專題12空間向量與立體幾何20類解答題專練

知識(shí)點(diǎn)梳理

模塊一平行證明（拆分練習(xí)）

【題型1］由中位線得出平行關(guān)系

【題型2】構(gòu)造平行四邊形得到平行關(guān)系

【題型3】由面面平行得出線面平行

【題型4】構(gòu)造2個(gè)平面的交線

模塊二垂直證明（拆分練習(xí)）

【題型5】證明線面垂直

【題型6】證明異面直線垂直

【題型7】證明面面垂直

【題型8］平行垂直的向量證明方法

模塊三點(diǎn)與面

【題型9］證明四點(diǎn)共面

【題型10］求點(diǎn)到平面的距離

模塊四空間中的角

【題型II】異面直線夾角

【題型12］線面角

【題型13］求二面角（重點(diǎn)）

【題型14］求面面角（重要）

【題型15］已知線面角或二面角，求其它量（重要）

【題型16］與角有關(guān)的最值與范圍問題（難點(diǎn)）

模塊五探究類問題

【題型17］驗(yàn)證滿足平行條件的點(diǎn)是否存在

【題型18】驗(yàn)證滿足垂直條件的點(diǎn)是否存在

【題型19】臉證滿足角度條件的點(diǎn)是否存在

【題型20］已知點(diǎn)到平而距離，求參數(shù)

知識(shí)點(diǎn)梳理

一、平行證明：

中位線法，平行四邊形法，構(gòu)造平行平面法

證明四點(diǎn)共面一般轉(zhuǎn)化為證明平行

二、垂直證明

證明直線與直線垂直：

1、如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線。這是證明直線

與直線垂直最常用的方法。

2、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，那么另一條也垂直于這條直線。

3.三叁線定理及及逆定理。

4、勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)是一組勾股數(shù)，則這個(gè)三角形是一個(gè)直角三角形。

5、等腰三前形三線合一：等腰三角形底邊上的中線、頂角角平分線和底邊上的高是同一條線段。

6、菱形對(duì)角線互相垂直。

7、矩形的相鄰兩邊垂直。

8、全等或相似三角形中的垂直

證明直線與平面垂直：

1、如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。

2、如果兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

3、如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。

4、如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也垂直于另一個(gè)平面。

證明平面與平面垂直：

I、如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。

2、如果二面角的平面角是直角，那么二面角的兩個(gè)面所在的平面互相垂直。

3、式棱柱的底面垂直千側(cè)面.

三、點(diǎn)到平面的距離

(1)法一：等體積法

四、異面直線所成角

已知。，〃為兩異面直線，A,C與B,。分別是〃，/?上的任意兩點(diǎn)，4,〃所成的角為氏則

五、線面角

設(shè)直線/的方向向量為〃，平面。的法向量為〃，立線與平面所成的南為。.〃與〃的用為9,則有

六、面面角

【題型2】構(gòu)造平行四邊形得到平行關(guān)系

(2)解：以。為原點(diǎn)，CD,CB,CG所在直線分別為x軸、y軸、Z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

【題型3】由面面平行得出線面平行

1.如圖，四邊形A5CO為矩形，尸是四棱錐產(chǎn)一A68的頂點(diǎn)，E為8c的中點(diǎn)，請(qǐng)問

在附上是否存在點(diǎn)G,使得EG〃平面PCQ,并說明理出

【答案】在以上存在中點(diǎn)G,使得EG〃平面PC。，理由如下：

取以、夕。的中點(diǎn)G、H,連接￡G、GH、CH

，：G、〃是以，PO的中點(diǎn)，，△外。中，可得G”〃人。且G〃=5人。

又「七是8C的中點(diǎn)，且四邊形八8C。為矩形，

???比〃八。且七?！?。，

2

:?EC、GH平行且相等，可得四邊形EC〃G是平行四邊形

：.EG//CH,

乂???C”u邛:面PC。，EGQ平面PCD,

???EG〃平面PCD.

【答案】證明：設(shè)H是。G的中點(diǎn)，連接NH,MH,

由于加是。尸的中點(diǎn)，所以M〃〃C。，

由于平面CDE,CDc平面CDE,

所以MH〃平面CDE.

由于N是EG的中點(diǎn)，所以NH//DE,

由于由于N〃Q平面CDE,DEC平面CDE,

所以N”〃平面CDE.

由于N“nM”="，

所以平面MM7〃平面CDE,

由于MNu平面MNH,所以A1N〃平面CDE.

【題型4］構(gòu)造2個(gè)平面的交線

因?yàn)镋,P分別為BICI,CC1的中點(diǎn)，故EP〃2cBi且EP=2CB1,

所以FD〃AIP,又FDu平面EFC,A1PQ平面EFC,

故A1P〃平面EFC;

2.如圖，四棱錐尸一ABCD的底面為正方形，且2。_1面488.設(shè)平面附。與平面

P8C的交線為/.證明：1//CB

【證明】證明：因?yàn)锳BCD為正方形，:.BC//AD,

又丁3（工平面PAD,4。一平面PAD.

BC〃平面布。

又?.?8C<-平面PCB,平面附DPI平面PCB=l,

???/〃CD.

模塊二垂直證明（拆分練習(xí)）

【題型5】證明線面垂直

【解答】解：證明：取尸。的中點(diǎn)尸，連接4尸，EF,

【題型6】證明異面魚發(fā)垂直

【解答】證明：連接A尸，

取BC中點(diǎn)G,因?yàn)镋G〃AB,所以BF_LEG,

又???△BFCg^BlGB,故B1GJ_BF

???BFJ-平面EGB1D

???D&z平面EGBID

...BFJLDE

3

【答案】（1）證明見解析；（2）

【題型7]證明面面垂直

Q

BC

D__________

,G

FGBC

圖1圖2

則AT>,CG確定一個(gè)平面，從而A,C,G,。四點(diǎn)共而；

【題型8】平行垂直的向量證明方法

二

【答案】證明見解析

【分析】由題意可得AB,AD,AP兩兩互相垂直，所以以力為原點(diǎn)，以AB,AD,AP分別為x軸,

y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量證明即可.

所以A8,ADtAP兩兩互相垂直，

模塊三點(diǎn)與面

【題型9】證明四點(diǎn)共面

fl

5A\

【解答】證明：在A4上取點(diǎn)使得4M=2AM,連接EM8MEG,FG,

在長(zhǎng)方體ABC。一A86Q1中，有。/)i〃A4〃8Bi,且。。i=AAi=BBi.

又2OE=￡7）i/iM=2AM,BF=2FBi,：.DE=AM=FB、.

,四邊形場(chǎng)四例和四邊形￡D4M都是平行四邊形.

???A/〃MB,且八尸="814?！ā啊昵褹D=ME.

又在長(zhǎng)方體/e（7。一4由1?。1中，有AZ）〃BiG,且人。=BCi,

???8iG〃MK且當(dāng)G=ME,則四邊形修GEM為平行四邊形，

???￡Ci〃M8iR￡Ci=M8i,

又A/〃MBi,且AF=M8i,???AF〃EG,且AF=ECi,

則四邊形AFGE為平行四邊形，

???點(diǎn)G在平面4E廠內(nèi)

【詳解】取DG中點(diǎn)P,連接PA,PF,如圖示：

在梯形EFGD中，F(xiàn)P〃DE月.FP=DE.

又AB〃DE且AB=DE,AB〃PF且AB=PF

???四邊形ABFP為平行四邊形，

???AP〃BF

在梯形ACGD中，AP〃CG,?,.BF〃CG,

.'.B,C,F,G四點(diǎn)共面.

【題型101求點(diǎn)到平面的距離

【答案】O

【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明即可；

【分析】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，48為），軸，4A為z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，求得兩

直線的方向向量坐標(biāo)，通過計(jì)算數(shù)量積為0,從而可證：

【詳解】（1）證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，4。為x軸，A8為），軸，A%為z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）建系，再由向量垂直的充分必要條件直接得出空間異面直線垂直.

（2）由向量法求空間距離公式直接得出點(diǎn)到直線的距離.

【詳解】（1）建立直角坐標(biāo)系，其中C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以C4邊所在直線為x軸，以CB邊所在直線為

y軸，以eq所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖什示

模塊四空間中的角

【題型11】異面直線夾角

【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角的余弦值即可求出異面直線。。與43所

成角的余弦值.

【詳解】

D.

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出利用直線心與C。所成角的大小為［■求出8c的

長(zhǎng)即可；

（2）先求出平面的法向量，再根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式求出距離即可.

所以8c的長(zhǎng)為2；

【題型12］線面角

【答案】⑴證明見解析；（2）苴.

（2）以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間面角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.

【詳解】（1）如圖1,連接BD,

（2）如圖2,設(shè)平而PAB和平而PCD的交線為直線1,

因?yàn)镻B,PDU平面PBD,所以NBPD是平面PAB與平面PCD的二面角,

記直線AC與平面PBC所成角為仇

設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d,

設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d,由（I）知CDJ■平而PBD,

【題型13］求二面角（重點(diǎn)）

【詳解】（1）［方法一］:空間坐標(biāo)系+空間向量法

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法

［方法三］:幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)8。交4M于點(diǎn)M

（2）［方法一］【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法

［方法二］:構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法

【答案】（1）證明見解析；（2）立.

3

4

【答案】⑴證明見解析；（2）y.

【題型14］求面面角（重要）

【詳解】（1）連接AC,E為PB中點(diǎn)、,廣為A8中點(diǎn),

【題型15］已知線面角或二面角，求其它量（重要）

（2）若與平面AC。所成角為g,求平面與平面ACO所成銳二面角的余弦值.

13

【答案】（I）證明見解析,（2）—

19

【小問1詳解】

【小問2詳解】

【答案】（1）證明見解析:（2）1

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明;

【答案】（1）證明見解析，（2）存在，點(diǎn)M為線段P/）上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，理由見解析

（2）解?：連接尸石、CE、AC,

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB、EC、E尸所在直線分別為王、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

【詳解】（1）證明：取EC的中點(diǎn)G,連接4。交AC于N,連接GN,GF,

所以以A為原點(diǎn)，AH,AB,AE為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得P。垂直AC,再通過計(jì)算，根據(jù)勾股定理得P。垂直。8,最后

根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；

(2)方法一：根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)，艱據(jù)方程組解出平面一個(gè)法向量，

利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐

標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量尸C與平面辦M法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)

果.

連結(jié)0B.

(2)［方法一］：【通性通法】向量法

［方法二］:三垂線+等積法

圖7

（2）求平面以。與平面P8C所成銳二面角的余弦值；

（3）點(diǎn)b是線段P。上異于兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若滿足異面直線E尸與AC所成角為45。，求”的長(zhǎng).

設(shè)平而玄。與平面尸8c所成說二面角為e.

【題型16］與角有關(guān)的最值與范圍問題（難點(diǎn)）

3.如圖4B是圓。的直徑，用垂直于圓。所在的平面，。為圓周上不同于A,8的任意一點(diǎn).

⑴求證：平面％C_L平面PBC；

⑵設(shè)%=A3=2AC=4,。為期的中點(diǎn)，M為4尸上的動(dòng)點(diǎn)（不與A重合）求二面角A—BM—C的正

切值的最小值.

【答案】（1）證明見解析：（2）四.

3

【分析】（1）推導(dǎo)出AC_LBC,PA_LBC,從而BCJ?平面PAC,由面面垂直的判定定理即可得證.

.\PA±BC,

???BCJ■平面PAC,

???平面PAC_L平面PBC;

（2）過A作Ax_LAB,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，

如圖二面角A—BM—C的平面角為銳角，設(shè)二面角A—BM—C為0,

Q

（I）證明：平面平面ABC。；

4

⑵若點(diǎn)。為四棱錐Q-4BC。的側(cè)面QCD內(nèi)（包含邊界）的一點(diǎn)，且四棱錐尸一4BC。的體積為工,

求8P與平面A3C。所成角的正弦值的最小值.

【詳解】（I）取AO