2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)閱讀理解型問題試卷一、概念辨析類第1題閱讀下列材料，回答問題：在數(shù)學(xué)中，要說明某種說法是錯(cuò)誤的，可以舉出一個(gè)具體的例子，這樣的例子又叫做“反例”。例如：命題“若a2=b2，則a=b”是假命題，反例為a=2，b=-2時(shí)，a2=b2=4，但a≠b。已知x，y都是無理數(shù)，且x+y是有理數(shù)，給出下列4種說法：①x-y是無理數(shù)；②xy是無理數(shù)；③x/y是無理數(shù)；④x2+y2是無理數(shù)。（1）上述說法中，錯(cuò)誤的是________________（填序號(hào)）；（2）對(duì)錯(cuò)誤的說法分別舉出一個(gè)“反例”加以說明。第2題閱讀材料并回答問題：中點(diǎn)四邊形是指連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形。研究表明：四邊形的中點(diǎn)四邊形形狀由原四邊形的對(duì)角線關(guān)系決定。例如：平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形。（1）對(duì)角線________的四邊形，它的中點(diǎn)四邊形是菱形；（2）對(duì)角線________的四邊形，它的中點(diǎn)四邊形是矩形；（3）小明認(rèn)為“菱形的中點(diǎn)四邊形一定是正方形”，請(qǐng)判斷該說法是否正確，并說明理由。二、方法探究類第3題閱讀下列材料，完成問題：配方法是指將一個(gè)式子或一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和。例如：用配方法解方程x2-6x+5=0，步驟如下：x2-6x+5=0x2-6x=-5x2-6x+9=-5+9(x-3)2=4x-3=±2解得x?=5，x?=1（1）用配方法解方程2x2-4x-1=0；（2）用配方法求代數(shù)式-x2+6x-5的最大值；（3）已知a2+b2-4a+6b+13=0，求a+b的值。第4題閱讀材料并解決問題：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P(x,y)，我們把點(diǎn)P'(-y+1,x+1)叫做點(diǎn)P的伴隨點(diǎn)。例如：點(diǎn)A(1,2)的伴隨點(diǎn)為A'(-2+1,1+1)=(-1,2)。（1）點(diǎn)B(-3,1)的伴隨點(diǎn)B'的坐標(biāo)為________；（2）若點(diǎn)C的伴隨點(diǎn)C'的坐標(biāo)為(2,-1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為________；（3）已知點(diǎn)M在直線y=x上，點(diǎn)M的伴隨點(diǎn)為M'，當(dāng)點(diǎn)M在直線y=x上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷點(diǎn)M'是否在某條固定直線上運(yùn)動(dòng)，并說明理由。三、實(shí)際應(yīng)用類第5題閱讀下列問題情境，解決問題：某商店銷售一種成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系。當(dāng)銷售單價(jià)為40元時(shí)，每天可銷售300件；當(dāng)銷售單價(jià)為50元時(shí)，每天可銷售200件。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)該商店每天銷售這種商品的利潤為w元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若商店規(guī)定該商品的銷售單價(jià)不低于45元且不高于60元，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？第6題閱讀材料并回答問題：某校為了解學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，A：每天鍛煉超過1小時(shí)；B：每天鍛煉0.5-1小時(shí)；C：每天鍛煉少于0.5小時(shí)；D：不鍛煉。根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（注：此處應(yīng)有扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖，因文本限制省略）已知A等級(jí)的學(xué)生有12人，占被調(diào)查人數(shù)的20%，B等級(jí)的學(xué)生占被調(diào)查人數(shù)的40%。（1）本次共調(diào)查了多少名學(xué)生？（2）求C等級(jí)和D等級(jí)的學(xué)生人數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）若該校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校每天鍛煉超過0.5小時(shí)的學(xué)生人數(shù)。四、幾何推理類第7題閱讀下列材料，完成證明：如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，求證：△ADE∽△ABC。證明過程如下：∵DE∥BC∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（兩直線平行，同位角相等）∴△ADE∽△ABC（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）（1）若把（1）中的已知“DE∥BC”與結(jié)論“△ADE∽△ABC”對(duì)調(diào)，所得的命題是真命題還是假命題？請(qǐng)判斷并說明理由；（2）在（1）的條件下，若AD/AB=1/3，S△ADE=2，求S△ABC的值；（3）若將DE∥BC改為DE與BC不平行，但滿足∠ADE=∠C，求證：AD·AB=AE·AC。第8題閱讀材料并解決問題：已知⊙O的半徑為5，圓心O到直線l的距離為d。根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可知：當(dāng)d<5時(shí)，直線l與⊙O相交；當(dāng)d=5時(shí)，直線l與⊙O相切；當(dāng)d>5時(shí)，直線l與⊙O相離。如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作圓。（1）若⊙C與AB相切，求r的值；（2）若⊙C與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，求r的取值范圍；（3）若⊙C與△ABC的三條邊都相交，求r的取值范圍。五、函數(shù)綜合類第9題閱讀下列材料，回答問題：已知點(diǎn)A(x?,y?)，B(x?,y?)在反比例函數(shù)y=k/x(k≠0)的圖象上，且當(dāng)x?<0<x?時(shí)，y?>y?，則k<0。（1）若點(diǎn)P(2,m)，Q(-3,n)在反比例函數(shù)y=k/x的圖象上，且m<n，求k的取值范圍；（2）已知反比例函數(shù)y=k/x的圖象與一次函數(shù)y=2x+1的圖象交于點(diǎn)A(-1,a)，求反比例函數(shù)的解析式及另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)x為何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值？第10題閱讀材料并解決問題：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b2)/4a)。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)有最小值(4ac-b2)/4a；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值(4ac-b2)/4a。已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2+1（m為常數(shù)）。（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)；（2）當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，函數(shù)的最小值為5，求m的值；（3）若該函數(shù)的圖象與直線y=2x+3交于點(diǎn)A(x?,y?)和點(diǎn)B(x?,y?)，且x?+x?=4，求m的值。六、新定義運(yùn)算類第11題閱讀下列材料，回答問題：定義一種新運(yùn)算“※”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a※b=a2-2ab+b2，例如：3※2=32-2×3×2+22=9-12+4=1。（1）求(-1)※2的值；（2）若x※3=4，求x的值；（3）小明認(rèn)為a※b=(a-b)2，你認(rèn)為他的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由；（4）若m※n=0，且m≠n，判斷關(guān)于x的方程mx2+nx+m=0的根的情況。第12題閱讀材料并解決問題：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P(x,y)，我們把點(diǎn)P'(x+1,y-1)叫做點(diǎn)P的“平移點(diǎn)”。例如：點(diǎn)(2,3)的平移點(diǎn)為(3,2)。（1）點(diǎn)(-1,2)的平移點(diǎn)坐標(biāo)為________；（2）已知點(diǎn)A的平移點(diǎn)為A'(3,4)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)B(m,n)在函數(shù)y=2x的圖象上，且點(diǎn)B的平移點(diǎn)B'也在函數(shù)y=2x的圖象上，求m的值；（4）若將“平移點(diǎn)”定義改為“點(diǎn)P''(x+a,y+b)”（a,b為常數(shù)），已知點(diǎn)Q(1,2)的平移點(diǎn)Q''(3,5)，求點(diǎn)(4,1)的平移點(diǎn)坐標(biāo)。七、數(shù)學(xué)史類第13題閱讀下列材料，回答問題：《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載了“勾股定理”的相關(guān)內(nèi)容。書中提到：“勾股各自乘，并而開方除之，即弦?！庇矛F(xiàn)代數(shù)學(xué)語言表示為：若直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，則a2+b2=c2。（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，求c的值；（2）《九章算術(shù)》中還記載了“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”意思是：一根竹子原高一丈（1丈=10尺），中部折斷，竹梢觸地，離竹根三尺，問折斷處離地面多高？請(qǐng)解決這個(gè)問題；（3）利用勾股定理證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。第14題閱讀材料并回答問題：古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中提出了“三角形內(nèi)角和等于180°”的定理。證明方法如下：過點(diǎn)A作直線DE∥BC∵DE∥BC∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°（平角的定義）∴∠B+∠BAC+∠C=180°即三角形內(nèi)角和等于180°（1）利用上述方法，證明四邊形內(nèi)角和等于360°；（2）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)；（3）在一個(gè)多邊形中，每個(gè)內(nèi)角都等于144°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。八、綜合實(shí)踐類第15題閱讀下列材料，完成問題：某數(shù)學(xué)興趣小組在研究二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，若將其圖象向左平移h個(gè)單位，再向上平移k個(gè)單位，得到的新函數(shù)圖象的解析式為y=a(x+h)2+b(x+h)+c+k。例如：將二次函數(shù)y=x2-2x+3的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到的新函數(shù)解析式為：y=(x+2)2-2(x+2)+3+1=y=x2+4x+4-2x-4+3+1=y=x2+2x+4（1）將二次函數(shù)y=2x2-4x+1的圖象向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，求得到的新函數(shù)解析式；（2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，將其圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后，圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,5)，求a+b+c的值；（3）若將二次函數(shù)y=x2-2x+3的圖象平移后，得到的新函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4)，求平移的方法及新函數(shù)的解析式。第16題閱讀材料并解決問題：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師組織學(xué)生開展了測(cè)量物體高度的活動(dòng)。某小組同學(xué)選擇測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，他們?cè)O(shè)計(jì)了如下方案：在地面上選擇一點(diǎn)A，用測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂端B的仰角為30°，向前走10米到達(dá)點(diǎn)C，再次用測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂端B的仰角為45°。已知測(cè)角儀的高度為1.5米。（1）請(qǐng)根據(jù)上述測(cè)量數(shù)據(jù)，畫出示意圖并求出旗桿的高度（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）若該小組同學(xué)在測(cè)量時(shí)，因風(fēng)力較大導(dǎo)致測(cè)角儀晃動(dòng)，使測(cè)量的仰角出現(xiàn)了±1°的誤差，求旗桿高度的測(cè)量誤差范圍（參考數(shù)據(jù)：tan29°≈0.5543，tan31°≈0.6009，tan44°≈0.9657，tan46°≈1.0355）；（3）除了上述方法外，請(qǐng)你再設(shè)計(jì)一種測(cè)量旗桿高度的方案，并簡要說明測(cè)量步驟。九、拓展探究類第17題閱讀下列材料，回答問題：我們知道，分式的基本性質(zhì)是分式的分子和分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變。例如：(a2)/(ab)=a/b(a≠0)。對(duì)于分式的化簡，除了利用分式的基本性質(zhì)外，還可以利用因式分解、通分、約分等方法。例如：化簡(a2-1)/(a)÷(a-1/a)：原式=(a2-1)/a÷[(a2-1)/a]=(a2-1)/a×[a/(a2-1)]=1（1）化簡：(x2-4x+4)/(x2-4)÷(x-2)/(x+2)；（2）先化簡，再求值：[(x2-1)/(x2-2x+1)+(1-x)/(x+1)]÷x/(x-1)，其中x=2；（3）已知(a+b)/c=(b+c)/a=(c+a)/b=k，求k的值。第18題閱讀材料并解決問題：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)A(x?,y?)，B(x?,y?)，我們定義一種新的距離公式：d(A,B)=|x?-x?|+|y?-y?|，這種距離稱為“曼哈頓距離”。例如：點(diǎn)A(1,2)，B(4,6)的曼哈頓距離為d(A,B)=|1-4|+|2-6|=3+4=7。（1）求點(diǎn)O(0,0)與點(diǎn)P(3,4)的曼哈頓距離；（2）已知點(diǎn)A(2,1)，點(diǎn)B在直線y=x+1上，求d(A,B)的最小值；（3）若點(diǎn)C(x,y)滿足d(O,C)=4（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），畫出所有滿足條件的點(diǎn)C組成的圖形，并求出該圖形的面積。十、實(shí)際應(yīng)用類第19題閱讀下列材料，完成問題：某公司計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要甲材料3千克，乙材料2千克，可獲利100元；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需要甲材料2千克，乙材料3千克，可獲利120元。該公司現(xiàn)有甲材料120千克，乙材料100千克。（1）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，生產(chǎn)B產(chǎn)品y件，求x，y滿足的約束條件，并畫出可行域；（2）在（1）的條件下，求該公司可獲得的最大利潤；（3）若市場(chǎng)行情發(fā)生變化，A產(chǎn)品的利潤變?yōu)?50元/件，B產(chǎn)品的利潤變?yōu)?00元/件，此時(shí)最大利潤是多少？第20題閱讀材料并解決問題：為了響應(yīng)國家“節(jié)能減排”的號(hào)召