2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽染色方法試卷一、選擇題（每題5分，共20分）用紅藍(lán)兩色染色一個(gè)3×3的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小方格染一種顏色），則至少存在多少個(gè)同色的2×2子網(wǎng)格？A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)將正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)染成紅、黃、藍(lán)三種顏色，要求相鄰頂點(diǎn)顏色不同，則不同的染色方案數(shù)為？A.120B.192C.240D.720平面上所有點(diǎn)被染成黑白兩色，任意兩個(gè)距離為1的點(diǎn)中必有一個(gè)黑色點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是？A.所有點(diǎn)都是黑色B.存在邊長(zhǎng)為√2的黑色正三角形C.存在距離為2的兩個(gè)白色點(diǎn)D.存在距離為3的兩個(gè)黑色點(diǎn)用四種顏色對(duì)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)染色，要求每個(gè)面的四個(gè)頂點(diǎn)顏色各不相同，則不同的染色方法數(shù)為？A.24B.48C.72D.120二、填空題（每題6分，共24分）將5×5方格表的每個(gè)方格染成紅、黃、綠三色之一，要求每行每列三種顏色都出現(xiàn)，則不同的染色方案數(shù)為_(kāi)_______。在一條直線上有2025個(gè)點(diǎn)，用紅、藍(lán)兩色染色，至少存在________對(duì)同色點(diǎn)，它們之間的距離為3的倍數(shù)。將正四面體的4個(gè)面染成4種不同顏色，每個(gè)面染一種顏色，則不同的染色方案數(shù)為_(kāi)_______（旋轉(zhuǎn)后重合的方案視為相同）。用黑白兩色染色一個(gè)無(wú)限大的方格紙，每個(gè)方格染一種顏色，則至少需要________種顏色才能保證不存在邊長(zhǎng)為1的同色正方形。三、解答題（共56分）9.（12分）區(qū)域染色問(wèn)題題目：用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色對(duì)一個(gè)5×5的棋盤(pán)染色，每個(gè)方格染一種顏色，要求相鄰方格（有公共邊）顏色不同。（1）求染色方案總數(shù)；（2）證明：無(wú)論如何染色，棋盤(pán)上必存在一個(gè)2×2的子方格，其四個(gè)角的顏色中至少包含3種不同顏色。解答：（1）分步計(jì)算：第一行第一個(gè)方格有4種選擇，后續(xù)每個(gè)方格有3種選擇（與前一格不同色），故第一行有(4\times3^4=324)種方案。從第二行起，每個(gè)方格需與上方和左方方格不同色。對(duì)于第i行第j列（i≥2，j≥2），若上方和左方方格同色，則有3種選擇；若不同色，則有2種選擇。利用遞推公式(a_n=3\times2^{n-1}+3\times(-1)^n)（n為行數(shù)），代入n=5得總方案數(shù)為(4\times3^4\times(3\times2^4+3\times(-1)^5)^4=4\times81\times(48-3)^4=324\times45^4=324\times331776=107556544)。（2）反證法：假設(shè)存在一個(gè)2×2子方格，其四個(gè)角顏色僅含2種。不妨設(shè)左上角為紅色，右上角為藍(lán)色，則左下角和右下角只能為紅藍(lán)兩色。根據(jù)相鄰不同色規(guī)則，左下角若為紅色，右下角只能為藍(lán)色；若左下角為藍(lán)色，右下角只能為紅色。此時(shí)該2×2子方格僅含2色，與“相鄰不同色”矛盾。因此，必存在含3種顏色的2×2子方格。10.（14分）點(diǎn)染色與組合幾何題目：將平面上所有點(diǎn)染成紅、藍(lán)兩色之一，證明：（1）存在無(wú)窮多條長(zhǎng)度為1的線段，其端點(diǎn)同色；（2）存在一個(gè)邊長(zhǎng)為√3的等邊三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)同色。解答：（1）抽屜原理：在平面上任取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心作半徑為1的圓。圓上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，染成紅藍(lán)兩色，根據(jù)抽屜原理，至少有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)同色。這些點(diǎn)中任意兩點(diǎn)與O構(gòu)成等腰三角形，若兩點(diǎn)間距離為1，則線段為同色端點(diǎn)線段。（2）構(gòu)造法：任取一個(gè)紅色點(diǎn)A，以A為圓心作半徑為√3的圓。若圓上存在紅色點(diǎn)B，則以A、B為頂點(diǎn)作等邊三角形ABC，若C為紅色，則結(jié)論成立；若C為藍(lán)色，再以B為圓心作半徑為√3的圓，交前圓于C、D兩點(diǎn)。若D為紅色，則△ABD為紅色等邊三角形；若D為藍(lán)色，則△BCD為藍(lán)色等邊三角形（BC=CD=BD=√3）。11.（15分）染色與圖論綜合題目：有10個(gè)頂點(diǎn)的完全圖K??，用紅、藍(lán)、黃三種顏色染邊，每條邊染一種顏色。證明：（1）必存在一個(gè)單色三角形（三邊同色）；（2）若每種顏色至少染1條邊，則至少存在兩個(gè)不同色的單色三角形。解答：（1）拉姆塞數(shù)應(yīng)用：拉姆塞數(shù)R(3,3,3)=17，即17個(gè)頂點(diǎn)的三色完全圖必含單色三角形。但10個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，利用抽屜原理：每個(gè)頂點(diǎn)連出9條邊，染三種顏色，至少有3條邊同色（(\lceil9/3\rceil=3)）。設(shè)頂點(diǎn)A連出3條紅色邊AB、AC、AD，若B、C、D之間存在紅色邊，則構(gòu)成紅色三角形；否則B、C、D之間的邊為藍(lán)或黃色，構(gòu)成二色完全圖K?，根據(jù)R(3,3)=6，必含藍(lán)或黃色三角形。（2）反證法：假設(shè)僅存在一個(gè)單色三角形，不妨為紅色△ABC。剩余7個(gè)頂點(diǎn)與A、B、C的連線中，若某頂點(diǎn)連出2條紅色邊，則與A、B、C構(gòu)成新紅色三角形，矛盾。因此每個(gè)剩余頂點(diǎn)最多連1條紅色邊，紅色邊總數(shù)≤(3+7\times1=10)。同理，藍(lán)、黃色邊總數(shù)各≤10，總邊數(shù)≤30，但K??共有45條邊，矛盾。故至少存在兩個(gè)不同色單色三角形。12.（15分）染色與數(shù)論綜合題目：將正整數(shù)1,2,...,2025染成紅、藍(lán)兩色，證明：（1）存在無(wú)窮多個(gè)紅色數(shù)a、b，使得a+b為紅色；（2）存在一個(gè)由同色數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，其長(zhǎng)度至少為5。解答：（1）無(wú)窮遞降法：假設(shè)只有有限個(gè)紅色數(shù)，設(shè)最大紅色數(shù)為M，則M+1,M+2,...均為藍(lán)色。取藍(lán)色數(shù)k=M+1，2k=2M+2為藍(lán)色，此時(shí)k+(k)=2k為藍(lán)色，即存在藍(lán)色數(shù)對(duì)。若紅色數(shù)無(wú)窮多，取兩個(gè)紅色數(shù)a<b，則b-a為正整數(shù)，若b-a為紅色，則a+(b-a)=b為紅色；若b-a為藍(lán)色，繼續(xù)取更大紅色數(shù)c，重復(fù)上述過(guò)程，必存在同色a+b。（2）范德瓦爾登定理：根據(jù)范德瓦爾登定理，對(duì)于任意正整數(shù)k，存在N(k)，使得將1,2,...,N(k)染成兩色時(shí)，必存在長(zhǎng)度為k的單色等差數(shù)列。取k=5，N(5)=95，而2025>95，故必存在長(zhǎng)度為5的單色等差數(shù)列。四、附加題（20分）題目：用n種顏色染色一個(gè)m×m的棋盤(pán)，每個(gè)方格染一種顏色，要求每行每列顏色各不相同（即每行每列均為n種顏色的排列）。（1）當(dāng)m=3，n=3時(shí)，求染色方案數(shù)；（2）證明：當(dāng)m≥n+1時(shí)，不存在這樣的染色方案。解答：（1）3×3拉丁方陣：方案數(shù)為3!×2×1=12（第一行3!種，第二行2種錯(cuò)排，第三行1種）。（2）抽屜原理：每行有m個(gè)方格，n種顏色，