2025年下學(xué)期高中基于線性學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(m,4)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則實(shí)數(shù)$m$的值為（）A.$-6$B.$-\frac{8}{3}$C.$\frac{8}{3}$D.$6$下列命題中正確的是（）A.若$\vec{a}\parallel\vec$，則存在唯一的實(shí)數(shù)$\lambda$，使得$\vec=\lambda\vec{a}$B.若$\vec{a}\cdot\vec=0$，則$\vec{a}=\vec{0}$或$\vec=\vec{0}$C.若$|\vec{a}+\vec|=|\vec{a}-\vec|$，則$\vec{a}\cdot\vec=0$D.若$\vec{a}$與$\vec$都是單位向量，則$\vec{a}\cdot\vec=1$在$\triangleABC$中，點(diǎn)$D$是$BC$的中點(diǎn)，若$\vec{AB}=\vec{a}$，$\vec{AC}=\vec$，則$\vec{AD}=$（）A.$\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec$B.$\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec$C.$-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec$D.$-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec$已知直線$l$的方程為$2x-y+1=0$，則該直線的斜率為（）A.$-2$B.$-\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$2$若點(diǎn)$P(1,2)$在直線$l:ax+by+1=0$上，則$2a+4b$的最小值為（）A.$2\sqrt{2}$B.$4$C.$4\sqrt{2}$D.$8$已知點(diǎn)$A(1,0)$，$B(0,1)$，則線段$AB$的垂直平分線方程為（）A.$x+y-1=0$B.$x-y+1=0$C.$x-y-1=0$D.$x+y+1=0$若變量$x$，$y$滿足約束條件$\begin{cases}x\geq0\y\geq0\x+y\leq1\end{cases}$，則$z=x+2y$的最大值為（）A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)$1$件甲產(chǎn)品需消耗原材料$2$千克，生產(chǎn)$1$件乙產(chǎn)品需消耗原材料$3$千克，該公司每天原材料最大供應(yīng)量為$12$千克。已知甲產(chǎn)品每件利潤為$3$元，乙產(chǎn)品每件利潤為$4$元，則該公司每天可獲得的最大利潤為（）A.$12$元B.$16$元C.$18$元D.$20$元已知兩個(gè)變量$x$，$y$的一組數(shù)據(jù)如下表所示：$x$$1$$2$$3$$4$$5$$y$$2$$3$$4$$5$$6$則$y$關(guān)于$x$的線性回歸方程為（）A.$\hat{y}=x+1$B.$\hat{y}=x-1$C.$\hat{y}=2x+1$D.$\hat{y}=2x-1$在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)$r$的取值范圍是（）A.$(-\infty,+\infty)$B.$[-1,1]$C.$(0,1)$D.$(-1,0)$已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,4)$，則向量$\vec{a}$在向量$\vec$方向上的投影為（）A.$\sqrt{5}$B.$\frac{11\sqrt{5}}{5}$C.$\frac{11}{5}$D.$11$若直線$l_1:ax+2y+1=0$與直線$l_2:x+(a-1)y+a=0$平行，則實(shí)數(shù)$a$的值為（）A.$-1$B.$2$C.$-1$或$2$D.$1$或$-2$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,1)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則$m=$________。過點(diǎn)$P(2,1)$且與直線$2x-y+3=0$平行的直線方程為________。若變量$x$，$y$滿足約束條件$\begin{cases}x-y+1\geq0\x+y-3\geq0\x\leq2\end{cases}$，則目標(biāo)函數(shù)$z=2x-y$的最小值為________。已知點(diǎn)$A(1,2)$，$B(3,4)$，則向量$\vec{AB}$的模為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知向量$\vec{a}=(2,1)$，$\vec=(-1,3)$，求：（1）$\vec{a}+\vec$；（2）$\vec{a}\cdot\vec$；（3）$|\vec{a}|$。（本小題滿分12分）已知直線$l_1:2x+y-4=0$，直線$l_2:x-y+1=0$，求：（1）直線$l_1$與$l_2$的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過直線$l_1$與$l_2$的交點(diǎn)且與直線$3x+4y+5=0$垂直的直線方程。（本小題滿分12分）已知點(diǎn)$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,0)$，求$\triangleABC$的面積。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)$1$件甲產(chǎn)品需耗時(shí)$2$小時(shí)，生產(chǎn)$1$件乙產(chǎn)品需耗時(shí)$3$小時(shí)，該工廠每天的最大工作時(shí)間為$12$小時(shí)。已知甲產(chǎn)品每件利潤為$4$元，乙產(chǎn)品每件利潤為$5$元，且每天生產(chǎn)的甲產(chǎn)品數(shù)量不超過$4$件，乙產(chǎn)品數(shù)量不超過$3$件。（1）寫出該問題中的約束條件和目標(biāo)函數(shù)；（2）求該工廠每天可獲得的最大利潤。（本小題滿分12分）某商場為了研究廣告投入與銷售額之間的關(guān)系，收集了過去$5$個(gè)月的廣告投入$x$（萬元）和銷售額$y$（萬元）的數(shù)據(jù)，如下表所示：廣告投入$x$（萬元）$1$$2$$3$$4$$5$銷售額$y$（萬元）$10$$20$$30$$40$$50$（1）求銷售額$y$關(guān)于廣告投入$x$的線性回歸方程；（2）若下個(gè)月計(jì)劃投入廣告費(fèi)用$6$萬元，試預(yù)測該月的銷售額。（本小題滿分12分）已知向量$\vec{a}=(\cos\theta,\sin\theta)$，$\vec=(\sqrt{3},1)$，其中$\theta\in[0,\pi]$。（1）若$\vec{a}\perp\vec$，求$\theta$的值；（2）求$|\vec{a}+\vec|$的最大值。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題5分，共60分）A2.C3.A4.D5.B6.A7.C8.B9.A10.B11.C12.A二、填空題（每小題5分，共20分）$\frac{1}{2}$14.$2x-y-3=0$15.$1$16.$2\sqrt{2}$三、解答題（共70分）解：（1）$\vec{a}+\vec=(2-1,1+3)=(1,4)$。（3分）（2）$\vec{a}\cdot\vec=2\times(-1)+1\times3=-2+3=1$。（6分）（3）$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。（10分）解：（1）聯(lián)立$\begin{cases}2x+y-4=0\x-y+1=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\y=2\end{cases}$，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,2)$。（6分）（2）直線$3x+4y+5=0$的斜率為$-\frac{3}{4}$，與其垂直的直線斜率為$\frac{4}{3}$。過點(diǎn)$(1,2)$且斜率為$\frac{4}{3}$的直線方程為$y-2=\frac{4}{3}(x-1)$，即$4x-3y+2=0$。（12分）解：由題意得，$\vec{AB}=(3-1,4-2)=(2,2)$，$\vec{AC}=(5-1,0-2)=(4,-2)$。（4分）則$\triangleABC$的面積為$\frac{1}{2}|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\frac{1}{2}|2\times(-2)-2\times4|=\frac{1}{2}|-4-8|=\frac{1}{2}\times12=6$。（12分）解：（1）設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品$x$件，乙產(chǎn)品$y$件。約束條件為$\begin{cases}2x+3y\leq12\x\leq4\y\leq3\x\geq0,y\geq0,x,y\in\mathbf{N}\end{cases}$。（4分）目標(biāo)函數(shù)為$z=4x+5y$。（6分）（2）作出可行域，當(dāng)$x=3$，$y=2$時(shí)，$z$取得最大值，$z_{\max}=4\times3+5\times2=12+10=22$（元）。所以該工廠每天可獲得的最大利潤為22元。（12分）解：（1）$\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$，$\bar{y}=\frac{10+20+30+40+50}{5}=30$。$\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=(1-3)(10-30)+(2-3)(20-30)+(3-3)(30-30)+(4-3)(40-30)+(5-3)(50-30)=(-2)(-20)+(-1)(-10)+0+1\times10+2\times20=40+10+0+10+40=100$。$\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^2=(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2=4+1+0+1+4=10$。$\hat=\frac{100}{10}=10$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat\bar{x}=30-10\times3=0$。所以線性回歸方程為$\hat{y}=10x$。（8分）（2）當(dāng)$x=6$時(shí)，$\hat{y}=10\times6=60$，所以預(yù)測銷售額為60萬元。（12分）解：（1）因?yàn)?\vec{a}\perp\vec$，所以$\vec{a}\cdot\vec=\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta=0$，即$\tan\theta=-\sqrt{3}$。因?yàn)?\theta\in[0,\pi]$，所以$\theta=\frac{2\pi}{3}$。（6分）（2）$\vec{a}+\vec=(\cos\theta+\sqrt{3},\sin\theta+1)$，$|\vec{a}+\vec|=\sqrt{(\cos\theta+\sqrt{3})^2+(\sin\th