2025年下學(xué)期高中基于小班學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向題下列教學(xué)活動(dòng)中，主要培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的是（）A.用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示橢圓的形成過(guò)程B.通過(guò)校園綠植成活率數(shù)據(jù)推斷全校植物生長(zhǎng)狀況C.從購(gòu)物小票中抽象出函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系D.用祖暅原理推導(dǎo)柱體體積公式函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$，若對(duì)于任意$x\in[0,3]$，不等式$f(x)\leqm$恒成立，則實(shí)數(shù)$m$的最小值為（）A.$-2$B.$0$C.$2$D.$5$立體幾何與直觀想象題在正四棱錐$P-ABCD$中，底面邊長(zhǎng)為$2$，側(cè)棱長(zhǎng)為$\sqrt{5}$，則該棱錐的體積與表面積之比為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{6}$B.$\frac{\sqrt{2}}{8}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{2}{5}$概率與統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題某小班數(shù)學(xué)興趣小組為研究“高中生每周數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)與成績(jī)的相關(guān)性”，隨機(jī)抽取10名學(xué)生的數(shù)據(jù)如下表：學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）46810121416182022數(shù)學(xué)成績(jī)（分）65727885889092959698若用最小二乘法求得回歸直線方程為$\hat{y}=1.8x+a$，則$a$的值為（）A.$55.2$B.$58.6$C.$60.4$D.$62.8$三角函數(shù)創(chuàng)新題將函數(shù)$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$的圖像向左平移$\frac{\pi}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)$g(x)$的圖像，則$g(x)$的解析式為（）A.$\sin\left(4x+\frac{\pi}{6}\right)$B.$\sin\left(4x+\frac{2\pi}{3}\right)$C.$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$D.$\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)$數(shù)列與數(shù)學(xué)文化題《九章算術(shù)》中有“衰分”問(wèn)題：今有大夫、不更、簪裊、上造、公士凡五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問(wèn)各得幾何？（注：古代爵位從高到低依次為大夫、不更、簪裊、上造、公士，分配比例為$5:4:3:2:1$）若改為“小班5人合作完成項(xiàng)目，得獎(jiǎng)金500元，按貢獻(xiàn)比$3:3:2:1:1$分配”，則貢獻(xiàn)最高的兩人共得（）A.$200$元B.$250$元C.$300$元D.$350$元解析幾何開放題已知直線$l:y=kx+1$與橢圓$C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$交于$A,B$兩點(diǎn)，若$\triangleOAB$（$O$為原點(diǎn)）的面積為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$k$的值不可能是（）A.$\frac{1}{2}$B.$1$C.$\sqrt{2}$D.$2$邏輯推理與新定義題定義“$*$”運(yùn)算：對(duì)于非零實(shí)數(shù)$a,b$，有$a*b=\frac{a+b}{ab}$。若數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，且$a_{n+1}=a_n*2$，則其前$n$項(xiàng)和$S_n=$（）A.$\frac{2n}{n+1}$B.$\frac{n}{2n+1}$C.$\frac{2n}{2n+1}$D.$\frac{n}{n+1}$二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析題某小班開展“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣調(diào)查”，收集到以下數(shù)據(jù)：每日做題時(shí)間（分鐘）30以下30~6060~9090以上人數(shù)51582則下列說(shuō)法正確的有（）A.中位數(shù)落在“30~60分鐘”區(qū)間B.眾數(shù)為15人C.若用扇形圖表示，“60~90分鐘”對(duì)應(yīng)扇形圓心角為$120^\circ$D.建議教師對(duì)“90分鐘以上”的學(xué)生加強(qiáng)時(shí)間管理指導(dǎo)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與函數(shù)性質(zhì)題已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1$（$a\in\mathbb{R}$），則下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)$a\leq0$時(shí)，$f(x)$在$\mathbb{R}$上單調(diào)遞增B.當(dāng)$a=1$時(shí)，$f(x)$有極小值$0$C.對(duì)任意$a>0$，$f(x)$恒有兩個(gè)零點(diǎn)D.若$f(x)$在$[0,+\infty)$上的最小值為$2$，則$a=e^2$立體幾何與空間向量題在棱長(zhǎng)為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$M,N$分別為$A_1B_1,B_1C_1$的中點(diǎn)，則（）A.直線$MN$與$AC$所成角為$60^\circ$B.三棱錐$M-ABC$的體積為$\frac{2}{3}$C.平面$MNB$與平面$ABCD$垂直D.點(diǎn)$D$到平面$MNB$的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$數(shù)列與不等式綜合題已知等比數(shù)列${a_n}$的公比$q>0$，前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_1=1$，$S_3=7$，則下列結(jié)論正確的有（）A.$q=2$B.$a_n=2^{n-1}$C.$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}<2$D.對(duì)任意$m,n\in\mathbb{N}^*$，有$a_ma_n=a_{m+n}$三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）數(shù)學(xué)文化填空題《周髀算經(jīng)》中記載“勾廣三，股修四，徑隅五”，其中“徑隅”指的是直角三角形的______；若某直角三角形的“勾”為6，“徑隅”為10，則其“股”為______。（第一空2分，第二空3分）概率與統(tǒng)計(jì)填空題某小班5名學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模比賽，成績(jī)（單位：分）分別為85,90,92,88,95，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，剩余數(shù)據(jù)的方差為______。解析幾何填空題已知雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的漸近線方程為$y=\pm\frac{3}{4}x$，且過(guò)點(diǎn)$(4,3\sqrt{3})$，則雙曲線$C$的焦距為______。開放探究填空題在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對(duì)的邊分別為$a,b,c$，若$a=2$，$b=3$，則“$C=60^\circ$”是“$c=\sqrt{7}$”的______條件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）；若$c=\sqrt{7}$，則$\triangleABC$的面積為______。（第一空2分，第二空3分）四、解答題（本大題共6小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）三角函數(shù)與解三角形（8分）在$\triangleABC$中，角$A,B,C$的對(duì)邊分別為$a,b,c$，且滿足$b\cosA+a\cosB=2c\cosC$。（1）求角$C$的大小；（2）若$c=2\sqrt{3}$，$\triangleABC$的面積為$3\sqrt{3}$，求$\triangleABC$的周長(zhǎng)。數(shù)列與數(shù)學(xué)建模（8分）某小班“校園綠植養(yǎng)護(hù)”小組計(jì)劃在空地上種植一排樹苗，第1棵樹苗高1米，以后每棵樹苗的高度比前一棵高0.2米，且每棵樹苗的間距為1米。（1）求第$n$棵樹苗的高度$h_n$（單位：米）；（2）若樹苗成長(zhǎng)期為3年，每年高度增長(zhǎng)比例相同，3年后第5棵樹苗高2.4米，求年平均增長(zhǎng)率（精確到0.1%）。立體幾何與空間向量（10分）如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AC=BC=2$，$\angleACB=90^\circ$，$AA_1=3$，$D$為$A_1B_1$的中點(diǎn)。（1）求證：$CD\perp$平面$A_1ABB_1$；（2）求二面角$A-CD-B$的余弦值。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（10分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx-ax^2+(2-a)x$（$a\in\mathbb{R}$）。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（2）若$a=1$，證明：對(duì)任意$x>0$，$f(x)+e^x>x^2+2$。概率與統(tǒng)計(jì)綜合（10分）某小班40名學(xué)生參加“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)”，成績(jī)分為$A,B,C,D$四個(gè)等級(jí)，對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)分別為90,80,70,60?，F(xiàn)將成績(jī)整理如下表：等級(jí)ABCD人數(shù)816124（1）從該班隨機(jī)抽取1名學(xué)生，求其成績(jī)不低于80分的概率；（2）若從等級(jí)$A$和$D$的學(xué)生中任選2人進(jìn)行訪談，求這2人來(lái)自不同等級(jí)的概率；（3）以該班學(xué)生成績(jī)?yōu)闃颖荆烙?jì)全校1200名學(xué)生中成績(jī)?cè)?0分以上（含70分）的人數(shù)。解析幾何與創(chuàng)新探究（14分）已知拋物線$E:y^2=4x$的焦點(diǎn)為$F$，過(guò)點(diǎn)$F$的直線$l$與拋物線交于$A,B$兩點(diǎn)，點(diǎn)$M$在拋物線的準(zhǔn)線上，且$MA\perpMB$。（1）求點(diǎn)$M$的坐標(biāo)；（2）小班學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)：“直線$AB$過(guò)定點(diǎn)$F$時(shí)，$\triangleMAB$的面積為定值”。請(qǐng)判斷該結(jié)論是否正確，并說(shuō)明理由；若正確，求出定值；若不正確，說(shuō)明變化規(guī)律。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)要說(shuō)明）一、單項(xiàng)選擇題B2.C3.A4.B5.B6.C7.D8.A二、多項(xiàng)選擇題ACD10.ABD11.ABD12.ABC三、填空題斜邊；814.6.815.1016.充分不必要；$\frac{3\sqrt{3}}{2}$四、解答題（部分示例）17.（1）由正弦定理得$\sinB\cosA+\sinA\cosB=2\sinC\cosC$，即$\sin(A+B)=2\sinC\cosC$，因?yàn)?A+B=\pi-C$，所以$\sinC=2\sinC\cosC$，解得$\cosC=\frac{1}{2}$，故$C=\frac{\pi}{3}$。（4分）（2）由面積公式得$\frac{1}{2}ab\sinC=3\sqrt{3}$，即$ab=12$；由余弦定理得$a^2+b^2-ab=12$，即$(a+b)^2=48$，解得$a+b=4\sqrt{3}$，故周長(zhǎng)為$6\sqrt{3}$。（8分）22.（1）$F(1,0)$，設(shè)直線$l:x=ty+1$，聯(lián)立拋物線方程得$y^2-4ty-4=0$，設(shè)$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，則$y_1+y_2=4t$，$y_1y_2=-4$。設(shè)$M(-1,m)$，由$MA\perpMB$得$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$，解得$m=0$，故$M(-1,0)$。（6分）（2）結(jié)論正確。$S_{\triangleMAB}=\frac{1}{2}\times|MF|\times|y_1-y_2|=\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{(4t)^2+16}=4\sqrt{t^2+1}$，當(dāng)$t=0$時(shí)，面積最小為4，非定值。（修正：原結(jié)論錯(cuò)