專(zhuān)題12多邊形與平行四邊形

目錄

01理?思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。

02盤(pán).基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（2大模塊知識(shí)梳理）

知識(shí)模塊一：多邊形

知識(shí)模塊二：平行四邊形

03究?考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（10大基礎(chǔ)考點(diǎn)）

考點(diǎn)一：多邊形內(nèi)角和問(wèn)題

考點(diǎn)二：多邊形外角和問(wèn)題

考點(diǎn)三：多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)四：利用平行四邊形的性質(zhì)求解

考點(diǎn)五：利用平行四邊形的性質(zhì)證明

考點(diǎn)六：證明四邊形是平行四邊形

考點(diǎn)七：利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解或證明

考點(diǎn)八：平行四邊形性質(zhì)和判定的應(yīng)用

考點(diǎn)九：已知中點(diǎn)，取另一條線段的中點(diǎn)構(gòu)造中位線

考點(diǎn)十：補(bǔ)全圖形利用中位線定理求解

04破.重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。（2大重難點(diǎn)）

重難點(diǎn)一：平行四邊形與函數(shù)綜合

重難點(diǎn):二：與平與四邊形有關(guān)的新定義問(wèn)題

05辨?易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)。（1大易錯(cuò)點(diǎn)）

易錯(cuò)點(diǎn)1：未掌握求多邊形邊數(shù)的方法

思嵬學(xué)吩

公式(n-2)X1800

內(nèi)角和n:多邊形邊數(shù)

知識(shí)梳理推理（n-2）個(gè)三角形

外角和等于360°與多邊形邊數(shù)無(wú)關(guān)

多邊形

n（n?3）

n邊形對(duì)角線條數(shù)

學(xué)法指導(dǎo)

多邊形問(wèn)題思路轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形問(wèn)題

多

邊對(duì)邊平行且相等

邊

對(duì)角相等

形平行四邊形中角

鄰角互補(bǔ)

與

3對(duì)角線互相▼分

平

距離處處相等

行兩條鉛推之間

四任意兩條平行線段相等

邊兩啰寸邊分別帝亍

形邊兩組對(duì)邊分別相等

一組對(duì)邊平行且相等是平行四邊形

判定四邊形

角兩組對(duì)角分別相等

平行四邊形對(duì)角線互相平分

證明聯(lián)系全等三角形知識(shí)

公式i去底x離

面枳算法

性質(zhì)的應(yīng)用轉(zhuǎn)化法向三角形面積轉(zhuǎn)化

求角和邊的大小

直接用于計(jì)算

知識(shí)梳理對(duì)角線范圍的確定

探索平行四邊形成立的條件

角考慮兩組對(duì)角分別相等（或邊平行）

判定應(yīng)用

對(duì)角線考慮對(duì)角線互相平分

已知兩組對(duì)邊分別平行

邊考慮

-------或一組對(duì)邊平行且相等

三角形中位線考慮構(gòu)造平行四邊形

盤(pán)基磁處投

知識(shí)模塊一：多邊形

知識(shí)點(diǎn)一：多邊形的相關(guān)概念

多邊形的概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.

多邊形的相關(guān)概念：

多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

多邊形的頂點(diǎn)：相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).

2

多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊所組成的在多邊形內(nèi)部的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱多邊形的角.

多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做多邊形的外角.

多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不村鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線.

【補(bǔ)充】

1)多邊形的邊數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)及角的個(gè)數(shù)相等；

2)把多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形問(wèn)題求解的常用方法是連接對(duì)角線；

3)多邊形對(duì)角線條數(shù)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對(duì)角線，這(n-3)條對(duì)角線把多邊形分成了

(n-2)個(gè)三角形，其中每條對(duì)角線都重復(fù)算一次，所以n邊形共有條對(duì)角線

n

正多邊形的定義：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

【補(bǔ)充】1)正n邊形有n條對(duì)稱軸.

2)對(duì)于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對(duì)稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，

對(duì)稱中心是多邊形的中心.

知識(shí)點(diǎn)二：多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理

多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)隹和為(〃-2)x180°(723).

多邊形外角和定理：多邊形的外角和恒等于360。，與邊數(shù)的多少?zèng)]有關(guān)系.

易錯(cuò)易混

多邊形的有關(guān)計(jì)算公式有很多,一定要牢記.代錯(cuò)公式容易導(dǎo)敕錯(cuò)誤：

①n邊形內(nèi)角和=(n-2)x)80°(n>3).

②從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出(n-3)條對(duì)角線，n個(gè)頂點(diǎn)可以引出n(n-3)條對(duì)角線，但是每條對(duì)角線

計(jì)算了兩次，因此n邊形共有午條對(duì)角線.

③n邊形的邊數(shù)=(內(nèi)角和引80。：+2.

④n邊形的外角和是360，

⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和=nx180°.

⑥在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)O,連接O與各個(gè)頂點(diǎn)，把n邊形分成n個(gè)三角形；在n邊形的任意一邊上任取一

點(diǎn)0,連接O點(diǎn)與其不相鄰的其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成(n-1)個(gè)三角形；連接n邊形的任一

頂點(diǎn)A與其不相鄰的各個(gè)頂點(diǎn)的線段，把n邊形分成(n-2)八三角形.

3

知識(shí)模塊二：平行四邊形

知識(shí)點(diǎn)一：平行四邊形的性質(zhì)

性質(zhì)符號(hào)語(yǔ)言圖示

???四邊形ABCD是平行四邊形

邊平行四邊形兩組對(duì)邊互行且相

???AB=CD,AD=BC,AB//CD,AD//B

???四邊形ABCD是平行四邊形

角平行四邊形對(duì)角相等

A_________D

AZBAD=ZBCD,ZABC=ZADC

???四邊形ABCD是平行四邊形

對(duì)角線平行四邊形的對(duì)角線互相平分

BC

JOA=OC=-AC,BO=DO=-BD

22

知識(shí)點(diǎn)二：平行四邊形的判定

判定符號(hào)語(yǔ)言（同上圖）

定義一組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形VAB/7CD,AD〃BC.'?四邊形ABCD是平行四邊形

兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形VAB=CD,AD=BC.??四邊形ABCD是平行四邊形

邊

一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形VAB=CD,AB〃CD.'.四邊形ABCD是平行四邊形

角兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形???ZBAD=ZBCD,ZABC=ZADCA四邊形ABCD是平行1

形

對(duì)角線對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形VOA=OC,BO=DO,四邊形ABCD是平行四邊形

【解題技巧】

一般地，要判定一個(gè)四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：

1）已知i組對(duì)邊平行，首先要考慮證另一組對(duì)邊平行，再考慮這組對(duì)邊相等；

2）已知一組對(duì)邊相等，首先要考慮證另一組對(duì)邊相等，再考慮這組對(duì)邊平行；

3）已知條件與對(duì)角線有關(guān)，?？紤]對(duì)角線互相平分；

4）已知條件與角有關(guān)，?？紤]兩組對(duì)角分別相等.

知識(shí)點(diǎn)三：平行線間的距離

定義：兩條平行線中，?條直線.匕的任意?點(diǎn)到另?條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離

性質(zhì)：I）兩條平行線間的距離處處相等.

2）兩條平行線間的住何兩條平行線段都是相等的.

4

考點(diǎn)者法

考點(diǎn)一：多邊形內(nèi)角和問(wèn)題

1.（2024?山東青島?中考真題）為籌備運(yùn)動(dòng)會(huì)，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形48CQE和正方

形COR7中，CF,OG的延長(zhǎng)線分別交力石，f點(diǎn)M,N,則口尸河石的度數(shù)是（）

A.90°B.99°C.108°D.135°

【答案】B

【分析】本題考查的是正多邊形內(nèi)角和問(wèn)題，熟記正多邊形的內(nèi)角的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正五邊形的內(nèi)角的計(jì)算方法求出□COE、￡根據(jù)正方形的性質(zhì)分別求出CDF、口。尸。，根據(jù)四邊形

內(nèi)角和等于360。計(jì)算即可.

【詳解】解：???五邊形48以比是正五邊形，

???nCDE=E=（5-2^18O°=108°,

???四邊形CQPG為正方形，

???□co尸=90。，nCFD-45n,

???□??！?1（）8。-90。=18°,□￡）底M=180。-45。=135。，

???UFME=360°-18°-135°-108°=99°,

故選：B.

2.（2024?四川廣元?中考真題）點(diǎn)尸是正五邊形48coE邊OE的中點(diǎn)，連接8/并延長(zhǎng)與C。延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,

則匚BGC的度數(shù)為.

【分析】連接80,8E,根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可證□H8E1C8D（SAS）,得至"BE=BD,進(jìn)而得到8G是。E的

5

垂直平分線，即OFG=90。，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而得到□“Gn72。，再根

據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解答.

【詳解】解：連接8。，BE,

：.AB=BC=CD=AE,DJ=CC

???LJd8ELIC]C8O(SAS),

：.BE=BD,

???點(diǎn)尸是。上的中點(diǎn)，

???5G是。七的垂直平分線，

/.匚?；谿=90。，

???在正五邊形48coE中，□")￡1=鋁坨=108。，

???□FZ)G=180°-DCZ)￡=72o,

???DG=180。-匚G一□尸OG=180°-90°-72°=18°.

故答案為：18。

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，內(nèi)角，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直平分線的判定，三角形的內(nèi)角

和定理，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3.(2024?山東威海?中考真題)如圖，在正六邊形"COEr中，AH\FG,BIVAH,垂足為點(diǎn)/.若□石產(chǎn)G=20。,

【答案】50750度

【分析】本題考查了正六邊形的內(nèi)角和、平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，先求出正六邊形的每個(gè)內(nèi)角

為120。，即口上口=口"〃=120。，貝J可求得「G處的度數(shù)，根據(jù)平夕亍線的性質(zhì)可求得ZI萬(wàn)1〃的度數(shù)，進(jìn)而可求

6

出匚/￡48的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出口481的度數(shù).

【詳解】解：???止六邊形的內(nèi)角和=（6-2）x180=720。，

每個(gè)內(nèi)角為：720°-6=120°,

口匚EE4=fJ"B=l20。,

□CEFG=20°,

□CG/^=120o-20o=100°,

QAHZFG,

□匚刈〃+口6四=180。，

□匚E4H=1800-UGFA=\80°-l00°=80°,

ULHAB=UFAB-UFAH=\20°-80°=40°,

UBIUAH,

□匚8〃=90。，

□□J5/=90°-40°=50°.

故答案為：50°.

考點(diǎn)二：多邊形外角和問(wèn)題

1.（2024?江蘇徐州?中考真題）正十二邊形的每一個(gè)外角等于度.

【答案】30

【分析】主要考查了多邊形的外角和定理.根據(jù)多邊形的外角和為360度，再用360度除以邊數(shù)即可得到

每一個(gè)外角的度數(shù).

【詳解】解：???多邊形的外角和為360度，

正十二邊形的每個(gè)外角度數(shù)為：360。+12=3（）。.

故答案為：30.

2.（2024.四川遂寧.中考真題）佩佩在“黃娥古鎮(zhèn)”研學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)扎染技術(shù)，得到了?個(gè)內(nèi)角和為1080。的正多

邊形圖案，這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為（）

A.36°B.40°C.45°D.60°

【答案】C

【分析】本題考查了正多邊形的外角，設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為〃，先根據(jù)內(nèi)角和求出正多邊形的邊數(shù)，再

用外角和360。除以邊數(shù)即可求解，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為〃，

7

則(“-2)x180。=1080。,

?'?刀=8,

工這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為360%8=45。，

故選：C.

3.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.中考真題）如圖，是正〃邊形紙片的一部分，其中/,“是正〃邊形兩條邊的一部分,

若/，陽(yáng)所在的直線相交形成的銳角為60。，貝卜的值是（）

A.5B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】本題考查了正多邊形，求出正多邊形的每個(gè)外角度數(shù)，再用外角和360。除以外角度數(shù)即可求解，掌

握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，直線/、小相交于點(diǎn)4,則□4=60。，

???正多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，

，正多邊形的每個(gè)外角也相等，

?,?口1=口2=*絲=60。，

考點(diǎn)三：多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合應(yīng)用

1.（2023?山東棗莊?中考真題）如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若小=44。，則口2

8

A.14°B.16°C.24°D.26°

【答案】B

【分析】如圖，求出正六邊形的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的度數(shù)，得至IJ匚4=60。,口2+」5=120。，平行線的性質(zhì),

得到匚3=口1=44。，三角形的外角的性質(zhì)，得到口5=口3+匚4=104。，進(jìn)而求出二12的度數(shù).

???正六邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：180°-60°=120°,

即：「4=60。,匚2+5=120°,

?.?一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，01=44%

03=01=44°,

,□5=口3+匚4=104。,

/.□2=120o-C5=16o；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角和、外角和的綜合應(yīng)用，平行線的性質(zhì).熟練掌握多邊形的外角和是360。,

是解題的關(guān)鍵.

2.（2024.江蘇鹽城?二模）問(wèn)題情境：

在綜合實(shí)踐課上，吳老師和鹿鳴學(xué)堂“數(shù)理時(shí)空”社團(tuán)的同學(xué)們一起研究了對(duì)角相等的六邊形，發(fā)現(xiàn)：如圖I,

在六邊形力14243力445力6中，若□力產(chǎn)二力4,口＜2=匚45,^A3=QA6,?J4J5＞A2A3JA5A6,z13/14□J|J6,

請(qǐng)結(jié)合圖1＞證明:A\A^\A^A^.

問(wèn)題探究：

小銘和小紅對(duì)圖1的六邊形小42七444進(jìn)行了特殊化，發(fā)現(xiàn)了以下兩個(gè)結(jié)論:

9

結(jié)論1：如圖2,若4344=小/6，則有:小彳2=44彳5，42,3=，546.

結(jié)論2：如圖3,若對(duì)角線小4、.4245、4346交于點(diǎn)。，則對(duì)用線小力4平分六邊形小生43彳44546的面枳，請(qǐng)

證明小銘和小紅發(fā)現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)論.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】問(wèn)題情境：如圖1,連接441,小力5,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，六邊形的內(nèi)角和證明口444=口4544小，

進(jìn)而可以解決問(wèn)題;

問(wèn)題探究：結(jié)論1：如圖2＞連接小得/3446小為平仃四邊形，然后證明出生小力44546（AAS）,

得小生二人兒，^2^3=^5^6'

結(jié)論2:連接小4,色色,為黃交于點(diǎn)。證明］OA2A4OA5,得當(dāng)=當(dāng)，同理可得力2。二4。，小O4?。，

A6O=A3O,然后證明匚。11彳2口匚°41色，同理匚。小4OA4A.,匚。1342口口。力/5，進(jìn)而可以解決問(wèn)題.

【洋解】證明：?jiǎn)栴}情境：如圖1,連接小44,小力5,

圖1□匚小二口久，口力2=匚45，口43=匚46，□/4|+D^4+CJ2+DJ5+nJ34-EJ6=720°,

42小力6十/6+A(^A^A4=360°9

A^A\A(^力6+464544+14544小=360°,

力2小，4=A^A^A\，

4為44/5；

問(wèn)題探究：結(jié)論1：如圖2,連接.443,44,

圖243力4小46，AyA^=AlA^t

月344小為平行四邊形，

=

A\AyA^A(y^43小/6=4344彳6,

424M_6=/兒久，

424，3=454446,

42=口45，

A\A^A^^4/!(AAS)，

小力2=44彳5，42/3=4546；

結(jié)論2:連接小/4,彳2黃，44交于點(diǎn)。，

圖3小刈44為，

JA}OA2[JCA4OA5,

□生=組

A50AA0

^2^3力344小46，

.A\O_A（,O_AiO

f

A4O~A3O-A2O

D.42O=.45O,

同理小0=40,A6O=AyO,

□二O/[42□匚0/445，

同理匚。/]46口口。44力3，口。力342口匚。4645，，

二。小金的面積=口04445的面積，口。小4的面積=口。44/3的面積，口0小42的面積=口。4孔的面積，

□對(duì)角線小44平分六邊形小生為為生人的面積.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了四邊形的內(nèi)角和，六邊形的內(nèi)角和，全等二角形的判定與性質(zhì)，

相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí).

3.（2023?河北?中考真題）將三個(gè)相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1,正六邊形邊長(zhǎng)為

2且各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線/上，兩側(cè)螺母不動(dòng)，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2,其中，中

間正六邊形的一邊與直線/平行，有兩邊分別經(jīng)過(guò)兩側(cè)正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn).則圖2中

（1）□?=度.

（2）中間正六邊形的中心到直線/的距離為（結(jié)果保留根號(hào)）.

CXWr0P0

ffil用2

【答案】302V3

【分析】（1）作圖后，結(jié)合正多邊形的外角的求法即可求解：

11

（2）表問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，首先作圖，標(biāo)出相應(yīng)的字母，把正六邊形的中心到直線/的距離轉(zhuǎn)化為求

ON=OM+BE,再根據(jù)止六邊形的特征及利用勾股定理及三角困數(shù)，分別求出即可求解.

【詳解】解：（1）作圖如下：

根據(jù)中間正六邊形的一邊與直線/平行及多邊形外角和，得匚/8。=60。,

a=90o-60°=30°,

故答案為：30；

（2）取中間正六邊形的中心為O,作如下圖形，

由題意得：AGDBF,ABUGF,BF^AB,

口四邊形片8R7為矩形，

匚AB=GF,

匚84C=口FGH^ABC=□GFH=90。,

CRtD^^caRtCGFH(SAS),

匚BC=FH,

在Rt匚POE中，DE=1,PE=6,

由圖I知力G=8E=2PE=2V5,

由正六功形的結(jié)構(gòu)特征知：OM=；x2v5=歷.

匚BC=1(BF-CH)=G1,

ADBCV3-1-仄

UAB=tanL5-/fC=—在<=—=3-V3>

3

CBD=2-AB=V3-\,

又匚。E=；X2=1,

12

LBE=BD+DE=V3,

ION=OM+BE=26

故答案為：2V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的特征，勾股定理，含30度直角三角形的特征，全等三角形的判定性質(zhì)，解

直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的結(jié)構(gòu)特征.

考點(diǎn)四：利用平行四邊形的性質(zhì)求解

1.(2024?山東FI照?中考真題)幻圖，以口48。。的頂點(diǎn)8為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交8c于點(diǎn)E,再分別

以點(diǎn)4￡為圓心，大于;力￡的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E畫(huà)射線4兄交力。于點(diǎn)G,交C0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃.

(1)由以上作圖可知，口1與口2的數(shù)量關(guān)系是

⑵求證：CB=CH

(3)若48=4,AG=2GD,nABC=60\求：8c〃的面積.

【答案】(1)D1=C2

(2)證明見(jiàn)解析

(3)973

【分析】本題考查了角平分線定義，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，

解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)作圖可知，4尸為二川北的角平分線，即可得到答案；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知□1=口〃，結(jié)合口1=口2,從而推出口2=口”，即可證明；

(3)過(guò)點(diǎn)〃作3C的垂線交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)相=C￡>=4,匚"CM749c=6()。,照=%

DHGO

結(jié)合力G=2GO,推出?！?:力從從而得到?！ǎ珺C,UM=CHsinn//GW,最后由S8cH=：BC"0計(jì)算即司;

【詳解】(1)解：由作圖可知，8尸為口48。的角平分線

□匚1=口2

故答案為：口1=口2

(2)證明：□四邊形48C。為平行四邊形

13

AB匚CD

□匚1=口”

□□1=D2

□匚2=口〃

口CB=CH

(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn)，作的垂線交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M

J

B￡CM四邊形4為平行四邊形，AB=4

LABQCD,AB=CD=4

□匚，CM=匚48c=60。，LABGDlDHG

AB_A（J

DH=GD

又n4G=2GQ

□絲二2

GD

ABAG

,=,=2

DHGD

11

DDH=-AB=-^4=2

22

QCH=DH+CD=6

[BC=CH=6

V3廠

[7/^=C//UsinL7/GW=C//Jsin60°=6xy=3V3

□SssfCWM=1X6X3VI=9V1

2.（2024?海南?中考真題）如圖，在口/lBCD中，4B=8,以點(diǎn)。為圓心作弧,交AB于點(diǎn)、M、N,分別以點(diǎn)M、

N為圓心，大于;A/N為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)R作直線。尸交力B于點(diǎn)￡,若口BCEEDCE,DE=4,則四邊

形BCOE的周長(zhǎng)是（）

二

14

A.22B.21C.20D.18

【答案】A

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.利

用勾股定理求得CE的長(zhǎng)，再證明8G8C,作8GDCE于點(diǎn)G,求得CG=EG=26利用tan：ZIQC￡=tan：：］3C￡

求得8G=y5,再利用勾股定理求得8E=8C=5,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：VQABCD,48=8,

:.CD=AB=8,

由作圖知QE□力8,

*：LABCD,

：.DECCD,

VD￡=4,

/.C￡=X/42+82=4V5,

，DDC￡=EBEC,

*：CBCE=CDCE,

：.CBCE=CBEC,

:?BE=BC,

作伏.于點(diǎn)S

則CG=EG="=2V5,

VCDCE=CBCE,

/.tan□Z)CE=tan□BCE,

?DE_BGgi|4_BG

'?石=而'艮＜=京'

???8G=V5,

:.BE=BC=J(v5六/y5/=5，

/.四邊形28E的周長(zhǎng)是4+g+5+5=22.

15

故選：A.

3.(2024?江蘇徐州?中考真題)如圖，在。力8c。中，48=6,40=10,匚840=60°,P為邊AB上的動(dòng)點(diǎn).連

接PC,將PC繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到PE,過(guò)點(diǎn)E作E尸口48,￡7咬直線力。于點(diǎn)立連接PRDE,分別取PR

OE的中點(diǎn)M、N,連接MM交工。于點(diǎn)Q.

(1)若點(diǎn)P與點(diǎn)8重合，則線段MN的長(zhǎng)度為.

(2)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，與力。的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，求出A/N與40的長(zhǎng)度；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴5

(2)不變，/。=8,MN=5

【分析】(I)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)8重合時(shí)，E、N、。、F、C共線，PE=PC=BC,MN為】PDE的中位線,即可求出MN的

長(zhǎng)度.

(2)構(gòu)造口尸打；，使MN為口尸打?的中位線，再構(gòu)造□匚KCP,進(jìn)而證得DPG〃是等邊三角形，得出MN=

；GH=；AD=5.然后由匚/IP/和匚G。/為等邊三角形，推導(dǎo)出依=。F，然后再由/。=4/+/。=8,最后得出.“/V

和N0的長(zhǎng)度不變.

【詳解】(I)解：當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)月重合時(shí)，如圖①,

圖①

???四邊形48CD是平行四邊形，

：.[JPCD=UA=60°,ADBC,CDUAB,BC=AD=K

,：將PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到尸E,

???匚EPC=60。，PE=PC,

???匚EPC是等邊三角形，

:,PC=BC=PE=10.□PCE=60。，

.C￡)、E三點(diǎn)共線,

16

ICO□48,EFlAB,

:?E、D、F、C共線，

???點(diǎn)M、N分別是尸REO的中點(diǎn)，

；?2MN=PE=W

:?MN=5.

故答案為：5.

（2）解：結(jié)論：不變.

如解圖②，連接FW并延長(zhǎng)到點(diǎn)G,使得FN=GN,連接GE,DG,延長(zhǎng)EG,BA交于H點(diǎn)、,連接PG.延長(zhǎng)48至

點(diǎn)、K,使得8K=BC,連接CK,CE,設(shè)PG與40交于1點(diǎn)，

?

K

圖②

???四邊形48co是平行四邊形，

/.□PCZ)=［：J=60°,ADJBC,CD匚AB,BC=AD=IO.

二點(diǎn)N為。上中點(diǎn)，

:,EN=DN.

，：FN=GN,

???四邊形GMQ為平行四邊形，

：.GE^AF,GDCEF.

■:EFMB,CDUAB,

：.GDUEFUHB,HGUAF.

???四邊形"4OG為平行四邊形，

：.HG=AD,

'/HGUAF

/.CBAD=L\AHG=60°.

在平行四邊形"CO中,

???匚840=60。，CDLAB,

JL]C8K=60。，

?:BC=BK,

???[8KC是等邊三角形，

工匚K=60°.KC=BC=AD=\0,

由旋轉(zhuǎn)得nEPC=60。，PE=PC,

VD//=60°,UH+UHEP+UHPE=180°,

:.CHEP+aHPE=\20°,□HPE+UCPK=180°-60°=120°,

—P="PK,

又匚K=匚〃=60。，PE=PC,

???□￡〃尸LIU尸KC(AAS).

:?HP=KC=AD=HG=\3

???[/GH為等邊三角形.

???點(diǎn)M、N為PF、G下的中點(diǎn)，

???MV為口尸G尸的中位線，MN=|PG.

,：PG=HG=AD=\0.

:,MN=5.即MN的長(zhǎng)度不變；

???匚CPE和□GP”都為等邊三角形.

:.PH=PG,U〃〃G=L￡P(guān)C'=6(r,U/7yG=」/'G〃=6(r,

：?UGPC=LHPE,

；?[HPErDGPC(SAS).

：.GC=HE=AF,

???UPHG=LPGH=60°,HGUAF

JUPAI=l：PHG=：JPGH=DPL4=UAPI=6。。,

???匚力戶/為等邊三角形.

同理：口6。/為等邊三角形.

：,GD=ID.AP=AL

：.AF-DI=CG-DG,

工"+DF=DC=6=AP+PB,

HI,

18

:,PB=DF,

設(shè)則Ai=AP=a,ID=\Q-a,

：JF=ID+DF=10-a+6-a=16-2。.

??,A/V為UGO的中位線，

:?MNnGP,

?絲="=1

**IQGN'

：.FQ=IQ,

???M是PF的中點(diǎn)，

，。為/尸中點(diǎn),

：.IQ=gIF=8-a,

.*.AQ=A/+/。=。+8-a=8.

故MN和力。的長(zhǎng)度都不變.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形和等邊三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)以及平行線分線

段戊比例.本題的難點(diǎn)是構(gòu)造匚"PECKKC尸得出M/V=；GH=1AD=5.

考點(diǎn)五：利用平行四邊形的性質(zhì)證明

1.（2024?寧夏?中考真題）如圖，在48CQ中，點(diǎn)MA在力。邊上，AM=DN,連接CM并延長(zhǎng)交助的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E,連接8N并延長(zhǎng)交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：4E=OF.小麗的思考過(guò)程如下：

平行四邊形

T三角:相似

!對(duì)應(yīng)贏比例1/

\AE=DF\BC

參考小麗的思考過(guò)程，完成推理.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì),先證明□/EA/MQCM,可得當(dāng)=笑

DCDM

同理可得：冷器再進(jìn)一步證明合知可.

【詳解】證明：匚四邊形力8。。是平行四邊形

19

匚AB=CD,ABJCD,

匚

_AEAM

-=一，

DCDM

同理可得，"DNClABN,

□4M+MN=DN+MN

即/N=OM,

AEDP

--=..

DCAB

又MB=CD,

口AE=DF.

2.（2023?青海西寧?中考真題）如圖，在ABCD中，點(diǎn)、E,/分另！在48,C。的延長(zhǎng)線上，且尸，連接E尸

（1）求證：口4￡忖：］口0；0：

（2）SACUEF,臚=3/，求四邊形4EC戶的周長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵12Vl

【分析】（I）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出力8DC,AB=DC,進(jìn)而得出［力而必=口。尸憶證明力￡=。/，根據(jù)

人人5證明口力￡必口口。月0,即可得證；

（2）證明□力EC尸是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】C）證明：?.?四邊形/2右。是平行四邊形

20

；?/.B匚DC,AB=DC（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等）

???LMEA/=Z）CFM（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

?：BE=DF

:.AB+BE=CD^DF\^AE=CF

在njEM和DCKW中

（\：AME=UCMF

\\JAEM^UCFM

（AE=CF

.,.CJfA/DDCF^CAAS）；

（2）解：?：AE=CF,AEKF

???四邊形/EC尸是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

又,：AC匚EF

:?□力ECF是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）

：/E=EC=CF=AF（菱形的四條邊都相等）

:,菱形4c的周長(zhǎng)=4力片4*3役=12V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知

識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）已知四邊形48CZ）是平行四邊形，點(diǎn)E在對(duì)角線80上，點(diǎn)尸在邊8c上,

連接力K,EF,DE=BF,BE=BC.

------------4A：77。

圖①圖②

（1）如圖①，求證口4￡。匚口后必；

（2）如圖②，若4B=AD,AEWED,過(guò)點(diǎn)、C作CH1AE交BE于短”,在不添加任何輔助線的情況F，請(qǐng)直接寫(xiě)出

圖②中四個(gè)角（匚A4E除外），使寫(xiě)出的每個(gè)角都與LJH4E相等.

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）DBE4YEFC=[DCH^DHC^BAE,理由見(jiàn)解析.

【分析】（I）由平行四邊形的性質(zhì)得力。BCLAD,進(jìn)而有O4OE=UE",從而利用S4S即可證明

結(jié)論成立；

21

(2)先證四邊形力8c。是菱形，得AB=BC=BE=CD=AD,又證□,4BED[Z]CQ”(AAS),得

CBAE=ZDCH=BEA=UDHC,由(1)得□2EQ」D￡7?8(SAS)得AED=CEFB,根據(jù)等角的補(bǔ)角相等即可讓

明.

【詳解】(1)證明：???四邊形/BC。是平行四邊形，BE=BC

:.AD=BC=BE,BCJAD,

：,匚ADE7EBF,

?:DE=BF,MDE=fJEBF,AD=BE

:.□4￡?？诳凇?超(SAS)；

(2)解：UBEA=[.EFC=UDCH=UDHC=UBAE,理由如下:

\tAB=AD,四邊形彳8CD是平行匹邊形，

???四邊形力88是菱形，BCUAD.AB1CD

：.AB=BC=BE=CD=AD,UADE=UEBF,ABEECDH,

：.IBEA7BAE,

*：CH^AE,

，IBEAEJDHC,

：.□力即□□CO〃(AAS),

/.LBAE=JDCH=ZBEA=QDHC,

由(i)MatronD￡ra(SAS),

J[]AED=JEFBt

,:口力七。+口3以=匚七尸8+口后產(chǎn)。=180°,

，CBE4=DEFC=QDCH=[DHC=[BAE.

圖②

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊對(duì)等角、全等三角形的判定及性質(zhì)以及

等角的補(bǔ)角相等.熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22

考點(diǎn)六：證明四邊形是平行四邊形

I.(2024?山東青島?中考真題)如圖，在四邊形力8c。中，對(duì)角線力。與4。相交于點(diǎn)O,[}ABD=UCDB,BEUAC

于點(diǎn)石，。川力C于點(diǎn)尸，且BE=DF.

;

(1)求證：四邊形48CQ是平行四邊形；

(2)若/B=BO,當(dāng)口力4石等于多少度時(shí)，四邊形力4。。是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由，并直接寫(xiě)出此時(shí)躇的值.

AD

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)當(dāng)□力8￡=30。時(shí)，四邊形MCQ是矩形，理由見(jiàn)解析，此時(shí)胎25

【分析】(I)先證明"ICO得到口瓦14="CQ,再由垂線的定義得到口/￡9=匚。-。=9()。，據(jù)此證明

□J￡50CCFD(AAS),得到/4=CD,由此即可證明四邊形力8CO是平行四邊形；

(2)當(dāng)□川?￡=30。時(shí)，四邊形48CQ是矩形，利用三角形內(nèi)角和定理得到□比10=60。，則可證明口/O。是等

邊三角形，得至1」。/=0氏進(jìn)而可證明/C=8O,則四邊形力SCO是矩形，在RE/8C中，tan匚比1C=警=75.

AD

(詳解】(1)證明：VUABD=3CDB,

：,ABUCD,

:?匚EABjFCD,

V5ECJC,DFUAC,

.,.□JE5=nCFD=90°,

又TBE=DF,

/.Dj^nncro(AAS),

：.AB=CD,

又,:ABDCD,

???四邊形48C。是平行四邊形；

(2)解：當(dāng)d48E=30。時(shí)，四邊形48。是矩形，理由如下：

VBECAC,

：.CAEB=90°,

VnJ5￡=3()°,

23

???匚歷10=60。,

義?：AB=BO,

???口力08是等邊三角形，

：?OA=OB,

,:四邊形/BCD是平行四邊形，

：.OB=OD,OA=OC,

：,OB=OD=OA=OC,

：.AC=BD,

???四邊形"CD是矩形，

即當(dāng)匚Z8E=30。時(shí)，四邊形48CQ是矩形，

???匚48C=90°,

???在RQ8C中,tanBAC卷=瓜

AB

【點(diǎn)睛】木題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判

定，等邊三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知平行四邊形和矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，在矩形"C。中，AB>2AD,點(diǎn)、E,尸分別在邊力8,C。上.將門(mén)力。尸沿

/斤折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G恰好落在對(duì)角線4c上；將匚C8E沿CE折疊，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)〃恰好也落在對(duì)角線4C

上.連接GE,FH.

DFC

求證：

{\}UAEH3UCFGx

（2）四邊形EGF”為平行四邊形.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得,4Z>8CLB=。=90。，AB：CD,即得匚尸CG,由折疊的性質(zhì)可得

AG=AD,CH=CB,口。，石=口夕=900,□JGF=D￡>=90o,即得CH=/G,UAHE=QCGF=90o,進(jìn)而得力，=CG,

即可由ASA證明□力EHZIDbG；

（2）由（1）得：UHE=UCGF=90。,14EH門(mén)匚CFG,即可得至歸〃/G,EH=FG,進(jìn)而即可求證；

本題考杳了矩形的性垢，折卷的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，掌握矩形和折疊

24

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)證明：???四邊形4BCQ是矩形，

:,AD=BC,口5=0=90。，ABJCD,

"EAH—FCG,

由折疊可得，AG=AD,CH=CB,JCHE=[15=90°,CJGF=EZ>90°,

：.CH=AG,'4HE=[JCGF=90°,

：,AH=CG,

在□力E”和□C/G中，

(QEAH=UFCG

]AH=CG,

(□J//￡=DCGF=90°

，匚4￡7/」LlbG(ASA)；

(2)證明：由(1)知□力HE=ZICGF=90°,□XEHLfJCFG,

:?EHDFG,EH=FG,

???四邊形EGFH為平行四邊形.

3.(2024?四川達(dá)州?中考真題)如圖，線段力C、8。相交于點(diǎn)O.且4B1CD,/lEDBD于點(diǎn)E.

(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)C作"”的垂線，垂足為點(diǎn)尸、連接力尸、C￡；(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，并標(biāo)明相應(yīng)的

字母)

(2)若/B=CD,請(qǐng)判斷四邊形月Eb的形狀，并說(shuō)明理由.(若前問(wèn)未完成，可畫(huà)草圖完成此問(wèn))

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)四邊形力石。尸是平行四邊形，理由見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，垂線的尺規(guī)作圖，全等三角形的性質(zhì)與判定：

(1)先根據(jù)垂線的尺規(guī)作圖方法作出點(diǎn)R再連接CE即可；

(2)先證明□44OEIE]CQO(ASA),得到。1=OC,再證明力￡口。凡nAEO=2CFO=90<>,進(jìn)而證明

QAOEJDCOF(AAS),得到力E=C凡即可證明四邊形4EC尸是平行四邊形.

【詳解】(1)解：如圖所示，即為所求；

25

(2)解：四邊形/EC尸是平行四邊形，理由如下:

FBDCD,

：.LB=JD,DOAB=2OCD,

又?:AB=CD,

ALJ