2025年下學期高中數學常微分方程技術觀試卷一、選擇題（每題5分，共30分）下列方程中屬于一階線性微分方程的是（）A.(y'=x^2+y^2)B.(y'+xy=e^x)C.(y''+2y'+y=0)D.((y')^2+y=\sinx)解答：根據一階線性微分方程的標準形式(y'+P(x)y=Q(x))，選項B符合該形式，其中(P(x)=x)，(Q(x)=e^x)。A為非線性方程（含(y^2)項），C為二階方程，D含((y')^2)項，均不符合。答案：B微分方程(\frac{dy}{dx}=2xy)的通解為（）A.(y=Ce^{x^2})B.(y=e^{x^2}+C)C.(y=Cx^2)D.(y=\sin(x^2)+C)解答：方程為變量可分離型，分離變量得(\frac{dy}{y}=2xdx)，兩邊積分(\int\frac{1}{y}dy=\int2xdx)，即(\ln|y|=x^2+C_1)，整理得(y=Ce^{x^2})（(C=\pme^{C_1})）。答案：A方程(y'+\frac{1}{x}y=x)滿足初始條件(y(1)=1)的特解為（）A.(y=\frac{x^2}{3}+\frac{2}{3x})B.(y=\frac{x^2}{3}+Cx)C.(y=x^2+\frac{2}{x})D.(y=\frac{x^3}{3}+\frac{2}{3})解答：一階線性方程，先求積分因子(\mu(x)=e^{\int\frac{1}{x}dx}=e^{\lnx}=x)。方程兩邊乘(\mu(x))得(xy'+y=x^2)，即((xy)'=x^2)，積分得(xy=\frac{x^3}{3}+C)，通解(y=\frac{x^2}{3}+\frac{C}{x})。代入(y(1)=1)，得(1=\frac{1}{3}+C)，(C=\frac{2}{3})。特解為(y=\frac{x^2}{3}+\frac{2}{3x})。答案：A下列方程中屬于全微分方程的是（）A.((x+y)dx+(x-y)dy=0)B.((2x+y)dx+(x+2y)dy=0)C.(ydx-xdy=0)D.(xydx+x^2dy=0)解答：全微分方程需滿足(\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx})。選項B中(P=2x+y)，(Q=x+2y)，(\frac{\partialP}{\partialy}=1)，(\frac{\partialQ}{\partialx}=1)，滿足條件。A中(\frac{\partialP}{\partialy}=1)，(\frac{\partialQ}{\partialx}=1)，但需進一步驗證是否存在原函數，此處B更直接。答案：B二階常系數齊次線性微分方程(y''-4y'+4y=0)的通解為（）A.(y=(C_1+C_2x)e^{2x})B.(y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x})C.(y=C_1\cos2x+C_2\sin2x)D.(y=C_1e^{4x}+C_2e^{x})解答：特征方程為(r^2-4r+4=0)，即((r-2)^2=0)，二重根(r=2)。通解為(y=(C_1+C_2x)e^{2x})。答案：A微分方程(y''+3y'+2y=e^{-x})的一個特解形式為（）A.(y^*=Ae^{-x})B.(y^*=Axe^{-x})C.(y^*=Ax^2e^{-x})D.(y^*=Ae^{-2x})解答：對應齊次方程特征方程(r^2+3r+2=0)，根(r_1=-1)，(r_2=-2)。非齊次項(e^{-x})中(\lambda=-1)是單特征根，故特解形式為(y^*=Axe^{-x})。答案：B二、填空題（每題5分，共30分）微分方程(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\tan\frac{y}{x})的類型是_________，可通過變量替換_________化為變量分離方程。解答：方程為齊次方程，令(u=\frac{y}{x})，則(y=ux)，(\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx})，代入得(u+x\frac{du}{dx}=u+\tanu)，化簡為(x\frac{du}{dx}=\tanu)，可分離變量。答案：齊次方程；(u=\frac{y}{x})初值問題(\begin{cases}y'=2x\y(0)=1\end{cases})的解為_________，其積分曲線在點((1,2))處的切線斜率為_________。解答：積分得(y=x^2+C)，代入(y(0)=1)得(C=1)，解為(y=x^2+1)。切線斜率即(y'(1)=2\times1=2)。答案：(y=x^2+1)；2微分方程(y'=\frac{1}{x+y})可通過變量替換_________化為一階線性方程，其通解為_________。解答：令(u=x+y)，則(\frac{du}{dx}=1+\frac{dy}{dx})，原方程化為(\frac{du}{dx}-1=\frac{1}{u})，即(\frac{du}{dx}=\frac{u+1}{u})，分離變量得(\frac{u}{u+1}du=dx)，積分(u-\ln|u+1|=x+C)，回代(u=x+y)得(y-\ln|x+y+1|=C)，整理為(x+y+1=Ce^y)。答案：(u=x+y)；(x+y+1=Ce^y)已知(y_1=e^x)和(y_2=xe^x)是某二階線性齊次微分方程的兩個解，則該方程的通解為_________，方程可寫為_________。解答：兩解線性無關，通解為(y=(C_1+C_2x)e^x)。由解推方程：特征根為二重根(r=1)，特征方程((r-1)^2=0)，即(r^2-2r+1=0)，方程為(y''-2y'+y=0)。答案：(y=(C_1+C_2x)e^x)；(y''-2y'+y=0)一物體在空氣中自由下落，所受空氣阻力與速度成正比（比例系數(k>0)），則速度(v(t))滿足的微分方程為_________，初始條件為_________。解答：根據牛頓第二定律(F=ma)，重力(mg)向下，阻力(kv)向上，故(m\frac{dv}{dt}=mg-kv)。初始時刻速度為0，即(v(0)=0)。答案：(m\frac{dv}{dt}+kv=mg)；(v(0)=0)微分方程(y''+y=0)的通解為_________，其積分曲線的幾何意義是_________。解答：特征方程(r^2+1=0)，根(r=\pmi)，通解(y=C_1\cosx+C_2\sinx)。積分曲線為平面上的正弦或余弦曲線，疊加后為簡諧振動軌跡。答案：(y=C_1\cosx+C_2\sinx)；平面上的簡諧振動曲線三、計算題（每題10分，共60分）求微分方程((x^2-1)y'+2xy=\cosx)的通解。解答：原方程化為(y'+\frac{2x}{x^2-1}y=\frac{\cosx}{x^2-1})，一階線性方程。積分因子(\mu(x)=e^{\int\frac{2x}{x^2-1}dx}=e^{\ln|x^2-1|}=x^2-1)。兩邊乘(\mu(x))得((x^2-1)y'+2xy=\cosx)，即([(x^2-1)y]'=\cosx)。積分得((x^2-1)y=\sinx+C)，通解(y=\frac{\sinx+C}{x^2-1})。求微分方程(y''-2y'-3y=3x+1)的通解。解答：分兩步：（1）求齊次方程(y''-2y'-3y=0)通解：特征方程(r^2-2r-3=0)，根(r_1=3)，(r_2=-1)，通解(Y=C_1e^{3x}+C_2e^{-x})。（2）求非齊次特解(y^*)：非齊次項為一次多項式，設(y^*=Ax+B)，代入方程得：(0-2A-3(Ax+B)=3x+1)，即(-3Ax-(2A+3B)=3x+1)。對比系數：(-3A=3\RightarrowA=-1)；(-2A-3B=1\Rightarrow2-3B=1\RightarrowB=\frac{1}{3})。特解(y^*=-x+\frac{1}{3})。原方程通解(y=Y+y^*=C_1e^{3x}+C_2e^{-x}-x+\frac{1}{3})。用參數法求解微分方程(y=xy'+(y')^2)。解答：方程為克萊羅方程，形式(y=xp+p^2)（(p=y')）。兩邊對(x)求導：(p=p+x\frac{dp}{dx}+2p\frac{dp}{dx})，化簡得((x+2p)\frac{dp}{dx}=0)。分兩種情況：（1）(\frac{dp}{dx}=0\Rightarrowp=C)，代入原方程得通解(y=Cx+C^2)。（2）(x+2p=0\Rightarrowp=-\frac{x}{2})，代入原方程得奇解(y=x(-\frac{x}{2})+(-\frac{x}{2})^2=-\frac{x^2}{4})。綜上，通解為(y=Cx+C^2)，奇解為(y=-\frac{x^2}{4})。求微分方程((y^2-6x)dy+2ydx=0)的通解。解答：方程改寫為(\frac{dx}{dy}=\frac{6x-y^2}{2y}=\frac{3}{y}x-\frac{y}{2})，視為以(x)為未知函數的一階線性方程。積分因子(\mu(y)=e^{\int-\frac{3}{y}dy}=e^{-3\lny}=y^{-3})。兩邊乘(\mu(y))得(y^{-3}\frac{dx}{dy}-3y^{-4}x=-\frac{1}{2}y^{-2})，即((xy^{-3})'=-\frac{1}{2}y^{-2})。積分得(xy^{-3}=\frac{1}{2y}+C)，通解(x=\frac{y^2}{2}+Cy^3)。設曲線(y=f(x))過原點，且在點((x,f(x)))處的切線斜率為(2x+f(x))，求該曲線方程。解答：由題意得初值問題：(\begin{cases}y'-y=2x\y(0)=0\end{cases})。一階線性方程，積分因子(\mu(x)=e^{\int-1dx}=e^{-x})。方程兩邊乘(\mu(x))得(e^{-x}y'-e^{-x}y=2xe^{-x})，即((e^{-x}y)'=2xe^{-x})。積分得(e^{-x}y=-2(x+1)e^{-x}+C)，通解(y=-2(x+1)+Ce^x)。代入(y(0)=0)：(0=-2(0+1)+Ce^0\RightarrowC=2)。曲線方程為(y=2e^x-2x-2)。求微分方程組(\begin{cases}\frac{dx}{dt}=x+2y\\frac{dy}{dt}=4x+3y\end{cases})的通解。解答：寫成矩陣形式(\begin{pmatrix}x'\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix})，記(A=\begin{pmatrix}1&2\4&3\end{pmatrix})。特征方程(|A-\lambdaE|=\begin{vmatrix}1-\lambda&2\4&3-\lambda\end{vmatrix}=(\lambda-5)(\lambda+1)=0)，特征值(\lambda_1=5)，(\lambda_2=-1)。（1）對(\lambda_1=5)，解((A-5E)\xi=0)：(\begin{pmatrix}-4&2\4&-2\end{pmatrix}\xi=0)，特征向量(\xi_1=\begin{pmatrix}1\2\end{pmatrix})。（2）對(\lambda_2=-1)，解((A+E)\xi=0)：(\begin{pmatrix}2&2\4&4\end{pmatrix}\xi=0)，特征向量(\xi_2=\begin{pmatrix}1\-1\end{pmatrix})。通解為(\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=C_1e^{5t}\begin{pmatrix}1\2\end{pmatrix}+C_2e^{-t}\begin{pmatrix}1\-1\end{pmatrix})，即(\begin{cases}x=C_1e^{5t}+C_2e^{-t}\y=2C_1e^{5t}-C_2e^{-t}\end{cases})。四、應用題（每題15分，共30分）一容器內裝有100L鹽水，含鹽10kg?，F以每分鐘3L的速度注入清水，同時以每分鐘2L的速度抽出混合均勻的鹽水。求t分鐘后容器內鹽水的含鹽量，并求當t→+∞時含鹽量的極限。解答：設t分鐘后含鹽量為(Q(t))kg，此時鹽水體積(V(t)=100+3t-2t=100+t)L。濃度(\rho(t)=\frac{Q(t)}{V(t)}=\frac{Q(t)}{100+t})kg/L。由物料守恒：(\frac{dQ}{dt}=-\text{流出速率}\times\rho(t)=-2\times\frac{Q}{100+t})，即(\frac{dQ}{dt}+\frac{2}{100+t}Q=0)。初始條件(Q(0)=10)。方程為變量可分離型，分離變量得(\frac{dQ}{Q}=-\frac{2}{100+t}dt)，積分得(\lnQ=-2\ln(100+t)+C)，即(Q=\frac{C}{(100+t)^2})。代入(Q(0)=10)：(10=\frac{C}{100^2}\RightarrowC=10^5)。含鹽量(Q(t)=\frac{10^5}{(100+t)^2})kg。當(t\to+\infty)時，(Q(t)\to0)。質量為m的物體從高處自由下落，所受空氣阻力與速度平方成正比（比例系數(k>0)），求速度v與時間t的關系，并求極限速度。解答：根據牛頓第二定律(m\frac{dv}{dt}=mg-kv^2)，初始條件(v(0)=0)。分離變量得(\frac{mdv}{mg-kv^2}=dt)，積分：(\int\frac{dv}{g-\frac{k}{m}v^2}=\int\frac{k}{m}dt)，令(a^2=\frac{mg}{k})，則(\int\frac{dv}{a^2-v^2}=\int\frac{k}{m}dt)。積分得