2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽鋪砌問(wèn)題試卷一、選擇題（本大題共4小題，每小題8分，共32分）用1×2的多米諾骨牌完全覆蓋2×n的矩形區(qū)域，不同的覆蓋方式數(shù)記為a?。已知a?=1，a?=2，則a?的值為（）A.13B.21C.34D.55在3×3的方格表中放置1×1×2的立體骨牌（允許骨牌跨越層疊），若每個(gè)小方格恰好被覆蓋一次，則不同的放置方式數(shù)為（）A.6B.12C.18D.24用邊長(zhǎng)為1的正三角形瓷磚鋪砌邊長(zhǎng)為3的正三角形區(qū)域（每個(gè)小三角形邊長(zhǎng)為1），若要求瓷磚顏色滿足相鄰區(qū)域不同色，則至少需要的顏色種數(shù)為（）A.2B.3C.4D.5對(duì)于m×n的矩形網(wǎng)格，定義"完美鋪砌"為使用1×k（k≥2）的長(zhǎng)條瓷磚無(wú)重疊覆蓋。下列網(wǎng)格中一定不存在完美鋪砌的是（）A.3×4矩形（k=2）B.5×6矩形（k=3）C.4×5矩形（k=4）D.2×7矩形（k=5）二、填空題（本大題共4小題，每小題8分，共32分）在4×4的方格表中，用1×2的骨牌鋪砌時(shí)，包含至少一個(gè)2×2正方形區(qū)域的鋪砌方式有______種。用兩種不同顏色的1×1瓷磚鋪砌2×n矩形，要求相鄰瓷磚不同色且首尾瓷磚也不同色，則當(dāng)n=5時(shí)的鋪砌方案數(shù)為______。某藝術(shù)展館地面由正六邊形拼接而成，每個(gè)正六邊形邊長(zhǎng)為1米。若用半徑為1米的圓形地毯覆蓋地面（地毯可重疊），則覆蓋一個(gè)面積為6√3平方米的展區(qū)至少需要______塊地毯。在三維空間中，用1×1×2的立方體骨牌完全填充2×2×n的長(zhǎng)方體，則n為大于1的奇數(shù)時(shí)的填充方式數(shù)為______。三、解答題（本大題共3小題，共86分）9.（25分）在直角坐標(biāo)系中，考慮由直線x=0，x=m，y=0，y=n圍成的矩形區(qū)域（m,n為正整數(shù)）。（1）證明：當(dāng)m,n均為偶數(shù)時(shí)，該區(qū)域可用L型三聯(lián)骨牌（由3個(gè)1×1正方形組成的拐角形）完全覆蓋；（2）若m=4,n=5，求使用1×2骨牌鋪砌時(shí)，包含至少兩個(gè)相鄰2×2正方形的鋪砌方案數(shù)。10.（30分）定義"周期性鋪砌"為平面上由基本圖案通過(guò)平移變換形成的無(wú)重疊覆蓋。（1）證明：正三角形網(wǎng)格中存在周期為2的菱形鋪砌；（2）若基本圖案為邊長(zhǎng)為1的正六邊形，求該鋪砌中與任意一個(gè)正六邊形相鄰的正六邊形個(gè)數(shù)；（3）在正方形網(wǎng)格中，是否存在非周期性的完美鋪砌？證明你的結(jié)論。11.（31分）在組合幾何中，鋪砌密度定義為被覆蓋區(qū)域面積與總面積的比值。（1）在單位正方形內(nèi)放置半徑為r的圓，求使得這些圓能夠覆蓋整個(gè)正方形的最小r值；（2）用邊長(zhǎng)為1的正三角形瓷磚鋪砌半徑為R的圓形區(qū)域，證明：當(dāng)R→+∞時(shí)，鋪砌密度趨近于π/(2√3)；（3）設(shè)計(jì)一種用1×k矩形瓷磚鋪砌平面的方案，使得對(duì)于任意ε>0，存在k?，當(dāng)k>k?時(shí)鋪砌密度大于1-ε。四、附加題（本大題共1小題，共50分）考慮三維空間中的正四面體網(wǎng)格，每個(gè)小正四面體棱長(zhǎng)為1。（1）證明：用兩種顏色對(duì)該網(wǎng)格的頂點(diǎn)染色，必存在同色的正四面體；（2）若用棱長(zhǎng)為2的正四面體"超瓷磚"鋪砌該網(wǎng)格，求每個(gè)"超瓷磚"包含的小正四面體個(gè)數(shù)；（3）定義鋪砌的"復(fù)雜度"為基本單元的對(duì)稱操作群階數(shù)，比較正方體鋪砌與正八面體鋪砌的復(fù)雜度大小，并說(shuō)明理由。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題B2.C3.B4.D二、填空題366.147.48.2^(n-1)三、解答題（評(píng)分要點(diǎn)）9.（1）（10分）關(guān)鍵步驟：將矩形分割為2×3的基本單元，每個(gè)單元用4個(gè)L型骨牌覆蓋（需圖示說(shuō)明）；（2）（15分）容斥原理應(yīng)用：總方案數(shù)-僅含一個(gè)2×2正方形的方案數(shù)+重疊部分修正項(xiàng)。10.（1）（8分）構(gòu)造證明：給出基本菱形的邊長(zhǎng)與角度參數(shù)；（2）（10分）分類討論：區(qū)分共邊相鄰與共頂點(diǎn)相鄰兩種情況；（3）（12分）存在性證明：引用彭羅斯鋪砌的非周期性構(gòu)造。11.（1）（10分）幾何極值：正方形中心與頂點(diǎn)距離的一半；（2）（11分）極限計(jì)算：用圓內(nèi)接正三角形個(gè)數(shù)近似面積；（3）（10分）構(gòu)造設(shè)計(jì)：采用斐波那契數(shù)列比例的矩形組合。本試卷注重考查鋪砌問(wèn)題的三個(gè)維度：組合計(jì)數(shù)（如選擇填空）、幾何構(gòu)造（如解答題10）、極限分析（如解答題11）。其中附加題第12題涉及三維鋪砌與群論初步，要求考生具備空間想象能力和抽象代數(shù)思維。全卷共250分，考試時(shí)間180分鐘，建議分配時(shí)間比例為：選擇填空40分鐘，解答題90分鐘，附加題50分鐘。鋪砌問(wèn)題作為組合幾何的重要分支，近年來(lái)在國(guó)內(nèi)外競(jìng)賽中頻繁出現(xiàn)。本試卷特別強(qiáng)化了三個(gè)能力考查：一是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的抽象能力（如第7題展館覆蓋問(wèn)題）；二是運(yùn)用組合數(shù)學(xué)工具（容斥原理、遞推關(guān)系）的計(jì)算能力；三是通過(guò)構(gòu)造性證明體現(xiàn)的創(chuàng)新思維（如第11題密度設(shè)計(jì)）。建議備考時(shí)重點(diǎn)關(guān)注周期性與非周期性鋪砌的判定定理，以及鋪砌問(wèn)題中的不變量思想。在解題策略上，對(duì)于計(jì)數(shù)類問(wèn)題（如第5題），可采用遞歸法或生成函數(shù)法；對(duì)于存在性證明（如第10題），通常需要先給出具體構(gòu)造；對(duì)于極限問(wèn)題（如第11題），則需掌握夾逼準(zhǔn)則等分析工具。值得注意的是，近年競(jìng)賽中常出現(xiàn)跨學(xué)科融合的鋪砌問(wèn)題，如與晶體結(jié)構(gòu)、密碼學(xué)的結(jié)合，備考時(shí)可適當(dāng)拓展相關(guān)知識(shí)。本試卷命題參考了2025年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）預(yù)選題趨勢(shì)，其中