2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)抽象能力形成試卷一、選擇題（共10題，每題4分，共40分）1.概念抽象：從具體情境中提取數(shù)學(xué)本質(zhì)某電商平臺(tái)“雙11”促銷期間，商品價(jià)格先上漲10%，再下降10%，若原價(jià)格為a元，則最終價(jià)格可表示為（）A.(a(1+10%)(1-10%))B.(a(1+10%-10%))C.(a+10%a-10%)D.(a(1+10%)(1+10%))考查目標(biāo)：通過經(jīng)濟(jì)生活情境，考查學(xué)生對(duì)百分比變化的抽象表達(dá)能力，要求排除具體數(shù)值干擾，直接用代數(shù)式描述數(shù)量關(guān)系。2.符號(hào)化抽象：用數(shù)學(xué)符號(hào)表征規(guī)律觀察下列等式：(1=1^2)(1+3=2^2)(1+3+5=3^2)(1+3+5+7=4^2)若用n表示正整數(shù)，則第n個(gè)等式可抽象為（）A.(1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2)B.(1+3+5+\dots+(n-1)=n^2)C.(1+3+5+\dots+2n=n^2)D.(1+3+5+\dots+(n+1)=n^2)考查目標(biāo)：要求學(xué)生從具體算式中提取數(shù)量關(guān)系，并用符號(hào)語言表達(dá)一般規(guī)律，體現(xiàn)從特殊到一般的抽象思維過程。3.模型抽象：構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題某城市出租車計(jì)費(fèi)規(guī)則為：3公里以內(nèi)（含3公里）收費(fèi)10元，超過3公里的部分每公里收費(fèi)2.5元（不足1公里按1公里計(jì)算）。若行駛路程為x公里（x>3且為整數(shù)），則車費(fèi)y（元）與x（公里）的函數(shù)關(guān)系可抽象為（）A.(y=10+2.5x)B.(y=10+2.5(x-3))C.(y=2.5x)D.(y=10+2.5(x+3))考查目標(biāo)：結(jié)合生活場(chǎng)景，考查學(xué)生將文字描述轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)模型的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的應(yīng)用性。4.幾何抽象：從圖形中提取位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A.（2，-3）B.（-2，-3）C.（2，3）D.（-3，2）考查目標(biāo)：要求學(xué)生脫離具體圖形的視覺干擾，直接運(yùn)用“關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征”這一抽象規(guī)律解決問題，體現(xiàn)對(duì)幾何變換本質(zhì)的理解。5.邏輯抽象：基于公理體系進(jìn)行推理下列命題中，屬于公理的是（）A.三角形內(nèi)角和等于180°B.平行四邊形對(duì)邊相等C.兩點(diǎn)之間線段最短D.若a=b，則a+c=b+c考查目標(biāo)：考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公理（無需證明的基本事實(shí)）與定理（需推理證明的命題）的抽象區(qū)分能力，理解數(shù)學(xué)邏輯體系的構(gòu)建基礎(chǔ)。二、填空題（共6題，每題5分，共30分）6.數(shù)據(jù)抽象：從統(tǒng)計(jì)信息中提取關(guān)鍵數(shù)據(jù)某班50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的頻數(shù)分布表如下（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：|成績段（分）|40-59|60-79|80-99|100||--------------|-------|-------|-------|-----||頻數(shù)|5||20|5|則60-79分成績段的頻率為__________。考查目標(biāo)：要求學(xué)生從表格中抽象出“頻數(shù)之和等于總數(shù)”的隱含關(guān)系，計(jì)算頻率，體現(xiàn)數(shù)據(jù)處理中的抽象思維。7.代數(shù)抽象：用字母表示未知量并建立關(guān)系若一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，則這個(gè)兩位數(shù)可表示為__________；將其十位與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后得到的新兩位數(shù)為__________，這兩個(gè)兩位數(shù)的差一定能被__________整除（填數(shù)字）?？疾槟繕?biāo)：通過兩位數(shù)的表示，考查學(xué)生用字母抽象未知量的能力，并通過代數(shù)變形發(fā)現(xiàn)規(guī)律（差為9的倍數(shù)），體現(xiàn)代數(shù)抽象的邏輯性。8.空間抽象：將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面展開圖一個(gè)正方體的表面展開圖如圖2所示，若“數(shù)”字所在面為底面，則“學(xué)”字所在面的對(duì)面所標(biāo)的漢字為__________。考查目標(biāo)：要求學(xué)生在二維平面圖形與三維立體圖形之間建立聯(lián)系，抽象出正方體表面展開圖的相對(duì)面關(guān)系，體現(xiàn)空間想象中的抽象轉(zhuǎn)化能力。9.函數(shù)抽象：分析函數(shù)圖像的幾何意義函數(shù)(y=kx+b)（k≠0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)（0，2）和（1，3），則該函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可抽象為方程__________的解?？疾槟繕?biāo)：要求學(xué)生理解函數(shù)圖像與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將“圖像與x軸交點(diǎn)”抽象為“函數(shù)值為0時(shí)的自變量取值”，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的抽象思維。10.概率抽象：用隨機(jī)事件的頻率估計(jì)概率在一個(gè)不透明的袋子中裝有紅球和白球共20個(gè)，每次摸出一個(gè)球后放回?cái)噭颍?jīng)過1000次試驗(yàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則可估計(jì)袋子中紅球的個(gè)數(shù)約為__________?？疾槟繕?biāo)：考查學(xué)生對(duì)“頻率與概率關(guān)系”的抽象理解，將多次試驗(yàn)的頻率穩(wěn)定值抽象為概率的估計(jì)值，體現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象中的抽象思維。三、解答題（共4題，共80分）11.概念辨析與抽象表達(dá)（18分）（1）在學(xué)習(xí)“分式”概念時(shí)，小明認(rèn)為“(\frac{x}{2})是分式”，小紅認(rèn)為“(\frac{2}{x})是分式”，請(qǐng)判斷兩人的說法是否正確，并說明理由。（6分）（2）結(jié)合分式的定義，抽象出“分式有意義”的條件，并舉例說明。（6分）（3）若分式(\frac{x^2-4}{x+2})的值為0，求x的值，并說明在求解過程中需要注意的抽象原則。（6分）考查目標(biāo)：通過分式概念的辨析，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定義的抽象理解（分式的本質(zhì)是“分母含字母的代數(shù)式”），并能運(yùn)用定義解決問題，體現(xiàn)抽象概念的嚴(yán)謹(jǐn)性。12.模型構(gòu)建與抽象應(yīng)用（20分）某學(xué)校計(jì)劃在校園內(nèi)修建一個(gè)長方形花壇，要求花壇的面積為48平方米，且長比寬多2米。設(shè)花壇的寬為x米，（1）用含x的代數(shù)式表示花壇的長，并列出關(guān)于x的方程；（8分）（2）將方程化為一般形式，并指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)；（6分）（3）若花壇的寬為整數(shù)米，求花壇的長和寬。（6分）考查目標(biāo)：要求學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出長方形的長、寬與面積的關(guān)系，建立一元二次方程模型，并通過方程求解解決問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的應(yīng)用價(jià)值。13.幾何證明與抽象推理（22分）如圖3，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，（1）求證：AD⊥BC；（10分）（2）若∠BAC=120°，AB=6，求AD的長；（6分）（3）在（2）的條件下，抽象出等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的幾何語言表達(dá)形式。（6分）考查目標(biāo)：通過等腰三角形的性質(zhì)證明，考查學(xué)生從圖形中抽象出全等三角形的判定條件（SSS或SAS），并能用幾何語言規(guī)范表達(dá)推理過程，體現(xiàn)幾何證明中的邏輯抽象能力。14.綜合實(shí)踐與抽象創(chuàng)新（20分）某數(shù)學(xué)興趣小組開展“用數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量教學(xué)樓高度”的實(shí)踐活動(dòng)，如圖4，小明站在教學(xué)樓前水平地面上的點(diǎn)C處，用測(cè)角儀測(cè)得教學(xué)樓頂端A的仰角為30°，已知測(cè)角儀的高度CD=1.5米，點(diǎn)C到教學(xué)樓底部B的距離CB=20米，（1）請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，抽象出一個(gè)直角三角形模型（畫出示意圖，標(biāo)注已知量和未知量）；（8分）（2）利用解直角三角形的知識(shí)，求出教學(xué)樓的高度AB（結(jié)果保留根號(hào)）；（8分）（3）若小明將測(cè)角儀換成激光測(cè)距儀，直接測(cè)得AC=25米，能否通過抽象出勾股定理模型求出AB的高度？請(qǐng)說明理由。（4分）考查目標(biāo)：通過實(shí)際測(cè)量問題，考查學(xué)生將現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景抽象為數(shù)學(xué)模型（直角三角形、勾股定理）的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象在解決實(shí)際問題中的創(chuàng)新應(yīng)用。四、附加題（共20分，不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）15.抽象思維拓展：從特殊到一般的規(guī)律探究觀察下列等式：第1個(gè)等式：(1^2=1)第2個(gè)等式：(1^2+2^2=5)第3個(gè)等式：(1^2+2^2+3^2=14)第4個(gè)等式：(1^2+2^2+3^2+4^2=30)…（1）根據(jù)以上等式，猜想第n個(gè)等式（用含n的代數(shù)式表示）；（8分）（2）利用（1）中的猜想，計(jì)算(1^2+2^2+3^2+\dots+10^2)的值；（6分）（3）嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想（只需寫出證明的第一步“基礎(chǔ)驗(yàn)證”）。（6分）考查目標(biāo)：通過數(shù)列求和的規(guī)律探究，考查學(xué)生從具體等式中抽象出一般公式的能力，體現(xiàn)高階抽象思維中的歸納與推理能力。試卷設(shè)計(jì)說明：內(nèi)容覆蓋：試卷嚴(yán)格依據(jù)2025年初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)要求，覆蓋代數(shù)（分式、函數(shù)、方程）、幾何（三角形、四邊形、圓）、統(tǒng)計(jì)與概率等核心模塊，重點(diǎn)考查“數(shù)學(xué)抽象”這一核心素養(yǎng)。能力層次：從“概念抽象”“符號(hào)抽象”“模型抽象”到“綜合創(chuàng)新抽象”，逐步提升難度，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)“螺旋式上升”的教材