1、1.10.5數(shù)陣圖1.10.5.1基礎(chǔ)知識數(shù)陣是由幻方演化出來的另一種數(shù)字圖。幻方一般均為正方形。圖中縱、橫、對角線數(shù)字和相等。數(shù)陣則不僅有正方形、長方形，還有三角形、圓、多邊形、星形、花瓣形、十字 形，甚至多種圖形的組合。變幻多姿，奇趣迷人。一般按數(shù)字的組合形式，將其分為三類， 即輻射型數(shù)陣、封閉型數(shù)陣、復(fù)合型數(shù)陣。數(shù)陣的特點(diǎn)是：每一條直線段或由若干線段組成的封閉線上的數(shù)字和相等。它的表達(dá)形式多為給出一定數(shù)量的數(shù)字，要求填入指定的圖中，使其具備數(shù)陣的特點(diǎn)。解數(shù)陣問題的一般思路是：1 .求出條件中若干已知數(shù)字的和。2 .根據(jù)“和相等”,列出關(guān)系式，找出關(guān)鍵數(shù)一一重復(fù)使用的數(shù)。3 .確定重復(fù)用數(shù)

2、后，對照“和相等”的條件，用嘗試的方法，求出其他各數(shù)。有時(shí)，因 數(shù)字存在不同的組合方法，答案往往不是唯一的。1.10.5.2 輻射型數(shù)陣?yán)?將15五個(gè)數(shù)字，分別填入下圖的五個(gè)。中， 使橫、豎線上的三個(gè)數(shù)字和都是 10。 解：已給出的五個(gè)數(shù)字和是：1 + 2 + 3+4+5=15題中要求橫、豎每條線上數(shù)字和都是10,兩條線合起來便是 20 了。2015=5,怎樣才能增加5呢？因?yàn)橹行牡囊粋€(gè)數(shù)是個(gè)重復(fù)使用數(shù)。只有5連加兩次才能使五個(gè)數(shù)字的和增加5,關(guān)鍵找到了，中心數(shù)必須填5。確定中心數(shù)后，按余下的1、2、3、4,分別填在橫、豎線的兩端，使每條線上數(shù)的和是10便可。例2將17七個(gè)數(shù)字，分別填入圖中的

3、各個(gè)。內(nèi)，使每條線上的三個(gè)數(shù)和相等。解：圖中共有3條線，若每條線數(shù)字和相等，三條線的數(shù)字總和必為3的倍數(shù)。設(shè)中心數(shù)為a,則a被重復(fù)使用了 2次。即，1 + 2+ 3+4+5+ 6+ 7+ 2a= 28+ 2a, 28+2a應(yīng)能被3 整除。(28 +2a) -H3 = 283 + 2a3其中28y =9余1,所以2aK應(yīng)余2。由此，便可推得 a只能是1、4、7三數(shù)。當(dāng)a=1時(shí)，28 + 2a=30 30T=10,其他兩數(shù)的和是 101 = 9,只要把余下的 2、3、4、 5、6、7,按和為9分成三組填入兩端即可。同理可求得a= 4、a= 7兩端應(yīng)填入的數(shù)。例3將從1開始的連續(xù)自然數(shù)填入各。中，使

4、每條線上的數(shù)字和相等。解：圖中共有三條線，若每條線數(shù)字和相等，三條線的數(shù)字總和必為 3的倍數(shù)。設(shè)中心數(shù)為a, a被重復(fù)使用了兩次， 即：1 + 2+3+ 10+2a=55+2a, 55 + 2a應(yīng)能被3整除。(55 +2a) 6 55竟3+2aW其中，55y =18余1,所以2aW應(yīng)余2。由此，可推知a只能在1、4、7中挑選。在a =1時(shí)，55+2a= 57, 57+3= 19,即中心數(shù)若填1,各條線上的數(shù)字和應(yīng)為 19。但是除掉中 心數(shù)1,在其余九個(gè)數(shù)字中，只有兩組可滿足這一條件，即：9+7+2=18, 8+6+4=18,7+5+3=15所以，a不能填1。經(jīng)試驗(yàn)，a=7時(shí)，余下的數(shù)組合為 1

5、2 (19 7=12),也不 能滿足條件。因此，確定 a只能填4。例4將19九個(gè)數(shù)字，填入下圖各。中，使縱、橫兩條線上的數(shù)字和相等。解：19九個(gè)數(shù)字和是：1 + 2+3+9=5X9 = 45,把45平分成兩份：45攵=22 余1 O這就是說，若使每行數(shù)字和為 23,則需把1重復(fù)加一次，即中心數(shù)填1;若使數(shù)字和為 24,中心數(shù)應(yīng)填3?？傊?，因45e余數(shù)是1,只能使1、3、5、7、9各個(gè)奇數(shù)重復(fù)使用， 才有可能使橫、豎行的數(shù)字和相等。因而，此題可有多種解法。但中心數(shù)必須是9以內(nèi)的奇數(shù)。例5將111十一個(gè)數(shù)字，填入下圖各。中，使每條線段上的數(shù)字和相等。解：圖中共有五條線段，全部數(shù)字的總和必須是 5的

6、倍數(shù)，每條線上的數(shù)字和才能相等。111H一個(gè)數(shù)字和為66, 66芍=13余1,必須再增加4,可使各線上數(shù)字和為 14。共 五條線，中心數(shù)重復(fù)使用4次，填1恰符合條件。此題的基本解法是：中心數(shù)重復(fù)使用次數(shù)與中心數(shù)的積，加上原余數(shù)1,所得的和必須是5的倍數(shù)。據(jù)此，中心數(shù)填6、11均可得解。1.10.5.3 封閉型數(shù)陣?yán)?把2、3、4、5、6、7六個(gè)數(shù)字，分別填入。中，使三角形各邊上的數(shù)字和都是12。解：要使三角形每邊上的數(shù)字和都是12,則三條邊的數(shù)字和便是12X3=36,而2+3+ 4+5+6+ 7=27, 36 與 27 相差 9。三個(gè)角頂?shù)臄?shù)字都重復(fù)使用兩次，只有這三個(gè)數(shù)字的和是9,才能符合條

7、件。確定了角頂?shù)臄?shù)字，其他各數(shù)通過嘗試便容易求得了！這題還可有許多解法，上圖只是其中一種。例2把19九個(gè)數(shù)字，分別填入下圖。中，使每邊上四個(gè)數(shù)的和都是21。解：要使三角形每條邊上的數(shù)字和是21,則三條邊的數(shù)字和便是：21X3= 63。而19九個(gè)數(shù)字的和只有 45。45比63少18,只有使三角形三個(gè)頂角的數(shù)字和為18,重復(fù)使用兩次，才能使總和增加18。所以應(yīng)確定頂點(diǎn)的三個(gè)數(shù)。下面是填法中的一種。 確定了頂角的數(shù)后， 其他各數(shù)便容易了。例3下圖是四個(gè)互相聯(lián)系的三角形。把19九個(gè)數(shù)字，填入。中，使每個(gè)三角形中數(shù)字的和都是15。解：每個(gè)三角形數(shù)字和都是 15,四個(gè)三角形的數(shù)字和便是：15M=60,而1

8、9九個(gè)數(shù)字和只有45。45比60少15。怎樣才能使它增加 15呢？靠數(shù)字重復(fù)使用才能解決。中間的一個(gè)三角形，每個(gè)頂角都聯(lián)著其他三角形，每個(gè)數(shù)字都被重復(fù)使用兩次。因此，只要使中間的一個(gè)三角形數(shù)字和為15,便可以符合條件。因此，它的三個(gè)頂角數(shù)字，可以分別為：1、9、5 2、8、5 2、7、6 4、6、5 及2、9、43、8、4 3、7、5 8、6、1。把中間的三角形各頂角數(shù)字先填出，其他各個(gè)三角形便容易解決了。前頁下圖是其中的一種。例4把210九個(gè)數(shù)字，分別填入下圖。中，使每條直線上的三個(gè)數(shù)和為15。解：210九個(gè)數(shù)字的和為： 2+3 + 4+10=6X9=54若排成每個(gè)三角形每邊的數(shù)字和都是15

9、,圖中含有每邊都三個(gè)數(shù)字的三角形有兩個(gè)，共六條邊，數(shù)字總和應(yīng)是 15X6=90。54比90少36。在外圍的六個(gè)數(shù)都被重復(fù)使用了兩次，它們又分屬于兩個(gè)三角形。所以，每個(gè)三角形三個(gè)頂角的數(shù)和應(yīng)為：36攵=18。這樣，便可以先填外三角形三個(gè)頂角的數(shù)。三個(gè)數(shù)和為18的有很多組，可以通過試驗(yàn)篩選出適宜的一組。填好了外圍三角形各個(gè) 數(shù)后，里面的三角形，因?yàn)轫斀堑臄?shù)已知，其他各數(shù)便容易填寫了。上面是填法中的一種。例5把110十個(gè)數(shù)字，分別填入下圖。中，使每個(gè)三角形三個(gè)頂角的三個(gè)數(shù)字和相解：圖中有三個(gè)三角形，頂角數(shù)字互不聯(lián)系，中心的一個(gè)數(shù)獨(dú)立于各個(gè)三角形之外。因 此，要使各三角形頂角的數(shù)字和相等。去掉中心數(shù)后

10、，數(shù)字總和應(yīng)是3的倍數(shù)，而且三角形頂角的數(shù)字三組中不能出現(xiàn)重復(fù)。如：以10為中心數(shù)，可填為如上圖樣。例6將112分別填入下圖。中，使圖中每個(gè)三角形周邊上的六個(gè)數(shù)的和都相等。解：圖中共有四個(gè)三角形， 共有六個(gè)邊。112的數(shù)字和是78。每條邊上的數(shù)字和應(yīng)為：784=13。這樣，我們可以推想：因?yàn)閮?nèi)部的三條邊都被重復(fù)計(jì)算兩次，只要每個(gè)數(shù)增加1,十二個(gè)數(shù)的總和便增加 6,它們同樣可以填出來，因而，本題的解法是很多的。7、把】、1、1、1、工、2、9、皂、工九個(gè)數(shù)分別填入下圖。中，使每條直線上的三個(gè)2 3 4 6 12 3 4 12 12數(shù)的和都相等。這已經(jīng)符合幻方的要求了,解：九個(gè)分?jǐn)?shù)排成方陣，使縱、

11、橫、對角線的三個(gè)數(shù)和相等, 因此，可以按幻方的制作方法求解。這十二個(gè)分?jǐn)?shù)，按從小到大的順序排列是:1111、一、一、一12 6 4 35 17 2 3、一、一12 2 12 3 4把它們按序排列為斜方形：將上、下兩數(shù)，左、右兩數(shù)對調(diào)，再把中間四數(shù)向外拉出, 這樣重新組成的數(shù)陣，便是求得的解了。12。例8將18八個(gè)數(shù)字，分別填入下圖。中，使每個(gè)小三角形頂點(diǎn)上三數(shù)之和為解：圖中共有四個(gè)小三角形，每個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字的和若都是12,數(shù)字總和便是12X4= 48,可是18八個(gè)數(shù)字總和只有 36。36比48少12。只有靠共用頂角上數(shù)的重復(fù)使用，才能解決。因此，必須把四個(gè)公用頂角的數(shù)字和填成12。把18八個(gè)

12、數(shù)四個(gè)一組，和為12的有：6+3+2+15+4+2+1上述兩組中，經(jīng)驗(yàn)證，只有6+3+2+1可以作公用頂點(diǎn)的數(shù)字。例9在下圖五個(gè)。內(nèi)，各填入一個(gè)自然數(shù)，使圖中八個(gè)三角形中頂點(diǎn)的數(shù)字和各不相 同。求能滿足這個(gè)條件的自然數(shù)中最小的五個(gè)數(shù)。解：能滿足使八個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字和各不相同的任意自然數(shù)有很多組，但自然數(shù)中能滿足這個(gè)條件的最小自然數(shù)卻只有一組。最小的一組自然數(shù)中的五個(gè)數(shù)，若有兩個(gè)相同的，其中三個(gè)數(shù)的和可以多到有 7個(gè)不同值，因此，五個(gè)數(shù)互不相同。如果這五個(gè)數(shù)是1, 2, 3,4, 5,則其中三個(gè)數(shù)的和有如下組合方式：1 + 2 +3= 6 2 + 3+4= 9 3+4+5= 121 + 2 +

13、4= 7 1+3+4= 8 2+3+5= 102+4 + 5= 11這樣，總共只有七種不同的和，而圖中共八個(gè)三角形，可知 1, 2, 3, 4, 5五個(gè)自然數(shù) 不能滿足條件。例10在下列圖中三個(gè)正方形中，每個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，只填入 1, 2, 3, 4四數(shù)， 使圖中八個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字和互不相同。解：圖中，頂角在大正方形邊上的四個(gè)三角形，頂角都分別為兩個(gè)三角形共用，只有正 方形的四個(gè)角分別只屬于一個(gè)三角形，所以，四個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字的和應(yīng)等于：(1 + 2+3+ 4) X3= 3030不是4的倍數(shù)，因而，外面的四個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字和不可能相等。同理，里面的四 個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字和也不可能相等。題中要求，每個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字和不相同，14四個(gè)數(shù)之和最小值是 1+1 + 2 = 4,最大值是4 +