2025年下學期高中數(shù)學變式訓練拓展試卷第一章函數(shù)與導數(shù)（必修第一冊+選擇性必修第二冊）一、選擇題基礎(chǔ)變式：已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$，則$f'(1)$的值為（）A.-2B.0C.2D.4逆向變式：若函數(shù)$f(x)=e^x-ax$在區(qū)間$[0,1]$上單調(diào)遞增，則實數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(-\infty,e]$B.$(-\infty,1]$C.$[e,+\infty)$D.$[1,+\infty)$應(yīng)用變式：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為2000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加10元，已知總收益$R$（元）與年產(chǎn)量$x$（件）的關(guān)系為$R(x)=\begin{cases}40x-0.5x^2,&0\leqx\leq400\80000,&x>400\end{cases}$，則總利潤最大時的年產(chǎn)量為（）A.300件B.350件C.400件D.500件二、解答題綜合探究題：已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{a}{x}(a\in\mathbb{R})$，（1）討論$f(x)$的單調(diào)性；（2）若$f(x)$有兩個極值點$x_1,x_2$（$x_1<x_2$），證明：$f(x_2)-f(x_1)>\frac{1}{2}-\ln2$。第二章立體幾何與空間向量（必修第二冊+選擇性必修第一冊）一、填空題結(jié)構(gòu)變式：在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點$P$為棱$CC_1$的中點，則三棱錐$P-ABD$的體積為________。動態(tài)變式：在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC=AA_1=2$，$M$為$A_1C_1$的中點，點$N$在棱$BC$上運動，則$|MN|$的最小值為________。二、解答題開放探究題：如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$為菱形，$\angleBAD=60^\circ$，$PA\perp$底面$ABCD$，$PA=AB=2$，$E$為$PC$的中點。（1）證明：$BE\parallel$平面$PAD$；（2）若點$F$在線段$PD$上，且二面角$F-AC-D$的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$PF$的長。第三章圓錐曲線與方程（選擇性必修第一冊）一、選擇題參數(shù)變式：已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$，則橢圓的標準方程為（）A.$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$B.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{x^2}{4}+y^2=1$D.$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$軌跡變式：已知點$M$為拋物線$y^2=4x$上一動點，$F$為焦點，點$A(3,2)$，則$|MA|+|MF|$的最小值為（）A.3B.4C.5D.6二、解答題創(chuàng)新應(yīng)用題：已知雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的漸近線方程為$y=\pm\sqrt{3}x$，且過點$(2,3)$。（1）求雙曲線$C$的方程；（2）過點$P(1,0)$的直線$l$與雙曲線$C$交于$A,B$兩點，若$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0$，求直線$l$的方程。第四章數(shù)列與不等式（必修第五冊+選擇性必修第二冊）一、填空題遞推變式：已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+n$，則$a_5=$________。不等關(guān)系變式：若正實數(shù)$x,y$滿足$x+2y=1$，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為________。二、解答題實際應(yīng)用題：某企業(yè)計劃在2025年投入研發(fā)資金，第一年（2025年）投入200萬元，以后每年投入的研發(fā)資金比上一年增長$x%$，（1）若2027年的研發(fā)資金為242萬元，求$x$的值；（2）設(shè)從2025年起的前$n$年研發(fā)資金總和為$S_n$，若$S_n\geq1000$萬元，求$n$的最小值。第五章概率與統(tǒng)計（必修第二冊+選擇性必修第三冊）一、選擇題分布變式：已知隨機變量$X$服從二項分布$B(n,p)$，且$E(X)=3$，$D(X)=2$，則$n=$（）A.3B.6C.9D.12數(shù)據(jù)分析變式：某學校為了解學生的課外閱讀時間，隨機抽取100名學生進行調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（圖略：組距為1，區(qū)間為$[0,1),[1,2),\cdots,[5,6]$，頻率分別為0.05,0.15,0.3,0.25,0.15,0.1）則這100名學生課外閱讀時間的中位數(shù)為（）A.2.5小時B.3小時C.3.5小時D.4小時二、解答題綜合探究題：為了研究某種疫苗的有效性，某科研團隊進行臨床試驗，將1000名志愿者隨機分為兩組，試驗組接種疫苗，對照組接種安慰劑，經(jīng)過一段時間后，統(tǒng)計結(jié)果如下表：感染未感染總計試驗組30470500對照組50450500總計809201000（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為疫苗有效？（參考公式：$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，臨界值：$\chi^2_{0.01}=6.635$）（2）若從試驗組的未感染人群中隨機抽取2人，求至少有1人感染的概率（注：此處“感染”應(yīng)為“未感染”，修正為“求至少有1人有不良反應(yīng)的概率”，假設(shè)未感染人群中有10%有不良反應(yīng)）。第六章三角函數(shù)與三角恒等變換（必修第四冊）一、選擇題圖像變式：函數(shù)$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的圖像向左平移$\frac{\pi}{6}$個單位后，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A.$y=\sin2x$B.$y=\cos2x$C.$y=\sin(2x+\frac{\pi}{2})$D.$y=\sin(2x+\frac{2\pi}{3})$應(yīng)用變式：某摩天輪的半徑為50米，中心距地面100米，旋轉(zhuǎn)一周需30分鐘，某人從最低點登上摩天輪，則10分鐘后他距離地面的高度為（）A.50米B.75米C.100米D.125米二、解答題綜合證明題：已知$\alpha,\beta$為銳角，且$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\cos(\alpha+\beta)=-\frac{5}{13}$，（1）求$\cos\beta$的值；（2）證明：$\tan\beta=\frac{56}{33}$。第七章平面向量與復數(shù)（必修第二冊+必修第四冊）一、填空題數(shù)量積變式：已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,-1)$，若$\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec)$，則$m=$________。復數(shù)運算變式：已知復數(shù)$z$滿足$z(1+i)=2-i$（$i$為虛數(shù)單位），則$|z|=$________。二、解答題幾何應(yīng)用題：在$\triangleABC$中，點$D$為$BC$的中點，$E$為$AD$上一點，且$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{ED}$，設(shè)$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AC}=\vec$，（1）用$\vec{a},\vec$表示$\overrightarrow{BE}$；（2）若$|\vec{a}|=3$，$|\vec|=4$，$\angleBAC=60^\circ$，求$\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BC}$的值。第八章計數(shù)原理與二項式定理（選擇性必修第三冊）一、選擇題組合變式：將5名志愿者分配到3個不同的社區(qū)參加服務(wù)，每個社區(qū)至少分配1人，則不同的分配方案共有（）A.120種B.150種C.240種D.300種二項式變式：$(x^2+\frac{2}{x})^5$的展開式中$x^4$的系數(shù)為（）A.10B.20C.40D.80二、解答題證明探究題：（1）求$(1+x)^n+(1-x)^n$的展開式中$x^2$的系數(shù)（$n\geq2$）；（2）證明：$\sum_{k=0}^nC_n^k2^k=3^n$，并利用該結(jié)論求$\sum_{k=0}^nC_n^k2^kk$的值。參考答案與解析（部分）第一章函數(shù)與導數(shù)（1）$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}(x>0)$，當$a\leq0$時，$f'(x)>0$，$f(x)$在$(0,+\infty)$單調(diào)遞增；當$a>0$時，$f(x)$在$(0,a)$單調(diào)遞減，在$(a,+\infty)$單調(diào)遞增。（2）由極值點定義知$x_1=a-\sqrt{a^2-a}$，$x_2=a+\sqrt{a^2-a}$（$a>1$），構(gòu)造函數(shù)$g(a)=f(x_2)-f(x_1)=\ln\frac{x_2}{x_1}+a(\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1})$，化簡得$g(a)=\ln\frac{1+\sqrt{1-\frac{1}{a}}}{1-\sqrt{1-\frac{1}{a}}}+2\sqrt{a^2-a}$，求導可證$g(a)>\frac{1}{2}-\ln2$。第三章圓錐曲線與方程（1）由漸近線方程得$\frac{a}=\sqrt{3}$，代入點$(2,3)$得$\frac{4}{a^2}-\frac{9}{3a^2}=1$，解得$a^2=1$，$b^2=3$，故方程為$x^2-\frac{y^2}{3}=1$。（2）設(shè)直線$l:x=my+1$，聯(lián)立雙曲線方程得$(3m^2-1)y^2+6my+0=0$，由$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0$得$(x_1-3)(x_2-3)+(y_1-2)(y_2-2)=0$，代入韋達定理解