直角三角形的性質(zhì)和判定湘教·數(shù)學(xué)八年級上冊5.1直角三角形的性質(zhì)定理按邊分類按角分類三角形分類銳角三角形直角三角形鈍角三角形性質(zhì)判定等邊三角形、等腰三角形普通三角形定義：有一個(gè)角是直角的三角形.復(fù)習(xí)導(dǎo)入推進(jìn)新課1.一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為1∶1∶2，則三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為__________________.2.一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為1∶2∶3，則三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為__________________

.

30°、60°、90°45°、45°、90°ABC直角三角形：有一個(gè)角是____________的三角形直角或90°直角三角形可以用符號“Rt△”表示如圖所示的三角形可記作“Rt△ABC”讀作“直角三角形ABC”探究測量三角板兩個(gè)銳角的度數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？在Rt△ABC中，若∠C=90°，則∠A+∠B=？在Rt△ABC

中，因?yàn)椤螩=90°，由三角形內(nèi)角和定理可得：∠A+∠B=90°.由此得到：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.Rt△兩銳角關(guān)系動態(tài)演示幾何畫板.gsp直角三角形的兩個(gè)銳角互余.應(yīng)用格式：在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．

直角三角形的性質(zhì)：隨堂跟練（1）如圖（1），在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠A=40°，則∠BCD=______.（2）如圖（2）在△ABC中，∠B=50°，高AD、CE交于H，則∠AHC=______.40°130°ACDB（1）ACBDHE（2）怎么判斷一個(gè)三角形是直角三角形？直角三角形的兩個(gè)銳角互余.條件：結(jié)論：一個(gè)三角形是直角三角形這個(gè)三角形的兩個(gè)銳角互余逆命題：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形.這個(gè)命題是否為真命題，應(yīng)該如何證明呢？ACB21有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.ACB21在△ABC

中，因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=90°.由此得到：所以∠C=90°.應(yīng)用格式：在△ABC

中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC

是直角三角形．

有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.直角三角形的判定：（3）如圖，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分線相交于H點(diǎn)，那么△AHC是直角三角形嗎？為什么？ABCDH解：∵AB//CD，∴∠

CAB+∠ACD=180°.又∠CAH=∠CAB，∠ACH=∠ACD，∴∠CAH+∠ACH

=(∠CAB+∠ACD)=90°.∴△AHC是直角三角形.隨堂跟練如圖，用三角板畫一個(gè)Rt△ABC，取線段AB

的中點(diǎn)D，連接DC.以點(diǎn)D

為圓心，DB

為半徑畫圓弧，則所畫的弧經(jīng)過點(diǎn)C

嗎？DC

與AB

之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？AB＝

；DC＝

.度量AB、CD的長度：9cm4.5cm猜想該弧經(jīng)過點(diǎn)

C

，且

DC

=

DB

=AB.Rt△中線與斜邊關(guān)系動態(tài)演示幾何畫板.gspDC是斜邊AB上的中線過點(diǎn)

D

作

DE∥BC，DF∥AC，分別交

AC，BC

于點(diǎn)

E，F(xiàn)，在

△ADE

與

△DBF

中，EF證明：如圖，在Rt△ABC

中，∠ACB

=

90°，CD

是斜邊

AB

上的中線.于是∠ADE

=∠B，∠AED

=∠ACB

=

90°，∠FDC

=∠ECD，∠DFB

=∠ACB

=

90°.從而

DE

=

BF.

①∠AED

=∠DFB，∠ADE

=∠B，AD

=

DB，所以∠ADE≌△DBF(角角邊)，在

△DFC

與△CED

中，∠DFC

=

∠CED，∠FDC

=

∠ECD，DC

=

CD，所以△DFC≌∠CED(角角邊)，從而

CF＝DE

.

②由

①

式和

②

式得，CF

=

BF.因此，直線

DF

是線段

BC

的垂直平分線.根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理得，DC

=

DB.

因此

DC

=

DB

=AB.EF由此可得直角三角形的性質(zhì)定理：應(yīng)用格式：在Rt△ABC中，因?yàn)镈為斜邊

AB上的中點(diǎn)，所以有CD=AD=BD=AB.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.例1如圖，已知CD是△ABC的邊AB上的中線，且CD=AB.求證：△ABC是直角三角形.證明：因?yàn)镃D=AB=AD=BD，所以∠1=∠A，∠2=∠B.因?yàn)椤螦＋∠B＋∠ACB=180°，∠ACB＝∠1＋∠2，所以∠A＋∠B＋∠1＋∠2＝180°.從而2（∠A＋∠B）＝180°.因此∠A＋∠B＝90°.所以△ABC是直角三角形.（等邊對等角）（三角形內(nèi)角和定理）（有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形.1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜邊上的中線CD=2.5，則斜邊AB的長是多少？直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.直角三角形性質(zhì)定理：AB=2CD=5ABDC【課本P159練習(xí)第1題】2.如圖，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分線相交于點(diǎn)H，E為AC的中點(diǎn)，EH=2.那么△AHC是直角三角形嗎？為什么？若是，求出AC的長.解：△AHC是直角三角形，理由：∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°.∵AH，CH分別為∠CAB，∠ACD的平分線，∴∠CAH+∠ACH=90°.∴∠AHC=90°，即△AHC是直角三角形.∵E為AC的中點(diǎn)，∴AC=2EH=4.【課