2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)歸納與演繹試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+3+…+n2=n?+n2/2”時(shí)，驗(yàn)證n=1時(shí)左邊的表達(dá)式為（）A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=1+a?/1-a?（n∈N*），則通過歸納推理可得其通項(xiàng)公式為（）A.a?=nB.a?=(-1)??1C.a?=tan(nπ/4)D.a?=n2用數(shù)學(xué)歸納法證明“3???1+52??1能被8整除”時(shí)，當(dāng)n=k+1時(shí)，3?(k+1)+1+52(k+1)+1可變形為（）A.81·3???1+25·52??1B.3???1+52??1C.25(3???1+52??1)+56·3???1D.3???1+25·52??1平面內(nèi)有n條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不過同一點(diǎn)，則這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.n(n-1)/2B.n2C.2?-1D.n(n+1)/2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1+1/2+1/3+…+1/2?-1<n”（n≥2，n∈N*）時(shí)，從n=k到n=k+1時(shí)，左邊需添加的項(xiàng)數(shù)是（）A.1B.kC.2?D.2??1已知f(n)=1+1/2+1/3+…+1/n（n∈N*），則f(2?)與k+1的大小關(guān)系為（）A.f(2?)>k+1B.f(2?)=k+1C.f(2?)<k+1D.不確定用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，x?+y?能被x+y整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫成（）A.假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)命題成立B.假設(shè)n=2k（k∈N*）時(shí)命題成立C.假設(shè)n=2k+1（k∈N*）時(shí)命題成立D.假設(shè)n=2k-1（k∈N*）時(shí)命題成立數(shù)列{a?}中，a?=1，S?=n2a?（n∈N*），則a?=（）A.2/n(n+1)B.1/n2C.1/(n+1)2D.2/(n+1)2用數(shù)學(xué)歸納法證明“1·2+2·3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3”時(shí)，當(dāng)n=k+1時(shí)，左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上（）A.(k+1)(k+2)B.k(k+1)C.(k+1)2D.(k+1)(k+2)(k+3)/3平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，則這n個(gè)圓把平面分成的區(qū)域數(shù)為（）A.n2-n+2B.n2C.2?D.n2+n+2二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+3+5+…+(2n-1)=n2”時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證n=______時(shí)，等式成立。已知數(shù)列{a?}滿足a?=2，a???=a?/(1+a?)，則通過歸納推理可得a?=______。用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3+5n能被6整除”時(shí)，當(dāng)n=k+1時(shí)，(k+1)3+5(k+1)可變形為______。觀察下列等式：1=1，1-4=-(1+2)，1-4+9=1+2+3，1-4+9-16=-(1+2+3+4)，…，根據(jù)以上規(guī)律，第n個(gè)等式為______。已知f(n)=1+1/22+1/32+…+1/n2，經(jīng)計(jì)算得f(2)=5/4，f(4)>2，f(8)>5/2，f(16)>3，f(32)>7/2，…，推測(cè)當(dāng)n≥2時(shí)，有f(2?)≥______。三、解答題（本大題共6小題，共75分）（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6（n∈N*）。（12分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?/(a?+2)（n∈N*）。（1）計(jì)算a?，a?，a?的值；（2）猜想數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：3???2+52??1能被14整除（n∈N*）。（13分）已知f(n)=1+1/2+1/3+…+1/n（n∈N*），求證：f(2?)>n+2/2（n≥2，n∈N*）。（13分）平面內(nèi)有n條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不過同一點(diǎn)，記這n條直線把平面分成的區(qū)域數(shù)為f(n)。（1）求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值；（2）猜想f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。（13分）已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且滿足a?=1，S???=4a?+2（n∈N*）。（1）設(shè)b?=a???-2a?，求證：數(shù)列{b?}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題C2.C3.C4.A5.C6.C7.D8.A9.A10.A二、填空題12/5k3+5k+3k(k+1)+612-22+32-…+(-1)??1n2=(-1)??1·n(n+1)/2(n+2)/2三、解答題（部分詳解）證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=12=1，右邊=1×2×3/6=1，等式成立。（2）假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)等式成立，即12+22+…+k2=k(k+1)(2k+1)/6。當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=12+22+…+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)2=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]/6=(k+1)(2k2+7k+6)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6即n=k+1時(shí)等式成立。由（1）（2）知，原等式對(duì)所有n∈N*成立。解：（1）a?=2/3，a?=2/4=1/2，a?=2/5；（2）猜想a?=2/(n+1)，證明如下：①當(dāng)n=1時(shí)，a?=2/2=1，成立；②假設(shè)n=k時(shí)成立，即a?=2/(k+1)，則a???=2a?/(a?+2)=2×[2/(k+1)]/[2/(k+1)+2]=4/[2+2(k+1)]=2/(k+2)=2/[(k+1)+1]即n=k+1時(shí)成立。綜上，a?=2/(n+1)。證明：（1）n=0時(shí)，32+51=9+5=14，能被14整除；（2）假設(shè)n=k時(shí)成立，即3???2+52??1=14m（m∈Z），則n=k+1時(shí)，3?(k+1)+2+52(k+1)+1=81·3???2+25·52??1=25(3???2+52??1)+56·3???2=25·14m+14·4·3???2=14(25m+4·3???2)，能被14整除。19-21題按數(shù)學(xué)歸納法基本步驟及推理要求證明，具體過程略。命題說明：試卷嚴(yán)格依據(jù)2025年高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱要求，重點(diǎn)考查歸納推理、數(shù)學(xué)歸納法原理及應(yīng)用，覆蓋等式證明、不等式證明、