2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽獎學(xué)金評定試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1，若f(a)=f(b)=f(c)=0，且a<b<c，則a+b+c的值為（）A.3B.4C.5D.6在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z?=1+i，z?=2-i，若z=z?·z?，則復(fù)數(shù)z的模長為（）A.√10B.√13C.5D.13已知向量a=(1,2,3)，b=(2,-1,1)，則向量a與b的夾角余弦值為（）A.3/√14B.3/7C.3/√21D.3/14雙曲線x2/9-y2/16=1的漸近線方程為（）A.y=±3/4xB.y=±4/3xC.y=±9/16xD.y=±16/9x已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a?=2，d=3，則S??的值為（）A.155B.165C.175D.185函數(shù)f(x)=sinx+cosx的最小正周期為（）A.π/2B.πC.2πD.4π已知三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=BC=CA=2√3，則三棱錐P-ABC的體積為（）A.√3B.2√3C.3√3D.4√3若二項式(2x+1/x)?的展開式中第3項的系數(shù)為240，則n的值為（）A.5B.6C.7D.8已知函數(shù)f(x)=ln(x+√(x2+1))，則f(-x)+f(x)的值為（）A.0B.1C.2D.不確定從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.70種B.80種C.90種D.100種二、填空題（共5題，每題6分，共30分）已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，若f(x)在區(qū)間[a,a+2]上的最大值為11，則a的值為________。已知圓C的方程為x2+y2-4x+6y-12=0，則圓C的圓心坐標(biāo)為________，半徑為________。已知函數(shù)f(x)=e?-ax-1，若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________。在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a=3，b=4，c=5，則sinA的值為________。已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，若P(X<1)=0.2，P(X>5)=0.3，則μ的值為________。三、解答題（共6題，共70分）（10分）已知函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和最大值。（12分）已知數(shù)列{an}滿足a?=1，an??=2an+1，求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn。（12分）已知橢圓C的方程為x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)，離心率為√3/2，且過點(2,1)，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，D為BC的中點，求證：A?D⊥平面B?C?D。（12分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x+1，求函數(shù)f(x)的極值，并判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的單調(diào)性。（12分）已知拋物線C：y2=4x，過點P(1,0)的直線l與拋物線C交于A、B兩點，若|AB|=8，求直線l的方程。四、附加題（共2題，每題20分，共40分）已知函數(shù)f(x)=e?-ax2-bx-1，其中a,b為常數(shù)，若函數(shù)f(x)在x=0處取得極值，且曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為e-1。（1）求a,b的值；（2）證明：當(dāng)x>0時，f(x)>0。已知數(shù)列{an}滿足a?=1，an??=an/(1+an)，數(shù)列{bn}滿足bn=1/an，（1）求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an·bn}的前n項和Sn。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題A2.B3.B4.B5.C6.C7.A8.B9.A10.B二、填空題-1或312.(2,-3)，513.(-∞,1]14.3/515.3三、解答題解：f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，（4分）令-π/2+2kπ≤2x+π/4≤π/2+2kπ，k∈Z，解得-3π/8+kπ≤x≤π/8+kπ，k∈Z，（8分）所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-3π/8+kπ,π/8+kπ]，k∈Z，函數(shù)f(x)的最大值為√2。（10分）解：由an??=2an+1，得an??+1=2(an+1)，（4分）所以數(shù)列{an+1}是以a?+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，（6分）所以an+1=2·2??1=2?，即an=2?-1，（8分）Sn=(21-1)+(22-1)+...+(2?-1)=(21+22+...+2?)-n=2(2?-1)/(2-1)-n=2??1-n-2。（12分）解：由題意得e=c/a=√3/2，所以c=√3/2a，（3分）又因為a2=b2+c2，所以a2=b2+3/4a2，即b2=1/4a2，（6分）又因為橢圓過點(2,1)，所以4/a2+1/b2=1，（9分）將b2=1/4a2代入得4/a2+4/a2=1，解得a2=8，b2=2，（11分）所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/8+y2/2=1。（12分）證明：以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA?為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，（2分）則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A?(0,0,2)，B?(2,0,2)，C?(0,2,2)，D(1,1,0)，（4分）A?D=(1,1,-2)，B?C?=(-2,2,0)，C?D=(1,-1,-2)，（6分）A?D·B?C?=1×(-2)+1×2+(-2)×0=0，（8分）A?D·C?D=1×1+1×(-1)+(-2)×(-2)=0，（10分）所以A?D⊥B?C?，A?D⊥C?D，又B?C?∩C?D=C?，（11分）所以A?D⊥平面B?C?D。（12分）解：f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2，（4分）令f'(x)=0，得x=1，（6分）當(dāng)x<1時，f'(x)>0，當(dāng)x>1時，f'(x)>0，（8分）所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值，（10分）所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增。（12分）解：當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，此時A(1,2)，B(1,-2)，|AB|=4，不符合題意，（3分）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)，（4分）聯(lián)立{y=k(x-1)，y2=4x}，得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，（6分）設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，則x?+x?=(2k2+4)/k2，x?x?=1，（8分）|AB|=√(1+k2)·√[(x?+x?)2-4x?x?]=√(1+k2)·√[(2k2+4)2/k?-4]=√(1+k2)·√(16/k?+16/k2)=4(1+k2)/k2=8，（10分）解得k2=1，即k=±1，（11分）所以直線l的方程為y=x-1或y=-x+1。（12分）四、附加題解：（1）f'(x)=e?-2ax-b，（2分）因為函數(shù)f(x)在x=0處取得極值，所以f'(0)=e?-0-b=1-b=0，解得b=1，（5分）又因為曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為e-1，所以f'(1)=e1-2a·1-b=e-2a-b=e-1，（8分）將b=1代入得e-2a-1=e-1，解得a=0；（10分）（2）由（1）得f(x)=e?-1-x，f'(x)=e?-1，（12分）當(dāng)x>0時，f'(x)=e?-1>0，所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，（15分）又因為f(0)=e?-1-0=0，所以當(dāng)x>0時，f(x)>f(0)=0。（20分）（1）證明：因為bn=1/an，所以bn??=1/an??=(1+an)/an=1/an+1=bn+1，（5分）所以bn??-bn=1，又b?=1/a?=1，（8分）所以數(shù)列{bn}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；（10分）（2）解：由（1）得bn=1+(n-1)×1=n，所以an=1/bn=1/n，（13分）所以an·bn=(1/n)·n=1，（16分）所以Sn=1+1+...+1=n。（20分）評分說明選擇題和填空題按答案給分，不設(shè)中間分；解答題和附加題按步驟給分，關(guān)鍵步驟錯誤酌情扣分；附加題分?jǐn)?shù)不計入總分，作為獎學(xué)金評定的參考依據(jù)?？荚図氈驹嚲頋M分150分（含附加題40分），考試時間120分鐘；答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上；作答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。作答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效；考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。命題說明本試卷依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和全國高中數(shù)學(xué)競賽大綱命題，注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和創(chuàng)新思維能力。試卷內(nèi)容涵蓋函數(shù)、幾何、代數(shù)、概率統(tǒng)計等多個領(lǐng)域，既注重對基礎(chǔ)知識的考查，又設(shè)置了一定難度的綜合題和附加題，以區(qū)分不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，為獎學(xué)金評定提供科學(xué)依據(jù)。試卷結(jié)構(gòu)合理，題型多樣，難度適中，具有較好的區(qū)分度和選拔功能。答題要求答題前，考生須在答題卡指定位置填寫姓名、準(zhǔn)考證號等信息；答案須書寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域的答案無效；字跡工整，卷面整潔，不得使用涂改液、修正帶等；附加題可任選作答，不計入總分，但作為獎學(xué)金評定的重要參考依據(jù)。注意事項考生