1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程設(shè)計概率論的起源、發(fā)展和應(yīng)用作者：摘要：論文簡要介紹了概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)科的起源和發(fā)展，以及概率論與理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計，起源，發(fā)展，應(yīng)用1、引言概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，也是一門應(yīng)用性很強又頗具特色的數(shù)學(xué)學(xué)科。它在包括控制、通信、生物、物理、力學(xué)、金融、社會科學(xué)等工程技術(shù)領(lǐng)域以及科學(xué)研究、經(jīng)濟管理、企業(yè)管理、經(jīng)濟預(yù)測等眾多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用；它與其他數(shù)學(xué)分支有著緊密的聯(lián)系（如微積分、高等代數(shù)、測度論等），是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分；它的方法和理論向各個基礎(chǔ)學(xué)科、工程學(xué)科的滲透，是近代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的特征之一；它與基礎(chǔ)學(xué)科相

2、結(jié)合產(chǎn)生出了許多邊緣學(xué)科，如生物統(tǒng)計、統(tǒng)計物理、數(shù)學(xué)地質(zhì)等；它又是許多新興的重要學(xué)科的基礎(chǔ)，如信息論、控制論、可靠性理論、人工智能、信息編碼理論和數(shù)據(jù)挖掘等。概率論與數(shù)理統(tǒng)計是工科大學(xué)的一門應(yīng)用性很強的必修基礎(chǔ)課。學(xué)習(xí)和掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本理論和基本方法并將其靈活應(yīng)用于科學(xué)研究和工程實際中，是社會發(fā)展對高素質(zhì)人才培養(yǎng)提出的必然要求。2、概率論與數(shù)理統(tǒng)計的起源概率論的萌芽源于十七世紀保險業(yè)的發(fā)展，但是真正引發(fā)數(shù)學(xué)家們思考的源泉，卻是賭博者的請求。十七世紀中葉，法國貴族德美黑在骰子賭博中，有事急于抽身，須中途停止賭博，需要根據(jù)對勝負的預(yù)測把賭資進行合理的分配，但不知用什么樣的比例分配才算合理

3、，于是就寫信向當時法國的最高數(shù)學(xué)家帕斯卡請教。正是這封信使概率論在歷史的舞臺邁出了第一步。帕斯卡和當時第一流的數(shù)學(xué)家費爾瑪一起，研究了德美黑提出的關(guān)于骰子賭博的問題。于是，一個新的數(shù)學(xué)分支-概率論登上了歷史舞臺。三年后，也就是1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數(shù)學(xué)家惠更斯企圖自己解決這一問題，結(jié)果寫成了論機會游戲的計算一書，這就是最早的概率論著作。為概率論確定嚴密的理論基礎(chǔ)的是數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫。1933年，他發(fā)表了著名的概率論的基本概念，用公理化結(jié)構(gòu)，這個結(jié)構(gòu)明確定義了概率論發(fā)展史上的一個里程碑，為以后的概率論的迅速發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。3、概率論與數(shù)理統(tǒng)計的發(fā)展數(shù)理統(tǒng)計的發(fā)展大致可分為古典時期、

4、近代時期和現(xiàn)代時期三個階段。古典時期(19世紀以前)一一這是描述性的統(tǒng)計學(xué)形成和發(fā)展階段，是數(shù)理統(tǒng)計的萌芽時期。在這一時期里，瑞士數(shù)學(xué)家貝努里(1654-1795年)較早地系統(tǒng)論證了大數(shù)定律。1763年，英國數(shù)學(xué)家貝葉斯提出了一種歸納推理的理論，后被發(fā)展為一種統(tǒng)計推斷方法一一貝葉斯方法，開創(chuàng)了數(shù)理統(tǒng)計的先河。法國數(shù)學(xué)家棣莫佛(16671754)于1733年首次發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的密度函數(shù)，并計算出該曲線在各種不同區(qū)間內(nèi)的概率，為整個大樣本理論奠定了基礎(chǔ)。1809年，德國數(shù)學(xué)家高斯(17771855)和法國數(shù)學(xué)家勒讓德(1752-1833)各自獨立地發(fā)現(xiàn)了最小二乘法，并應(yīng)用于觀測數(shù)據(jù)的誤差分析。在數(shù)

5、理統(tǒng)計的理論與應(yīng)用方面都作出了重要貢獻，他不僅將數(shù)理統(tǒng)計應(yīng)用到生物學(xué)，而且還應(yīng)用到教育學(xué)和心理學(xué)的研究。并且詳細地論證了數(shù)理統(tǒng)計應(yīng)用的廣泛性，他曾預(yù)言：“統(tǒng)計方法，可應(yīng)用于各種學(xué)科的各個部門。”近代時期(19世紀末至1845世)一一數(shù)理統(tǒng)計的主要分支建立，是數(shù)理統(tǒng)計的形成時期。上一世紀初，由于概率論的發(fā)展從理論上接近完備，加之工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)迫切需要，推動著這門學(xué)科的蓬勃發(fā)展。1889年，英國數(shù)學(xué)家皮爾遜(18571936)提出了矩估計法，次年又提出了頻率曲線的理論，并于1900年在德國數(shù)學(xué)家赫爾梅特在發(fā)現(xiàn)c2分布的基礎(chǔ)上提出了c2檢驗，這是數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展史上出現(xiàn)的第一個小樣本分布。1908年，英國的

6、統(tǒng)計學(xué)家戈塞特(1876-1937)創(chuàng)立了小樣本檢驗代替了大樣本檢驗的理論和方法(即t分布和t檢驗法)，這為數(shù)理統(tǒng)計的另一分支一一多元分析奠定理論基礎(chǔ)。1912年，英國統(tǒng)計學(xué)家費歇(18901962)推廣了t檢驗法，同時發(fā)展了顯著性檢驗及估計和方差分析等數(shù)理統(tǒng)計新分支。這樣，數(shù)理統(tǒng)計的一些重要分支如假設(shè)檢驗、回歸分析、方差分析、正交設(shè)計等有了其決定其面貌的內(nèi)容和理論。數(shù)理統(tǒng)計成為應(yīng)用廣泛、方法獨特的一門數(shù)學(xué)學(xué)科?，F(xiàn)代時期(1945年以后),美籍羅馬尼亞數(shù)理統(tǒng)計學(xué)家瓦你德(1902-1950)致力于用數(shù)學(xué)方法使統(tǒng)計學(xué)精確化、嚴密化，取得了很多重要成果。他發(fā)展了決策理論，提出了一般的判別問題，創(chuàng)立

7、了序貫分析理論，提出著名的序貫概率比檢法。瓦爾德的兩本著作序貫分析和統(tǒng)計決策函數(shù)論，被認為是數(shù)理發(fā)展史上的經(jīng)典之作。八九十年代，計算機的應(yīng)用推動了數(shù)理統(tǒng)計在理論研究和應(yīng)用方面不斷地向縱深發(fā)展，并產(chǎn)生一些新的分支和邊緣性的新學(xué)科，如最優(yōu)設(shè)計和非參數(shù)統(tǒng)計推斷等。當前，數(shù)理統(tǒng)計的應(yīng)用范圍愈來愈廣泛，已滲透到許多科學(xué)領(lǐng)域，應(yīng)用到國民經(jīng)濟各個部門，成為科學(xué)研究不可缺少的工具。4、概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用1)在求解最大經(jīng)濟利潤問題中的應(yīng)用a)大數(shù)定律在保險學(xué)中的應(yīng)用大數(shù)定律應(yīng)用在保險學(xué)中，就是保險的賠償遵從大數(shù)定律，即參加某項保險的投保戶成千上萬，雖然每一戶情況各不相同，但對保險公司來說，平均每戶的

8、賠償率幾乎恒等于一個常數(shù)。假如某保險公司有10000個同階層的人參加人壽保險，每人每年付120元保險費，在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.006,死亡時，其家屬可向保險公司領(lǐng)得10000元。試問：平均每戶支付賠償金59元至61元的概率是多少？保險公司虧本的概率有多大？保險公司每年在這項險種中利潤大于40萬元的概率是多少？保險公司虧本，也就是賠償金額大于10000X120=120(萬元)，即死亡人數(shù)大于120人的概率。死亡人數(shù)YB(10000,0.006),E(Y)=60,D(Y)=59.64,由中心極限定理，Y近似服從正態(tài)分布N(60,59.64),則P(Y>120弋0,這說明，保險公司虧本

9、的概率幾乎等于00如果保險公司每年的利潤大于40萬元，即賠償人數(shù)小于80人。則PY<80=0.9952?？梢?，保險公司每年利潤大干40萬元的概率接近100%。在保險市場的競爭過程中，在保證相同收益的前提下有兩個策略可以采用，一是降低保險費，另一個是提高賠償金，而采用提高賠償金比降低保險費更能吸引投保戶。b）利用隨機變量函數(shù)期望求解最大利潤某公司經(jīng)銷某種原料，根據(jù)歷史資料：這種原料的市場需求量x（單位：噸）服從（300,500）上的均勻分布，每售出1噸該原料，公司可獲利13千元；若積壓1噸，則公司損失0.5千元，問公司應(yīng)該組織多少貨源，可使期望的利潤最大?分析：此問題的解決先是建立利潤與需

10、求量的函數(shù)，然后求利潤的期望，從而得到利潤關(guān)于貨源的函數(shù)，最后利用求極值的方法得到答案。解：設(shè)公司組織該貨源a噸，則顯然應(yīng)該有300<a<500,又記y為在a噸貨源的條件下的利潤，則利潤為需求量的函數(shù)，即y=g（x）,由題設(shè)條件知：當x2a時，則止匕a噸貨源全部售出，共獲利1.5a:當x<a時，則售出x噸（獲利1.5x）,a-x噸積壓獲利（0.5（a-x）,所以共獲利1.5x-0.5（a-x卜由此得1.5aY=gx=a_0刷X-aX:a從而得Ey=1gxPxxdx500-3001dx200a15001=2x-0.5adx-I1.5adx300200a200122-a900-3

11、00200上述計算表明E（y）是a的二次函數(shù)，用通常求極值的方法可以求得a=450噸時，能夠使得期望的利潤達到最大。2)在經(jīng)濟預(yù)測中的應(yīng)用在實際經(jīng)營中，許多量之間存在某種密切聯(lián)系，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計原理，可以根據(jù)往年資料或市場信息，通過對社會經(jīng)濟現(xiàn)象之間客觀存在的因果關(guān)系及其變化趨勢進行線性回歸分析預(yù)測，從而得出未來的數(shù)量狀況。下面以一元線性回歸分析為例探討一下線性回歸分析在經(jīng)濟預(yù)測中的應(yīng)用。合金的強度y(父107pa)與合金中碳的含量x(%)有關(guān)，為了生產(chǎn)強度滿足用戶需要的合金，在冶煉時要控制碳的含量?，F(xiàn)調(diào)查收集了12組數(shù)據(jù)，見下表,試建立適當?shù)木€性回歸模型并進行檢驗。如果在冶煉過程中通過化驗得知

12、了碳的含量為0.16，根據(jù)模型預(yù)測這爐合金的強度。廳Px(%)y(x107pa)廳px(%)y(x107pa)10.1042.070.1649.020.1143.080.1753.030.1245.090.1850.040.1345.0100.2055.050.1445.0110.2155.00.1547.5100.2360.0解：第一步，建立線性回歸模型已知一元線性回歸模型為？=a+bx,根據(jù)公式及表中的數(shù)據(jù)得：a=28.53,b=130.60，從而所求的回歸模型?28.53130.6x第二步，檢驗線性關(guān)系的顯著性現(xiàn)在用t檢驗法，經(jīng)計算得t=13.2872，取顯著性水平a=0.05，則t0.975d0)=2.2281，由于132.2872>2.2281,因此在顯著性水平a=0.01下回歸方差是顯著的。第三步，預(yù)測將x0=0.16代入回歸模型，則得到預(yù)測值為?0=28.536130.60.16=49.432在顯著性水平a=0.05下，得y0的概率0.95的預(yù)測區(qū)間為(46.25,52.61)，即有95%的把握認為，碳的含量為0.16時，合金的強度介于(46.2552.61)之間5、結(jié)束語通過以上介紹及討論我們簡要了解了概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)科的起源和發(fā)展，以及概率論與理統(tǒng)計