2024屆高二上學(xué)期第一次月考模擬1

數(shù)學(xué)試卷

題號(hào)—?二三四總分

得分

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.已知m,n是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是

（）

A.若m_Lm，mca,nC/3,則a_LQ

B.若m//n,nUB,則m"

C.若mJLQ,m//n,,則aJ■尸

D.若mua,nca,rn//（3,U〃￡,則a〃?

2.已知復(fù)數(shù)2=里黑二為虛數(shù)單位），則下列說(shuō)法正確的是（）

A.Z的虛部為4

B.復(fù)數(shù)z在復(fù):平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限

C.%的共規(guī)復(fù)數(shù)5=4—2￡

D.\z\=2\/5

3.如圖，已知403是半徑為4,圓心角為!的扇形，點(diǎn)E,F分別是04,08上

的兩動(dòng)點(diǎn)，且E尸=2,點(diǎn)P在圓弧會(huì)上，則無(wú)的最小值為（）

A.4B.8C.19-82D.16-8旅

4.設(shè)兩個(gè)向量W=（大+2,入12-CO/Q）和7=（m,?+Mna）,其中入，m,a為實(shí)

數(shù).若/=27，則△的取值范圍是（）

m

A.[-6,1]B.[4,8]C.（-oo,l]D,[-1,6]

5.在正方體48。。一48。1人中，動(dòng)點(diǎn)E在棱H小上，動(dòng)點(diǎn)尸在線段4G上，O

為底面ABCD的中心，若BE=±,AiF=yt則四面體0-4EF的體枳（）

A.與嘰V都有關(guān)B.與處V都無(wú)關(guān)

C.與七有關(guān)，與V無(wú)關(guān)D.與3/有關(guān)，與丁無(wú)關(guān)

6.如圖所示，在直角梯形。CEF中，Z.CBF=Z.BCE=90°.4、D分別是RF、

CE上的點(diǎn)，AD//BC,^AB=DE=2BC=24F（如圖1）.將四邊形AOEF沿

八。折起，連結(jié)Z?E、BF.CE（如圖2）,在折起的過(guò)程中，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是

（）

第2頁(yè)，共27頁(yè)

A.平面8EF

B.〃、C、E、F四點(diǎn)不可能共面

C.若EF_LCF,則平面ADEF，平面ABCD

D.平面3。后與平面8EF可能垂直

7.設(shè)函數(shù)/(f)的定義域?yàn)镽,〃I+1)為奇函數(shù)，/,+2)為偶函數(shù)，當(dāng)為6[1,2]時(shí),

，3)=32+瓦若〃0)+〃3)=6,則八3=()

9375

B

--C--

A.424D.2

8.已知三棱錐S-4BC的所有頂點(diǎn)都在表面積為647r的球面上，且S力_L平面480,

S4=4,ZBAC=—,48=2g，M是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，則直線SM與平面

A3。所成的最大角的正切值為()

A.3B.壁C.73D.1

32

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-小BQiOi中，點(diǎn)P滿足罰=ADPj+〃司，

A€[0,1],Me[0,1],則以下說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)入=〃時(shí)，8尸〃平面。氏小

17F

B.當(dāng)〃=不時(shí)，存在唯一點(diǎn)P使得0P與直線。耳的夾角為可

2O

C.當(dāng)入+〃=1時(shí)，CP長(zhǎng)度的最小值為通

D.當(dāng)工+“=1時(shí)，CP與平面8。。由1所成的用不可能為可

14.蜜蜂的蜂巢構(gòu)造非常精巧、適用而且節(jié)省材料，蛉巢由無(wú)數(shù)個(gè)大小相同的正六邊形

房孔組成,由于受到了蜂巢結(jié)構(gòu)的啟發(fā)，現(xiàn)在的航天飛機(jī)、人造衛(wèi)星、宇宙飛船的

內(nèi)部以及衛(wèi)星外殼都大量采用蜂巢結(jié)構(gòu)，統(tǒng)稱為“蜂窩式航天器”.2022年五一節(jié)

假日前夕，我國(guó)的碑舟十三號(hào)飛行乘組平穩(wěn)落地，3名航天員先后出艙，在短暫的

拍照留念后，3名航天員被轉(zhuǎn)移至專業(yè)的恢復(fù)療養(yǎng)場(chǎng)所進(jìn)行身體康復(fù)訓(xùn)練?他們所

乘的返回艙外表面稹蓋著蜂窩狀防熱材料?現(xiàn)取其表面中一個(gè)正六邊形八0。?！晔?，

它的的邊長(zhǎng)為2,若點(diǎn)P是正六邊形的邊上一點(diǎn)，則為.罰的取值范圍是.

15.在△48。中，角4,8,。的對(duì)邊分別為若匕(tan4+tan3)=2ctanB,且

G是△48。的重心，福?前=2,則|配|的最小值為.

16.費(fèi)馬點(diǎn)是指到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于120c時(shí),

費(fèi)馬點(diǎn)在三角形內(nèi).且費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該

點(diǎn)對(duì)三角形三邊的張角相等，均為120。,已知的三個(gè)內(nèi)角均小于120°，尸為

△4BC的費(fèi)馬點(diǎn)，且P4+PB+PC=3,則△4BC面積的最大值為.

四、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.已知△4BC的內(nèi)角4,B，。的對(duì)邊分別為。，b，c,滿足

sinAbsinB

______________L_______________=]

sinD+sinCbsin.A-f-csinD

(1)求角G

(2)。。是/力?！ǖ慕瞧椒志€，若CD=迪,△4BC的面積為2』，求C的值.

3

18.如圖，四棱錐尸一4NCO中，P4_L底面ABCD,AD//BC,

AB=AD=AC=3^尸4=BC=4,M為線段A0上一點(diǎn)，AM=2MDN

為P。的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃的面

(2)求直線與平面PMN所成角的正弦值.

19.對(duì)于函數(shù)y=/(i),xG(0,+oo),任意a,b，c€R且a>0,6>0,c》0,

都有f(。)，f。)，f(c)是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱函數(shù)y=/(i)為(0,+8)上

的“完美三角形函數(shù)”.

⑴設(shè)Z=(88也吃k008土)，方=(2/ccosc,2cos與)，若函數(shù)

g(c)=/?7-k+l是[0圖上的“完美三角形函數(shù)”，求實(shí)數(shù)人的取值范圍；

⑵在滿足⑴且k〉0的條件下,令函數(shù)h(x)=sin2x—sin(c+3+?

若對(duì)任意的C1W[O,§，總存在必w[0,金，使得

g(a：2)》M血)成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

20.在△46。中，角兒以。的對(duì)邊分別為a,b,c,且10=7—cos2A.

(1)求角4的大小;

⑵若b=2,c=1,

①NB4?的角平分線交6。于M,求線段AM的長(zhǎng);

②若。是線段8C上的點(diǎn)，E是線段84上的點(diǎn)，滿足益=A而，石豆=入巨？，

求力?度的取值范圍.

21.已知點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)/(，)=a%na;+dcosc,稱向量。或=(a,b)為函

數(shù)73)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)/3)為向量oXl的相伴函數(shù).

(1)設(shè)函數(shù)g(±)=sin(x4-塔)-sin(萼-x),試求g[x｝的相伴特征向量OA?；

02

(2)記向量配=(1,通)的相伴函數(shù)為人乃，當(dāng)/3)=去且“e(—今》時(shí)，求

S加工的值；

(3)已知點(diǎn)4(一2,3)、8(2,6),方=(一逐,1)為八3)=加成"3一3的相伴持

征向量，夕3)=九(微一§,請(qǐng)問(wèn)在y=p(z)的圖象上是否存在一點(diǎn)P,使得

若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由?

第6頁(yè)，共27頁(yè)

?p

22.已知函數(shù)fQ)=4cos2(+)玩口土+(sinrr4-COST)(sinre-cos,)+1.

24

7F7T

⑴常數(shù)3>0,若函數(shù)V=/(3￡)在區(qū)間［一個(gè)暴上是增函數(shù)，求3的取值范圍；

0/

1TT7T

(2)若函數(shù)以］)=i［/(2x)-。六6+a,G一土)一可一1在至上的最大值為2,

求實(shí)數(shù)Q的值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查空間直線和平面的位置關(guān)系，考查線面垂直和面面垂直的判定和性質(zhì)定理，注

意定理的條件是解題的關(guān)鍵.

利用空間直線和平面的位置關(guān)系，即線面垂直和面面星直的判定和性質(zhì)定理，線面平行

和線線平行的判斷和性質(zhì)對(duì)每一選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】

解:已知m,〃是兩條不同的直線，a,2是兩個(gè)不同的平面，

對(duì)于4,若mJ.%men,mU0,則a、夕的關(guān)系是垂直、相交或平行，則4錯(cuò)誤：

對(duì)于。，若7可/n,nC0,則m、￡的關(guān)系是平行或加在平面戶內(nèi)，則8錯(cuò)誤；

對(duì)于。，若m〃n,幾〃仇則加〃3或加在8平面內(nèi)，因?yàn)樗訯、

力的關(guān)系是垂直，則C正確：

對(duì)于。，若mua,nca,m//0,幾〃氏則Q、尸的關(guān)系是垂直、相交或平行，則

。錯(cuò)誤.

故選；C.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查的是復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

先求出復(fù)數(shù)z,再逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】

如E、J(3i-1)(1-i)2+4￡/Z

解:因?yàn)閦=^~~瀚_^=1-=-4+2z,

2的虛部為2,所以A鐺誤；

復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以B錯(cuò)誤；

第8頁(yè)，共27頁(yè)

z=-4-2i,所以C錯(cuò)誤;

|z|=[(-4)2+22=2函,所以。正確.

故選D.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查向量數(shù)量積，屬于較難題.

【解答】

7T

解:以。為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，P(4cos^,4sin0)(^€[0,-])

設(shè)E&0)(tW[0,2]),又田司=2,所以|OF|="^,可得F(0,石彳)，

P自=(￡-4cos4—4sin8)?~Pp=(—4cos0,，4—爐—4sjQ。)，

-4tcose+16cos20-4\/4-t2sin0+16sin20=16-4(tcos^+x/4-t2sm9)

=16—8sin(8+⑺，其，11cosw=,sinip=:‘

'42"2

又￡€[0,2],所以cos夕,而[OJ]，所以WW[。,白，歹+。€[0述],

sin(p+0)€[0,1],—8in(9+0)€[—l,0],所以雇.時(shí)w[8,16]，

屈.罰的最小值為8.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本題難度較大，題目涉及到向量、三角函數(shù)的有界性、還用到了換元和解不等式等知識(shí),

體現(xiàn)了化歸的思想方法.

利用N=27，得到八，m的關(guān)系，然后用三角函數(shù)的有界性求解0的比值?

m

【解答】

解：由於nCX+ZQZ-coJa),丁=+sina),N=27，可得:

A+2=2m

A2-cos2a=m+2sina

設(shè)2=七代入方程組可得＜km+2=2m

k2m2—cos2a=m+2sina

消去加化簡(jiǎn)得(J比)2_s/儀_\+2sina，

i—KZ—K

再化簡(jiǎn)得(2+3)2-cos?a+-A--2sina=0,

再令賽二=t,代入上式得(sina-I)2+(16#+18t+2)=0,

可得一(16產(chǎn)+18t+2)w[0,4],

解不等式得[-1,一口，

o

因而-1WJ°a-：解得一6WkW1.

故選：A.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查利用等體積法求多面體的體積，考查空間想象能力，屬于中檔題.

連接AO，AE,AF,0石，OF,EF,結(jié)合等積法說(shuō)明四面體O—AEF的體積是

與z,V無(wú)關(guān)的定值.

第10頁(yè)，共27頁(yè)

【解答】

解：如圖，連接AO,AE,AF，OE，OF,EF,

BBiHAAi,AA!U平面AA^C,

BBiC平面44QQ，

.??8Bi〃平面＜4GC.

E到平面＞44GC的距離為定值，

?.?40〃AiG，「.F到直線A0的距離為定值，

.?.△HOF的面積為定值.

*.*Vo-AEF=VE-AOF，

二.四面體。一4EF的體積是與，，3/無(wú)關(guān)的定值.

故選：B.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考杳了線面平行的判定、面面垂直的判定、考查了學(xué)生的空間想象能力和推理能力，

屬于較難撅.

根據(jù)折疊前后線段、角的變化情況，用線面平行、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行

判定.

【解答】

解：在圖2中取AC的中點(diǎn)為O,取8E的中點(diǎn)為M，連結(jié)M0,

所以O(shè)M"DE、OM--DE,

又AF〃DE,AF=mDE,

所以0M〃AF,0M=4F,

所以四邊形40MF為a行四邊形，即力。〃

因?yàn)槭琈U平面8EF,4CC平面8EF,

「?4?！ㄆ矫?EF,故A正確：

若B,C,E,F四點(diǎn)共面，

因?yàn)锽C“AD，BCC平面AOEF,力。(:平面人。后尸，

所以BC〃平面ADEF,

又BCU平面6CEF，平面BCE尸n平面＜OEF=EF，

所以可推出BC〃EF,

又BCDAD,所以矛盾，

：.B.。、E、F四點(diǎn)不可能共面，故4正確；

在梯形AOEF中，可通過(guò)勾股定理逆定理證明：EFA.FD,

又EFLCF,FD(1CF=F,FD,CFU平面。OF，

...E尸_L平面尸，

又COU平面。DF,即有GDJ_EF，

乂CDLAD,EF與八。是平面ADEF內(nèi)的兩條相交直線，

/.。。1/平面人。后尸，

又CDU平面八BC。，

則平面4OEF_L平面力8CD,故C正確；

延長(zhǎng)AF至G使得AF=FG，連結(jié)BG、EG，

易得平面BCEJ■平面4RF，且平面BCEn平面4BF=BG，

過(guò)F作"FNJ_BG于N,則萬(wàn)N_L平面8CE.

若平面ZJCEL平面8EF,則過(guò)F作直線與平面8CE垂直，其垂足在8E上，矛盾,

第12頁(yè)，共27頁(yè)

故。錯(cuò)誤,

故選D.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考杳函數(shù)的周期性與奇偶性的綜合應(yīng)用.

由已知得八仁)的周期為4,則/《)=一/《)，由己知得"1)=0,〃2)=—6,即可求

出函數(shù)的解析式，即可得解.

【解答】

解:因?yàn)椤ü?1)為奇函數(shù)，

所以，(一工+1)=-/(1+1)，

所以fQ)的圖象關(guān)于(1,0)中心對(duì)稱,則/(1)=o,

因?yàn)?Q+2)為偶函數(shù).

所以“—*+2)=/(7+2),

所以/(x)的圖象關(guān)于直線比=2軸對(duì)稱.

由f(一土4-1)=-f(x+1),得f[-x+2)=-f(x),

所以八z+2)=-/(切，

則f(x+4)=-f(x4-2)=f(x),即的周期為4.

所以用)=后)=一痔)，

又因?yàn)榱?)=—62),/(3)=/(1)=0,/(0)+/(3)=6,

所以，⑴-f⑵=6,則/(2)=-6,

因?yàn)楫?dāng)Q6[1,2]時(shí)，/(1)=謁+匕,

/(I)=a+b=0a=-2

解得

/(2)=4a+b=-66=2

所以，當(dāng)出6[1,2]時(shí)，f(c)=-2/+2,

95

所

以2X-+=-

42

故選Q.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查線面角的正切道的最大值的求法，以及空間幾何體外接球的性質(zhì)，屬于中檔題.

易求外接球半徑7=4,從而可求外接圓半徑冗=2』，從而可求8。=6，

7T

c=",乂SM與平面力8。內(nèi)的射影最短時(shí)，直線SM與平面48。所成的最大，求

0

得SM的最小值，可求直線SM與平面48。所成的最大角的正切值.

【解答】

解：根據(jù)題意：設(shè)外接球的半徑為，則4"2=64TT，.?.7=4,

設(shè)外接球的球心為O,則0在平面ABC內(nèi)的投影（7為三角形＜8。的外心,

SAL平面48。，SA=4,

所以O(shè)S2=22+O%2,從而40=2/8,

BCAB

所以,=2R=4\/3；

sinABACsinC

12-7T

解得sinC=5,BC=6,又"4(7=9,

/V

?'?C=…?B=0

M是邊8C上一動(dòng)點(diǎn)，SM■與平面力8。內(nèi)的射影最短時(shí)，直線SM與平面48。所成

的最大,

此時(shí)4MJJ3C，易求AM長(zhǎng)的最小值為時(shí),

44^

所以直線SM與平面HB0所成的最大角的正切值為

故答案選：B.

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查共線向量基本定理的應(yīng)用，考查空間想象能力與

思維能力，考查推理論證能力，是中檔題.

第14頁(yè)，共27頁(yè)

當(dāng)X=〃時(shí)，P的軌跡為線段證明BP//平面。即可判斷4；當(dāng)〃=:時(shí)，

點(diǎn)P的軌跡為線段EF,可得當(dāng)P與E重合時(shí)，0P與直線所成角最大，求出最

大角判斷6；當(dāng)A+〃=l時(shí)，P點(diǎn)軌跡為線段。分別求出。P長(zhǎng)度的最小值與CP

與平面HCG3所成的角正切值的最大值判斷。與D.

【解答】

解：當(dāng)工=〃時(shí)，如圖口），p的物跡為線段D4，

由正方體的結(jié)構(gòu)特征，可知平面CB1A〃平面4國(guó)乃,

而B(niǎo)PU平面430,

.?.8尸〃平面。耳。1，故A正確；

當(dāng)〃=:時(shí)，如圖（1）,點(diǎn)P的軌跡為線段EF,直線

(\)

CBi〃直線DAlt

當(dāng)P與E重合時(shí)，0P與直線D4所成角最大，即。P與直線。巧所成角最大，最大

為全

故B錯(cuò)誤;

當(dāng)A+〃=1時(shí)，如圖（2）,P點(diǎn)軌跡為線段。M，當(dāng)P

為。M的中點(diǎn)時(shí)，

CP長(zhǎng)度最小，

此時(shí)0尸=，/+（苧）2=孚，故c正確；

當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P在平面月巧。1。上的射

影在GB上，

P到平面8巧。1。的距離為定值為1,

當(dāng)P為。4的中點(diǎn)時(shí)，0P的射影最短，

則。P與平面8CC1B所成的角的正切值最大，

其正切值為避V.

~2~

CP與平面8CGB所成的角不可能為故D正確.

0

故選：ACD.

10.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題考查立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，屬于難題.

【解答】

解：對(duì)于4選項(xiàng)，過(guò)Bi做交A4于M,過(guò)M■做ME平行4G，交4G于

E,易得平面BiME〃平面HDG,故棱為G上總存在點(diǎn)E,使得直線BE〃平面

ADG；

對(duì)于B選項(xiàng)，不妨設(shè)8。=①，則三角形力方G周長(zhǎng)

=，22++[22+(2—±)2+2囂，其中*€(0,2),求得范圍:

[2,+2x^,2+4\歷），故有最小值，無(wú)最大值.

對(duì)于C選項(xiàng)，三棱錐A-0cle外接球的表面枳即為三棱錐D-ACCi的外接球,

,.?BBi〃平面ACG，到底面距離始終為焉.當(dāng)。為中點(diǎn)時(shí)，表面積最小，為萬(wàn)，

當(dāng)。運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)處，此時(shí)外接球表面積最大，為等.因?yàn)?。點(diǎn)無(wú)法運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)處，故

取值范圍為：等,等）.

對(duì)于D選項(xiàng)，過(guò)4做AF_LBC交8。于F,易知J_平面FOG，

所以當(dāng)點(diǎn)。是棱月小的中點(diǎn)時(shí)，二面角4一。。1一。的余弦值=沁巳=坐，所以

\&ADC14

正切值為巫.

3

第16頁(yè)，共27頁(yè)

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，向量平行的性質(zhì)，向量的投影等概念，屬于中檔偏

難題.

【解答】

解：對(duì)于4，若向量方為零向量，則結(jié)論不成立;對(duì)于。，若/.丁=/.?=（）,且

N￥O,則萬(wàn)不一定與言相等，6項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于。，H在丁上的投影向量是

Z?亍亍4堂'BAB5AS

下「同二聲0項(xiàng)正確；對(duì)于。，向量畫(huà)，畫(huà)，鬲等都是單位向量，由

就A

向量S為鄰邊構(gòu)成的四邊形是菱形,

可得04在NS力C的平分線上，

同理可得0B平分N4BC,0c平分/4。3,

.?.0是△4BC的內(nèi)心，。項(xiàng)錯(cuò)誤.

12.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題考查投影向量，利用向量數(shù)量積求向量的模長(zhǎng)，屬于綜合題.

【解答】

解：ZX在五日上的投影向量為磊福cos/BAC=2x：.弼=弼，.??A=：.

友=瓦+/=場(chǎng)+軟3=押+—確=凝+,

|友『=瓦2=3池+左）2=杷十2荏?前+9）=%I3+2X2X3T）=M

??.|阿=爭(zhēng)

13.【答案】境

【解析】

【分析】

本題考查解三角在平面幾何的應(yīng)用，屬于難題.

【解答】

解：設(shè)NC0A=6,扇形408的半徑為1,圓心角為60°，所以CP=sin。,

EF=cos6-sin8-

3

S=(cos6—崢sin。)-sin^=：siii20+坐cos%-￥，0e(0,1),

\3\266\3/

解得，S《坐

14.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，屬于難題.

【解答】

解：因?yàn)檎呅伟?。。后F是對(duì)稱的平面圖形，所以建系如圖,

則為?功的取值范圍

設(shè)4(2,0),5(1,73),G(0,V^).

第18頁(yè)，共27頁(yè)

當(dāng)P點(diǎn)在48上時(shí)，

pl=XBI=(A,-\/3A),PS=P2+A5=(AJ-X/3A)+(-4,0)=(A-4,一逐八),

A€[0,1],所以可.初=入(入-4)+32=4。-4XW[-1,0].

當(dāng)P在BG上，此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(m,/5)，m€[0,1],則有聲f=(一2—m,—遍)，

PA=(2—nz,—\/3)?PA.,P13=tn2—1G[―1,0]?

綜上取值范圍為

15.【答案】這

3

【解析】

【分析】

本題考查向量模的求解,向量數(shù)量積的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，綜合性大，屬于難題.

【解答】

.,,八八r.c/sinAsinB\.,,sinB

解：由bz(tan4+tanS)=2ctan3,得81nBi------H-------)=2sinC-------

\cosACOSJDJCOSD

整理得sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA,

即sin(A+B)=2sinCcosA,

又sin(A+B)=sinC,

所以cosA=

由NX?Ad=2,WA6-Ad=bccosA=2,所以加:=4,

又芯=：伽+硝，

所以|阿=M（荏+硝2=1\/624-C2+2X2

》海7軍

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立，

所以I怒I的最小值為

3

16.【答案】土

4

【解析】

【分析】

本題在新定義下考查三的形面積公式，利用基本不等式求最值，屬于綜合題.

【解答】

解：

?/9=(尸力+FB+PC)2=PA2+PB2+PC2+2(PA-PBPA-PC+PB-PC)》3(PA-PB+PA-1

.??PA-PB+PAPC+PBPC3..??S^ABC=PB+PAPC+PB.PC)sin120°a苧

,當(dāng)且僅當(dāng)P4=PB=PC時(shí)，等號(hào)成立.

sinAbainB,

17.【答案】解：（1）由正弦定理及--------------------=1，知

sinB4-sinCbsinA+csinB

a

b+c+ab+6c=1>

化簡(jiǎn)得，a2+d2—c2=ad.

由余弦定理知，coeC二心-二黑另,

2ab2ab2

7T

因?yàn)?。€（0/），所以C=子

o

（2）因?yàn)椤?BC的面積s=laZ）sinC=^abx—=2，5，所以ab=8，

222

由角平分線定理知，器=：，因?yàn)?，。，6三點(diǎn)共線，所以

囪=-^i+工畸

a4-oa+b

所以司=（#）'+（*研+2,營(yíng)鏟.9

,曲、,曲、曲163(曲產(chǎn)3x64

即16寸（不產(chǎn)2+（亦H2cZ.,.%,1

化簡(jiǎn)得,不=(a+b)2=(a+b)2

解得a+b=6,

所以(？+廬=(a+-2而=36—2x8=20,

由（1）知，牙=。2+廿一而=20-8=12，所以c=2，5.

第20頁(yè)，共27頁(yè)

【解析】本題考查正、余弦定理、平面向量在平面幾何中的應(yīng)用，屬于綜合題.

18.【答案】(1)證明：如圖，取P8中點(diǎn)G，連接AG,NG,

.\NG//BC,且NG="。，

2

又AM=^A2)=2,BC=4,且AD“BC,

J

...,日力M=』BC,

則NG〃4M,且NG=AM，

二.四邊形AMNG為平行四邊形，則NM〃4G,

?/AGU平面PAB，NMj平面PAB,

MN〃平面PAD；

(2)解:取6。中點(diǎn)Q,連接AQ,已知48=4。，則有且QC=W=2,

QC//AM,

則四邊形42cM為矩形，

即AM

?/PA±底面ABCD,P4U平面PAD,

平面ABCD_L平面PAD,

?.?平面4BCOn平面PAD=AD,CMu平面ABCD,

.?.CM平面PA。，又CMu平面PNM,

則平面PNM_L平面PAD,

在平面P4。內(nèi)，過(guò)4作4F_LPM,交PM于尸，連接NF,

則NANF為直線AN與平面PMN所成角，

在成△尸4。中，由N是PC的中點(diǎn)，

得4N=\PC=ix/P^+PC2=1,

在加△P4M中，由=PM?AF，

PAAM4x24^/5

1JAr=--------=--=----

PM“+225

4方_

AF_ZE一/

sinZ.ANF==

AN5-25

2

.，直線工N與平面PMN所成角的正弦值為票

【解析】木題考查直線與平面平行的判定，考查直餞與平面所成角的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)

化思想方法，考查了空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)取P8中點(diǎn)G,連接AG,NG,由三角形的中位線定理可得NG〃BC,且

NG=,再由已知得4M〃BC,且人M=\BC,得到NG//AM，且NG=AM，

說(shuō)明四邊形AMNG為平行四邊形，可得NM//AG,由線面平行的判定得到MN1平

面R48；

⑵由勾股定理得CMLAD,進(jìn)一步得到平面PNM，平面PAD,在平面PAD九

過(guò)A作4F_LPM,交PM于F,連接NF,則乙4NF為直線4N與平面PMN所成

角.然后求解直角三角形可得直線4N與平面PMN所成角的正弦值.

19.【答案】解：⑴因?yàn)閆=(V3sinx,kcoexjy~^=(2kcost,2cost),

所以g@)=—kA-1=2ksin(2H+看)+1,

因?yàn)?,—,所以—548in(2c+WL

①當(dāng)k>0時(shí)，g(c)€[-k+l,2k+l],由題意得<玄：1：2入+1‘解得

>

0<fc<|；

4

②當(dāng)k<0時(shí)，g(c)€[2k+l,-k+l],由題意得_左+1，解得

<fc<0：

5

③當(dāng)k=o時(shí)，gQ)=l,滿足題目要求，

綜上可得_9入4

13V2.(y7T

(2)h(x)=sin2a:—8m「黑)+黑,

kU+w4lUv3luv

第22頁(yè)，共27頁(yè)

令sin工+cosx=t,則sinxcosa=#—1,[1,闋.

故V="弋，+需=(tf)+1"1喘1

因?yàn)槿我獾?w0』，總存在電w耳，使得g(物)》八(11)成立,

Inggai

所以2K+1》端，即心》息，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為息WAV：.

【解析】本題主要考查三角恒等變換，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,

不等式的存在性問(wèn)題，屬于較難題.

20.【答案】解：(1)10。111目翼丫

=7—cos2A,則5(1+cos力)=8—2cos2A

17T

可得804=不，由4W(0").,所以4=示

2o

①法一：在Z1AM■。與中，

由正弦定理得°”=4°BM_4B

sinACAM~sinAAMC'sin/.BAM~sinAAMBy

即需=祭=2,故前=2凝，

所以血=加+牌，加2=抑2+期+抑.而=*

所以4Al=苧

7T

法二：在△ABC中，由，M是ZB4c的角平分線所以/B4M=NM4C=A

O

由S^ABM+S/sAMC=SAABC知：

?sin/ZMM十卜AM-AC-sinZMAC=AB-AC-sinAC

即1?l,AW.siiiI+1?2?AM-8inI=Il?2?sinI，解得從〃=生3

262o233

②由出=入①，得773=XA^+(i-A)7S,(AF[o,i])

又在=血-而=(1-A)A^-葩

所以25^=[通+(1_入)祠?[(1_4)腦一祠=2入_3€[—3,_4

勃.在的取值范圍為

②解法二：以48所在直線為，軸，過(guò)點(diǎn)4垂直于4B的直線為27軸，建立平面直隹坐

標(biāo)系，由6=2,c=l,4=市則A(0,0),C(l,^3)?A.^=(1,0)?

o1

前二(1,㈣

因?yàn)橐?＞山，=

所以前=前+囪=(1,逐一孤小)，在=就一配=(一人一呵?

所以9?品=一八一\/3(\/3-V3X)=2入-3

由入得起?會(huì)的取值范圍為卜3,—1]

【解析】本題考查解三角形和平面向量的綜合應(yīng)用，屬于難題.

21.【答案】解：(l)gQ)=8inQ+駕)一sin(萼-x)

O2

.57r.5%\/3.3

=sinxcos-+cosxstn—+coax=——81nz-t--cosx，

故函數(shù)g⑸的伴隨特征向量麗=(一

(2)因?yàn)橄蛄?=(1,通)的相伴函數(shù)為f(x)

所以/(c)=sinx+\/3cosx=2sin(x+1)=?，

35

所以sinQ+J)=2,

oo

因?yàn)楣(-H),所以6+五￡(。,5)，

OO62

所以COB(X+9)=t/1_sin2(c+1,

oVJ3

故sinx=sin[(x+?)-5]=sin(x+^)cos^—sin^cos(x+芻

o<5JJ3J

147334一3力

-x_x_=?

252510

(3)函數(shù)h(x)=msin(x-^)=7n(sinxcos*—sin芯cosx)=^^msinx-^mcosx?

若厲=(_，9,1)為雙出)的伴隨向量，則機(jī)=-2,

所以wQ)=