2024屆高考專題—平面對量

第一講平面對量的概念及其線性運算

學(xué)問點一向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有又有—的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(或稱模).

(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是的，零向量記作.

(3)單位向量：長度等于一個單位的向量.

(4)平行向星：方向相同或的向星；平燈向量又叫向量.規(guī)定：0與

任一向量.

(5)相等向量：長度且方向的向量.

(6)相反向量：長度且方向的向量.

學(xué)問點二向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律

2(1)交換律：

___________法則a+6=_______；

加法求兩個向量和的運算

(2)結(jié)合律:

a(a+6)+c=________

___________法則

向量a加上向量力的一

/V

叫做a與b的差，

減法ab=a\~(b)

即a+(-6)=a—

______法則

b

⑴模：1=

Ullal;設(shè)4,〃是實數(shù).

(2)方向：(1)>(〃a)=(A

實數(shù)A與向量a的積是當(dāng)4>0時,4a與a的(2)(A+〃)a=/a+

數(shù)乘

一個向量記作4a方向相同:

當(dāng)久<0時，/la與a的(3)4(a+b)=Xa+

方向相反;Ab.

當(dāng)久=0時，4a=0

學(xué)問點三共線向量定理

向量a(aWO)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個實數(shù)/I,使.

常用結(jié)論：

1.零向量與任何向量共線.

2.與向最a（aHO）共線的單位向量士士.

a

3.若存在非零實數(shù)，使得茄=才丸或葩=4反或應(yīng)三久擊則4B,C三點共線.

4.首尾相連的一組向量的和為0.

5.若尸為徒的中點，則萬三;④十麗.

6.若a、b不共線，且43=〃、則4=〃=（）.

考點一向量的基本概念

例1（1）（多選題）（2024?臨沂模擬）下列命題中的真命題是（）

A.若|a|=|。，則a=6

B.若4B,3〃是不共線的四點，則“礪=必’是"四邊形40為平行四邊形”的

充要條件

C.若&=8,b=c,則a=c

D.a=2的充要條件是|a[=引且a〃8

ah

（2）設(shè)a,b都是非零向量，下列四個條件，運用一=丁丁成立的充要條件是（）

a|D\

A.a—bB.a=2b

C.a〃b且|a|=|引D.a〃b且方向相同

跟蹤練習(xí)

1.（2024?南通聯(lián)考）下列命題中正確的是（）

A.若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合

B.模相等的兩個平行向量是相等向量

C.若a和b都是單位向量，則a=b

D.兩個相等向量的模相等

2.設(shè)a,b為非零向最，則“a〃b”是“a與b方向相同”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

1I-I'I?..

3.（2024?日照調(diào)研）若四邊形力比〃滿意AD=-HCMIAH\=\DC\,則四邊形ABCD

的形態(tài)是（）

A.等腰梯形B.矩形

C.正方形D.菱形

4.（2024?宜昌月考）已知a,b是兩個非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,則下列說法正

確的是（）

2

A.a+b=O

B.a=b

C.a與b共線反向

I）.存在正實數(shù)/l,使@=Ab

5.設(shè)a是非零向量，1是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.a與2a的方向相反B.a與的方向相同

C.|一Na【）.|-4a2141a

6.（多選）給出下列命題，其中假命題為（）

A.向量下的長度與向量忘的長度相等

B.向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反

C.a|+|b|=|a—b|oa與b方向相反

D.若非零向量a與非零向量b的方向相同或相反，則a+b與a,b之一的方向相同

考點二向量的線性運算

角度1向量加、減法的幾何意義

例2設(shè)非零向量&b滿意|a+6|=|a—b,則（）

A.aLbB.\a\=b\

C.a//bD.\a\>\b\

角度2向量的線性運算

例3（2024?長沙模擬）如圖，在梯形力抗力中，BC=2AD,DE=EC,設(shè)赤=a,~BC=b.

則赤=（）

A.%+%

22

C.鼻&+鼻6

JJ

角度3依據(jù)向量線性運算求參數(shù)

例4（2024?濟南模擬）如圖，在平行四邊形力時中，尸是8。的中點，~CE=~2DE,若旗

=xAB-\-yAD,則x+y=()

A.1B.6

3

cID-3

跟蹤練習(xí)

.1....

1.(2024?青島質(zhì)檢)在△力比'中，BD=-BC,若48=a,AC=b,則力〃=()

J

1

A.B.-a

<5

12,21,

C*?-3bD.嚴(yán)寸

2.（2024?長春調(diào)研）在優(yōu)中，延長比至點吏得BC=2CM,連接兒從點N為4v上

--?]--?--?

一點且4V=wAM,若4V=久而十〃充，則4+〃=（）

o

1B.1

A.3

D-4

C--2

3.（2024?濟南期中）在△?1比中，4〃為a‘邊上的中線，右為4〃的中點，則/:〃=（）

A.7ABACB.7AB—7AC

4444

3—*,1—?1—?3—*■

C.-AB+-ACD.7AB+7AC

4444

...■■]..

4.如圖，在△力比中，AN=NC,P是AV上的一點，BP=3PN，若力夕=工AB+/〃月C,

則實數(shù)m的值為（）

5.（2024?湖北宜昌一中月考）已知&b是兩個非零向量，且|a+引=|H|+”|,則下

列說法正確的是（）

A.a+6=0

B.a=b

C.a與力共線反向

D.存在正實數(shù)，使a=

4

6.（2024?西安五校聯(lián)考）如圖，月/，是圓。的一條直徑，G〃是半圓弧的兩個三等分點,

則初=（）

A.~AC-~Al)

B.2AC-2AD

C.~AD-~AC

D.2Ab-2AC

7.在砥中，AB=2,BC=3,Z/lffC=60°,力〃為和邊上的高，0為力〃的中點，若旃

=兒赤1?〃擊其中/I,R,則4+〃等于（）

1

A.1B.-

乙

2

a3I).~

O

]]2

8?故人〃已知正六邊形用初產(chǎn)中,~AB+~CD+~EF=(

A.~AFB.~BE

c.~c!)D.0

1,

9.已知平面內(nèi)一點P及4ABC,若處+必+PC=",則點P

與△力比的位置關(guān)系是（）

A.點/在線段AB±.

B.點夕在線段BC上

C.點〃在線段〃'上

D.點〃在△/步C外部

10.（多選）在平行四邊形月以》中，。是對角線然，劭的交點，N是線段切的中點，AN

的延長線與⑦交于點E,則下列說法正確的是（）

—?1—?3—0,

A.AVABADB.AN=7AB一三AD

44

---?1---?1---?—?5—?—?

C.AO=5AB+5ADD.AE=-AB4-AD

乙乙

1i.(2024?襄陽模擬)若||=|AC\=\一步|=2,則|月〃+4(7|=

5

12.設(shè)向量a,b不平行，向量Xa+b與a+2b平夕亍，則實數(shù)A=.

13.一條河的兩岸平行，河的寬度d=4km,一艘船從岸邊/I處動身到河的正對岸，己

知船的速度IH|=10km/h,水流速度I外|=2km/h,那么行駛航程最短時，所用時間是

h」(附：乖七2.449,精確到0.()1)

B

A

14.(2024?蘭州診斷)在直角梯形力"9中，ZJ=93°,NQ30°,/俗=2線，BC=2,

■■■

點夕在線段CD上,若AE=他+幺AB,則〃的取值范圍是.

考點三共線向量定理及其應(yīng)用

例5設(shè)兩個非零向量&與b不共線.

(1)若茄=a+b,瓦?=2a+8b,Cb=13(a-b),求證：A,B,〃三點共線；

(2)試確定實數(shù)億使布+6和a+勃共線.

平面對量共線的判定方法

(1)向量〃與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實數(shù)，使力=4a要留意通常只

有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要留意待定系數(shù)法和方程思想的運用.

(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)留意向量共線與三點共線的區(qū)分與

聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.

跟蹤練習(xí)

1.(2024,南昌質(zhì)檢)已知a,b是不共線的向量，08=4a+b,力C=a+〃b(4,〃

￡R),若力，B,。三點共線，則4,〃的關(guān)系肯定成立的是()

A.1〃=1B.4〃=—1

C.4一〃=—1D.4+〃=2

2.已知向量a和b不共線，向量下=a+而，/=5a+3b,7方=—3a+3b,若力,

B,。三點共線，則m=()

A.3B.2

C.1D.-2

3.(2024?濟南模擬)已知向量46不共線，且c=/lalb,d=aV(241)6,若c與

6

〃共線反向，則實數(shù)A的值為（）

A.1B.

c.1或一JD.-1或一;

乙乙

4.已知向量a,b、。中隨意兩個都不共線，并且a+6與。共線，b+c與a共線，那么

a+6+c等于（）

A.aB.b

C.cD.0

5.下列命題正確的是（）

A.向量a,6共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)人使6=4a

B.在△/1比中，葩+應(yīng)+西=0

C.不等式11川一|引|W|a+引W|川+|引中兩個等號不行能同時成立

D.若向量a,6不共線，則向量a+b與向量a—b必不共線

6.下列敘述正確的是（）

A.若非零向量a與b的方向相同或相反，則a+b與a,b其中之,的方向相同

B.a|+|b|=|a+b|=a與b的方向相同

C.通+應(yīng)=0

I）.若HHO,Aa=^b,貝ija=b

7.（多選）已知力，B,。是同一平面內(nèi)三個不同的點，OA=a-b,OB=2a—3b,OC=

3a-5b,則下列結(jié)論正確的是（）

A.~AC=2ABB.~AB=~BC

C.~AC=i~BCD.A,B,C三點共線

8.（2024?重慶模擬）直線/上有不同的三點48,C,0是直線/外一點，對于向量OA

=（1—cosa）如+sina0C（。是銳角）總成立，則a=

9.（2024?濰坊期中：如圖，在△力比'中，下=3萬，〃是出'上的

點，若下=入下+￡丸，則實數(shù)x的值為________.

O

10.設(shè)兩向量a與b不共線.

⑴若肪=a+b,比'=2a+8b,切=3（a-b）.求證：AfB,〃三點共線;

⑵試確定實數(shù)h使Aa+b和a+的共線.

7

其次講平面對量的基本定理及坐標(biāo)表示

學(xué)問點一平面對量的基本定理、，

假如e,a是同一平面內(nèi)的兩個向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a,有且

只有一對實數(shù)兒，兒使a=.

學(xué)問點二平面對量的坐標(biāo)表示

在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與的兩個單位向量1,J作為基底，對任一向量a,

有唯----對實數(shù)*,y,使得：a=xi+yj,叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a=（x,。，

明顯i=,j=,0=.

學(xué)問點三平面對最的坐標(biāo)運算

（1）向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模

設(shè)3=（小，M）,6=（x2,%），則a+6=,a-b=,^a=,

a\

（2）向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)力（汨，乂），8（如%），則葩=,\'AB\=.

學(xué)問點四向量共線的坐標(biāo)表示

若a=（M,yi）,b=（x2,㈤，則a〃從=>.

考點一平面對量基本定理的應(yīng)用

例1⑴在△力比中，點〃，￡分別在邊比;4C上，且瓦=2應(yīng)；&3應(yīng)，若瀛=&AC

=b,則應(yīng)等于（）

]5n1凡

A.鏟+之B.-a--b

「15D.-沁梓

口一鏟―訪臺

⑵已知向量就；質(zhì)和初在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若應(yīng)=久初+〃花，貝I」/I〃

8

跟蹤練習(xí)

1.若e?6是平面2內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面。的一組基底的是

()

A.ei-e2,e2-eiB.ei+e?ei-e>

C.2e：—3ei,-6e1+4e：；D.2e】+e_：,ei+~ej

乙

2.在△月雨中，〃為a'的中點，￡為力。邊上的點，且左：=2友\則無=()

1*1*1*1.

A.-AB--ACB.--AB+-AC

/b2o

C.JAB,ACD.AB+,AC

/J/J

3.(2024?汕頭調(diào)研)如圖，平行四邊形力比〃中，￡是/1〃的中點，尸在線段函上，且

,??,??,??

BF=3FE,記@=陰，b=4。，則6=()

4.(多選)給出以下說法，其中不正確的是()

A.若b=1a(4￡R),則a〃b

B.若@〃，則存在實數(shù)人使b=2a

C.若a.b是非零向量，A,〃￡R.那么4a+〃b=0o1=〃=0

D.平面內(nèi)隨意兩個非零向量都可以作為表示平面內(nèi)隨意一個向量的一組基底

5.(2024?長沙模擬)如圖，在正方形力比“中，〃是〃。的中點，點少滿意建=2麗那

么赤'=()

AH

9

A.^AB—^AD

B.^AB+^AD

C.^AB—^AD

D.

6.如圖，在平行四邊形4比7?中，E,￡分別為邊月8%的中點，連接出DF,交于點

G.若定=4方+〃方(4,〃￡R),則4=_______.

/，

Dr

AEB

7.已知在胸中，點。滿意而+刖應(yīng)'=0,點尸是%上異于端點的隨意一點，且蘇

=mOA+〃如，則m+〃的取值范圍是.

8.設(shè)e,6是平面內(nèi)兩個不共線的向量，則以下a,b可作為該平面內(nèi)一組基底的是()

A.a=ei+e?,b=ei

B.a=2&+e；"b=|ei+-yej

C.a=ei+e2,b=ei-

D.a=e>—2e2,/?=—ei+4e2

9.已知平面對量a,b,c滿意|a|=|b|=|a-b|=|a+b—c|=1,則|c|的最大值材=

,|c|的最小值〃=.

一s

10.如圖，已知在△"方中，力是3的中點，〃是將加分成2：1的一nZ\

個內(nèi)分點，如和力交于點￡,設(shè)/=a,/=b.

(1)用a和b表示向量左，左；

(2)若/=A~OAt求實數(shù)A的值.

考點二平面對量坐標(biāo)的基本運算

例2⑴已知1(一2,4),M3,-1),以-3,-4).設(shè)葩=a,~BC=b,CA=c,且芥

10

3c,CN=-2b.

①求3a+b—3c；

②求滿意a=/〃b+〃。的實數(shù)m,〃；

③求M,Ar的坐標(biāo)及向量質(zhì)的坐標(biāo).

(2)設(shè)向量搐b滿意|a|=2/，8=(2,1),且a與6的方向相反，則a的坐標(biāo)為

跟蹤練習(xí)

1.(2024?天津模擬)已知點4(4,0),5(4,4),。(2,6),0為坐標(biāo)原點,則力。與必的交

點夕的坐標(biāo)為________.

2.(2024?安徽調(diào)研)在直角坐標(biāo)系才如中，已知點力(0,1)和點儀一3,4),若點C在/

力切的平分線上，且|京|=3皿，則向量/的坐標(biāo)為________.

3.(2024?太原聯(lián)考)已知向量ei=(1,1),e2=(0,1),若a=e1+"2與b=—(2ei—3e2)

共線，則實數(shù)A=_______.

4.已知向量a=(2,5),b=(/l,4),若a〃b,貝ij八=.

=2,

［解析］因為a〃b,所以a=Ab,即(2,5)=4(4，4),得匚解得

［4?=5,

5.已知。為坐標(biāo)原點，點。是線段力4上一點，且加1,1),C(2,3),|HC\=2\AC\t

則向量該的坐標(biāo)是.

6.(2024?海南省文昌中學(xué)模擬)已知a=(1,3),b=(—2,A),且(a+26)〃(3a-b),

則實數(shù)k=.

7.(2024?湖南“三湘教化聯(lián)盟”聯(lián)考)已知向量a=(sin〃，1),b=(—sin",0),

c=(cos0,—1),且(2a—b)〃c,則sin2。等于.

8.(2024?鄭州月考)已知向量a=(I—sin0,1),1+sin。)，若a"b,則

銳角8=.

9.已知向量中=(尢12),^(4,5),狂(一匕10),且4員C三點共線，則女=.

10.(2024?本溪模擬)已知p：x=-1,q：向量a=(l,x)與b=(x+2,x)共線，則〃

是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

II

C.充要條件I).既不充分也不必要條件

11.△/回的三個內(nèi)角4B,。所對邊的長分別為a,b,C,設(shè)向量p=(a+c,加，q

=(b—a,c—a).若p〃q,則角C的大小為()

12.(多選)(2024?珠海模擬)已知向量笳=(1,-3),/=(2,-1),~OC=^+l,

加一2),若點A,B,。能構(gòu)成三角形，則實數(shù)加可以是()

A.12B.~

乙

C.1D.-1

13.(2024?荷澤模擬)已知a=(-2,而,b=(l,2),a〃(2a+b),則實數(shù)m的值為

14.(2024?泰安質(zhì)檢)設(shè)向量a=(-3,4),向量b與向量a方向相反，且:b|=lQ,則

向量b的坐標(biāo)為________.

15.已知向量a=(l,3),b=(sina,cosa),若@〃1),則tan(a+?)=.

16.如圖，四邊形袖切為正方形，延長必至必使得=必，點PE_D_PC

在線段69上運動.設(shè)下1+_/茄，則x+y的取值范圍是()

A.[1,2]B.[1,3]

C.[2,3]D.[2,4]

17.(2024?福州模抵)若｛a,0｝是一個基底,向量y=xa+yB(x,y￡R),則稱(％

y)為向量Y在基底｛a,B｝下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底｛p=(l,-1),q=(2,1)｝下的

坐標(biāo)為(-2,2),則a在基底加=(-1,1),n=(l,2)｝下的坐標(biāo)為________.

18.(2024?遼寧月考)已知力(一2,4),M3,-1),<?(-3,-4).設(shè)下=a,~BC=b,

CA=c,且CM=3c?CN=-2b.

(1)求3a+b—3c；

(2)求滿意a=//b+/x的實數(shù)m,n；

⑶求MN的坐標(biāo)及向量MV的坐標(biāo).

第三講平面對量的數(shù)量積

12

學(xué)問點一向量的夾角

兩個非零向量a與6,過。點作應(yīng)=a,~OB=b,則叫做向量a與8的夾角；范

圍是________

a與b的夾角為時，則a與b垂直，記作

學(xué)問點二平面對量的數(shù)量積

(1)定義：已知兩個非零向量a與兒它們的夾角為0,則數(shù)量|a||6cos。叫做a與

b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a?6,即a?b=,規(guī)定零向量與任?向量的數(shù)量積為0,

即0?a=0.

(2)幾何意義：數(shù)量積等于a的長度|a|與6在a的方向上的投影Iblcos〃的乘

積.

學(xué)問點三平面對量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

(1)設(shè)向量a=(*i,y),6=(x2,%),〃為向量a,6的夾角.

①數(shù)量積：a*b=\a\Z?|cos0=

②模：Ia\='\ja?a=

③設(shè)力(汨，y),〃(矛2,方)，則力，〃兩點間的距離AB\=|AB\=，—X\—Xi—阡一切一關(guān)

由放+y%

④夾角：cos0=

⑤已知兩非零向量a與b,a±/K=>a-Z?=0<=>a//b<^>a?b=±a6.(或

a?b=a?b).

⑥la,引Wlalb(當(dāng)且僅當(dāng)a〃。時等號成立)o|屈即+/於|WA/成+)??\/一+。?

(2)平面對量數(shù)量積的運算律

①a?b=b?a(交換律).

②4a?6=4(a?b)=a?(1b)(結(jié)合律).

③(a+6)?c=a-c+b?c(安排律).

考點一平面對量數(shù)量積的運算

例1⑴已知向量e,e>,|ei|=l,e>=(1,小),a,a的夾角為60。，貝ij(a+e9?a

=()

A.羋B.啰

□□

C.5D.yf5

⑵已知點凡B,C滿意|茄|=3,|及1=4,|萬|=5,則而?比+應(yīng)'?西+方?前的值

是.

考點二向量的模、夾角

13

例2⑴（2024?四川雙流中學(xué)月考）若平面對量a、。的夾角為60°,且a=（l,一木）,

引=3,則|2a—b的值為（）

A.13B.yf37

C.yfl3D.1

（2）（2024?黃岡調(diào)研）已知平面對量卬，〃的夾角為卷，且㈤=#,|〃1=2,在△力比、

中，而=2卬I2〃，AC=2a6A,〃為％的中點，貝"乃|=.

角度2向懸的夾角

例3（1）（2024?新高考八省聯(lián)考）已知單位向量a,8滿意a?/>=（）,若向量c=\7a+

陋b,則sin<a,c>=（）

A或B

33

C正D亞

39U，9

（2）（2024?全國HI理,6）已知向量a,。滿意|a|=5,|b\=6,a?6=-6,則cos（a,

a+6〉=（）

A—迎B一史

3535

1719

C-35D,35

角度3平面對量的垂直

例4（1）（2024?全國HL5）已知單位向量a,6的夾角為60°,則在下列向量中,與b

垂直的是（）

A.a~\-2bB.2a+b

C.a—2bD.2a-b

⑵（2024?安徽宣城調(diào)研）已知在△力鴕中，ZJ=120°,且J^=3,AC=4,若為』A'AB

+應(yīng)；且血友；則實數(shù)4的值為（）

跟蹤練習(xí)

1.在△力8。中，BC=E,4C=8,r=60°,則無?石的值為（）

A.20B.-20

14

C.2項D.-2073

2.(多選)(必修其次冊21頁例11改編)設(shè)a,b,c是隨意的非零向量，則下列結(jié)論正

確的是()

A.0?a=0B.a,b=b,c,則a=c

C.a?b=O=a_LbD.(a+b)?(a—b)=Ia|2—|b|2

■.

3.在RL△力比中，/A8c=60°,/氏10=90°,則向量陽在向量8。上的投影向量為

()

1

rFn亞R

C.—7BCD.—,BC

44

4.(多選)設(shè)向量a=(2,0),b=(l,1),貝1」()

A.|a|=|b|B.(a—b)〃b

C.(a-b)±bI).a與b的夾角為寧

5.(2024?新高考I卷)已知夕是邊長為2的正六邊形力仇決/'內(nèi)(不包括邊界)的一點，

則出?下的取值范圍是()

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

6.在邊長為1的等邊三角形力回中.〃為線段回上的動點，阻L/B且交他與點E,DF

〃仍交力。于點尸，則|2下+"|的值為；(反+萬)?下的最小值為

7.已知向量a"滿意a-(b+a)=2,且a=(l,2),則向量b在a方向上的投影為()

A.噂B.

50

「—貼n3小

L,55

8.(2024?貴陽市第一學(xué)期監(jiān)測考試)在△力比中，I而+應(yīng)1=前一而，［8=2,

E,產(chǎn)為歐的三等分點，則龍?於=()

,10r25

99

8

a26

-一

99

15

.9.（多選）（2024?常州一模）已知夕為△月應(yīng)'所在平面內(nèi)一點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若萬+3其+2斤=0,則點〃在△力%的中位線上

B.若/+其+萬=0,則尸為△月比的重心

C.若下?7c>o,則△力弦為銳角三角形

—?1—?>2—>

0.若AP=-AIJ+-AC,則△力比與△/!蛇的面積比為3:2

JJ

10.（2024?全國II,13）已知單位向量a,b的夾角為45°,ka~b與a垂直，則k

11.（2024-山西康杰中學(xué)五校期中）已知向量a、6滿意|6|=2|a|=2,a與6的夾角為

120°,則|&-2引=（）

A.45B.亞

C.13D.21

12.（2024?江西七校我考）已知向量a=（l,事）,6=（3,㈤，且6在a上的投影為一

3,則向量a與。的夾角為.

13.（2017?全國卷II）已知△力宛是邊長為2的等邊三角形，尸為平面/山。內(nèi)一點，則

萬?（湯十元）的最小值是（）

3

A.-2B.-3

4

C.一三i）.-1

?J

14.（2024?全國新高考I,7）已知產(chǎn)是邊長為2的正六邊形力比好內(nèi)的一點，則淳?荔

的取值范圍是（）

A.（-2,6）B.（-6,2）

C.（-2,4）D.（-4,6）

15.向量a=（l,2）,b=[x,1）.若（a+b）_L（a—b）,則x=（）

A.-2B.±y[2C.±2D.2

16.（2024?淄博三模）已知向量a,b滿意a|=|b=|a-b|=l,則|2a+b|=（）

A.3B./

C.7D.y[7

17.（2024?襄陽期中）在水流速度10km/h的自西向東的河中,假如要使船以1以km/h

的速度從河的南岸垂直到達北岸，則船動身時行駛速度的方向和大小為（）

A.北偏西30°,20km/h

B.北偏西60°,10A/2km/h

16

C.北偏東30°,Kh/2km/h

D.北偏東60°,20km/h

18.(2024?金陵月考)在平面直角坐標(biāo)系x勿中，己知向量如與仍關(guān)于y軸對稱，

向量a=(l,0),則滿意不等式石?+a?/w()的點力(工，力構(gòu)成的集合用陰影表示為

()

19.(多選)(2024?滕州模擬)設(shè)a,b,c是隨意的非零平面對量,且相互不共線,則下

列命題中的真命題是()

A.(a,b)c—(c,a)b=0

B.a—b<|a—b

C.(b?c)a—(a?c)b不與c垂直

I).(3a+2b)?(3a-2b)=9|a|2-4|b|2

20.(多選)(2024?青島質(zhì)檢)已知平面對量a=(1,2),b=c=(2,t),下列

說法正確的是()

A.若(a+b)〃c,則Z=6

2

B.若(a+b)_Lc,則￡=不

J

4

C.若￡=1,則cos(a,c>=~

□

D.a+c<3

21.在四邊形力時中，7C=(3,-1),下=(2：勿)，充_1_礪，則該四邊形的面

積是.

22.已知向量a,b,其口|a|=/,|b|=2,且(a—b)JLa,則向量a和b的夾角是___,

a-(a+b)=_______.

23.(2024?淮安模擬)已知平行四邊形力四中，力Q3,AD=4,平面內(nèi)動

II-II?.

點E,滿意\ED\=2\EC\,則(如一僅1)-AE的取值范圍為________.

24.(2024?天津模擬)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,已知點力(1,0)和點津一1,0),

I/1=1,RZA0C=0,其中。為坐標(biāo)原點.

17

y

BoAX

（D若。=耳，設(shè)點〃為線段如上的動點，求I/+&I的最小值；

JI?.

⑵若0向量BC,（。、。），求?的最

e0,—乙,m=n=1—cossin2cosmn

小值及對應(yīng)的，值.

25.（多選）引入平面對量之間的一種新運算“④”如下：對隨意的向量m=（%,y）,n

=（如%），規(guī)定m0n=M￥2—%小則對于隨意的向量a，b,c,下列說法正確的有（）

A.a?b=b?aB.（，la）6b=［（a0b）

C.a,（b?c）=（a?b）,cD.a|?b2|a?b|

26.（2024?本溪模擬）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大

眾寵愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓/1（前輪），圓〃（后輪）的半徑

均為小,叢ABE,叢BEC,△及力均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點尸為后輪上的一點，則在

騎動該自行車的過程中，方?赤的最大值為（）

C.1^3D.4

27.（2024?珠海模擬）已知平面對量a=（小，?。?，則與a夾角為45°的一個非零向

量b的坐標(biāo)可以為________.（寫出滿意條件的一個向量即可）

28.在梯形力以力中，，48〃切，N力=90。，AB=2CD=3,AD=2,若獷'在線段月8上運

動，且價—1,則方?育的最小值為________.

29.如圖所示，在矩形加⑦中，AB=2,AD=\,分別將邊比與〃C等分成8份，并將