勾股定理??紟缀文P椭仉y點(8大題型)解析版-2024八年級數(shù)學(xué)上冊(蘇科版)_第1頁
勾股定理常考幾何模型重難點(8大題型)解析版-2024八年級數(shù)學(xué)上冊(蘇科版)_第2頁
勾股定理??紟缀文P椭仉y點(8大題型)解析版-2024八年級數(shù)學(xué)上冊(蘇科版)_第3頁
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文檔簡介

勾股定理??紟缀文P椭仉y點(8大題型)

0題型目錄

題型一圓柱中的最短路徑模型

題型二長方體中的最短路徑模型

題型三將軍飲馬型最短路徑問題

題型四勾股定理中的翻折模型(三角形)

題型五勾股定理中的翻折模型(長方形)

題型六勾股定理中的線段的平方和模型

題型七勾股定理中的最值問題

題型八勾股定理??寄P途C合

事知識梳理

知識點1、圓柱中的最短路徑模型

條件:如圖,圓柱的底面圓的周長是C厘米,高是方厘米,現(xiàn)在要從圓柱上點力沿表面把一條彩帶繞到點

結(jié)論:彩帶最短需要廬萬厘米.

證明:如圖所示:沿過力點和過3點的母線剪開,展成平面,連接力8,

根據(jù)兩點之間線段最短得這條絲線的最短長度是AB的長度,

由勾股定理得,昨國再前=用群,則這條絲線的最短長度是廬萬厘米,

注意:1)運用勾股定理計算最短路徑時,按照展開一定點一連線一勾股定理的步驟進行計算;

2)纏繞類題型可以求出一圈的最短長度后乘以圈數(shù)。

知識點2、長方體中的最短路徑模型

甲乙丙

條件:如圖,一只螞蟻從長是“,寬是山高是人的長方體紙箱的/點沿紙箱爬到8點,(其中:h>a>b)o

結(jié)論:螞蟻爬行的最短路程是+9+,+2而

證明:如圖,當(dāng)長力體的側(cè)面按圖甲展開時,AC=a+b,CF=h

貝|JAF=>lAC2+CF2=yj(a+b)2+h2=&+〃+//+2";

如圖,當(dāng)長方體的側(cè)面按圖乙展開時,AB-a;BF=h+b

2

貝|JAF=dAB+BF?=J/+(/?+.=yl^+b2+h2+2hb.

如圖,當(dāng)長方體的側(cè)面按圖丙展開時,AE=a+h;EF-b

貝|JAF=4AE~+EF2=+=-Ja2+b2+h2+2ah;

?:h>a>b,:,ah>bh>ab,故心+及十戶+2ah+廿+*+2bh>&+及+『+2ab

???螞蟻所行的最短路線長為"萬

注意:1)長方體展開圖分類討論時可按照“前+右”、"前+上''和"左+上”三類情況進行討論:

2)兩個端點中有一個不在定點時討論方法跟第一類相同。

知識點3、將軍飲馬與空間最短路徑模型

條件:如圖,透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計)的高為/?厘米,底面局長為C厘米,在容器內(nèi)壁離

容器底部。厘米的點B處有一飯粒,此時一只螞蟻正好在容器外壁,且離容器上沿a厘米的點A處,

結(jié)論:螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路程為:廬萬厘米。

證明:如圖,將容器側(cè)面展開,徑力關(guān)于的對稱點/,過H作/。_L4/交4的延長線于。,

f

則四邊形HE。是矩形,???;EC,AE=AE=CDt連接4B,則即為最短距離,

丁由題意得,A'Dh(cm),A'E^AE^CD-a(cm),BD-h-a+AE-h<cm),

在V.UABD中,A'B=yJ^D2+BD2=y/c2+h2(酒).

注意:立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問題需要先作對稱,再運用兩點之間線段最短的原理結(jié)合勾股定

理求解。

知識點4、三角形折疊模型

1)沿過點彳的直線翻折使得點8的對應(yīng)點為8.落在斜邊4C上,折痕為力。;

2)沿過點。的直線翻折使得點8的對應(yīng)點為8.落在斜邊力。上,折痕為CQ;

3)沿過點8的直線翻折使得點力的對應(yīng)點為E落在4。邊上,折痕為4Q。

三角形翻折之過斜邊中點所在直線翻折模型

1)沿直線MN(N為斜邊中點)翻折使得點A與點C重合:

2)沿中線翻折,使得點/落在點尸處,連結(jié)//,FC,/1F與BE交于點、O.

3)沿中線4E翻折,使得點C落在點。處,連結(jié)4。,CD.

三角形翻折之過任意兩點所在直線(落在其中一邊)翻折模型

1)沿直線MN翻折,使得點C落在直角邊的點。處,連結(jié)CD.

2)沿直線QE翻折使得點C與斜邊上的點尸重合;

知識點5、長方形折疊模型

矩形翻折之折痕過對角線模型

矩形翻折之折痕過對角線模型:如圖,沿著矩形的對角線所在直線進行翻折.

條件:已知矩形48CQ中,以對角線4c為折痕,折疊△力8C,點8的對應(yīng)點為反

結(jié)論:①△/SC三△力"C;②折痕4c垂直平方88.;③△/!£(?是等腰三角形。

證明:根據(jù)翻折易證:"BCWAABC;折痕4c垂直平方ZBAC=ZB'AC.

;四邊形48CO為矩形,:,AB//DC,AZBAC=ZDACo

:?NB'AC=/DAC,;?EA=EC,二△力£。是等腰三角形。

矩形翻折之折痕過一個頂點模型

沿著矩形的一個頂點和一邊上的點的線段所在直線進行翻折。

條件:已知矩形48。。中,以4E為折痕,點B的對應(yīng)點為8,。

結(jié)論:①如圖1,折在矩形內(nèi),?^ABE=^ABE-,②折痕4C垂直平方8"。

②如圖2,折在矩形邊上,?^ABE=^ABE;②折痕力C垂直平方4"。

③如圖3,折在矩形外,①四邊形48c£三四邊形48'CE;②折痕力。垂直平方8夕;③△力即是等腰

證明:由翻折易得:①②成立。由翻折得:ZBAE=ZB'AEO

???四邊形為矩形,:.AB〃DC,:,ZBAE=ZDAEa

:?NB'AE=NDAE,:?FA=FE,,△花廠是等腰三角物

矩形翻折之折痕過邊上任意兩點模型

沿著矩形邊上的任意兩點所在直線進行翻折。

條件:已知矩形/出C。中,以/為折痕,點〃的對應(yīng)點為牙,點C的對應(yīng)點為U

結(jié)論:如圖1,折在矩形內(nèi),①ABEF三AB'EF;②折痕EF垂直平方88;

如圖2,折在矩形邊上,①四邊形EBC/m四邊形E'H'C尸;②折痕稗垂直平方88'。

如圖3,折在矩形外,①四邊形E8W三四邊形E'8'C廣;②折痕4C垂直平方4";③△GCF是處

證明:由翻折易得:①②成立。

;四邊形48CQ為矩形,???NC=90°。由翻折得:NC'=NC=90’。???△GC尸是直角三角形,

B-經(jīng)典例題

41經(jīng)典例題一圓柱中的最短路徑模型】

1.(24-25八年級上?全國?課后作業(yè))如圖,圓柱的軸截面/18CD是邊長為4的正方形,動點P從4點出發(fā),

沿著圓柱的側(cè)面移動到4C的中點S的最短距高的平方為()

B.4+16/C.16+1642D.64+16后

【答案】A

【分析】本題考查的是平面展開-最短路徑問題.要求從力出發(fā)到S的最短距離,就要先把圓柱的側(cè)面積展

開,得到矩形,并構(gòu)建Ri△力8S,利用勾股定理求月S?即可.

【詳解】解:畫圓柱展開圖,

在RtZ\48S中,由勾股定理得:AS2=AB1+BS2=(2^)2+22=4^2+4.

故選:A.

2.(23-24八年級卜.?河北廊坊?階段練習(xí))如圖,在學(xué)校工地的一根空心鋼管外表面距離左側(cè)管II2cm的點M

處有一只小蜘蛛,它要爬行到鋼管內(nèi)表面距離右側(cè)管口5cm的點N處覓食,已知鋼管橫截面的周長為

18cm,長為15cm,則小蜘蛛需要爬行的最短距離是()

A.5cmB.4cmC.9#cmD.15cm

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理,理解幾何體側(cè)面展開圖等,根據(jù)題意先畫出幾何體的側(cè)面展開圖,利用勾股

定理即可求解,熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖,作點N關(guān)于右側(cè)管口的對稱點N-連接

由題意得:AM=BC=2cm,BD=15cm,ND=N、D=5cn\,

.-.C/V,=15+5-2=18(cm),

???樞管橫截面的周長為18cm,

:.MC=9cm,

在RaMNC中,由勾股定理得:MN、=yjMC?+乂。2=J92+]代=9右(cm),

二小蜘蛛需要爬行的最短距離是9氐m.

故選:C.

3.(23-24八年級下?廣西北海?期中)如圖,動點尸從點A出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面移動到AC的中點S,若〃C=6,

點P移動的最短距離為5,則圓柱的底面周長為()

A.4B.4”C.8D.10

【答案】C

【分析】本題考杳平面展開一最短路徑問題,先根據(jù)題意畫出晅柱的側(cè)面展開圖,然后連接力S,再利用勾

股定理即可得出AB的長即可得到結(jié)論.利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:如圖,連接力S,

在圓柱的側(cè)面展開圖片中,BC=6,BC1AB,設(shè)=

???點尸移動的最短距離為5,

:.AS=5,

?.?點S是3。的中點,

...5S,=-5C=-X6=3,

22

?*,AB—\lAS2—BS~=J5'-3~=4,

二圓柱的底面周長為:248=2x4=8.

故選:C.

DC

.S

.

*

?.

AB

4.(23-24八年級下?廣東廣州?期中)如圖,圓柱的高12厘米,底面周K10厘米,在圓柱下底面的A點有

只螞蟻,它想吃到上底面8點處的食物,則螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是()

/、

A.26cmB.12.4cmC.13cmD.10cm

【答案】C

【分析】本題主要考查對勾股定理,平面展開-最短路徑問題等知識點的理解和掌握,根據(jù)螞蟻沿圓柱側(cè)面

爬行的最短路程是指展開后線段的長,求出NC、8C,根據(jù)勾股定理即可求出答案.

【詳解】解:可把圓柱側(cè)面展開如圖所示,

由題意可得:螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是指展開后線段為8的長,

jC=-xlO=5cm,/yC'=12cm,

2

由勾股定理得:AB=>JAC2+BC2=\3cm^

故選:C.

5.(23-24八年級上,四川眉山?期末)如圖,圓柱的底面周長是10cm,圓柱高為12cm,一只螞蟻如果要沿

著圓柱的表面從下底面點力爬到與之相對的上底面點4,那么它爬行的最短路程為.

【答案】13cm/I3厘米

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用一最短路徑問題,將圓柱體展開,利用勾股定理求出最短路徑的長即可.

【詳解】解:把圓柱沿母線展開,點8展開后的對應(yīng)點為",利用兩點之間線段最短可判斷螞蟻爬行的最

短路徑為力",如圖所示:

由題意,得:/fC=12cm,Br=-xlO=5cm,

2

在Rt△力C8'中,由勾股定理,得:^=752+122=13cm;

故答案為:13cm.

6.(24?25九年級上?廣東江門?開學(xué)考試)2021年9月23口是第四個中國農(nóng)民豐收節(jié),小彬用3。打印機制

作了一個底面周長為18cm,高為12cm的圓柱狀糧倉模型,如圖所示,8c是底面直徑,力8是圓柱的

高.現(xiàn)要在此模型的側(cè)面貼一圈彩色裝飾帶,旦裝飾帶經(jīng)過4C兩點(接頭不計),則裝飾帶的長度最短

為_______cm.

【答案】30

【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題.此題主要考查了勾股定理,平面展開一最

短路線問題,以及學(xué)生的立體思維能力.解題時注意:圓柱的1W面展開圖是長方形.

【詳解】解:如圖,圓柱的側(cè)面展開圖為長方形,4C=HC,且點。為88'的中點,

\/vX5=12,BC=;x18=9,

BcB'

裝飾帶的長度=2/iC=2xJAB'+BC2=30(cm),

故答案為:30.

7.(23?24九年級上吶蒙古呼和浩特?開學(xué)考試)如圖,有一個圓柱,它的高等于8cm,底面上圓的半徑等

于'em,在圓柱下底面的點A有一只螞蟻,它想吃到上底面上與點A相對的點8處的食物,沿圓柱側(cè)面爬

行的最短路程是.

8

【答案】厘米

【分析】本題考查螞蟻在圓柱上爬行的最短路徑問題,涉及勾股定理,根據(jù)題意,構(gòu)造直角三角形,利用

勾股定理求解即可得到答案,熟練掌握螞蟻在圓柱上爬行的最矩路徑問題的解法是解決問題的關(guān)鍵.

【洋解】解:沿著圓柱上經(jīng)過點A和點8的母線剪開,展開后,如圖所示:

由題意可知,=8cm,AC=-X2XTIX—=6cm,

2n

???螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是線段AB的長度,

???在中,AB=ylAC2+BC2=A/62+82=10cm,

故答案為:10cm.

8.(23-24八年級上?甘肅酒泉?期中)如圖,有一個圓柱形儲油罐,要以4點為起點環(huán)繞油罐側(cè)面建梯子,

正好到達4點正上方的8點,則梯子最短需要(已知油罐底面局長是12米,高8米).

【答案】4jTJm

【分析】本題考查了圓柱的側(cè)面展開圖,勾股定理;

將圓柱側(cè)面展開,得到長方形,然后利用勾股定理計算即可.

【詳解】解:把圓柱形儲油罐的側(cè)面展開,如圖:

???油罐底面周長是12米,高8米,

.-.JC=12,8C=8,

???AB=y]AC2+BC2=V122+82=4am,

即梯子最短需要4j"m,

故答案為:4y/\3m.

9.(23-24八年級上?寧夏銀川?期中)編織一個底面周長為50cm、高為120cm的圓柱形花柱架,需沿圓柱側(cè)

面繞織一周的竹條若干根,如圖,則每一根這樣的竹條的長度最少是多少厘米?

【答案】每一根這樣的竹條的長度最少是130cm

【分析】本題考查了平面展開-最他路徑問題,勾股定理,將立體圖形轉(zhuǎn)化在平面圖形中求解是解題的關(guān)

鍵.將圓柱側(cè)面展開,再根據(jù)勾股定理求出力8的長即可求解.

【詳解】解:將圓柱側(cè)面展開,如圖所示,

;圓柱底面周長為50cm,高為120cm,

AB=yl502+\202=130(cm),

即每?根這樣的竹條的長度最少是13()cm.

10.(23?24八年級下?江西贛州?期中)如圖①,圓柱的底面直徑為下m,高12cm,螞蟻在圓柱側(cè)面爬行,

探究螞蟻從點A爬到點B的最短路徑長多少厘米:

CB

A

圖①圖②

(I)圖②是將圓柱側(cè)面沿力。裁剪后展開形成的四邊形/M'C'C,點8在線段C。'上,求CC的長(兀取3);

(2)在側(cè)面展開圖形中畫出螞蚊爬行的最短路徑,并求出最短路徑的長度.

【答案】(l)18cm;

(2)15cm,圖見解析

【分析】本題考?查螞蟻在圓柱側(cè)面爬行最短路徑問題,涉及圓柱側(cè)面展開圖、圓周長公式、兩點之間線段

最短及勾股定理求線段長,根據(jù)問題,作出圖形求解是解決問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)CC'的長為圓柱底面圓的周長,利用圓周長公式代值求解即可得到答案;

(2)由兩點之間線段最短即可得到最短路徑為線段力8,作出圖形,再利用勾股定理求解即可得到最短路

徑的長度.

【詳解】(1)解:由圓柱的側(cè)面展開圖可知,CC'的長為圓柱底面圓的周長,

圓柱的底面直徑為6cm,

CC=7tx6=6x3=18cm;

(2)解:如圖所示:

圖①圖②

由兩點之間線段最短即可得到最短路徑為線段48,

,??由(1)知CC=18,高12cm,

.JC=12,C8'CC=9,

2

在RtZXZBC中,由勾股定理可得,48=>JAC2+CB2=15cm.

j【經(jīng)典例題二長方體中的最短路徑模型】

1.(23-24八年級下吶蒙古呼和浩特?期中)如圖,長方體的底面邊長分別為2cm和4cm,高為5cm.若一

只螞蚊從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達Q點,則螞蟻爬行的最短路徑長為()

A.B.13cmC.12cmD.17cm

【答案】B

【分析】本題的是平面展開-最短路徑問題,解答此類問題時要先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后,

再確定兩點之間的最短路徑.一般情況是兩點之間,線段最短.在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題.要

求長方體中兩點之間的最短路徑,最直接的作法,就是將長方體展開,然后利用兩點之間線段最短解答.

【詳解】解:如圖所示:

Q

產(chǎn)二j-----------——-------------\A

,?,長方體的底面邊長分別為2cm和4cm,高為5cm.

P4=4+2+4+2=12(cm),QA=5cm,

???尸°=ylPA2+AQ2=13(cm).

???螞蟻爬行的最短路徑長為13cm;

故選:B.

2.123-24九年級上?云南紅河?期末)一只螞蟻從棱長為。的正方體的一個頂點力出發(fā),沿著表面趴到棱8C

C.旦D.與

2

【答案】D

【分析】此題主要考查了勾股定理,平面展開圖一最短路徑問題,做此類題目先根據(jù)題意把立體圖形展開

成平面圖形后,再確定兩點之間的最短路徑.?般情況是兩點之間線段最短,在平面圖形上構(gòu)造直角三角

形解決問題.先展開,再根據(jù)“兩點之間線段最短”求解即可.

【詳解】解:如圖,

如圖,

A

由題意得:AE=-屈--a

2

由題意得:AE=與

2

綜上可知,沿著表面趴到棱8C的中點E的最短路程為姮〃,

2

故選:D.

3.(23-24八年級上?河南鄭州?階段練習(xí))如圖是放在地面上的一個長方體盒子,其中48=9"C=6,8尸=5,

點M在棱上,且4"=3,點N是尸G的中點,一只螞蟻沿著長方體盒子的表面從點河爬行到點M它

需要爬行的最短路程為()

A.10B.V106C.V34D.9

【答案】A

【分析】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應(yīng)用,利用展開圖有兩種情況分析得出

是解題關(guān)鍵.利用平面展開圖有兩種情況,畫出圖形利用勾股定理求出的長即可.

【詳解】解:如圖1,

DM-9-3-6,BN-5+3-3t

.\;W=A/62+82=10:

如圖2,

圖2

.?/M=9—3+3=9,NP=5,

:,MN=yl92+52=V106,

?,?10<V106>

「?它需要爬行的最短路程為10.

故選:A.

4.(23?24八年級上?山東濟南?開學(xué)考試)如圖,正方體的棱長為4cm,A是正方體的一個頂點,B是側(cè)面

正方形對角線的交點.一只螞蟻在正方體的表面上爬行,從點A爬到點8的最短路徑是()

A.9B.372+6C.2廂D.12

【答案】C

【分析】本題考查了最短路徑問題,勾股定理,解題的關(guān)鍵是將平面展開,組成一個直角三角形.將正方

體的左側(cè)面與前面展開,構(gòu)成一個長方形,用勾股定理求出距離即可.

【詳解】解:如圖,正方體的左側(cè)面與前面展開,得到長方形,過B作BC1/C于C點:

由于正方體棱長為4cm,則力。=4+2=6(cm),8C=;x4=2(cm),

由勾股定理得:AB=>JAC2+BC2=J36+4=2后(cm);

故選:C.

5.(23-24八年級下,山東日照?期末)如圖,長方體的長為15,寬為10,高為20,點8離點C的距離為5,

一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是.

【答案】25

【分析】本題主要考查兩點之間線段最短,勾股定理,關(guān)鍵是將長方體側(cè)面展開,然后利用兩點之間線段

最短解答.要求長方體中兩點之間的最短路徑,最直接的作法,就是將長方體側(cè)面展開,然后利用兩點之

間線段最短解答.

【詳解】解:只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形,如第1個圖:

;長方體的寬為10,高為20,點8離點。的距離是5,

圖1

.?.BD=CD+8C=10+5=15,力。二20,

在直角三角形力5。中,根據(jù)勾股定理得:

AB=dBD?+AD2=Ji5?+2()2=25:

只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形,如第2個圖:

A

.?.長方體的寬為10,高為20,點8離點。的距離是5,

...BD=CD+8C=20+5=25,AD=10,

在直角三角形為8。中,根據(jù)勾股定理得:

AB=y/BD2+AD2=V102+252=5729;

只要把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形,如第3個圖:

_____--長方體的寬為10,高為20,點8離點。的距離是5,

________1

A20。100

圖3

.-.JC=C79+JD=20+10=30,

在直角三角形力3C中,根據(jù)勾股定理得:

AB=y]AC2+BC2=V3O:+52=5用:

?/25<5x/29<5歷,

???螞蟻爬行的最短距離是25,

故答案為:25.

6.(23-24八年級下?云南昆明?階段練習(xí))如圖是一個邊長為I的正方體硬紙盒,現(xiàn)在力處有一只螞蟻,想

沿著正方體的外表面到達B處吃食物,則螞蟻爬行的最短距離是.

【答案】V5

【分析】本題考查了勾股定理以及最短路徑,先把各種情況展開,因為是一個邊長為1的正方體硬紙盒,

故展開后的平面都是一樣的,再運用勾股定理列式計算,即可作答.

【詳解】解:如圖:

B

---------------------

?.?一個邊長為1的正方體硬紙盒,

???不管把看到的前面和上面組成一個平面或者左面與上面組成一個平面還是前面和右面組成一個平面,都跟

上圖模樣,

即AB=d2F=逐,

故答案為:V5.

7.(24-25八年級上?陜西西安?開學(xué)考試)如圖,4無?。是長方形地面,長力B=寬力。=9m,中間豎

有一堵磚墻高,WN=1m.一只螞蚱從點力爬到點C,它必須翻過中間那堵墻,則它至少要走m.

【分析】本題主要考查了平面展開最短路線問題、勾股定理等知識點,根據(jù)題意畫出平面展開圖是解答題

的關(guān)鍵.

如圖:連接4C,利用勾股定理求出力C的長,再把中間的墻平面展開,使原來的矩形長度增加而寬度不變,

求出新矩形的對角線長即可.

【詳解】解:如圖所示:

.1

將圖展開,圖形長度增加2MN,

原圖長度增加2米,則48=10+2=12m,

如圖:連接力C,

???四邊形力4c。是長方形,/I8=12m,寬/O=9m,

-AC=>]AB2+BC2=A/92+122=15m?

???螞蚱從力點爬到C點,它至少要走15m的路程.

故答案為15.

8.(24-25九年級上?黑龍江牡丹江?開學(xué)考試)如圖,有一個棱長為4cm的正方體盒子,螞蟻在正方體下方

一邊48的中點。處,發(fā)現(xiàn)上方頂點C處有一滴蜂蜜,螞蟻需要沿著止方體盒子的表面從點P爬行到頂點C

處吃到蜂蜜,它需要爬行的最短距離為.

【答案】2jT5cm

【分析】本題考查了平面展開一最短路徑問題,化空間問題為平面問題是解決空間幾何體問題的主要思

想.先將圖形展開,再根據(jù)兩點之間線段最短即可得到結(jié)論.

【詳解】解:可以把。和C所在的兩個平面展開到一個平面內(nèi),

如圖1,

圖1

根據(jù)勾股定理得:W3+(4-4)2=2折;

如圖2,

圖2

27

根據(jù)勾股定理得:PC=A/(2+4)+4=2>/i3.

2V17>2V13.

故沿著正方體的外表面爬到其一頂點C處的最短路徑是2Vf5cm.

故答案為:2ji,cm.

9.(24-25八年級上?全國?課后作業(yè))如圖,長方體的長力4=5,寬4。=4,高4E=6,三只螞蟻沿長方體

的表面同時以相同的速度從點A四發(fā)到點G處.螞蟻甲的行走路徑為翻過棱后到達點G處(即

4TPTG),螞蟻乙的行走路徑為翻過棱叱后到達點G處(即力-M-G),螞蟻丙的行走路徑為翻過

棱BF后到達點G處(即力-NTC).

(1)甲、乙、丙三只螞蟻的行走路程的最小值的平方分別是多少?

(2)若三只螞蟻都走自己的最短路徑,請判斷:哪只螞蟻最先到達?哪只螞蟻最后到達?

【答案】(1)137,125,117

(2)螞蟻丙最先到達,螞蟻甲最后到達

【分析】本題主要考查了平面展開一最短路徑問題,將圖形展開,利用勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵.

(1)將長方體展開,根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論,比較三只螞蟻的行走路徑%,S乙,S丙的大小,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解:將長方體表面展開,

如圖1,連接4G,

G

HE

DA

圖1

在RtAJR;中,ZJFG=90°,

:.S^=AG2=GF2+(AE+EF)2=42+(6+5)2=42+lI2=137,

如圖2,連接/G,

"l-------

//

//

JE-krF

圖2

在RtZ\45G中,AABG=90°,

:.Sl=AG2=AB2+{BF+FG)2=52+(6+4)2=52+102=125,

如圖3,連接力G,

G

N

AC

B

圖3

在Rl△力CG中,ZACG=90°,

222

..^=AG=(AB+BC)+CG=(5+4『+6?=92+62=117>

???甲、乙、丙三只螞蟻的行走路程的最小值的平方分別是137,125,117;

(2)解:v137>125>117,即S彳〉S;>S3

?'s甲>S乙〉S內(nèi),

又???三只螞蟻沿長方體的表面同時以相同的速度從點A出發(fā),

…行走路程最小的最先到氈,行走路程最大的最后到達,

即:螞蟻丙最先到達,螞蟻甲最后到達.

10.(23-24八年級下?河北滄州?期中)【閱讀材料】

如圖1,有一個圓柱,它的高為12cm,底面圓的周長為18cm,在圓柱下底面的點力處有一只螞蟻,它想吃

到上底面與點A相對的點B處的食物,螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少?

圖1

【方法探究】

對于立體圖形中求最短路程問題,應(yīng)把立體圖形展開成平面圖形,再確定48兩點的位置,依據(jù)“兩點之

間線段最短”,結(jié)合勾股定理,解決相應(yīng)的問題.如圖2,在圓柱的側(cè)面展開圖中,點48對應(yīng)的位置如圖

所示,利用勾股定理即可求出螞蟻爬行的最短路程線段48的長.

圖2

【方法應(yīng)用】

(1)如圖3,圓柱形玻璃容器的高為18cm,底面周長為60cm,在外側(cè)距下底1cm的點S處有一蜘蛛,與

蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm的點尸處有一蒼蠅,試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛,所走

(2)如圖4,長方體的棱長48=4C=6cm,44=14cm,假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點G開始以lcm/s的速度

在盒子的內(nèi)部沿棱GC向下爬行,同時昆蟲乙從盒內(nèi)頂點A以相同的速度在盒內(nèi)壁的側(cè)面上爬行,那么昆

蟲乙至少需要多長時間才能捕捉到昆蟲甲?

無蓋Cl

AB

圖4

RS

【答案】(1)34cm;(2)寧秒.

【分析】題目主要考查圓柱及棱柱的展開圖,勾股定理解三角形,最短距離等問題,理解題意,熟練掌握

運用勾股定理是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意將圓柱展開,然后利用勾股定理求解即可;

(2)設(shè)昆蟲甲從頂點G沿棱向頂點C爬行的同時,昆蟲乙從頂點力按路徑4->七->/爬行,爬行捕

捉到昆蟲甲需x秒.在RtZ\4b中,利用勾股定理列出方程求解即可.

【詳解】解:(1)如圖1,這是圓柱形玻璃容器的側(cè)面展開圖,線段跖就是蜘蛛走的最短路線.

由題意可得在中,

4SNF=9伊,/W=18-2=16cm,SAr=-x60=30cm,

N2

圖1

??SF=JSM+EV?=V302+162=34,

??威蛛所走的最短路線的長度為34cm.

(2)設(shè)昆蟲甲從頂點G沿棱G。向頂點C爬行的同時,昆蟲乙從頂點力按路徑XfEf尸爬行,爬行捕

捉到昆蟲甲需x秒.

長方體的棱長=4C=6cm,AAX-CCX=14cm,

y4F=lx=x(cm),C1F=l-x=.v(cm),CF=(14-x)cm,JC=12cm,

.-.x:=122+(l4-x)',

解得x二軍.

答:昆蟲乙至少需要亍秒才能捕捉到昆蟲甲.

41經(jīng)典例題三將軍飲馬型最短路徑問題】

1(23-24八年級下?黑龍江齊齊哈爾?期末)如圖,圓柱形紙杯高為5cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)壁底的

點B處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿1cm與蜂蜜相對的點力處,則螞蚊從外壁力處

爬行到內(nèi)壁8處的最短距離為(杯壁厚度不計)()

8蜂蜜

B.25/73C.4后D.4V17

【答案】A

【分析】本題考查了平面展開?最海路徑問題,將圖形展開,利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題

的關(guān)鍵.

將杯子側(cè)面展開,作A關(guān)于Ek的對稱點4,連接48,則即為最短距離,利用勾股定理進行計算即可.

【詳解】如圖,作A關(guān)于勿'的對稱點4,連接H8,則即為最短距離,

4D

AD=yx16=8(cm),BD=BE+DE=5+1=6(cm),

A'B=1A,D2+DB2=&2+6Z=10(cm),

???螞蟻從外壁A處爬行到內(nèi)壁4處的最短距離=AF+BF=A'F+BF=A'B=\Ocm,

故選:A.

2.(23?24八年級上?河南鄭州?階段練習(xí))有一個如圖所示的長方體透明玻璃魚缸,假設(shè)其長40=80cm,

高/8=50cm,水深/E=40cm,在水面.卜.緊貼內(nèi)壁的G處有一塊面包屑,G在水面線叱上,且

FG=30cm,一只螞蚊想從魚缸外的A點沿魚缸壁爬進魚缸內(nèi)的G處吃面包屑.螞蟻爬行的最短路線為

C.50&+10D.10相

【答案】D

【分析】如圖所示,作點4關(guān)于8c的對稱點4,連接HG交月。與點。,則小蟲沿著月―G的路線爬

行時路程最短.

【詳解】解:如圖,作點力關(guān)「6C的對稱點4,連接4G交6c與點。,則48=4B=50cm,此時小蟲

沿著力t。tG的路線爬行時路程最短,

水深A(yù)E=40cm,FG=30cm,

EG=50cm,BE=10cm,

:,AE-60cm,

在直角△4EG中,AG=ylA'E2+EG2=7602+502=1oVbTcm?

即最短路線長為10面cm.

故選:D

【點睛】本題主要考查了勾股定理一最短路徑問題,關(guān)鍵知道兩點之間線段最短,從而可找到路徑求出解.

3.(23-24八年級」丁遼寧沈陽?階段練習(xí))如圖,透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計)的高為12cm,底

面周長為16cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒,此時一只螞蟻正好在與點B相對容器外壁,

且離容器上沿3cm的點力處,則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是()

螞蟻力

A.20cmB.4A/13CITIC.10cmD.25/i3cm

【答案】B

【分析】將容器側(cè)面展開,作A關(guān)于EC的對稱點4,連接根據(jù)兩點之間線段最短可知48的長度即

為所求,在中,根據(jù)勾股定理即可求出48的長度.

【詳解,解:如圖:將容器側(cè)面展開,作A關(guān)于EC的對稱點4,

過A1作AD14/交BC的延長線于D,

則四邊形/'EC。是矩形,

/.AD=EC,A'E=AE=CD,

連接則HA即為最短距離,

■.?高為12cm,底面周長為16cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點8處有一飯粒,

此時螞蚊正好在容器外壁,離容器上沿3cm與飯粒相對的點A史,

A'D=8(cm),BD=l2-3+AE=l2(cm),

在Rt△4Z。中,AB=JHQ』+Bb1=J8?+12?=4而(cm).

故選:B.

【點睛】本題考查了平面展開一最短路徑問題,將圖形展開,利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題

的關(guān)鍵.

4.(23-24八年級上?遼寧沈陽?階段練習(xí))有一個圓柱體水晶杯(容器厚度忽略不計),其底面圓的周長為10cm,

高為12cm,在杯子內(nèi)壁離容器底部3.5cm的點8處有一滴蜂蜜,與蜂蜜相對,此時一只螞蟻正好在杯子外

壁,離容器上沿3.5cm的點4處,則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為()

A

B

A.13cmB.10cmC.25/73cmD.17cm

【答案】A

【分析】將容器側(cè)面展開,建立?關(guān)于EG的對稱點4,根據(jù)兩點之間線段最短可知48的長度即為所求.

【詳解】解:如圖:是側(cè)面展開圖的一半,

?.?高為12cm,底面周長為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3.5cm的點8處有一滴蜂蜜,

此時螞蟻正好在容器外壁,離容器上沿3.5cm與一滴蜂蜜相對的點力處,

.?./£>=5cm,Z?P=12-3.5+3.5=12cm,

「?將容器側(cè)面展開,作A關(guān)于E卜的對稱點A1,

連接則H8即為最短距離,

A'B=dAD?+BD2=A/52+122=13cm?

【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題,將圖形展開,利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解

題的關(guān)鍵.同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力.

5.(23-24八年級上?全國?單元測試)如圖,圓柱形杯子容器高為18cm,底面周長為24cm,在杯子內(nèi)壁離

杯底4cm的點8處有一滴蜂蜜,此時一只螞蚊正好在杯子外壁,離杯子上沿2cm與蜂蜜相對的點A處,則

螞蟻從外壁A處到達內(nèi)壁8處的最短距離為—cm.

螞蟻力

8蜜蜂

【答案】20

【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用,軸對稱最短路徑問題,作點力關(guān)廣直線E尸的對稱點作

4DJ.BE交BE延長線于E,連接力'B交EF「F,則/右的長即為所求,據(jù)此利用勾股定理求解即可.

【詳解】解;如圖所示,將圓柱展開,

作點力關(guān)于直線用的對稱點作彳。_L8E交8E延長線于E,連接48交律于尸,

由題意得.A'D=—x24=12cm,RD=2+18-4=16cm.

2

???由勾股定理得48=1/17)2+8獷=20cm,

故答案為:20.

6.(24-25八年級上?遼寧沈陽?開學(xué)考試)如圖,圓柱形玻璃杯的杯高為10cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)

壁離杯底2cm的點8處有一滴蜂蜜,此時,一只螞蟻正好在杯外壁上,它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對

的點力處,則螞蟻從外壁4處到內(nèi)壁8處所走的最短路程為cm.(杯壁厚度不計)

【答案】V145

【分析】本題主要考查了平面展開一最短路徑問題、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識點.將杯子半側(cè)面展

開,作力關(guān)于川的對稱點4,再根據(jù)兩點之間線段最短可知H8的長度即為所求.

【詳解】解:如圖:將杯子半側(cè)面展開,作力關(guān)于川的對稱點W,連接4N,當(dāng)點4、F、B在同一條直

線上,則力b+8b為螞蚊從外壁1處到內(nèi)壁8處的最短距離,即的長度,

由題意可得:/l,D=lxl6=8(cm|,5E=10-2=8(cm),£>f=lcm,

BD=9cm,

???A'B=NAD2+BD?=V82+92=V145(cm).

???螞蟻從外壁4處到內(nèi)壁8處的最短距離為阿cm.

故答案為:V145.

7.(23-24八年級下?湖北荊州?階段練習(xí))如圖,圓柱形玻璃杯的杯高為25cm,底面周長為20cm,在杯內(nèi)

壁離杯底4cm的點4處有一滴蜂蜜,此時,一只螞蟻正好在杯外壁上,它在禽杯上沿3cm,且與蜂蜜相對

的點B處,則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為.cm.(杯壁厚度不計)

【分析】

本寇考查了平:面展開——最短路徑問題,將圖形展開,利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)

犍.同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力.如圖(見解析),將玻璃杯側(cè)面展開,作8關(guān)于E尸的對稱點

B',根據(jù)兩點之間線段最短可知月8'的長度即為所求,利川勾股定理求解即可得.

【詳解】解:如圖,將玻璃杯側(cè)面展開,作4關(guān)于£廠的對稱點6',作川。,力£,交4E延K線于點

cm),

AD=AE+DE=24cm,

,?,底面周長為20cm,

^D=1x20=10(cm),

/.AB'=y/AD2+BfD2=26cm,

由兩點之間線段最短可知,螞蟻從外壁4處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為/*=26cm,

故答案為:26.

8.(23-24八年級下?河南?階段練習(xí))有一個如圖所示的長方體透明玻璃魚缸,假設(shè)其長力。=80cm,高

J5=50cm,水深XE=40cm,在水面上緊貼內(nèi)壁的G處有一塊面包屑,G在水面線E尸上,且

FG=30cm,一只螞蚊想從魚缸外的A點沿魚缸壁爬進魚缸內(nèi)的G處吃面包屑.螞蟻爬行的最短路線為

cm.

【答案】10府

【分析】本題考查平面展開-最短路徑問題,關(guān)鍵知道兩點之間線段最短,從而可找到路徑求H解.作出力

關(guān)于8c的時稱點4,連接HG,與8c交于點。,此時力。+如最短;4G為直角的斜邊,根據(jù)

勾股定理求解即可.

【詳解】解:如圖所示作出力關(guān)于6。的對稱點4,連接HG,與6c交于點。,小蟲沿著A-。-G的路

線爬行時路程最短.

在直角AA'EG中,WE=60cm,FG=80-30=50(cm),

???AQ+QG=A'Q+QG=A'G=y/4E2+EG2=10府(cm)

???最短路線長為10府cm.

故答案為:10面1.

9.(23-24八年級下?江西新余?期中)如圖,透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計)的高為2“m,底面周

長為20cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點8處有一飯粒,此時一只螞蚊正好在容器外壁,且離容器上沿

3cm的點A處,求螞蟻吃到飯粒等爬行的最短路徑的長

螞蟻工L-J

【答案】26cm

【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、平面展開一最短路徑問題,勾股定理的應(yīng)用等,正確利月側(cè)面展開圖、

熟練運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.將容器側(cè)面展開,作點A關(guān)于石廠的對稱點4,根據(jù)兩點之間線段最短可

知A'B的長度即為所求,然后利用勾股定理求解即可.

【詳解】解:如圖,

3A\%???高為24cm,底面周長為20cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒,此時螞

蟻正好在容器外壁,離容器上沿女m與飯粒相對的點A處,

「?將容器側(cè)面展開,作A關(guān)于£方的對稱點H,連接H4,則H8即為最短距離,

MB=10cm,=24-3+A'E=24(cm),

/.A'B=ylBM2+A'M2=Vl02+242=26(cm),

即螞蚊吃到飯粒需爬行的最短路徑的長是26cm.

10.(23-24八年級下?安徽蕪湖?階段練習(xí))(1)如圖1,長方體的長為4cm,寬為3cm,高為12cm.求該

長方體中能放入木棒的最大長度;

(2)如圖2,長方體的長為4cm,寬為3cm,高為12cm.現(xiàn)有一只螞蟻從點A處沿長方體的表面爬到點G

處,求它爬行的最短路程;

(3)如圖3,若將題中的長方體換成透明圓柱形容器(容器厚度忽略不計)的高為12cm,底面周長為

12cm,在容器內(nèi)壁離底部5cm的點8處有一飯粒,此時一只螞蟻正好在容器外壁目.離容器上沿1cm與飯粒

相對的點力處.求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少?

圖1圖3

【答案】(1)13cm(2)-7193cm

【分析】本題考查了平面展開一最短路徑問題,將圖形展開,利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解

題的關(guān)鍵.

(1)利用勾股定理直接求出木棒的最大長度即

(2)將長方體展開,利用勾股定理解答即可;

(3)將容器側(cè)面展開,建立A關(guān)rA?”的對稱點根據(jù)兩點之間線段最短可知月力的長度即為所求.

【詳解】解:(1)由題意得:如圖,該長方體中能放入木棒的最大長度是:

);

AB

圖1

(2)①如圖,AG=^(4+12)2+32=V265(cm),

22

②如圖,AG=A/(3+12)+4=V24T(cm),

G

2J

③如圖,AG=A/(3+4)+12=Vl93(cm)?

,/J265cm>7241cm>V193cm,

二最短路程為V193cm;

(3)???高為12cm,底面周長為12cm,在容器內(nèi)壁離容器底部5cm

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