全國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽函數(shù)極值題試題及答案1.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$在區(qū)間$[0,3]$上的最大值是（）A.2B.0C.22D.-2答案：A2.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}(x\gt1)$，則$f(x)$的最小值為（）A.2B.2+2√2C.2√2D.4答案：B3.函數(shù)$y=x+\frac{4}{x}(x\gt0)$的最小值是（）A.2B.4C.6D.8答案：B4.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的圖象過點$(0,1)$，且在$x=1$處的切線方程為$y=x$，則函數(shù)$f(x)$的最小值為（）A.-1B.-3/4C.1/4D.3/4答案：B5.函數(shù)$f(x)=x^2-2x+3$在區(qū)間$[t,t+1]$上的最小值為$g(t)$，則$g(t)$的最小值為（）A.2B.3C.2D.1答案：A6.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$在區(qū)間$[-2,2]$上的最大值為$M$，最小值為$m$，則$M-m$等于（）A.2B.4C.6D.8答案：D7.函數(shù)$f(x)=e^x-x$在區(qū)間$[-1,1]$上的最小值是（）A.1+1/eB.1C.e-1D.e答案：A8.若函數(shù)$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，則$f(x)$在區(qū)間$[1,e^2]$上的最大值為（）A.1/eB.2/e2C.0D.1/e2答案：A9.函數(shù)$y=x^2-4x+5$在區(qū)間$[0,m]$上的最大值為5，最小值為1，則$m$的取值范圍是（）A.[2,4]B.[0,2]C.(2,4]D.[2,+∞)答案：A10.已知函數(shù)$f(x)=x^2+ax+3$，若$f(x)$在區(qū)間$[-1,1]$上的最小值為-3，則$a$的值為（）A.-7B.3C.3或-7D.-3或7答案：C11.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+p$，若$f(x)$在區(qū)間$[-1,1]$上的最大值為2，則$p$的值為（）A.2B.0C.-2D.-4答案：A12.函數(shù)$y=\sqrt{x^2+2x+5}+\sqrt{x^2-4x+8}$的最小值為（）A.5B.3√2C.√10D.4答案：A13.若函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+1$在區(qū)間$[1,2]$上的最小值為$g(a)$，則$g(a)$的最大值為（）A.1B.0C.-1D.-2答案：A14.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$在區(qū)間$[0,2]$上的最大值為（）A.0B.1C.2D.3答案：B15.已知函數(shù)$f(x)=x^2-2x+3$在區(qū)間$[a,a+1]$上的最小值為$4$，則$a$的值為（）A.-2或1B.1或2C.-1或2D.-2或-1答案：D16.函數(shù)$f(x)=x+\frac{1}{x-1}(x\gt1)$的最小值為（）A.3B.4C.5D.6答案：A17.函數(shù)$y=x^2-2x+2$在區(qū)間$[0,3]$上的最大值為（）A.2B.5C.8D.11答案：B18.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+c$在區(qū)間$[0,2]$上有兩個零點，則$c$的取值范圍是（）A.(-2,2)B.[0,2]C.(-2,0]D.[0,2)答案：C19.函數(shù)$f(x)=x^2-2x+3$在區(qū)間$[t,t+2]$上的最小值為$h(t)$，則$h(t)$的最小值為（）A.2B.3C.2D.1答案：A20.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$在區(qū)間$[a,b]$上的最大值為$M$，最小值為$m$，若$M-m=4$，則$b-a$的最大值為（）A.4B.2C.6D.8答案：A1.下列函數(shù)中，在給定區(qū)間上存在最小值的是（）A.$y=x^2-2x+1$，$x\in[0,3]$B.$y=\frac{1}{x}$，$x\in(0,+\infty)$C.$y=2^x$，$x\inR$D.$y=x+\frac{1}{x}$，$x\in(0,+\infty)$答案：AD2.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$在區(qū)間$[0,2]$上（）A.有最大值2B.有最小值-2C.有極值點D.單調(diào)遞增答案：ABC3.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a\gt0)$在區(qū)間$[m,n]$上的最小值為$f(m)$，最大值為$f(n)$，則（）A.函數(shù)圖象開口向上B.對稱軸$x=-\frac{2a}\leqm$C.函數(shù)在區(qū)間$[m,n]$上單調(diào)遞增D.$f(m)\ltf(n)$答案：ABC4.函數(shù)$y=x+\frac{4}{x}(x\gt0)$的性質(zhì)有（）A.最小值為4B.在$(0,2)$上單調(diào)遞減C.在$(2,+\infty)$上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)答案：ABC5.已知函數(shù)$f(x)=x^2-2x+3$，則（）A.函數(shù)圖象開口向上B.對稱軸為$x=1$C.在$x=1$處取得最小值D.在$(-\infty,1)$上單調(diào)遞減答案：ABCD6.函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$在區(qū)間$[-2,2]$上（）A.有最大值3B.有最小值-1C.有極值點D.不是單調(diào)函數(shù)答案：ABCD7.若函數(shù)$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，則（）A.在$(0,e)$上單調(diào)遞增B.在$(e,+\infty)$上單調(diào)遞減C.最大值為$\frac{1}{e}$D.無最小值答案：ABCD8.函數(shù)$y=x^2-4x+5$在區(qū)間$[0,3]$上（）A.有最小值1B.有最大值5C.對稱軸為$x=2$D.單調(diào)遞減區(qū)間為$[0,2]$答案：ABCD9.已知函數(shù)$f(x)=x^2+ax+3$，若$f(x)$在區(qū)間$[-1,1]$上有最小值，則（）A.對稱軸$x=-\frac{a}{2}\in[-1,1]$B.當(dāng)$-\frac{a}{2}\in[-1,1]$時，最小值為$f(-\frac{a}{2})$C.當(dāng)$-\frac{a}{2}\lt-1$時，最小值為$f(-1)$D.當(dāng)$-\frac{a}{2}\gt1$時，最小值為$f(1)$答案：ABCD10.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+p$，若$f(x)$在區(qū)間$[-1,1]$上有最大值，則（）A.最大值可能為$f(-1)$B.最大值可能為$f(1)$C.最大值可能為$f(0)$D.最大值為$p+2$答案：ABC1.函數(shù)$f(x)=x^2-2x+1$在$x=1$處取得最小值0，所以函數(shù)在$x=1$處有極值。（）答案：√2.函數(shù)$y=x+\frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,+\infty)$上有最小值2，所以函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增。（）答案：×3.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$在區(qū)間$[0,2]$上的最大值為2，最小值為-2，所以函數(shù)在該區(qū)間上是先增后減。（）答案：√4.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的對稱軸$x=-\frac{2a}\in[a,b]$，則函數(shù)在區(qū)間$[a,b]$上的最小值為$f(-\frac{2a})$。（）答案：√5.函數(shù)$y=x^2-4x+5$在區(qū)間$[0,3]$上的最小值為1，最大值為5，所以函數(shù)在該區(qū)間上是先減后增。（）答案：√6.函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$在區(qū)間$[-2,2]$上有最大值3，最小值-1，所以函數(shù)在該區(qū)間上有極值點。（）答案：√7.函數(shù)$f(x)=\frac{\lnx}{x}$在區(qū)間$(0,+\infty)$上有最大值$\frac{1}{e}$，所以函數(shù)在該區(qū)間上是先增后減。（）答案：√8.函數(shù)$y=x+\frac{4}{x}(x\gt0)$的最小值為4，所以函數(shù)在$x=2$處取得最小值。（）答案：√9.已知函數(shù)$f(x)=x^2-2x+3$，其對稱軸為$x=1$，所以函數(shù)在$x=1$處取得最小值2。（）答案：√10.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+p$在區(qū)間$[-1,1]$上有最大值，則最大值一定是$f(-1)$或$f(1)$或$f(0)$。（）答案：√1.函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$在區(qū)間$[0,3]$上的最小值為（）答案：02.函數(shù)$y=x+\frac{9}{x}(x\gt0)$的最小值為（）答案：63.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+6x-1$，則$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為（）答案：$(-\infty,+\infty)$4.函數(shù)$f(x)=x^2-2x+5$在區(qū)間$[1,2]$上的最大值為（）答案：55.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a\lt0)$在區(qū)間$[m,n]$上的最大值為$f(m)$，則對稱軸$x=-\frac{2a}$與區(qū)間$[m,n]$的關(guān)系是（）答案：$-\frac{2a}\leqm$6.函數(shù)$y=x^2-6x+10$在區(qū)間$[2,5]$上的最小值為（）答案：17.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$在區(qū)間$[a,b]$上的最大值為$M$，最小值為$m$，若$M-m=4$，則$b-a$的最大值為（）答案：48.函數(shù)$f(x)=\frac{\lnx}{x}$在區(qū)間$[1,e]$上的最大值為（）答案：1/e9.函數(shù)$y=x^2-8x+17$在區(qū)間$[3,5]$上的最小值為（）答案：110.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+p$在區(qū)間$[-1,1]$上的最大值為2，則$p$的值為（）答案：21.簡述求函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$在區(qū)間$[0,3]$上極值的步驟。答案：求導(dǎo)得$f^\prime(x)=2x-4$。令$f^\prime(x)=0$，解得$x=2$。判斷$f^\prime(x)$在區(qū)間內(nèi)的正負(fù)性：當(dāng)$x\in[0,2)$時，$f^\prime(x)\lt0$，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)$x\in(2,3]$時，$f^\prime(x)\gt0$，函數(shù)單調(diào)遞增。所以$x=2$為極小值點，極小值為$f(2)=2^2-4\times2+3=-1$。再比較區(qū)間端點值$f(0)=3$，$f(3)=3^2-4\times3+3=0$。所以函數(shù)在區(qū)間$[0,3]$上的最大值為3，最小值為-1。2.已知函數(shù)$f(x)=x+\frac{4}{x}(x\gt0)$，如何求其最小值？答案：對函數(shù)求導(dǎo)得$f^\prime(x)=1-\frac{4}{x^2}$。令$f^\prime(x)=0$，即$1-\frac{4}{x^2}=0$，解得$x=2$（$x\gt0$）。當(dāng)$x\in(0,2)$時，$f^\prim