1、系綜理論參考書：汪志誠，“熱力學(xué)統(tǒng)計物理”（第三版），第九章，高教出版社。R.K.Pathria，“Statistical Mechanics”（第二版），第一章第四章，世界圖書出版公司。F.Schwabl， “Statistical Mechanics”（第二版），第一章第三章，科學(xué)出版社。Landau， “Statistical Physics”（Part 1），第一章第三章，世界圖書出版公司。第1頁第1頁相空間&劉維爾定理 在第六、七、八章最概然分布辦法只能處理近獨(dú)立粒子系統(tǒng)，系綜理論能夠研究有互相作用粒子系統(tǒng)，是平衡態(tài)統(tǒng)計物理普遍理論。 宏觀系統(tǒng)是由大量微觀粒子構(gòu)成，微觀粒子能夠用典型

2、方式描寫，也能夠用量子力學(xué)辦法。我們先看系統(tǒng)微觀狀態(tài)典型描述。 假設(shè)系統(tǒng)有N個粒子，每一個粒子自由度為r，那么宏觀物質(zhì)系統(tǒng)總自由度為：f=Nr。系統(tǒng)在任意時刻微觀運(yùn)動狀態(tài)，用f個廣義坐標(biāo)（正則坐標(biāo)）以及和它共軛f個廣義動量（正則動量）在該時刻數(shù)值擬定，以這2f個變量為直角坐標(biāo)，構(gòu)成一個2f維空間，稱為相空間。系統(tǒng)在某一時刻運(yùn)動狀態(tài)，相應(yīng)于想空間中一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為系統(tǒng)微觀運(yùn)動狀態(tài)代表點(diǎn)。第2頁第2頁經(jīng)過相空間中任意點(diǎn)，只能有一條軌道。系統(tǒng)從任意一初態(tài)出發(fā)，代表點(diǎn)在相空間中軌道或者是一條封閉曲線，或者是一條本身永不相交曲線。系統(tǒng)從不同初態(tài)出發(fā)，代表點(diǎn)沿著相空間中不同軌道運(yùn)時，不同軌道互不相交。 正則

3、坐標(biāo)和正則動量演化滿足哈密頓正則方程，當(dāng)系統(tǒng)代表點(diǎn)在相空間中移動時，它軌道由正則方程擬定，利用微分方程理論，軌道有下列特點(diǎn)：第3頁第3頁劉維爾定理設(shè)想有N 個結(jié)構(gòu)完全相同系統(tǒng)，各自從其初態(tài)出發(fā)，獨(dú)立沿著正則方程所要求軌道運(yùn)動，這些系統(tǒng)代表點(diǎn)將在相空間形成一個分布。相空間一個體積元為：則t 時刻，運(yùn)動狀態(tài)在這個體積元內(nèi)代表點(diǎn)數(shù)：第4頁第4頁劉維爾定理意義在于：假如我們沿著一個代表點(diǎn)在相空間中走正則軌道，則我們周圍代表點(diǎn)密度是常數(shù)。劉維爾方程是可逆，因此完全是力學(xué)規(guī)律結(jié)果。量子力學(xué)中引入密度矩陣后，能夠得到量子劉維爾方程。第5頁第5頁微正則分布一、能否擬定系統(tǒng)微觀狀態(tài)？不能！ 熱力學(xué)和統(tǒng)計物理學(xué)都

4、是研究由大量微觀粒子構(gòu)成宏觀系統(tǒng)，統(tǒng)計物理學(xué)從微觀出發(fā)。 假設(shè)系統(tǒng)有N個粒子，每一個粒子自由度為r，那么宏觀物質(zhì)系統(tǒng)總自由度為：f=Nr。系統(tǒng)在任意時刻微觀運(yùn)動狀態(tài)，用f個廣義坐標(biāo)（正則坐標(biāo)）以及和它共軛f個廣義動量（正則動量）在該時刻數(shù)值擬定。只要給定了初始條件，正則坐標(biāo)和正則動量數(shù)值由哈密頓正則方程擬定。系統(tǒng)能量以及其它物理量是正則坐標(biāo)和正則動量函數(shù)。因此，求解2f 個哈密頓正則方程是主線問題，但是，這是個不也許任務(wù)。由于普通情況下，fNA第6頁第6頁 愈加主要是，我們研究系統(tǒng)，總能量E 并沒有擬定數(shù)值，通過其表面分子不可避免和外界發(fā)生作用，使得在能量E 附近有一個狹長范圍，即對宏觀系統(tǒng)，

5、表面分子遠(yuǎn)小于總分子數(shù)，故系統(tǒng)和外界作用很弱，故有：第7頁第7頁系統(tǒng)和外界微弱作用影響系統(tǒng)從初態(tài)出發(fā)沿著正則方程所擬定軌道運(yùn)動，通過一定期間（也許很短）之后，外界作用使得系統(tǒng)躍遷到另外一個狀態(tài)，從而沿著另外一條正則軌道運(yùn)動，因此，系統(tǒng)微觀狀態(tài)發(fā)生極其復(fù)雜改變。在給定宏觀條件下，我們不能必定系統(tǒng)在某一時刻處于或者是不處于某一微觀狀態(tài)。統(tǒng)計物理學(xué)基本想法是：退一步，試圖找到系統(tǒng)處于某個微觀狀態(tài)概率。而宏觀量是相應(yīng)微觀量在一切也許微觀狀態(tài)上平均值。第8頁第8頁二、各態(tài)歷經(jīng)假說 作為研究宏觀系統(tǒng)物理性質(zhì)統(tǒng)計力學(xué)，其最初目標(biāo)實際上是作為熱力學(xué)一個擴(kuò)展，這種擴(kuò)展來自于下面兩個原因： （1）熱力學(xué)是一個宏觀

6、方法，這種方法和牛頓力學(xué)不同。 （2）宏觀系統(tǒng)是有大量微觀粒子組成。當(dāng)初已經(jīng)有原子思想，而且積累了各種各樣間接數(shù)據(jù)（尤其是化學(xué)、電磁學(xué)等）。 從微觀角度研究宏觀物體性質(zhì)，實際上是熱力學(xué)理論牛頓回歸！第9頁第9頁 但是，數(shù)學(xué)上巨大困難，使得我們沒有辦法求解正則方程，更由于系統(tǒng)和環(huán)境互換能量，使得這種求解沒有任何意義。 如何建立微觀量和宏觀量關(guān)系呢？或者說，如何從微觀角度建立宏觀觀測量呢？ 很自然想法是，事實上宏觀測量，我們測量都是物理量對時間平均，即：測量時間應(yīng)當(dāng)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不小于系統(tǒng)微觀粒子碰撞特性時間，也就是說使用測量儀器完畢時系統(tǒng)已經(jīng)完畢了很多次碰撞過程，經(jīng)歷了諸多個也許微觀狀態(tài)。由此，玻耳茲曼

7、在1871年提出了“各態(tài)歷經(jīng)假說”。第10頁第10頁各態(tài)歷經(jīng)假說（ergodic hypothesis） 一個孤立系統(tǒng)從任一初態(tài)出發(fā)，經(jīng)過足夠長時間后將經(jīng)歷一切可能微觀狀態(tài)。1884年，玻耳茲曼初次用“各態(tài)歷經(jīng)”這個名稱。企圖把統(tǒng)計規(guī)律還原為力學(xué)規(guī)律一個假設(shè)。數(shù)學(xué)上能夠證實，各態(tài)歷經(jīng)假說不成立，比如：對孤立系統(tǒng)，力學(xué)系統(tǒng)代表點(diǎn)軌道不可能經(jīng)過能量曲面上每一個點(diǎn)。19，P.厄任費(fèi)斯脫夫婦證實了嚴(yán)格各態(tài)歷經(jīng)不存在，于是又提出了準(zhǔn)各態(tài)歷經(jīng)假說，把上述假說中“歷經(jīng)”修改為“能夠無限靠近”。各態(tài)歷經(jīng)假說或準(zhǔn)各態(tài)歷經(jīng)假說基本思想是，認(rèn)為系統(tǒng)處于平衡態(tài)宏觀性質(zhì)是微觀量在足夠長時間平均值，企圖用力學(xué)理論證實統(tǒng)計

8、物理學(xué)基本假設(shè)。 當(dāng)研究對象從少許個體(如分子、原子)變?yōu)橛纱罅總€體組成群體時，后者所遵照統(tǒng)計規(guī)律與前者所遵照力學(xué)規(guī)律本質(zhì)上是不同，統(tǒng)計規(guī)律不是力學(xué)規(guī)律結(jié)果，不能由力學(xué)規(guī)律推導(dǎo)出來。因此，這類假說不能代替統(tǒng)計規(guī)律作為統(tǒng)計物理學(xué)基礎(chǔ)。 第11頁第11頁三、系綜概念引入以及統(tǒng)計物理學(xué)誕生 事實上，1871年，玻耳茲曼就初次引入相空間概念，并且把含有相同結(jié)構(gòu)且互相獨(dú)立質(zhì)點(diǎn)系在相空間分布作為研究課題，這是系綜思想最初萌芽。19，吉布斯在系綜基礎(chǔ)上建立了統(tǒng)計力學(xué)理論體系。 當(dāng)代統(tǒng)計物理學(xué)（又稱統(tǒng)計力學(xué)），將物理量測量值直接用物理量系統(tǒng)平均值來代替，不需要各態(tài)歷經(jīng)這個假設(shè)。也就是說，統(tǒng)計物理學(xué)需要統(tǒng)計假設(shè)

9、和力學(xué)假設(shè)。第12頁第12頁 在典型理論中，也許微觀狀態(tài)在相空間構(gòu)成一個連續(xù)分布，那么在t 時刻，系統(tǒng)微觀狀態(tài)處于相空間一個體積元中概率為：當(dāng)微觀狀態(tài)處于d范圍內(nèi)時，微觀量B數(shù)值為B（q,p），微觀量B在一切也許微觀狀態(tài)上平均值為：就是與微觀量B相相應(yīng)宏觀物理量。第13頁第13頁 以上討論直接能夠換成系綜語言。設(shè)想有N 個結(jié)構(gòu)完全相同、獨(dú)立系統(tǒng)（這N 個思維復(fù)本mental copies，就稱為系綜ensemble），各自從其初態(tài)出發(fā)，獨(dú)立沿著正則方程所要求軌道運(yùn)動，這N 個系統(tǒng)代表點(diǎn)將在相空間形成一個分布。相空間一個體積元為：t 時刻，系統(tǒng)處于這個體積元內(nèi)概率為：則t 時刻，運(yùn)動狀態(tài)在這個體

10、積元內(nèi)代表點(diǎn)數(shù)：第14頁第14頁當(dāng)微觀狀態(tài)處于d范圍內(nèi)時，微觀量B數(shù)值為B（q,p），微觀量B在一切也許微觀狀態(tài)上平均值，稱為系綜平均值：要依據(jù)上述式子求宏觀量，必須知道分布函數(shù) ，這樣，擬定分布函數(shù)成為最主線問題。就是與微觀量B相相應(yīng)宏觀物理量。第15頁第15頁四、孤立系統(tǒng)分布函數(shù)：等概率原理（微正則分布） 對于孤立系統(tǒng)，總能量E為常數(shù)。 但是，即使對于孤立系統(tǒng)，也許由于漲落，會使得E發(fā)生改變，或者由于真正孤立系統(tǒng)并不存在，總是和外界發(fā)生微小作用，使得E 發(fā)生改變，因此，考慮能量在一個小范圍內(nèi)愈加以便，顯然，在這個能量范圍內(nèi)，微觀狀態(tài)數(shù)仍然是大量，我們需要擬定系統(tǒng)在這些微觀狀態(tài)上概率分布。劉

11、維爾定理說明：在同一條正則軌道上，系統(tǒng)出現(xiàn)概率是一樣，也不隨時間改變。不同軌道概率密度是否相同？劉維爾定理無法回答。第16頁第16頁 等概率原理：對所有軌道，概率密度都相等，且不隨時間改變。換句話說，對于孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)所有也許微觀狀態(tài)出現(xiàn)概率是相等。數(shù)學(xué)表示式為：第17頁第17頁五、量子統(tǒng)計力學(xué) 量子力學(xué)中，在給定宏觀條件下，系統(tǒng)也許微觀狀態(tài)是大量，用s=1,2,標(biāo)識系統(tǒng)各個也許微觀狀態(tài)，用 表示t 時刻系統(tǒng)處于狀態(tài)s 概率，滿足歸一化條件：以Bs 表示微觀量B 在量子態(tài)s 上數(shù)值，則B在一切也許微觀狀態(tài)上平均值（即和B相相應(yīng)宏觀物理量）為：第18頁第18頁六、全同粒子微觀狀態(tài)數(shù) 假如把典型統(tǒng)

12、計理解為量子統(tǒng)計典型極限，對于含有N個自由度為r 全同粒子系統(tǒng)，在能量 范圍內(nèi)系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)為 假如有N 種不同粒子，第i 種粒子自由度為ri , 粒子數(shù)為Ni ，則有： 第19頁第19頁七、最概然法和系綜辦法關(guān)系 最概然法：認(rèn)為宏觀量是微觀量在最概然分布下數(shù)值。 系綜法：認(rèn)為宏觀量是微觀量在給定宏觀條件下一切也許微觀狀態(tài)上系綜平均值。 假如相對漲落很小，即： 概率分布必定含有非常陡極大值分布函數(shù)，因此最概然值和平均值是相等。普通宏觀系統(tǒng)，相對漲落比較小，因此兩種辦法統(tǒng)計平均值是相同。 第20頁第20頁微正則分布熱力學(xué)公式 對于孤立系統(tǒng)，由于不和外界互換物質(zhì)，粒子數(shù)擬定，外界不做功，因此體積擬

13、定（假設(shè)只有體積改變功），因此有：第21頁第21頁一、微觀狀態(tài)數(shù)和熱力學(xué)量關(guān)系A(chǔ)1A2第22頁第22頁 依據(jù)等概率原理，平衡態(tài)下孤立系統(tǒng)一切也許微觀狀態(tài)出現(xiàn)概率都相等，因此，當(dāng)A1能量取某一個值時，孤立系統(tǒng)總微觀狀態(tài)數(shù)取極大值，這意味著相應(yīng)E1和E2是最概然能量分派。對于宏觀系統(tǒng)，最概然微觀狀態(tài)數(shù)事實上能夠當(dāng)作是總微觀狀態(tài)數(shù)，因此其它能量分派出現(xiàn)概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于最概然能量分派出現(xiàn)概率，由此能夠認(rèn)為最概然微觀狀態(tài)數(shù)相應(yīng)E1和E2就是A1和A2達(dá)到熱平衡時內(nèi)能。第23頁第23頁熱力學(xué)中，兩個系統(tǒng)達(dá)到熱平衡條件為：第24頁第24頁第25頁第25頁第26頁第26頁二、抱負(fù)氣體和玻耳茲曼常數(shù) 對于典型抱負(fù)氣

14、體，一個分子出現(xiàn)在空間中某一個位置概率和其它分子位置無關(guān)；一個分子出現(xiàn)在容器內(nèi)，也許微觀狀態(tài)數(shù)和容器體積成正比，因此N 個分子出現(xiàn)在容器V 中也許微觀狀態(tài)數(shù)為:第27頁第27頁三、微正則分布求熱力學(xué)函數(shù)程序 事實上，這種計算辦法相稱復(fù)雜。有一個例子：單原子典型抱負(fù)氣體。這個計算更詳細(xì)分析參考Pathria書。第28頁第28頁正則分布以及熱力學(xué)公式 微正則分布考慮是孤立系統(tǒng)分布函數(shù)。現(xiàn)在考慮正則分布，即含有擬定粒子數(shù)N，體積V和溫度T系統(tǒng)分布函數(shù)，（N,V,T）擬定系統(tǒng)相稱于一個和大熱源接觸而達(dá)到平衡系統(tǒng)。系統(tǒng)和大熱源構(gòu)成一個復(fù)合孤立系統(tǒng)。假設(shè)系統(tǒng)和熱源作用很弱，熱源很大。第29頁第29頁系統(tǒng)處

15、于能量為Es狀態(tài)s 上概率：上式中，T 為熱源溫度，由于熱源很大，互換能量不會改變熱源溫度。T 當(dāng)然也是系統(tǒng)溫度。利用等概率原理，上式中右邊第一項是常數(shù)，因此有：第30頁第30頁這就是含有擬定N,V,T 系統(tǒng)處于能量為Es微觀狀態(tài)s 上概率，式中，Z 稱為配分函數(shù)。第31頁第31頁正則分布熱力學(xué)公式內(nèi)能是在給定N,V,T條件下，系統(tǒng)能量在一切也許微觀狀態(tài)上平均值；廣義力是在給定N,V,T條件下， 統(tǒng)計平均值；第32頁第32頁第33頁第33頁能量漲落 在給定N,V,T條件下，系統(tǒng)內(nèi)能為能量在一切也許微觀狀態(tài)上平均值： 我們將能量偏差平方平均值定義為能量漲落：第34頁第34頁實際氣體物態(tài)方程&典型

16、集團(tuán)展開簡介 氣體在低密度下能夠忽略分子間互相作用，高密度下應(yīng)該考慮分子間互相作用。系綜理論能夠處理互相作用粒子體系，為了簡樸，我們現(xiàn)在只考慮單原子分子典型氣體。第一項代表分子之間動能，第二項代表分子之間互相作用勢能，此處已經(jīng)假設(shè)：互相作用能量能夠表示為各分子正確互相作用能量之和，并且，分子之間互相作用只和分子之間距離相關(guān)系。第35頁第35頁定義函數(shù)（梅逸函數(shù)）：第36頁第36頁 事實上，分子之間互相作用力為短程力，力程約為分子直徑三四倍，因此梅逸函數(shù)僅僅在極小空間范圍內(nèi)不為零。第37頁第37頁第38頁第38頁對于低密度氣體有: 第39頁第39頁也就是說，稀薄實際氣體物態(tài)方程為 稱為第二維里系

17、數(shù) 第40頁第40頁分子力半經(jīng)驗公式及其圖象f (10-10 N)r (10-10 m)r0rao0.5-0.5引力斥力rm第41頁第41頁 列納德瓊斯用下列半經(jīng)驗公式（1924年）表示兩分子間互相作用勢： 0和r0是兩個參量，當(dāng)兩分子之間距離為r0時，互相作用勢能取極小值-0 。第42頁第42頁剛球模型第43頁第43頁，因此有：在普通情況下，上面得到a、b和溫度無關(guān)，實際氣體和溫度相關(guān)。第44頁第44頁 上面辦法適合用于稀薄實際氣體，上面只是推出了物態(tài)方程。普通地，將系統(tǒng)各種物理量寫成級數(shù)展開形式，級數(shù)主要項表示相應(yīng)抱負(fù)系統(tǒng)結(jié)果，而后面各項則表示由粒子間互相作用引起修正。這種辦法稱為集團(tuán)展開

18、法。 梅逸等人在20世紀(jì)30年代完畢了對典型系統(tǒng)進(jìn)行級數(shù)展開系統(tǒng)辦法，以后由Kahn，Uhlenbeck，李政道和楊振寧等將這辦法推廣到量子系統(tǒng)。 典型集團(tuán)展開能夠進(jìn)一步詳細(xì)參看： 張先蔚，“量子統(tǒng)計力學(xué)”（第二版）第三章第一節(jié)。第45頁第45頁固體熱容量&聲子和元激發(fā)&朗道費(fèi)米液體理論初步 固體中相鄰原子距離很?。?埃），原子間存在很強(qiáng)互相作用，在這互相作用下，各原子有一定平衡位置，原子在其平衡位置附近做微振動。設(shè)固體有N個原子，每個原子有3個自由度，則整個固體自由度為3N。以 表示第i個自由度偏離其平衡位置位移，相應(yīng)動量為 ，則系統(tǒng)能量能夠表示為：上式中， 稱為簡正坐標(biāo)，它是將全體原子坐標(biāo)

19、加以線性組合而得到一個集體坐標(biāo)，與全體原子坐標(biāo)都相關(guān)系，由上式還能夠看出，這3N個簡正坐標(biāo)運(yùn)動是互相獨(dú)立簡諧振動，簡稱為簡正振動，其特性頻率為:第46頁第46頁 這樣，強(qiáng)耦合N個原子微振動變換為3N個近獨(dú)立簡諧振動，在勢能展開式中，假如保留三次項，簡正振動之間將有互相作用。上式中， 是描述第i個簡正坐標(biāo)量子數(shù)，由此可得系統(tǒng)配分函數(shù)為：第47頁第47頁 要詳細(xì)依據(jù)上式求出內(nèi)能，需要知道簡諧振動頻率分布，這就是簡正振動頻譜，最簡樸假設(shè)是假設(shè)3N個簡諧振動頻率都相同，這就是愛因斯坦模型。 德拜主要觀點(diǎn)下列： （1）將固體看作連續(xù)彈性媒質(zhì)，3N個簡正振動是彈性媒質(zhì)基本波動，固體上任意彈性波都能夠分解為

20、3N個簡正振動疊加。 （2）固體上傳播彈性波有縱波（膨脹壓縮波）和橫波（扭轉(zhuǎn)波）兩種，橫波有兩種振動方式（由于在垂直于傳播方向有兩個互相垂直方向）。 （3）能夠用波矢和偏振標(biāo)志3N個簡正振動。 用cl 和ct 分別表示縱波和橫波傳播速度，兩者圓頻率和波矢大小分別滿足下列關(guān)系：第48頁第48頁 由于固體只有3N個簡正振動，因此必定存在一個最大圓頻率D（德拜頻率,19）:第49頁第49頁第50頁第50頁 對于非金屬固體，上式和試驗符合；金屬在3K以上也符合上述規(guī)律，但是在3K下列，不能忽略自由電子對熱容量奉獻(xiàn)，上式只是固體熱容量原子部分。 德拜理論缺點(diǎn)：忽略了固體中原子離散結(jié)構(gòu)，在高頻范圍內(nèi)和試驗

21、不符合。第51頁第51頁聲子和元激發(fā) 以上是從波動觀點(diǎn)角度討論原子熱振動，也能夠從粒子觀點(diǎn)角度討論。 波矢為k,含有某一偏振簡正振動能量為：能量以 為單元，能夠把簡正振動能量量子看作一個準(zhǔn)粒子，稱為聲子，聲子準(zhǔn)動量和能量為：第52頁第52頁 含有某一波矢和偏振簡正振動處于量子數(shù)為n激發(fā)態(tài)，相稱于產(chǎn)生了含有某一準(zhǔn)動量和偏振n個聲子。不同簡正振動，含有不同波矢和偏振，對應(yīng)于狀態(tài)不同聲子。 由于簡正振動量子數(shù)可取零或者任意正整數(shù)，處于某一狀態(tài)（一定準(zhǔn)動量和偏振）聲子數(shù)是任意，因此聲子遵守玻色分布。 溫度為T 時處于能量為 一個狀態(tài)上平均聲子數(shù) 從微觀角度看，平衡態(tài)下各簡正振動能量不斷改變，相稱于各狀

22、態(tài)聲子不斷被產(chǎn)生和毀滅，因此聲子數(shù)不是恒定，聲子氣體化學(xué)勢為零。第53頁第53頁 以上對固體中原子熱運(yùn)動討論在物理上很有啟發(fā)性： （1）構(gòu)成固體真實粒子是原子，由于原子間存在很強(qiáng)互相作用，直接討論原子熱運(yùn)動是很困難。 （2）將原子3N個振動自由度變換為3N個近獨(dú)立簡諧振動，問題便于處理。 （3）假如進(jìn)一步把簡正振動激發(fā)量子當(dāng)作一個“元激發(fā)”或者“準(zhǔn)粒子”聲子，便把互相作用原子系統(tǒng)簡化為“準(zhǔn)粒子”抱負(fù)氣體，能夠用最概然分布辦法處理。這個觀念在研究有互相作用粒子系統(tǒng)時有廣泛應(yīng)用。第54頁第54頁 用元激發(fā)辦法計算熱力學(xué)量需要知道系統(tǒng)能譜。在低溫下，系統(tǒng)處于高激發(fā)態(tài)概率很小，能夠只考慮低激發(fā)態(tài)。在許

23、多情況下，能夠把系統(tǒng)低激發(fā)態(tài)能量表示為元激發(fā)能量之和： 上式闡明，處于低激發(fā)態(tài)系統(tǒng)能夠等效看作是某種元激發(fā)抱負(fù)氣體，假如知道元激發(fā)能量動量關(guān)系，并且能夠擬定元激發(fā)遵從是玻色或者費(fèi)米統(tǒng)計，就能夠用最概然分布討論系統(tǒng)在低溫下熱力學(xué)性質(zhì)。第55頁第55頁朗道費(fèi)米液體理論初步 第八章第五節(jié)闡明： （1）在0K時抱負(fù)費(fèi)米氣體處于基態(tài)，粒子占滿了動量空間中半徑為費(fèi)米動量大小費(fèi)米球，動量不小于費(fèi)米動量狀態(tài)完全沒有被占據(jù)。 （2）費(fèi)米氣體處于低激發(fā)態(tài)時，有少許粒子躍遷到動量大于費(fèi)米動量狀態(tài)，而在費(fèi)米球中留下空穴。 （3）費(fèi)米動量大小由氣體數(shù)密度決定：第56頁第56頁 液體和氣體沒有嚴(yán)格界線，基于此，朗道認(rèn)為：

24、 （1）假如在抱負(fù)費(fèi)米氣體中逐步加入粒子之間互相作用，抱負(fù)費(fèi)米氣體將過渡到費(fèi)米液體，氣體粒子過渡到液體準(zhǔn)粒子。液體中準(zhǔn)粒子數(shù)和本來氣體或者液體中實際粒子數(shù)相同。 （2）對于均勻系統(tǒng)，準(zhǔn)粒子狀態(tài)仍可有動量為p和自旋S 描述。 （3）0K時費(fèi)米液體處于基態(tài)，準(zhǔn)粒子占滿了動量空間中半徑為費(fèi)米動量費(fèi)米球，這里費(fèi)米動量仍由 擬定，但是n 是液體粒子數(shù)密度。 （4）費(fèi)米液體處于低激發(fā)態(tài)時，有少許準(zhǔn)粒子躍遷到動量不小于費(fèi)米動量狀態(tài)，而在費(fèi)米球中留下空穴。第57頁第57頁 因為費(fèi)米液體準(zhǔn)粒子之間存在相互作用，單個粒子能量 和其它準(zhǔn)粒子所處狀態(tài)相關(guān)，也就是說和準(zhǔn)粒子分布相關(guān)，因此和理想費(fèi)米氣體不同，費(fèi)米液體能量

25、不能表示為單個準(zhǔn)粒子能量之和，而是分布函數(shù) 泛函，準(zhǔn)粒子能量 由定義以下：第58頁第58頁 處于平衡狀態(tài)抱負(fù)費(fèi)米氣體熵為：上式兩項能夠分別理解為由于粒子含有分布 和空穴含有分布 所造成熵。上式不但適合用于平衡態(tài)，也適合用于非平衡態(tài)。假如 是某非平衡態(tài)下粒子分布，相應(yīng)熵就由上式表示。在總粒子數(shù)、總能量和給定體積情形下，平衡態(tài)分布使得熵取極大值。能夠證實，平衡態(tài)下分布有下列形式：第59頁第59頁 溫度為OK時，分布函數(shù)、準(zhǔn)粒子能量、化學(xué)勢分別為： ，因此分布函數(shù)是一個階躍函數(shù)。這和抱負(fù)費(fèi)米氣體完全一致。第60頁第60頁 對于抱負(fù)費(fèi)米氣體，有同樣能夠引入準(zhǔn)粒子有效質(zhì)量概念，定義：第61頁第61頁 對

26、于抱負(fù)費(fèi)米氣體，僅僅在費(fèi)米面附近電子對低溫?zé)崛萘坑蟹瞰I(xiàn)，為因此，依據(jù)費(fèi)米液體和抱負(fù)費(fèi)米氣體相同性，能夠直接寫出低溫下費(fèi)米液體熱容量為：第62頁第62頁 例子（習(xí)題8.25）：He-3是費(fèi)米子，在液He-3中原子有很強(qiáng)互相作用，按照朗道理論，能夠?qū)⒁篐e-3看作是和原子數(shù)目相同He-3準(zhǔn)粒子構(gòu)成費(fèi)米液體。已知He-3密度為81kg每立方米，在0.1K下列定容熱容量為由此，能夠估算He-3準(zhǔn)粒子有效質(zhì)量為：第63頁第63頁液4He性質(zhì)&朗道超流理論 氦有兩種同位素，3He和4He，3He是費(fèi)米子，4He自旋為零，是玻色子，它們在通常壓強(qiáng)下直到靠近于絕對零度仍然能夠保持為液態(tài)（量子效應(yīng)主導(dǎo)），下列是

27、4He相圖。第64頁第64頁4He相圖性質(zhì)有兩個完全不同相：He-I和He-II，He-I有通常液體特性。當(dāng)He-I沿著它氣液兩相平衡曲線降溫到2.17K時，He-IHe-II，這是連續(xù)相變，無潛熱和體積突變。從兩側(cè)趨于相變點(diǎn)，比熱容以對數(shù)形式發(fā)散，比熱容伴隨溫度改變曲線形狀酷似希臘字母，因此也稱為相變。第65頁第65頁He-II奇特效應(yīng)超流動性：毛細(xì)管；粘滯系數(shù)為零； （1937年，卡皮查（Kapitza）初次發(fā)覺，1978年，Nobel Prize）。存在臨界速度；阻尼；1938年蒂薩二流體模型，超流體和正常流體密度比值取決于溫度；1946年安東尼卡什維里試驗。熱力效應(yīng)；力熱效應(yīng)（零粘滯性

28、，零熵）；噴泉效應(yīng)（Fountain Effect）是熱力效應(yīng)。熱導(dǎo)率高，不沸騰，蒸發(fā)僅僅在表面發(fā)生。表面膜效應(yīng)（來自超流動性和高導(dǎo)熱率）。第66頁第66頁第一聲和第二聲朗道依據(jù)二流體模型預(yù)言，在4He-II中能夠傳輸兩種不同波動。假如正常成份和超流成份振動同相，總密度疏密振動對應(yīng)聲波（第一聲）。假如二者振動有180度相位差，則兩種成份在保持總密度不變情況下各自有疏密振動，因為超流成份比熵為零，因此正常成份振動給出比熵或者溫度振動，這種熵波或者溫度波稱為第二聲。第67頁第67頁朗道超流理論 朗道把溫度不十分靠近臨界溫度He-II當(dāng)作是處于弱激發(fā)狀態(tài)量子玻色系統(tǒng)，在基態(tài)背景下（超流成份）產(chǎn)生了元

29、激發(fā)構(gòu)成抱負(fù)氣體（正常成份）。 以p 和 表示元激發(fā)動量和能量， 表示元激發(fā)數(shù)，系統(tǒng)低激發(fā)態(tài)能量和動量能夠表示為：第68頁第68頁 溫度遠(yuǎn)低于臨界溫度時，熱容量正比于溫度三次方，這是聲子氣體特征；而當(dāng)溫度較高時，熱容量含有行為exp(-/kT)項（為常數(shù)）,考慮到這一點(diǎn)，朗道對元激發(fā)能譜作了以下圖猜想。這得到了試驗證實。第69頁第69頁第70頁第70頁第71頁第71頁 熱平衡下，元激發(fā)存在于能量取極小值附近。 在能量取零點(diǎn)位置，相應(yīng)元激發(fā)就是He-II中聲子，能量和動量關(guān)系是線性，比值就是聲速。 在p0附近，能量能夠展開成冪級數(shù)，相應(yīng)元激發(fā)稱為旋子，稱為能隙： 聲子和旋子都遵從玻色分布，由于元

30、激發(fā)數(shù)不擬定，它們化學(xué)勢為零。依據(jù)元激發(fā)譜能夠計算He-II在低溫下熱力學(xué)性質(zhì)。第72頁第72頁朗道超流判據(jù)超流體流速在臨界速度以上時，超流動性被破壞，朗道超流判據(jù)是計算這個臨界速度。對于聲子和旋子激發(fā)，能夠分別計算出臨界速度。朗道理論比試驗結(jié)果偏大，R. Feynman認(rèn)為，臨界速度是由另外一個激發(fā):量子化渦旋來決定，相關(guān)理論計算和試驗結(jié)果大體相符。第73頁第73頁3He超流1971年，奧舍羅夫在2.6mK下列低溫發(fā)覺了3He超流現(xiàn)象。零磁場下有兩個超流相：A相和B相，A相是兩個He原子以自旋相同方式結(jié)合成束縛對而形成玻色子，因此是各項異性；B相是He原子自旋反向配正確方式結(jié)合成玻色子，因此

31、是各項同性。正常相和超流相轉(zhuǎn)變是連續(xù)相變。AB相之間轉(zhuǎn)換是一級相變。第74頁第74頁稀釋致冷原理能夠維持2mK低溫。第75頁第75頁Ising模型平均場理論 本節(jié)討論相變問題。 統(tǒng)計物理學(xué)通過對配分函數(shù)求導(dǎo)數(shù)能夠求得系統(tǒng)熱力學(xué)函數(shù)，從而擬定系統(tǒng)所有平衡性質(zhì)，但是在相變點(diǎn)一些熱力學(xué)量會發(fā)生突變或者出現(xiàn)無窮尖峰，那么從單一配分函數(shù)表示式能否同時描述各相和相轉(zhuǎn)變呢？這是從20世紀(jì)30年代中葉開始發(fā)生爭論問題。 回答這個問題一個辦法是，建立包括系統(tǒng)最本質(zhì)特性簡化模型，嚴(yán)格導(dǎo)出在其相變點(diǎn)宏觀特性。這個領(lǐng)域通過半個多世紀(jì)研究，已經(jīng)形成統(tǒng)計物理學(xué)一個專門研究方向：相變和臨界現(xiàn)象（參考于祿、郝柏林著“相變和臨

32、界現(xiàn)象”）。 本節(jié)考慮最簡樸模型-Ising模型，這個模型能夠近似描述單軸各向異性鐵磁體鐵磁-順磁相變，稍微改變還能夠描述氣體-液體相變，合金有序無序相變等。 第76頁第76頁Ising模型簡介 考慮N 個磁性原子定域在晶體格點(diǎn)上，假設(shè)原子總角動量量子數(shù)為1/2,原子磁矩大小為 。 1929年，Heisenberg提出，鐵磁性起源于電子互換作用（鐵磁體：ferromagnetism ），互換作用是一個量子力學(xué)效應(yīng)，是庫侖排斥作用和泡利不相容原理共同結(jié)果，這樣，兩個近鄰原子互相作用能量和電子自旋狀態(tài)相關(guān)，這就是Heisengerg模型。 對于單軸各向異性鐵磁體，原子自旋平行（=1）或者反平行（=

33、 -1）于一個晶軸，我們用z 軸表示這個晶軸方向，這樣，鐵磁體原子互相作用能量為：第77頁第77頁 假如J 0, 則當(dāng)所有自旋含有相同取向時系統(tǒng)含有最低能量，相應(yīng)于絕對零度下狀態(tài)；在足夠低溫度下，也會有較多自旋含有相同取向，這就是無外磁場時鐵磁體含有自發(fā)磁化原因。 最主要是，即使互換作用是短程力，只存在近鄰自旋之間，但是系統(tǒng)中能夠出現(xiàn)長程有序。第78頁第78頁系統(tǒng)配分函數(shù)是： Ising模型即使簡樸，但是嚴(yán)格求解極為困難。 1925年，Ising本人求得了一維嚴(yán)格解，一維沒有相變。 1946年昂薩格求得了二維情形嚴(yán)格解，他工作是統(tǒng)計物理學(xué)最主要成就之一，由于第一次清楚證實，從沒有奇異哈密頓量出

34、發(fā)，在熱力學(xué)極限下熱力學(xué)函數(shù)在臨界點(diǎn)附近有奇異性。 三維Ising模型當(dāng)前有許多近似解，但是嚴(yán)格解至今仍然沒有得到。第79頁第79頁Ising model（From Wikipedia）The Ising model is a mathematical model of ferromagnetism in statistical mechanics. It was invented by the physicist Wilhelm Lenz who gave it as a problem to his student Ernst Ising after whom it is named. T

35、he model consists of discrete variables called spins that can be in one of two states. The spins are arranged in a lattice or graph, and each spin interacts only with its nearest neighbors.The 1-dimensional Ising model has no phase change and was in 1925 already solved by Ernst Ising himself. The 2-

36、dimensional square lattice Ising model is much harder and, in the case of zero magnetic field, was given a complete analytic description much later, by Onsager (1944). In fact, the two-dimensional model has a phase change, and is one of the simplest statistical models with this property. The two-dim

37、ensional model is usually solved by a transfer-matrix method, although there exist different approaches, more related to quantum field theory.In three dimensions, the Ising model was shown to have a representation in terms of non-interacting Fermionic lattice strings by Alexander Polyakov. In dimens

38、ions near four, the critical behavior of the model is understood to correspond to the renormalization behavior of the scalar phi-4 theory (see Kenneth Wilson). In dimensions five and higher, the phase-transition of the Ising model is described by mean field theory.Istrail () showed that computing the free energy of an arbitrary subgraph of an Ising model on a lattice of dimension three or more is computationally intractable. This means that in dimensions higher than 2, any method o