華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第二十四章解直角三角形》單元測(cè)試卷

帶答案解析

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

一、單選題

1.如圖：在VA8C中，AB=AC=9,N84C=120。，AO是VA3C的中線，AE是NB4O

的角平分線，〃AA交4石的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡則的長(zhǎng)為（）

r

A.4.5B.5C.9D.10

2.如圖，在中，NC=90。，/B=30。，點(diǎn)E,F在斜邊AB上，且滿足

AE=EF=FB=2,點(diǎn)尸在直角邊3C上，且滿足PH+*'=5,則這樣的P點(diǎn)個(gè)數(shù)有（）

3.如圖，在VA4c中，NC=90。，4=30。，8。是V43c的角平分線，如果點(diǎn)。到八8的

距離為2,那么AC的長(zhǎng)為（）

4.如圖，在VA6C中，ZfiAC=3（T,3D、CE分別為AC、A8邊上的高，若"AE=6,6E=8,

則CO的長(zhǎng)為（）

A.2>/3B.3x/3C.7>/3-3D.4《

5.如圖，在菱形"CO中，AC交80于點(diǎn)0,Z4BC=140°,根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡，判

斷NOEO=()

6.在VA8C中，ZABC=60°,AB=6,BC=10,點(diǎn)、尸為AB上一點(diǎn),。為VA8C內(nèi)部一

點(diǎn)，且S"B0:S3c=3:5,則PQ+AQ的最小值為()

7.如圖，在VA8C中，ZC=90°,ZA=15°,ZDBC=60°,AD=6,則3c的長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

8.如圖，在矩形AAC。中，AB=4,BC=6,矩形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作P￡_LA。于

A.3x/3B.4GC.3+4x/3D.4+3>/3

二、填空題

9.如圖，點(diǎn)E在N8OA的平分線上，EC1O8于點(diǎn)C,點(diǎn)尸在0A上，若ZAFE=30。，EC=3,

則用'

10.在NABC中，ZA=60。,BC=底=百,AC>A8,則線段AC與AB長(zhǎng)的差為

AD〃BC,A8=8cm,CD=7cm,AD=5cm,48=600,

那么8c的長(zhǎng)為.cm

12.如圖，在VA3c中，點(diǎn)。，￡分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)”是線段OE上的一動(dòng)點(diǎn),

連接BF,ZA陽(yáng)=90。，BC=9,EF=2,則A8的長(zhǎng)尾

13.如圖，一副三角板ABC和中,

ZACB=ZD=90°,ZB=30°,ZE=45°,BC=EF=8.將它們疊合在一起，邊BC與E/重

合，C。與48相交于點(diǎn)G(如圖1).現(xiàn)將△￡)￡/繞點(diǎn)C(F)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，邊E尸與AB

相交于點(diǎn)〃，連結(jié)OH,在旋轉(zhuǎn)0。到60。的過(guò)程中，線段DH掃過(guò)的面枳是

C(F)

三、解答題

14.如圖，在RlZ\A8C中，C。是斜邊A8上的中線.

(1)延長(zhǎng)線段AC,請(qǐng)用無(wú)刻度的百尺和圓規(guī)在射線AC上找一點(diǎn)E,使NCBE=NBCD(保

留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)若AC=6,8C=8,求跖的長(zhǎng).

15.實(shí)踐操作：如圖是6'8的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,線段A8的端點(diǎn)都

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出以為邊的oABCO,使得tan/ABC=l,面積等于8；

(2)請(qǐng)?jiān)趫D中將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，使得點(diǎn)〃落在點(diǎn)石處，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的線段AE；

(3)連接。石，并直接寫出OE的長(zhǎng).

16.如圖菱形A6CZ)中，26-60%點(diǎn)E在邊6C上，點(diǎn)尸在邊CD上，且44尸=6(尸.

(1)求證：△4￡：尸是等邊三角形.

(2)若BE=2,DF=6,求△h￡尸的面積.

17.如圖，在平行四邊形A3CO中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)4作AE_L8C于點(diǎn)E,

延長(zhǎng)8C到點(diǎn)F,使。尸=6七，連接。尸.

(1)求證：四邊形A。正是矩形：

(2)連接0〃，若AO=8,EC=6,^BAE=30P,求0戶的長(zhǎng)度.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，OA=2,點(diǎn)B

在反比例函數(shù)y=&(Q0i的圖象上，△084為等邊三角形，延長(zhǎng)8。與反比例函數(shù)y=或的

xx

圖象在第三象限交于點(diǎn)C.連接C4并延長(zhǎng)與反比例函數(shù))，=4的圖象在第一象限交于點(diǎn)D

X

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及△Q4。的面積；

⑶在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以A,D,。為頂點(diǎn)的三角形與VA8C相似，若存在，請(qǐng)直

接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案及解析

1.A

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出AO是N6AC的平分線，AD±BC,結(jié)合已知求出AO,

根據(jù)AE是NBA。的角平分線，DF//AB,求出“凡4=ND4尸，從而求出

【詳解】解：在VABC中，AB=AC=9,N84C=120。，

ZB=ZC=30°,

?.?AD是VA3C的中線，

」.A。是-84。的平分線，ADJ.BC,

ZBAD=-ZBAC=60°,ZADB=90°,

2

AD=-AB=4.5,

2

VAE是NBAD的角平分線，

ZDAF=NBAF=-/BAD=30°,

2

-DF//AB,

:,ZDFA=ZBAF=30°,

:.ZDFA=ZDAF,

DF=AD-4.5.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考杳了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判

定和性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握含30。角的百角三角形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】本題考查軸對(duì)稱，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理，30。直角三角形性質(zhì)；運(yùn)用軸對(duì)

稱知識(shí)，作線段的等量轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵.作尸關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)小，連接FF'交BC于點(diǎn)

O,則ACJ,E￡,連接尸E交BC于P,過(guò)尸作尸77J./1A于從先利用兩點(diǎn)之間，線段最

短，得出PEi尸尸的最小值為線段EU的長(zhǎng)度，利用勾股定理和30。直角三角形性質(zhì)求出

EF=2+<5,再分別判斷：當(dāng)P在點(diǎn)B處時(shí)，PE+PF=6>5；當(dāng)P在點(diǎn)C處時(shí)，

PE+PF=A+力>5,當(dāng)P在4c邊上時(shí)，存在兩個(gè)點(diǎn)尸使PE+P/=5.

【詳解】解：作尸關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)/，連接"■，交BC于點(diǎn)Z),則8C_LfF,

連接F'E交8C于P,過(guò)戶'作尸77J.A8于”,

，：F,9關(guān)于3C對(duì)稱，

PF=PF，

/.PE+PF=PE+PF',

?兩點(diǎn)之間，線段最短,

???依+'的最小值為線段EF'的長(zhǎng)度，

VBF=2,=30°,DFlBCt

；?DF=1,NBFD=60。，

，F(xiàn)F'=DF+DF'=2DF=2,

:F'HLAB,

:.NFF'H=3W，HF-},HF'-yf5,

VEF=2,

:.HE=HF+EF=l+2=3,

:.EF7FHTHE，=/可+3?=26<5,

當(dāng)戶在點(diǎn)8處時(shí)，PE+PF=BE+BF=BF+BF+EF=2+2+2=6>5,

當(dāng)。在點(diǎn)C處時(shí)，連接CE,CF,過(guò)C作CV_L四于M,

VZC=90°,4=30。，AB=AE+EF+FB=6,

AAC=-AB=3,BC=8AC=36

??,QfLAB,

AZAMC=90°,

：,CM=-BC=->/3,BM=6CM=2,

222

105

:.EM=BM-BE=BM-(BF+EF)=-,FM=BM-BF=一一2=—，

222

3I

在RtZ\CME中，CM=-x/3,ME=-,NG陀=90°,

22

???CE7CM、ME?=V7，

as

在RlZkCFM中，CM=二0,FM=—,NCM/=90°,

22

???CF=yJCM2+FM2=713，

當(dāng)P在C處時(shí)，PE+PF=CE+CF=屈+曰>5,

???當(dāng)P在8C邊上時(shí)，存在兩個(gè)點(diǎn)P使莊+P”=5,

故選：c.

3.C

【分析1本題主要考查了用平分線的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，過(guò)0作

DEuLAB于E,由題意可知，DE=2,根據(jù)角平分線的定義得NA8O=NC3O=30。，貝

ZA=ZABD,進(jìn)而得出4)=8。，再利用含30。角的直用三角形的性質(zhì)可得8。的長(zhǎng)，從而

解決問(wèn)題.

【詳解】解：過(guò)。作QEJ.AB于七，由題意可知，DE=2,

VZC=90°,NA=30°,

ZABC=60°,

*/8。是V48C的角平分線，

/.ZABD=ZCBD=30°,CD=DE=2,

ZA=ZABD,

/.AD=BD,

在RiZ\8CD中，

VZCBD=30°,CD=2,

J8。=2c￡>=4,即AD=4,

JAC=AD+CD=4+2=6,

故選：C.

4.B

【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，設(shè)EC=。，則AC=2a,

勾股定理求得。=2⑺，在RtaBCE中，BC=4BE2+CE1=際，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直

角三角形的性質(zhì)得出8/3=7,在■△8CQ中，勾股定理，即可求解.

【詳解】解：在VABC中，ZBAC=30°,A￡=6,BE=8,

/.AB=AE+BE=14,

?:BD、CE分別為AC、48邊上的高，

/.ZAEC=ZADB=/BEC=90°,

BD=-AB=7,

2

設(shè)EC=a,則AC=2a,

?*,RSAEC中,AE=\lAC2—CE2==6?

:.a=2&，

在中,BC=\lBE2+CE2=V76,

在RiABCD中，CD=ylBC2-BD2=776-72=3>/3?

故選：B.

5.A

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角等，由

菱形的性質(zhì)可得；NA8C=70。，由尺規(guī)作圖痕跡，可得。七_(dá)L8C,再根據(jù)直角三

角形斜邊中線的性質(zhì)，得出。E=；8Q=OD,最后根據(jù)等邊對(duì)等角即可求解.

【詳解】解：???四邊形A88是菱形，ZABC=140°,

：.OB=OD,ZDBC=-^ABC=10°,

2

由尺規(guī)作圖痕跡，可得。E_LBC,

，ZBED=90°,

/./BDE=200.

?：OB=OD,即點(diǎn)。是8D的中點(diǎn)，VBDE是直角三角形,

：.OE=-BD=OD,

2

???NOED=/BDE=2伊.

故選：A.

6.C

【分析】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，角平分線的判定，勾股定理，含30度角的直角三角

形的性質(zhì)；能夠通過(guò)給的面積關(guān)系，確定。點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

設(shè)。點(diǎn)到A8的距離為八。點(diǎn)到3C的距離為人根據(jù)面積比求得〃=3則。點(diǎn)在NABC的

角平分線上，作A點(diǎn)關(guān)于BQ的對(duì)稱點(diǎn)￡,當(dāng)P、Q、￡三點(diǎn)共線，且￡尸_143時(shí)，PQ^-AQ

的值最小，此時(shí)最小值為〃￡,在等邊三角形4夕￡中求出心的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：設(shè)Q點(diǎn)到48的距離為〃，Q點(diǎn)到打。的距離為女，

SJBQ:S.QBC=(；x6/?俐)=3:5,

h=k,

.?Q點(diǎn)在一人BC的角平分線上，

作A點(diǎn)關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)芯，

PQ+AQ^PQ+QE>PE,

當(dāng)P、Q、E三點(diǎn)共線，且切時(shí)，0Q+AQ的值最小，此時(shí)最小值為QE,

QZABC=60%

「△AW?是,等i力二角形,

...BE-48=6,

/.NPEB=3",

BP=3,

.?.PE='62—32=35

.??。。+人。的最小值為3右，

故選：C.

7.C

【分析】先根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到N8QC=30。，再由外角結(jié)合等腰三角形的判定

得到/加=。8,最后由含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解:V"=90°.ZDBC=60°,

/.ZBDC=9()°-ZDBC=30°=ZA+ZABD,

?:ZA=15°,

???ZABD=30°-ZA=15°=Z4,

/.AD=BD=6,

VZBDC=30°,ZC=90°,

,BC=-BD=3,

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，含3()。角的直角三角形的

性質(zhì)，三角形的外角定理，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

8.D

【分析】本題涉及到圖形的旋轉(zhuǎn)、等邊三角形的性質(zhì)以及垂線段最短的原理.通過(guò)旋轉(zhuǎn)△8PC,

將依和PC進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用垂線段最短來(lái)確定PE+P8+PC的最小值.

【詳解】解：如圖所示，將點(diǎn)"順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得至連接GP交BC于

H,

8CF和△8GP為等邊三角形，/尸8G=60。,

:.PC=GF,BP=GP=BG,

/.PE+PB+PC=PE+PG+GF,

如圖，當(dāng)尸，G,P,E在司一直線上時(shí)，莊+P8+PC的最小值等于E尸的長(zhǎng)，F(xiàn)HLBC,

,?*AB=4,BC=6?

工矩形中，EH=AB=4,

???△8CF是等邊三角形，

:?BC=BF=FC=6,4HBF=GT,

RABFH中,in600=—=—,

sBF2

.\/7F=—A?F=—X6=3N/3,

22

/.EF=EH+HF=4+3x/J,

即莊+P8+PC的最小值等于4+36,

故選：D.

9.6

【分析】本題考查了角平分線、含3U。角直角二角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握含對(duì)。角

直角三角形的性質(zhì)，從而完成求解.根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得ED=EC=3,再根據(jù)含30。角

直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)E作￡Q_LQ4,交OA于點(diǎn)。

???點(diǎn)E在N80A的平分線上，ECJ-OB,

VZAFE=30°,EDLOA

EF=2ED=6

故答案為：6.

10.1

【分析】本題主要考查了勾股定理，三角形面積計(jì)算，含30度的直角三角形的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理.過(guò)點(diǎn)3作于點(diǎn)兒設(shè)4C=x,AB=y,根據(jù)直角三

角形的性質(zhì)得出A"=gA8=；y,根據(jù)勾股定理得出配/=>JAB2-AH2=#48=y,

求出刈=4,根據(jù)勾股定理得出序］+1-；;=網(wǎng)2,化簡(jiǎn)得出口）2=1,根據(jù)

AOAB,即x>y,求出結(jié)果即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)”，如圖所示：

則ZAHB=4BHC=90°,

設(shè)AC=＜，A8=y,

VZ4=60°,

???/A8”=90°—6()°=3()°,

AH=-AB=-y,

22

，BH=ylAB1-AH~=^AB=—y,

22'

*'S\'ABCJACBH=gx￡y=百,

:.貨=4,

,**CH=AC—AH=x—y，BH=y,BC=\[5，

2一2-

，根據(jù)勾股定理得：BH2+CH2=BC\

即悍y卜卜-;“=(可’

/.-y2+X2-xy^+-y2=5,

4'4,

??F，=4,

x2-2xy+y2=I,

/.(x-y)2=1,

VAC>AB,即x>y,

：.x-y=\,

即AC-AB=\.

故答案為：1.

11.9

(分析]過(guò)點(diǎn)。作OE〃延交BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作DF1BC于點(diǎn)F，得NDEC=NB=&F,

NEO/=90°—NOEC=3(F,證明四邊形A8EO是平行四邊形，得。石=A8=8,BE=AD=5,

繼而得至D=JOE=4,再利用勾股定理得。產(chǎn)=&>￡_E尸=4#，???

FCuyJaf-DF=1，最后由8C=BE+砥+”1可得答案?

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。E〃A8交8c于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作_L8c尸點(diǎn)尸，

AZDEC=ZB=60°,ZDFE=90°=ZDFC,

???/匹卜=90。一/?！辏骸?90。-60。=30。，

；AD〃BC,A6=X,CD=/,AD=5f

:.四邊形A8EO是平行四邊形，

ADE=AB=S,BE=AD=5,

：.￡F=-D￡=-x8=4,

22

,DF=VDE2-EF2=V82-42=473，

，F(xiàn)C={CD?-DF?=卜一(4可=1,

??.4c=8E+M+FC=5+4+l=9(cm),

即改?的長(zhǎng)為9cm.

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知

識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線構(gòu)造平行四邊形、直角三角形是解題的關(guān)鍵.

12.5

【分析】本題考查三角形的中位線定理，斜邊上的中線，根據(jù)三角形的中位線定理，求thOE

的長(zhǎng)，進(jìn)而求出。尸的長(zhǎng)，根據(jù)斜邊上的中線，求出A8的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：???點(diǎn)。，E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，

19

:?DE=-BC=二,

22

???DF=DE-EF=^,

???ZAFB=90°,

Z.DF=-AB=-,

22

AB=5；

故答案為：5.

13.8+—?r-85/3

3

【分析】將即繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△。耳產(chǎn)，F(xiàn)￡與人4交于G.連接"。，

△。遂/是4所旋轉(zhuǎn)0。到6()。的過(guò)程中任意位置，作。NJ.CR于M過(guò)點(diǎn)B作

交RQ的延長(zhǎng)線于M,首先證明ACR。是等邊三角形，點(diǎn)A在直線A8上，然后可得線段

掃過(guò)的面積是弓形口外。的面積加上△QOB的面積，求出DN和然后根據(jù)線段

?！睊哌^(guò)的面積=5那卬產(chǎn)+SdfDB=S成形3/)-S《RD+S/“陽(yáng)列式計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，將4)歷繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△￡>￡/,%與相交于G-連接

D、D,AD1,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，NECB=NDCR=60。,CD=CDlf

???△CR。是等邊三角形，

*/ZABC=30°,

...ZCG,B=90°,

???CG尸;BC,

??,CE、=BC,

CG}=；CE、,

即AB垂直平分CE-

是等腰直角三角形，

，點(diǎn)。?在直線A8上，

ME#是△DEF旋轉(zhuǎn)0。到60。的過(guò)程中任意位置，

則線段掃過(guò)的面積是弓形的面積加上△OQ4的面積，

???BC=EF=S,

，DC=D13=—BC=4應(yīng)，

2

/.D\C=D、D=4叵,

作DNtCQ于N,

則ND]=NC=26,

ADN=gD【-ND：=小可_(2可=2幾，

過(guò)點(diǎn)B作BMJ.RD交DQ的延長(zhǎng)線于M,

則NM=90。，

VZD,DC=60°,ZCDB=90°,

??.NBDM=180°-ND\DC-ZCDB=30°,

???BM=-BD=2>/2,

2

，線段DH掃過(guò)的面積=6弓形卬”〉+SA卬泗

=S扇形CO|Q-S4CR/)+SRDB

60M4夜丫11

=——-——L——x4V2x2V6+-x4V2x2^

36022

=8+—7c-8x/3,

3

故答案為：8+與兀-8石.

C(F)

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)，二次根式的運(yùn)算，解

直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積計(jì)算等知識(shí)，作出圖形，證

明點(diǎn)A在直線A8上是本題的突破點(diǎn)，靈活運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

14.（1）見(jiàn)解析；

⑵BE=10.

【分析】本題考查了無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖，三角形中位線定理，勾股定理.，解題的關(guān)鍵

是無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作四和三角形中位線定理.

（1）根據(jù)題意，用圓規(guī)作NC8E=N8C。，連線把交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,即為所作圖形；

（2）根據(jù)勾股定理求得A8,利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出a）=AO=BO=；AB=5,

由8〃BE,三角形中位線定理，即可得解.

【詳解】⑴解:如圖所示:

瓦

c

ADB

(2)解：vZC=90°,

CO是斜邊A3上的中線,

NCBE=NBCD,

..CD//BE,

二.CO為&的中位線,

.\BE=2CD=\0.

15.(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

（3）見(jiàn)解析，DE=2曬

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)定義進(jìn)行作圖即可;

（2）畫(huà)出點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)￡,然后連接AE即可；

（3）根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可.

【詳解】（1）解：如圖，口人8co即為所求作的平行四邊形;

°aAHCI)=4x2=8；

（2）解:如圖，AE即為所求；

（3）解：如圖，連接OE,則力石=j6?+22=2而.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了網(wǎng)格作圖，求角的正切值，勾股定理，旋轉(zhuǎn)作圖，平行四邊形的性

質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握網(wǎng)格特點(diǎn)，三角函數(shù)定義.

16.(1)證明見(jiàn)解析

(2)1373

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾

股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)連接AC,如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得=而/8=6()。，則可判定VA8C為等邊

三角形，得至1」/2=60。,/1+/4=60。,4。二人8,易得4?！?60。,/1=/3,然后利用ASA

可證明△AEBgAAFC,于是得到他=AF,即可證明CAE廠是等邊三角形；

(2)過(guò)點(diǎn)A作人，1BC于點(diǎn)〃，過(guò)點(diǎn)A作AG_LEV于點(diǎn)G,先根據(jù)(1)中全等三角形得

至ij8E=b=2,AB=CD=S,而N84”=30。，由30。角直角三角形性質(zhì)以及勾股定理求得

BH=4AH=46,再由勾股定理求得A￡=j4〃2+〃爐=2萬(wàn)，同理可求：

EG=^AE=y/\3,AG=6EG=底,最后由面積公式求解.

【詳解】(I)證明：連接AC,如圖，

???四邊形A4c。為菱形，

AAB=BC,ZACB=AACF,

VZB=60°,

/.VA8C為等邊三角形，

???Z2-60°,Z1+Z4-ZBAC-60°,AC-ABt

/.ZAC尸=60。，

ZB=ZACF,

VZE4F=60°,即N3+N4=60°,

Nl=N3,

在AAEB和AAFC中,

Z1=Z3

<AB=AC,

NB=ZACF

.,.AAEB^AAFC(ASA),

AE=AF,

又「ZE4F=60°,

???是等邊三角形；

(2)解：過(guò)點(diǎn)A作A”13c于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)A作AGJ_即于點(diǎn)G,

AD

A/

BEHC

VAAfB^AAFC

:?BE=CF=2,

???在菱形488中，AB=CD=CF+DF=2+6=S,

VAHYBC,/8=6()。,

/./8Aa=30°,

，BH=-AB=4

2t

**-AH=^AB--BH2=45EH=BH-BE=2,

AAE=>JAH2+HE2=J(4可+2?=2萬(wàn),

:是等邊三角形,

/.ZAEF=60°,EF=AE==2713,

,?AG1EF,

???同理可求：EG=-AE二屈，AG=逐EG二底,

2

?,?S.EF=gMxAG二；x2V13xx/39=13x/3.

17.(1)見(jiàn)解析

⑵2"

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上

的中線性質(zhì)等知識(shí)；正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

(1)由平行四邊形性質(zhì)得到且AO=8C,即可得到石尸=8。，可得AEF。是平行

四邊形，根據(jù)矩形的判定即可得到結(jié)論；

(2)由矩形的性質(zhì)得到防=AO=8C=8,DF=AE,進(jìn)而求得8E=CF=2,BF=1(),

由勾股定理可求得。/和80,由平行四邊形性質(zhì)得。8=。。，由直角三角形斜邊的中線等

于斜邊的一半即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???在平行四邊形/18CQ中，

/.AO〃3c且AD=BC,

/.BE+EC=CF+EC,

即即=8C.

，AD〃EF且AD=EF,

???四邊形4瓦'。是平行四邊形，

又?:AE工BC,

???ZAEF=90°,

???0皿石是矩形；

（2）解：由（1）知：四邊形AOFE是矩形,

AEF=AD=BC=S,DF=AE,

VEC=6,

???BE=CF=2,

：.斯=10,

在RiaABE中，ZBAE=3（y,ZAEB=90°,

，AB=2BE=4,

DF=AE=ylA^-BE2=742-22=2x/3?

???在RtdBFD中，BD=’8尸-十DF）=4y/7，

???四邊形人8CO是平行四邊形，

；,OB=OD,OF=LBD=2幣.

2

18.⑴y=3

X

⑵點(diǎn)。的坐標(biāo)為卜,日），s△加,=理

⑶點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3.0）或（￥，0：

【分析】（I）作/尸J_x軸于點(diǎn)尸，