0,1),點(diǎn)B是x軸下方☉A上的一點(diǎn),連接BO,BD,則∠OBD的度數(shù)是(B

)A.15° B.30° C.45° D.60°1.(2020甘肅)如圖,☉A過點(diǎn)O(0,0),C(33解析:連接DC,∴∠DCO=30°,∴∠OBD=30°.故選B.解析:連接DC,∴∠DCO=30°,342.(2020甘肅蘭州)如圖,在☉O中