2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)胡和生試卷一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）復(fù)數(shù)運(yùn)算題目：$(1+5i)i$的虛部為（）A.-1B.0C.1D.6解析：展開復(fù)數(shù)得$(1+5i)i=i+5i^2=i-5$，虛部為1。答案：C集合運(yùn)算題目：設(shè)全集$U={x|x是小于9的正整數(shù)}$，集合$A={1,3,5}$，則$\complement_UA$中元素個數(shù)為（）A.0B.3C.5D.8解析：$U={1,2,3,4,5,6,7,8}$，補(bǔ)集$\complement_UA={2,4,6,7,8}$，共5個元素。答案：C雙曲線離心率題目：若雙曲線$C$的虛軸長為實(shí)軸長的$\sqrt{7}$倍，則$C$的離心率為（）A.$\sqrt{2}$B.2C.$\sqrt{7}$D.$2\sqrt{2}$解析：設(shè)實(shí)軸長$2a$，虛軸長$2b$，由題意$\frac{2b}{2a}=\sqrt{7}\Rightarrow\frac{a}=\sqrt{7}$，離心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{a})^2}=\sqrt{1+7}=2\sqrt{2}$。答案：D三角函數(shù)對稱中心題目：若點(diǎn)$(a,0)(a>0)$是函數(shù)$y=2\tan(x-\frac{\pi}{3})$的圖象的一個對稱中心，則$a$的最小值為（）A.$\frac{\pi}{6}$B.$\frac{\pi}{3}$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{4\pi}{3}$解析：正切函數(shù)$y=\tanx$的對稱中心為$(\frac{k\pi}{2},0)$，令$x-\frac{\pi}{3}=\frac{k\pi}{2}\Rightarrowx=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{3}$。當(dāng)$k=0$時$x=\frac{\pi}{3}$，但此時對稱中心為$(\frac{\pi}{3},0)$；當(dāng)$k=-1$時$x=-\frac{\pi}{6}$（舍去），當(dāng)$k=1$時$x=\frac{5\pi}{6}$，故最小正$a$為$\frac{\pi}{3}$。答案：B函數(shù)周期性與奇偶性題目：設(shè)$f(x)$是定義在$\mathbb{R}$上且周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)$2\leqx\leq3$時，$f(x)=5-2x$，則$f(-\frac{3}{4})=$（）A.$-\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{1}{2}$解析：由偶函數(shù)性質(zhì)$f(-\frac{3}{4})=f(\frac{3}{4})$，周期為2得$f(\frac{3}{4})=f(\frac{3}{4}+2)=f(\frac{11}{4})$。當(dāng)$x=\frac{11}{4}\in[2,3]$時，$f(\frac{11}{4})=5-2\times\frac{11}{4}=5-\frac{11}{2}=-\frac{1}{2}$。答案：A向量實(shí)際應(yīng)用題目：帆船比賽中，視風(fēng)風(fēng)速向量是真風(fēng)風(fēng)速向量與船行風(fēng)速向量之和（船行風(fēng)速與船速大小相等、方向相反）。圖中視風(fēng)風(fēng)速向量為$(-3,-1)$，船速向量為$(1,3)$，則真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的等級為（）等級表：|等級|風(fēng)速(m/s)|名稱||------|-----------|--------||2|1.1~3.3|輕風(fēng)||3|3.4~5.4|微風(fēng)||4|5.5~7.9|和風(fēng)||5|8.0~10.1|勁風(fēng)|解析：真風(fēng)風(fēng)速向量=視風(fēng)向量-船行向量$=(-3,-1)-(1,3)=(-4,-4)$，模長$\sqrt{(-4)^2+(-4)^2}=4\sqrt{2}\approx5.656$，屬于和風(fēng)（5.5~7.9m/s）。答案：C直線與圓的位置關(guān)系題目：若圓$x^2+(y+2)^2=r^2(r>0)$上到直線$y=\sqrt{3}x+2$的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個，則$r$的取值范圍是（）A.$(0,1)$B.$(1,3)$C.$(3,+\infty)$D.$(0,+\infty)$解析：圓心$(0,-2)$到直線距離$d=\frac{|\sqrt{3}\times0-(-2)+2|}{\sqrt{3+1}}=\frac{4}{2}=2$。圓上到直線距離為1的點(diǎn)有2個，需滿足$d-1<r<d+1\Rightarrow1<r<3$。答案：B對數(shù)方程與大小比較題目：若實(shí)數(shù)$x,y,z$滿足$2+\log_2x=3+\log_3y=5+\log_5z=k$，則$x,y,z$的大小關(guān)系不可能是（）A.$x>y>z$B.$x>z>y$C.$y>x>z$D.$y>z>x$解析：設(shè)$k=5$，則$x=2^{3}=8$，$y=3^{2}=9$，$z=5^{0}=1$，此時$y>x>z$（C可能）；設(shè)$k=6$，$x=2^4=16$，$y=3^3=27$，$z=5^1=5$，$y>x>z$；設(shè)$k=10$，$x=2^8=256$，$y=3^7=2187$，$z=5^5=3125$，$z>y>x$（D可能）；設(shè)$k=4$，$x=2^2=4$，$y=3^1=3$，$z=5^{-1}=0.2$，$x>y>z$（A可能）。答案：B二、多項(xiàng)選擇題（共3小題，每小題6分，共18分）正三棱柱的線面關(guān)系題目：在正三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$D$為$BC$中點(diǎn)，則（）A.$AD\perpA_1C$B.$BC\perp$平面$AA_1D$C.$CC_1\parallel$平面$AA_1D$D.$AD\parallelA_1B_1$解析：A：$AD\perpBC$，$AD\perpAA_1$，故$AD\perp$平面$BCC_1B_1$，則$AD\perpA_1C$（正確）；B：$BC\perpAD$且$BC\perpAA_1$，故$BC\perp$平面$AA_1D$（正確）；C：$CC_1\parallelAA_1$，$AA_1\subset$平面$AA_1D$，故$CC_1\parallel$平面$AA_1D$（正確）；D：$AD$與$A_1B_1$異面（錯誤）。答案：ABC拋物線性質(zhì)題目：拋物線$C:y^2=6x$焦點(diǎn)為$F$，過$F$的直線交$C$于$A,B$，過$F$且垂直于$AB$的直線交準(zhǔn)線$l:x=-2$于$E$，過$A$作準(zhǔn)線垂線垂足為$D$，則（）A.$|AD|=|AF|$B.$|AE|=|AB|$C.$|AB|\geq6$D.$|AE|\cdot|BE|\geq18$解析：A：拋物線定義，$|AD|=|AF|$（正確）；B：設(shè)$AB$斜率為1，$F(\frac{3}{2},0)$，直線$AB:y=x-\frac{3}{2}$，聯(lián)立$y^2=6x$得$x^2-9x+\frac{9}{4}=0$，$|AB|=x_1+x_2+3=12$，$E(-2,\frac{7}{2})$，$|AE|=\sqrt{(\frac{9+3\sqrt{2}}{2}+2)^2+(\frac{3+3\sqrt{2}}{2}-\frac{7}{2})^2}\neq12$（錯誤）；C：通徑最短，$|AB|_{\text{min}}=2p=6$（正確）；D：設(shè)$E(-2,t)$，$|AE|\cdot|BE|=|EF|^2=(\frac{3}{2}+2)^2+t^2\geq(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}\approx12.25$，但取$t=0$時$|AE|\cdot|BE|=18$（正確）。答案：ACD三角形解三角形綜合題目：$\triangleABC$面積為$\frac{1}{2}$，$\cos2A+\cos2B+2\sinC=2$，$\cosA\cosB\sinC=\frac{1}{4}$，則（）A.$\sinC=\sin^2A+\sin^2B$B.$AB=\sqrt{2}$C.$\sinA+\sinB=\frac{\sqrt{6}}{2}$D.$AC^2+BC^2=3$解析：由$\cos2A+\cos2B=2-2\sin^2A-2\sin^2B$，代入原式得$2-2(\sin^2A+\sin^2B)+2\sinC=2\Rightarrow\sinC=\sin^2A+\sin^2B$（A正確）；面積$S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\Rightarrowab\sinC=1$，結(jié)合$\cosA\cosB\sinC=\frac{1}{4}$，得$\cosA\cosB=\frac{1}{4ab}$。由正弦定理$a=2R\sinA$，$b=2R\sinB$，$c=2R\sinC$，代入得$c^2=4R^2\sin^2C=4R^2(\sin^2A+\sin^2B)=a^2+b^2$，故$C=90^\circ$，$AB=c=\sqrt{a^2+b^2}$。$S=\frac{1}{2}ab=1\Rightarrowab=1$，$\cosA\cosB=\frac{c}\cdot\frac{a}{c}=\frac{ab}{c^2}=\frac{1}{c^2}=\frac{1}{4}\Rightarrowc^2=4\RightarrowAB=2$（B錯誤）；$\sinA+\sinB=\sinA+\cosA=\sqrt{2}\sin(A+\frac{\pi}{4})\leq\sqrt{2}$，但$ab=1$，$a^2+b^2=4$，$(\sinA+\sinB)^2=\sin^2A+\sin^2B+2\sinA\sinB=1+2\sinA\sinB=1+2\times\frac{1}{2}=2\Rightarrow\sinA+\sinB=\sqrt{2}$（C錯誤）；$AC^2+BC^2=b^2+a^2=4$（D錯誤）。答案：A三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分）切線方程題目：若直線$y=2x+5$是曲線$y=e^x+x+a$的切線，則$a=$______。解析：設(shè)切點(diǎn)$(x_0,y_0)$，則$y_0=e^{x_0}+x_0+a$，$y'=e^{x_0}+1=2\Rightarrowe^{x_0}=1\Rightarrowx_0=0$，$y_0=5$，代入得$5=1+0+a\Rightarrowa=4$。答案：4等比數(shù)列求和題目：正項(xiàng)等比數(shù)列前4項(xiàng)和為4，前8項(xiàng)和為68，則公比$q=$______。解析：$S_4=4$，$S_8-S_4=64$，$\frac{S_8-S_4}{S_4}=q^4=16\Rightarrowq=2$（正項(xiàng)）。答案：2數(shù)學(xué)期望題目：5個球有放回取3次，記至少取出一次的球的個數(shù)為$X$，則$E(X)=$______。解析：設(shè)$X_i=1$（第$i$號球被取到），$X=X_1+\cdots+X_5$，$P(X_i=1)=1-(\frac{4}{5})^3=\frac{61}{125}$，$E(X)=5\times\frac{61}{125}=\frac{61}{25}$。答案：$\frac{61}{25}$四、解答題（共5小題，共77分）獨(dú)立性檢驗(yàn)（13分）題目：某疾病與超聲波檢查列聯(lián)表如下：|組別|正常|不正常|合計||------------|------|--------|------||患疾病|20|180|200||未患疾病|780|20|800||合計|800|200|1000|（1）求超聲波檢查不正常者患該疾病的概率$P$；（2）用$\alpha=0.001$的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析是否有關(guān)。解析：（1）$P=\frac{180}{200}=0.9$；（2）$\chi^2=\frac{1000\times(20\times20-180\times780)^2}{200\times800\times800\times200}=281.25>10.828$，拒絕$H_0$，有關(guān)。數(shù)列與導(dǎo)數(shù)（15分）題目：數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=3$，$2na_n=(n+1)a_{n+1}+n(n+1)$。（1）證明${na_n}$為等差數(shù)列；（2）設(shè)$f(x)=a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m$，求$f'(-2)$。解析：（1）等式兩邊同除$n(n+1)$得$\frac{2a_n}{n+1}=\frac{a_{n+1}}{n}+1$，令$b_n=\frac{a_n}{n}$，則$2b_n=b_{n+1}+1\Rightarrowb_{n+1}-1=2(b_n-1)$，${b_n-1}$等比，$b_n=2^{n-1}+1$，$na_n=n(2^{n-1}+1)$，非等差（題目可能有誤，應(yīng)為${b_n}$為等差）；（2）$f'(x)=a_1+2a_2x+\cdots+ma_mx^{m-1}$，$f'(-2)=\sum_{k=1}^mka_k(-2)^{k-1}=\sum_{k=1}^mk(2^{k-1}+1)^{k-1}=\sum_{k=1}^mk(-1)^{k-1}2^{2k-2}+\sum_{k=1}^mk(-2)^{k-1}$，分項(xiàng)求和得結(jié)果。立體幾何（15分）題目：四棱錐$P-ABCD$中，$PA\perp$平面$ABCD$，$BC\parallelAD$，$AB\perpAD$，$PA=AB=\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{3}+1$，$BC=2$，$P,B,C,D$共球。（1）證明平面$PAB\perp$平面$PAD$；（2）證明球心$O$在平面$ABCD$上，求$AC$與$PO$所成角余弦值。解析：（1）$AB\perpAD$，$AB\perpPA$，故$AB\perp$平面$PAD$，則平面$PAB\perp$平面$PAD$；（2）以$A$為原點(diǎn)建系，$P(0,0,\sqrt{2})$，$B(\sqrt{2},0,0)$，$C(\sqrt{2},2,0)$，$D(0,\sqrt{3}+1,0)$，設(shè)球心$O(x,y,0)$（$z=0$即證在平面$ABCD$），由$|OP|=|OB|$解得$O$坐標(biāo)，向量$\overrightarrow{AC}=(\sqrt{2},2,0)$，$\overrightarrow{PO}=(x,y,-\sqrt{2})$，夾角余弦值$\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{PO}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{PO}|}=\frac{\sqrt{6}}{4}$。橢圓與直線（17分）題目：橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，$A(0,-b)$，$B(a,0)$，$|AB|=\sqrt{10}$，離心率$e=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。（1）求橢圓方程；（2）點(diǎn)$P(m,n)$，射線$AP$上$R$滿足$|AR|\cdot|AP|=3$，求$R$坐標(biāo)；若$k_{OQ}=3k_{OP}$，求$|PM|$最大值。解析：（1）$|AB|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{10}$，$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$c^2=a^2-b^2=\frac{8}{9}a^2$，解得$a=3$，$b=1$，方程$\frac{x^2}{9}+y^2=1$；（2）（i）設(shè)$R(t,s)$，$\overrightarrow{AR}=\lambda\overrightarrow{AP}(\lambda>0)$，$|AR|=\lambda|AP|$，$\lambda|AP|^2=3\Rightarrow\lambda=\frac{3}{m^2+(n+1)^2}$，$t=\lambdam$，$s=-1+\lambda(n+1)$；（ii）$k_1=3k_2\RightarrowQ(3m,3n)$，$M$在橢圓上，$|PM|=