廣東省汕頭市金山中學2024-2025學年高一下學期期中測試數(shù)

學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.己知全集U=R,集合4={》卜一151},則Q/=（）

A.[0,2]B.（2,+s）C.（0,2）D.（f,0）U（2,E）

2.若復數(shù)z滿足z（l-2i）=3+4i（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部是（）

A.2iB.-2iC.2D.-2

3.已知角ae（O,兀），向量）=（1,仆），B=（sine,cosa）,若力/B，則二二（）

5兀?2兀/，兀_n

A.—B.—C.—D.一

6336

4.在平行四邊形中，點￡是4C邊上的點，就=4沅，點”是線段。E的中點，若

AF=+JLIAD,則〃=（）

A.-B.1C.：D.—

4o4

5.已知某圓臺的軸截面力5。是等腰梯形，力?！?cle=24）=12MB=5,則該圓臺的

體積為（）

A.60兀B.84冗C.1687rD.2527t

6.青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和

小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)P滿足：L=5+lg/.己

知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.8,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）

（布之1.585）

A.1.0B.0.8C.0.6D.0.5

7.圖中的左圖為等大的3個灰色正方體和15個白色正方體所組成的多面體，其可以切割為

①、②和③三個小多面體，則③代表的多面體可能是（）

試卷第1頁，共4頁

8.己知正三棱錐力-8C。的外接球為球O,44=6、8C=3百，點七為8。的中點，過點E作

球O的截面，則所得截面圖形面積的取值范圍為（）

21-I「271

A.亍江,12兀B.—n,12nC.[21兀，48兀]D.[27冗,48句

二、多選題

9.已知平面向量5=(—1,1),E=(3,4),則卜列說法正確的是（）

p+^|=V2934

A.B.與B方向相反的單位向量是5，-5

仁￡與書的夾角的余弦值為今D.a在z方向上的投影向量為近3

2

10.如圖，點48,C,M,N是正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中滿足MN//平面

48C的是()

M

C.

A

N

11.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，又多個不全相同正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)

學的對稱之美.如下圖，將正方體沿交于一頂點的一：條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去

8個三棱錐，得到8個面為正三角形、6個面為正方形的一種半正多面體.已知48=五，

則關于如圖半正多面體的下列說法中，正確的有（）

試卷第2頁，共4頁

A.該半正多面體的表面積是12+46

B.直線"與平面ABC。所成的角為45。

C.該半正多面體有外接球，且它的表面積為8兀

D.該半正多面體有內(nèi)切球，且它的表面積為4兀

三、填空題

12.在V/18C中，若a=O,2A=3,cosC=1,則。=__________

63

13.若sina+cosa=,則tana+—!—=________.

5tana

pprr

14.已知平面向量￡,O對任意實數(shù)x,y都有"班Na-b,丘卜卜-4成立.若

/2,則。俱4)的最大值是.

四、解答題

15.如圖，在正方體力4CO-44GA中，E為。A的中點.

⑴求證：8"http://平面/EC：

(2)若F為eq的中點，判斷并證明平面4EC和平面BFD、的位置關系.

16.記V44C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,三知6(cos4+6sin4)=a+c.

試卷第3頁，共4頁

《廣東省汕頭市金山中學2024-2025學年高一下學期期中測試數(shù)學試卷》參考答案

題號12345678910

答案DCDCBCABACACD

題號11

答案ABC

1.D

【分析】解絕對值不等式求集合,再應用集合的補運算求集合.

【詳解】由題設4=304x42}=[0,2],則Q"=(F,0)U(2,M).

故選：D

2.C

【分析】利用復數(shù)的四則運算求出z,進而得出虛部即可.

3+4i(3+4i)(l+2i)3+6i+4i-8

【詳解】因為z(l-2i)=3+4i,所'J'Z=l-2i=(l-2i)(l+2i)=5-h-2i,

所以更數(shù)z的虛部為2.

故選：C.

3.D

【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標表示得到cosa-/sina=0,即tana="，再結(jié)合角。

3

的范圍求解即可.

【詳解】若方//很，則有cosa—Gsina=0,即tana=?,

因為?！?0,兀)，所以a=；.

0

故選：D.

4.C

【分析】由#=；(而+怒)，及荏:而+；而即可求解?.

答案第1頁，共12頁

所以而=;（而+而），

又荏=存+而=血+-而=荏+-而，

44

所以簫=g（而+碼=;而+；福

所以〃=（7,

O

故選：C

5.B

【分析】求得圓臺的上下底面的半徑，利用等腰梯形的性質(zhì)求得圓臺的高，可求圓臺的體積.

設圓臺的身為人>則h=一（6—34=4>

所以該圓臺的體積〃/+&2+4）力=?9+36+18卜4=84兀.

故選：B.

6.C

【分析】根據(jù)給定的表達式，代入人=4.8,解得lg/=-0.2,根據(jù)指對互化，即可求解.

【詳解】由L=5+lgJL=4.8,得4.8=5+lg>,即lgP=-0.2,

解得…"=專喻=焉5

所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.6.

故選：C

7.A

【分析】根據(jù)原圖中灰色正方體周邊白色正方體的位置情況依次判斷各項，結(jié)合排除法確定

答案.

【詳解】對于B：灰色正方體與兩個白色正方體相鄰，而原圖灰色正方體均與一個白色正方

體相鄰，不符；

對于C：灰色正方體與一個白色正方體相鄰且與另一個白色正方體共一條棱，顯然與原圖不

符；

答案第2頁，共12頁

對于D：灰色正方體有三個白色正方體相鄰，顯然與原圖不符；

對于A：保留原圖中兩個相鄰灰色正方體中的?個，再作合理切割即可得.

故選：A

8.B

【分析】作出輔助線，設該球半徑為公，利用勾股定理求出&=2百，求出

01ao2+*2=與,從而確定球心O到過點E的截面圓的距離“C。，串,故截而

「27

圓半徑/=火2一屋=12-</%—,12,得到截面面積的取值范圍.

L4」

【詳解】作彳a，平面8CQ,則q是等邊△C8。的中心，設0是正三棱錐力-8CO外接球

的球心，

點o在上，連接。區(qū)a），GE,連接。。并延長交"C于點尸，

則。尸=笫尸.設該球半徑為R,則火.

由48=6,8C=3有，可得。/=8。sin60。=x立=2,

22

22

^O]D=-DF=3,AO]=ylAD-OiD=3石.

在Rt^OQ。中，（3有一/?）2+32=/?2,解得R=26.

13

因為點￡為4。的中點，所以?；?5。。=5，

在R140QE中，001=A0/R=6,所以0E=廊由層'=誓,

設球心O到過點E的截面圓的距離為d,可知d

答案第3頁，共12頁

截面圓半徑/=RJ/=12-/e12,

4

-27

所以截面圓的面積的取值范圍為二孔12兀.

4

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：解決與球有關的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關鍵是確定球心的位

置.對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的

問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的

半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑

9.AC

【分析】對于選項A,由向量的坐標運算結(jié)合模長公式可直接判斷；對于選項B,由5相反

的單位向量為一時可直接得答案；對于選項C,可求出同=&，W=5,7g=1，根據(jù)數(shù)

量積的公式即可判斷出選項C項的正誤；對于選項D,根據(jù)投影向量的計算公式即可判斷

出選項D的正誤.

【詳解】選項A,因為G-5=(2,5),所以歸+萬卜戶手=回，所以選項A正確；

bb(34、

選項B,與5相反的單位向量為一收|=-赤彳故B錯誤；

選項C,因d=石=(3,4),所以c°sR，B)=A陶=3方=而，所以選項C正確;

—?—?J—?I

選項D,由投影向量的定義知方在G方向上的投影向量為B|cos他孫向=訐向=7

所以選項D錯誤.

故選：AC.

10.ACD

【分析】結(jié)合題目條件，根據(jù)線面平行的判斷定理，構(gòu)造線線平行，證明線面平行.

【詳解】對A：如圖：

答案第4頁，共12頁

連接石尸，囚為M,N為正方體棱的中點，所以MN//EF,又EFHAC,所以MN//4C,

4Cu平面48C,MNO平面48C,所以MN〃平面ABC.故A正確；

因為48,C,M,N是正方體棱的中點，所以MV//G”,BC//EF,GH//EF,

所以MN//BC,

同理：AB//DN,AM//CD.

所以A、B、C,M,N5點共面，所以MN//平面A8C不成立,故B錯誤；

對C：如圖：

因為aC是正方體棱的中點，所以BCUEF,MN/IEF,所以8C//MN.

8Cu平面4BC,MNa平面力8C,所以A/N//平面力8c.故C.正確：

對D：如圖：

答案第5頁，共12頁

囚為6,C"為正方體棱的中點，連接ME交4C于尸，連接8尸，

則8/為△MVE的中位線，所以8E//MN,

8尸u平面力BC,MNa平面力BC,所以MN〃平面力BC.故D正確.

故選：ACD

11.ABC

【分析】根據(jù)題設及圖求半正多面體的表面積判斷A；由正方體結(jié)構(gòu)特征知直線“"在平面

力8。。上的投影與止方體底面一-條棱所在直線重合，結(jié)合圖即可得線面角大小判定B；利用

正方體的對稱性知若半正多面體存在內(nèi)切球、外接球，它們的球心重合且為正方體的中心，

再依次確定球體的半徑判斷C、D.

【詳解】半正多面體的表面積是6x及x0+8x；x后x及xsin60°=12+4Q，A對，

由題左圖示，易知平面_L平面力8CO,BFu平面BFJE,

所以直線8廠在平面ABCD上的投影與正方體底面一條棱所在直線重合，且直線8尸與其投影

所成角為45。，B對，

由題設，易知正方體的棱長為2,結(jié)合對稱性，

若半正多面體存在內(nèi)切球、外接球，它們的球心重合且為正方體的中心，

所以正方體的中心到半正多面體各頂點的距離均為血,

故半正多面體有外接球，且它的表面積為4兀x（及舊=8北，C對，，

正方體的中心到半正多面體的正方形側(cè)面距離為1，

正方體的中心和半正多面體三角形側(cè)面的三個頂點所成棱錐是楂長為血的正四面體，

所以該正四面體的高為J（我）2-（|x曰x上）2=卡＞1，

故半正多面體不存在內(nèi)切球，D錯.

故選：ABC

答案第6頁，共12頁

8

12.

3

【分析】利用cosP+sin2c=1求出sin。，再利用正弦定理即可求解.

【詳解】因為cosC=；,且C€（0,7t）,所以sinC=JTG72=迪,

rz20

aV2X

FP上-工川c―始asinC38

由止弦定理一；=—^7，可得c=—；-=——=-

sin/sinesin43

2

Q

故答案為：I

2

【分析】將已知條件兩邊平方得sinacosa=w，再由商數(shù)關系及平方關系求目標式的值.

r92

【詳解】由（sina+cosaf=l+2sincrcos?=—,則sinacosa=—,

55

1sinacosarsin-a+cos-a15

tana+----=------1-------------------=----------—.

tanacosasinasinacosasinacosa2

故答案為：（

2

14.-/0.5

2

【分析】由題意畫出圖形，知8,C在以為直徑的圓上，過O作OO///C,交MC于￡,

交圓于。，行=礪在0。上的射影最長為|EQ|,九（1一㈤=5?后=|。月）。，設//MC=8,

則用=2sin6,|OE|=sin<9,可得0?==1—sin。，代入-。）=|。目"q.整

理后利用二次函數(shù)求最值.

【詳解】如圖，

若對任意實數(shù)x,卜都有|不-口閆）-加，忖-比罔］-q成立，

則8,。在以M4為直徑的圓上，過O作OQ//4C,交MC于E,交圓于

答案第7頁，共12頁

3=話在。。上的射影最長為EDI，

h-(c-a)=b^AC^\DI^\A(\.

設4MC=。，則|ZC|=2sine,\0E\=sin0,

|DE|=l-|OE|=l-sin^,

b(c-a)=2sin0(1—sin0)=—2sin20+2sin0,

則當sinO=；時，幾值-，)有最大值為

故答案為：P

15.(1)證明見解析;

(2)平面4EC”平面BFD-證明見解析.

【分析】(1)連接8。，交力。于G,易得EG//BR,再由線面平行的判定證明結(jié)論；

(2)先證FDJ/CE,利用線面平行的判定得""http://平面力EC,結(jié)合(1)及面面平行的判

定證明面面平行.

【詳解】(1)連接3。，交力C于G,連接EG,由正方體的結(jié)構(gòu)易知G為的中點，

又E為?？诘闹悬c，則EG//8。，EGu平面4EC,82a平面4EC,

所以8。"/平面力EC；

(2)平面/EC//平面8/犯，證明如下:

由尸為CG的中點，連接

E為。。的中點，易知EDJ/CF,ER=CF,

所以為平行四邊形，則尸DJ/CE,

答案第8頁，共12頁

由CEu平面4EC,ED1<Z平面4EC,則尸R〃平面4EC,

由(1)BDJ/平面4EC,且3DQFR=R,BRgu平面BFR,

所以平面力比7/平面8/肛.

16.(l)5=y；

(2)(1)---------；(ii)---------.

23

【分析】(1)應用正弦邊侑關系及三角恒等變換、三角形內(nèi)角的性質(zhì)得

百sin5—cos8=2sin(5--)=1,即可求角的大??；

6

(2)(i)由麗=；(第+的)并應用向量數(shù)量積的運算律求模長即可；(ii)首先得到

uuir21111r—1——1——

CA/=±CF,再由C/=5(C4+C8)=58/1-8C及向量數(shù)量積的運算律求模長即可得.

【詳解】(1)由題設及正弦定理可得sin5(cosA+6sinA)=sinA+sinC=sinA+sin(4+3),

所以sinBcosJ+A/3sinAsinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB，

整理得￡sinAsinB=sinA+sinAcos8,且sin"W0,

可得Gsin4-cos8=2sin(^--)=1,故sin(B

662

又0<6<兀，—,可得8=工.

6663

(2)(i)由而=g(詼+])，則

2222

jBE\=-\1BA+2BABC+BC=-4：+2accosB+a=lx125+10+4=—；

2222

(ii)令函一醞且O<MI,又而=—(9+而)，則瓦7=：(5+屈)=4赤+不屈，

222

2ouuur2uur

由叢共線，則％+乙=1=/1=一，EPCM=-CF,

223

]^CF=-(CA+CB)=^BA-BC,貝ij

22

ICF|=^BA-BA-BC+^C=^c2-accosB+a2=欄-5+4=浮,

所以|07|=||#|=乎.

17.(1)573:

答案第9頁，共12頁

(2)3百+2萬.

【分析】（1）設圓的半徑為〃，則4。=廠,。。=2廠,4。=后〃，且/歷1。=7,應用余弦定

理列方程求得/=7,再由四邊形/BC。的面積即，應用三角形面積公式求面積;

(2)由(1)及余弦定理得(C8+CO)?-3C8.CO=21,應用基本不等式求得05+CQ42歷，

即可得周長的最大值.

【詳解】(1)設圓的半徑為「，則8C=r,CQ=2〃,3Q=#〃，由/8CO=g,則NA4O=1，

所以4。2=442+力。2-2,484。8$284。，故3+12+6=3/,可得產(chǎn)=7,

四邊形ABCD的面積Sw+SJBD=!BDBC+G4B,ADsinZBAD=@/+且x6=53.

2224

(2)由(1)BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosZBAD=21,

又BD2-CB2+CD2-2CB-CDcosZBCD一(CT?+CD)2-3CBCL,

所以(C8+CD)2-3CBCD=2\>(CB+CZ))2jCB+CDf,

44

所以C8+CQ42J*，當且僅當。8=CO=\/IT時取等號，

綜上，四邊形力4。。的周長(/4+為。+。8+。0皿、=36+2面.

18.（1）證明見解析;

（2浮

【分析】（1）根據(jù)已知證明CQJ■力C,由線面垂直得到Q4_LC。，再由線面垂直的判定證

明結(jié)論；

（2）若￡是力。的中點，易得BE=CD=20,異面直線。8與CQ所成的角為/P8E=1,

利用線面垂直的判定及性質(zhì)證明相關線段垂直，并求出用關線段的長度，應用等體積法

吸-口口）=VB-PCD求點面距.

【詳解】（1）由/也，力。，AD//BC,AB=BC=2,/力=4,即月8C。為直角梯形,

所以。。2=力1+（力。-8C）2=8,AC2=AB2+BC2=S.

所以。。2+/02=力02,即CQJ.』C,

又尸力_L平面Z8CO,COu平面48CO,則尸41CZ）,

由PXcZC=4P力，/Cu平面P/C,故COJ_平面尸/C；

答案第10頁，共12頁

(2)若￡是力。的中點，則=故3CDE為平行四邊形,

所以BENCD且BE=CD=2近，故異面直線P8與CO所成的角，即為/。4￡=三,

由PN_L平面/8CQ,4B,4Eu平面力BCD,則/MJL48,尸力1NE,

PB+SEpE

又AB=AE=2,易知PB=PE,fflcos-='-'=L,

32PBBE2

所以口I而=:nP'=2后，則P4=JPE2-AE2=2,

由。。_1_平面尸/IC,PCu平面尸力C,則CZ)_LPC,

由4_L平面/BCQ,BCu平面力BC。,則P力1AC,

由,48_L4),4Q//8C,則為3_L8C,而P4C=4,P4M8u平面P/1B,

所以8CJ_平面尸PBu平面P<B,則8C_LP8,

故PC=^BC2+PB2=2x/j，

所以S,pc0=J尸℃Q=2后，而S38m=；8C/18=2,且%BCD=%PCD，

設點B到平面PCD的距離為d,

則;GS/⑺即迎d=Lx2x2,可得d=^-

S3333

19.(l)ee：

Q)g(x)=q二，證明見解析；

(3)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)指對數(shù)關系有0(x)=Inx,再應用單調(diào)性定義判斷y=力(x)s(x)=e'Inx的

單調(diào)性，即可得最大值;

(2)由題設有〃x)+g(x)=e，-/(x)+g(x)=e-*,兩式相加即可求g(x),