幾何模型之一線三等角

1.(2025春?平陰縣期末)已知，在AA/3c中，A/3=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線機(jī)上，

/BDA=ZAEC=ZBAC.

(1)如圖①，若AB_LAC,則3。與AE的數(shù)量關(guān)系為,BD,CE與￡＞石的數(shù)量關(guān)系為.

(2)如圖②，當(dāng)不垂直于AC時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由.

(3)如圖③，若只保持ZBD4=NAEC,BD=EF=7cmfOE=10cm,點(diǎn)A在線段上以2c〃〃s的速度

由點(diǎn)。向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。在線段上以的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

f(s).是否存在x,使得AA皮)與AE4C全等？若存在，求出知應(yīng)的/與x的值；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

2.(2025秋?葫蘆島期末)在平面直角坐標(biāo)系.?，中，4WC為等腰直角三角形，ZAC3=90°,點(diǎn)

4(0,5),點(diǎn)C(一2,0),點(diǎn)8在第四象限.

(1)如圖1,求點(diǎn)3的坐標(biāo);

(2)如圖2,若他交x軸于點(diǎn)。，8c交y軸于點(diǎn)M,N是BC上一點(diǎn)，且BN=CM,連接ON,求證

CD+DN=AM；

(3)如圖3,若點(diǎn)A不動(dòng)，點(diǎn)C在工軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以AC,OC為直角邊在第二、第三象

限作等腰直角AACE與等腰直角及乂尸，其中NACE=NOC尸=90。，連接廳'交x軸于尸點(diǎn)，問當(dāng)點(diǎn)。在

x軸的負(fù)半軸上移動(dòng)時(shí)，CP的長度是否變化？若變化，請(qǐng)說明理由，若不變化，請(qǐng)求出其長度.

3.(2025春?紅安縣期末)【建立模型】如圖①，等腰直角三角形。BC的直角頂點(diǎn)4在線段M上，

過點(diǎn)A作Ah'_L"于點(diǎn)過點(diǎn)€：作5」“于點(diǎn)〃，可以得到結(jié)論：三卜.

【運(yùn)用模型】請(qǐng)利用這一結(jié)論解決下列問題：

(1)如圖①，請(qǐng)證明AA8E=ABCV；

(2)如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，A(l,0),C(-l,4),過點(diǎn)A作A3_LAC,使A6=AC,請(qǐng)直接寫出

點(diǎn)8的坐標(biāo).

(3)如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,6),點(diǎn)3的坐標(biāo)為(6,2),第一象限內(nèi)是否存在

一點(diǎn)尸，使AA砂為等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

gw?

4.(2025?鄂倫春自治旗二模)如圖1,二次函數(shù))，="r+3)(x-4)的圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A,4(0,-2),

點(diǎn)P為、?軸上一動(dòng)點(diǎn)、.

(1)求二次函數(shù)y=a(x+3)(x-4)的表達(dá)式;

(2)過點(diǎn)尸作PQLr軸分別交線段拋物線于點(diǎn)Q,C,連接AC.當(dāng)O尸=1時(shí)，求AACQ的面

積；

(3)如圖2,將線段總繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段叨.

①當(dāng)點(diǎn)。在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②點(diǎn)七(2,-』)在拋物線上，連接莊，當(dāng)PE平分ZBPD時(shí),直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

3

5.(2025春?羅莊區(qū)期末)課本第3()頁介紹：美國總統(tǒng)伽菲爾德利用圖1驗(yàn)證了勾股定理，直線/過

等腰直痢三角形A?C的直角頂點(diǎn)C；過點(diǎn)A作4)_L/于點(diǎn)。，過點(diǎn)4作位＜_!_/于點(diǎn)七研究圖形，不難

發(fā)現(xiàn)I:AADC=ACEB.

(1)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，等腰RtAACB,ZACB=9O°,AC=8C,點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,-1),A

點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),求8點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，直線《：)，=2文+4分別與y軸，X軸交于點(diǎn)4,B,將直線《繞點(diǎn)A

順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到/2,請(qǐng)任選一種情況求4的函數(shù)表達(dá)式；

(3)如圖4,在平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)3(6,4),過點(diǎn)“作A8_Ly軸于點(diǎn)A,作BC_Lx軸子點(diǎn)C,尸為線

段4c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Qa,a+2)位于第一象限(且在43上方).問點(diǎn)4,P,Q能否構(gòu)成以點(diǎn)Q為

直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若能，請(qǐng)直接寫出。點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由.

6.(2025?濰坊三模)如圖1,將一個(gè)等腰直南三角尺八4。的頂點(diǎn)C放置在直線/上，ZA^C=90°,

AB=HC：,過點(diǎn)A作4)JL/于點(diǎn)=，過點(diǎn)4作出」/于點(diǎn)七.

觀察發(fā)現(xiàn)：

(1)如圖1,當(dāng)A,3兩點(diǎn)均在直線/的上方時(shí)

①猜測(cè)線段4),CE與8E的數(shù)量關(guān)系并說理由；

②直接寫出線段￡>C,4)與8E的數(shù)量關(guān)系；

操作證明：

(2)將等腰直甬三角尺ABC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，線段DC,4)與砥又有怎樣的數(shù)量

關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，并寫出任明過程；

拓廣探索：

(3)將等腰直角三角尺ABC繞著點(diǎn)C繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí)，4)與8c交于點(diǎn)H,若CD=3,

4)=9,請(qǐng)直接寫出?！钡拈L度.

7.(2025春?南安市期末)如圖，直線/:y=〃比+4〃?(/〃為常數(shù)，與x軸負(fù)半軸交.干點(diǎn)4,與y軸

正半軸交于點(diǎn)8,且。4=。3,點(diǎn)、P,Q分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求m的值;

(2)若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-2,0),且/BPQ=45。,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,0),將帆繞點(diǎn)?順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CP,當(dāng)四邊形APCQ是平行四邊形

時(shí)，用含a的代數(shù)式表示四邊形APCQ的面積S.

備用圖

8.（2025春?萊蕪區(qū)期中）問題背景：（1）如圖①，已知A4AC中，NBAC=90°,AB=ACf直線機(jī)經(jīng)

過點(diǎn)A,4）_L直線〃？，CKJL直線機(jī)，垂足分別為點(diǎn)。、E,請(qǐng)直接寫出以八C'￡、〃上的數(shù)量關(guān)

系.

拓展延伸：⑵如圖②，將（1）中的條件改為：在AA8C中，AB=ACf。、A、石三點(diǎn)都在直線機(jī)

上，并且有NBDA=NAEC=N84C,請(qǐng)寫出。E、BD、CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

實(shí)際應(yīng)用：（3）如圖③，在AAC3中，ZAC/i=90°,AC=4C,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-2,0）,點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（-6.3）,求“點(diǎn)的坐標(biāo).

9.（2025春?青秀區(qū)校級(jí)月考）（1）如圖1,在等腰直角AA8C中，ZAC8=90。，AC=BCf過點(diǎn)。作

直線小，AD工DH于點(diǎn)、D,3七上DE于點(diǎn)、七，求證：AAOCN及N8；

（2）如圖2,在等腰直角A43C中，ZACB=90°,AC=BCt過點(diǎn)C作直線CE,AQ_LCE于點(diǎn)O,

BE上CE于點(diǎn)、E,AD=2.5cmtDE=\Jcmf求跖的長：

（3）如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，A（-l,0）,C（l,3）,AA4C為等腰直角三角形，NAC8=90。,

AC=BC,求點(diǎn)8坐標(biāo).

1().(2025?尤溪縣校級(jí)模擬)在矩形人46中，連接AC,線段是線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得

到，平移線段At得到線段〃〃(點(diǎn)A與點(diǎn)。對(duì)應(yīng)，點(diǎn)“與點(diǎn)尸對(duì)應(yīng))，連接4”，分別交AC,C上于

點(diǎn)M,N,連接所.

(1)求證：BN=FN;

(2)求尸的大??；

(3)若3M=x,FN=y,求矩形A4a＞的面積(用含有x,y的式子表示).

11.(2025?桐鄉(xiāng)市校級(jí)開學(xué))如圖，已知AA8C與ADCE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZCDE=90°,

AB=AC,CD=DE(AB〈CD),點(diǎn)、B,。位于AC的異側(cè)，連結(jié)BE,過E作EF//AB,且EF=AB,連

結(jié)AF交BE于點(diǎn)、G,連結(jié)AD,DF.

(1)如圖1,若點(diǎn)3,C,石在同一直線上;

①求證：AABG二AFEG；

②請(qǐng)判斷MQF的形狀，并說明理由；

(2)如圖2,若點(diǎn)B,A,。在同一直線上，連結(jié)DG,試猜想OG與人尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

B

圖】圖2

12.(2025秋?贛縣區(qū)期末)閱讀理解，自主探究：

“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個(gè)等角角度為901于是有三組邊相互

垂直.所以稱為“一線三垂直模型”.當(dāng)模型中有一組對(duì)應(yīng)邊長相等時(shí)，則模型中必定存在全等三角

形.

(1)問題解決：如圖1,在等腰直角AA8C中，ZACB=90°,AC=BC,過點(diǎn)。作直線DE,ADLDE

于。，BE工DE于E,求證：MDC=ACEB：

(2)問題探究：如圖2,在等腰直角AA4c中，NACB=90。，AC=BCf過點(diǎn)C作直線CE,ADJ.CE

于。，BE工CE于E,AD=2.5cm,DE=\.lan,求跳:的長；

(3)拓展延伸：如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，4(-1,0),C(l,3),AA8C為等腰直角三角形，

ZACB=90°,AC=BCt求4點(diǎn)坐標(biāo).

13.（2025?豐順縣校級(jí)開學(xué)）問題提出：

如圖，等腰RSABC中，4c8=%。，CB=CA,直線切經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)A作亍點(diǎn)。，過點(diǎn)

B作BE上ED于點(diǎn)、E,求證：ABEC=AC7M；

問題探究：

如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=（x+l與x軸交于點(diǎn)A,與），軸交于點(diǎn)8,以為腰在第

二象限作等腰直角AA8C,ZBAC=90°,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

問題解決：

古城西安已經(jīng)全面迎來地鐵時(shí)代！繼西安地鐵2號(hào)線于2024年9月16日通車試運(yùn)行以來，共有八條

線路開通運(yùn)營，極大促進(jìn)了西安市的交通運(yùn)揄，目前還有多條線路正在修建中.如圖，地鐵某線路

原計(jì)劃按。4-八4的方向施工，由于在方向發(fā)現(xiàn)一處地下古建筑，地鐵修建須繞開此區(qū)域.經(jīng)實(shí)

地勘測(cè)，若將段繞點(diǎn)A順時(shí)針或逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。至AC或AD方向，則可以繞開此區(qū)域.已知

04長為1千米，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，1千米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，且

射線超與直線y=-2x平行，請(qǐng)幫助施工隊(duì)計(jì)算出AC和AD所在直線的解析式.

圖

rai圖23

14.（2025秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）（1）模型建立：

如圖1,在等腰直角三角形A3C中，ZAC8=9O。，（JA=Cti,直線以J經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AL>_LQ于

點(diǎn)。，過點(diǎn)8作防J.瓦）于點(diǎn)E,請(qǐng)直接寫出圖中相等的線段（除C4=CB）；

模型應(yīng)用：

（2）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=—1x+8與工，y軸分另U交于4、B兩點(diǎn)、,C為第一

象限內(nèi)的點(diǎn)，若AABC是以/W為直角邊的等腰直角三南形，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線BC的表達(dá)式；

探究提升：

（3）如圖3,在平面直角坐標(biāo)系x°y中，A（3,0）,點(diǎn)8在），軸上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至

AC,連接OC,求C4+OC的最小值，及此時(shí)點(diǎn)8坐標(biāo).

15.（2025?信陽模擬）在直線,〃上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)。，A,E,在直線加上方有AB=AC,

且滿足NBDA=NAEC=NBAC=a.

（1）如圖1,當(dāng)口=90。時(shí)，猜想線段DE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是：

（2）如圖2,當(dāng)0<a<180時(shí)，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立,

請(qǐng)說明理由；

（3）拓展與應(yīng)用：如圖3,當(dāng)a=120。時(shí)，點(diǎn)尸為N84C平分線上的一點(diǎn)，且=分別連接

FB,FD,FE,FC,試判斷戶的形狀，并說明理由.

（圖1）（圖2）（圖3）

16.（2025秋?集賢縣校級(jí)期末）在AABC中，ZACB=90。，AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且人力_LMV

于。，BE工MN于七?

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，

求證：?MDC^^CEB；

?DE=AD+BE；

（2）當(dāng)直線用N繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不

成立，說明理由.

17.（2025春?大洼區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線），=-±%+4與x軸，與），軸分別交于點(diǎn)

A、點(diǎn)8、點(diǎn)。在），軸的負(fù)半軸上，若將從沿直線4）折疊，點(diǎn)8恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)C

處.

（1）求的長與點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接2中,求使加）P=45。時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）在（3）的條件下直接寫出MDP的面積.

18.(2025春?桃江縣期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OWC的頂點(diǎn)C,4分別在.r軸，y軸

上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，4點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,6),過A點(diǎn)的直線/與x軸交于點(diǎn)K(-3,0),尸是淺段AC上一動(dòng)

點(diǎn)，設(shè)PC=m.

(1)D是第一象限直線/上一點(diǎn)，作PE_L)，軸于E,。產(chǎn)_Lj軸于小若NE4力=90°,AD=AP.

①求證：MPE^ADAF;

②求直線/的表達(dá)式及。點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)將直線/向下平移12個(gè)單位得到直線r,在直線旗上方的直線「上，是否存在這樣的點(diǎn)。，使

得ZAP￡)=90。，且”=DD,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.(2025?陜西模擬)問題提出

(1)如圖①，在四邊形ABO)中，AB=ADfNB與ND互補(bǔ),AC=2CZ)=20,點(diǎn)4到BC的距離為

17,求四邊形ABCD的面積；

問題解決

(2)如圖②，某公園計(jì)劃在一塊空地上修建兩大主題活動(dòng)區(qū)域，其中△鉆E為健身活動(dòng)區(qū)域，&CDE

為文藝活動(dòng)區(qū)域，已知A8=3C=60〃z,ZB=60°,AB//CD.按照設(shè)計(jì)要求，現(xiàn)要在8C上找一點(diǎn)

E,使得他ZA￡D=60%請(qǐng)問是否存在滿足設(shè)計(jì)要求的點(diǎn)E,使得文藝活動(dòng)區(qū)域的面積盡可

能大？若存在，求出文藝活動(dòng)區(qū)域的面積及此時(shí)點(diǎn)A,E之間的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由.

20.（2025?東勝區(qū)一模）（1）探索發(fā)現(xiàn)：在幾何學(xué)習(xí)中，如果兩個(gè)三角形有公共高、公共邊，我們

利用面積可以發(fā)現(xiàn)線段之間的一些數(shù)量關(guān)系.例如圖I,在AAHC中，點(diǎn)。在邊AC上，MBD與

AA0C面積分別記為耳和巨，若皮）=2,￡>C=3,則\:工=.

（2）閱讀分析：如圖2,在中，AB=ACfZfi4C=90°.射線AW交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)石、廠在4W

上，且/CEM=N8必=90。，若AABb的面積為5,BF:EF=\:2,求△（%產(chǎn)的面積.

（3）類比探究：如圖3,在四邊形438中，AB=ADfAC與友）交于點(diǎn)O,點(diǎn)石、/在射線AC上，

ZBCF=^DEF=ZBAD.若8=408,AA8C的面積為3,求出△?）石的面積.

圖1

1.（2025春?平陰縣期末）已知，在AABC中，AB=AC,D,A,七三點(diǎn)都在直線機(jī)上，

&DA=ZAEC=NA4C?

（1）如圖①，若A8_LAC,則8。與AE的數(shù)量關(guān)系為_BD=AE_,BD,CE與小的數(shù)量關(guān)系

為—.

（2）如圖②，當(dāng)M不垂直于AC時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由.

（3）如圖③，若只保持ZBD4=/4EC,BD=EF=7cmfOE=18/〃，點(diǎn)4在線段￡>E上以2c〃?/s的速度

由點(diǎn)。向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段所上以的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)產(chǎn)運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

心）.是否存在x,使得AAB。與AE4C全等？若存在，求出相應(yīng)的，與％的值；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

ZBAD+ZCAE=ABAD+ZABD,

...ZCAE=ZABDf

?.ZBZ>4=ZAEC,AB=CA,

.\AARD^ACAE(AAS),

:.BD=AE,AD=CE.

?.AE+AD=DE,

：.BD+CE=DE,

故答案為：BD=AE,BD+CE=DE;

(2)成立，BD+CE=DE,理由如下：

同(1)得：^ABD^^CAE(AAS),

:.BD=AE,CE=AD,

,AE+AD=DE,

BD+CE=DE;

(3)存在，理由如下：

當(dāng)AZM3二A￡C4時(shí)，AD=CE,BD=AE=7cmf

AD+AE=DE=10c〃z,

:.CE=AD=DE—AE=3cm>

AD3

:.l=——=一，

22

:.x=3-i--=2;

2

當(dāng)AZM3=AE4C時(shí)，

/.AD=AE=-DE=5cmDB=EC=lcm,

2f

AD5）514

:.f=----=—?X=74--=—，

2225

綜上所述，存在x,使得AA3￡）與AE4C全等，/=3,x=2或f=*,x=—.

225

2.（2025秋?葫蘆島期末）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，A48C為等腰直角三角形，ZACB=9O°,點(diǎn)

40,5）,點(diǎn)C（—2,0）,點(diǎn)8在第四象限.

（1）如圖1,求點(diǎn)3的坐標(biāo)；

（2）如圖2,若交x軸于點(diǎn)￡>,8c交），軸于點(diǎn)M,N是BC上一點(diǎn),且8N=CM,連接￡W,求

^CD+DN-AM;

（3）如圖3,若點(diǎn)A不動(dòng)，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以AC,"為直角邊在第二、第三象

限作等腰直角AACE與等腰直角僅七廠，其中ZACE=NOb=90。，連接所交x軸于P點(diǎn)，問當(dāng)點(diǎn)。在

x軸的負(fù)半軸上移動(dòng)時(shí)，。的長度是否變化？若變化，請(qǐng)說明理由，若不變化，請(qǐng)求出其長度.

【解答】(1)解：如圖1,過3作8F_Lx軸于F,

貝I」ZBFC=90°,

,1點(diǎn)40,5)?點(diǎn)C(—2,0),

：.OA=5，OC=2，

AABC為等腰直角三角形，ZACfi=90°,

:.AC=BC.ZA4c=45。，"CB+NOC4=90。，

?.NCO4=90°,

/.ZOAC+^OCA=90°,

:.ZOAC=ZFCBf

?.NCOA=NBFC=900,

.?.△CfB=AAOC(AAS),

:.FB=OC=2,FC=OA=5,

:.OF=FC-OC=5-2=3,

.,?點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,-2);

(2)證明：如圖2,過8作交人?軸于E,

貝I」NC5E=90°=ZACA4,

由(1)得：BC=CA,ZECB=ZMAC,

」.ABCE=ACAM(ASA),

:.CE=AM,BE=CM,

BN=CM，

:.BE=BN,

,?ZC?E=90°，ZA4c=45。，

NDBE=90°-45°=45°,

:./DBE=/DBN=45。，

又BD=BD,

:.^BDE=^BDN(SAS),

:.DE=DNf

CD+DE=CE，

:.CD+DN=CE,

:.CD+DN=AM；

(3)解：CP的長度不變化，CP=2,理由如下:

2

如圖3,過E作EG_Lx軸于G,

貝ljNEGC=900=NOM,

ZG￡C+ZGCE=90°,

?.AACE是等腰直角三角形，Z4CE=90°,

:.CE=AC,NGCE+NOC4=90。，

：.4GEC=4OCA,

.-.AGEC=AOC4(A4S),

..GC=OA=5,GE=OC,

?.△OCF是等腰直角三角形，ZOCF=90°,

:.OC=CFf"CP=90。,

GE=5,ZhGF=ZACF,

又；GPG=/FPC,

:.怔PGwhFPC(AAS),

圖1

3.(2025春?紅安縣期末)【建立模型】如圖①，等腰直角三角形MAC的直角頂點(diǎn)，在線段E”上,

過點(diǎn)4作AEJ_￡F于點(diǎn)石，過點(diǎn)C作C尸_L￡F于點(diǎn)E,可以得到結(jié)論：MBE三2CF.

【運(yùn)用模型】請(qǐng)利用這一結(jié)論解決下列問題：

(1)如圖①，請(qǐng)證明AABEMABCV;

(2)如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，A(l,0),C(-l,4),過點(diǎn)A作A3_LAC,使AB=AC,請(qǐng)直接寫出

點(diǎn)8的坐標(biāo).

(3)如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,6),點(diǎn)3的坐標(biāo)為(6,2),第一象限內(nèi)是否存在

一點(diǎn)尸，使4郎為等腰直角三隹形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解答】(1)證明：AA4C是等腰直角三角形，且ZABC=90。,

/.AB=BC,/ABE+Z.CBF=90°,

又，.NA￡*B=NB尸C=90°,

：.ZABE+ZBAE=9(r,

:.ZBAE=NCBF,

在AA8E和ABB中,

NAEB=/BFC

<NBAE=NCBF,

AB=BC

:.AABE=ABCF(AAS);

(2)解：如圖②，過點(diǎn)8作8E_Lx軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作CF_Lx軸于點(diǎn)尸,

圖②

同(1)得：AABE^ACAF(AAS)f

，BE=AF,AE=CF,

,.?A(1,O),C(-l,4),

.?.Q4=l,OF=1,CF=4,

7.AF=OA+OF=\+\=2，OE=AE+OA=CF-^OA=4+\=5,

.??點(diǎn)8的坐標(biāo)為(5,2)；

(3)解：第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)尸，使AAB?為等腰直角三隹形，理由如下：

分三種情況：

①當(dāng)4VW=90°時(shí)，AP=AB.

如圖③，分別過點(diǎn)8、點(diǎn)尸作)，軸的垂線交過點(diǎn)4作)，軸的平行線于點(diǎn)￡、點(diǎn)八

y

圖③

同(1)得：MBE^^AF(AAS),

:.BE=AFfAE=PF,

.?A(—2,6)、8(6⑵，

/.BE=2+6=8,AE=6-2=4,

.??點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：4-2=2,縱坐標(biāo)為：8+6=14,

AP(2,14)；

②當(dāng)NPZM=90°時(shí)，AB=BP,

如圖④，分別過點(diǎn)A、點(diǎn)?作x軸的垂線交過點(diǎn)4作1軸的平行線于點(diǎn)E、點(diǎn)廠,

同（1）得:AA13E^MiPF(AAS),

:.BE=PF,AE=BF,

.?4-2,6)、4(6,2),

.?.4石=2+6=8,AE=6-2=4,

二點(diǎn)戶的橫坐標(biāo)為：8-2+4=10,縱坐標(biāo)為：8+2=10,

/.P(IOJO);

③當(dāng)NA尸8=90°時(shí)，AP=BP,

如圖⑤，分別過點(diǎn)A、點(diǎn)8作x軸的垂線交過點(diǎn)?作x軸的平行線于點(diǎn)石、點(diǎn)F,

同(1)得：MPE合"BF(AAS),

:.PE=BF,AE=PF,

設(shè)P(x,y),

?.?A(—2,6)、8(6,2),

:.x+2=PE,y-2=BF,y—6=AE,6—x=PF,

x+2=y-2

解得:

P(4,8),

綜上所述，第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)P,使為等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2、14)或(10,10)或

(4,8).

4.(2025?鄂倫春自治旗二模)如圖1,二次函數(shù)y=a(x+3)(x-4)的圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A,B(0-2),

(1)求二次函數(shù)y=〃(x+3)(x-4)的表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)夕作PQ_Lx軸分別交線段口,拋物線于點(diǎn)Q,C,連接AC.當(dāng)OP=1時(shí)，求AACQ的面

積；

(3)如圖2,將線段M繞點(diǎn)?逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段加.

①當(dāng)點(diǎn)。在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo);

②點(diǎn)七(2,-1)在拋物線上，連接尸E,當(dāng)PE平分時(shí)，直接寫出點(diǎn)夕的坐標(biāo).

【解答】解：(1)把8(0,-2)代入y=〃(工+3)(工-4)得，a=-,

6

.??二次函數(shù)的表達(dá)式為y=Lx+3)(x-4);

6

(2)令y=1(x+3)(x-4)=0,得)=-3或4,

6

4(4,0),

設(shè)直線/W為)，二丘-2,代入44,0)得A-一，，

2

Ir

:.y=-x-2,

2

：OP=\,

3

...Q(1,_Q)，C(l,-2),

I113

-^CQ=-XQCXPA=-X-X3=^

(3)①過。作?！╛Lx軸，垂足為b,

NQ臚+NQ依=90°,NGD+NO依=90。,

:.NOBP=/FPD,

?;ZBOP=/PFD,PB=PD,

ABOPsAPFD(AAS),

:.PF=OB=2,OP=FD,

設(shè)OP=〃?，W'JOF=m+2,代入y='(x+3)(x-4)得

6

—(m+2+3)(〃?+2-4)=-m，

6

/.m2+9/72-10=0?

m=1亙V,〃7=-10,

...D(3,T)或(-8,10).

②連接團(tuán)，EB,

?PE=PE,ZBPE=ZDPE,PB=PD,

..SBPE^M)PE(SAS),

/.EB=ED，

由①知。(〃?+2,—m)，

vB(0,-2),￡(2,-1),

.'.(2-0)2+(--+2)2=(m+2—2『+(-m+-)2,

33

7.3m2-5m-2=0,

或/九=2>

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(」，0)或(2,0).

3

5.(2025春?羅莊區(qū)期末)課本第30頁介紹：美國總統(tǒng)伽菲爾德利用圖1驗(yàn)證了勾股定理，直線/過

等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C;過點(diǎn)A作AD_L/于點(diǎn)。，過點(diǎn)8作8E_L/于點(diǎn)后研究圖形，不難

發(fā)現(xiàn)：AADC^ACEB.

⑴如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，等腰RtAACB,ZACB=90。,AC=BC,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0.-1),A

點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),求3點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，直線］:)，=2x+4分別與y軸，無軸交于點(diǎn)A,B,將直線4繞點(diǎn)4

順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到〃，請(qǐng)任選一種情況求〃的函數(shù)表達(dá)式；

(3)如圖4,在平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)8(6,4),過點(diǎn)8作A/3，)，軸于點(diǎn)A,作8C_Lx軸于點(diǎn)C,2為線

段8c■上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)+位于笫一象限(且在上方).問點(diǎn)A,P,Q能否構(gòu)成以點(diǎn)。為

直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若能，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理

【解答】解：⑴如圖2,作BEJ_)，軸于點(diǎn)石,

.-點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,T),A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),

:.OC=\,3=2,

等腰RtAACB中，ZACB=90。，AC=BC,

：.ZBCE+ZACO=90°,

又丁軸，

:"BEC=/COA=90°,

:.ZBCE+NCBE=90°,

NCBE=ZACO,

在MCE和AC4O中，

NBEC=NCOA=9()0

<NCBE=NACO,

BC=AC

：.ABCE^SCAO(AAS)t

:.BE=CO=\,C￡=AO=2,

:.OE=CE-OC=2-\=\,

(2)如圖3,作8CJ./W于點(diǎn)4,交直線4于點(diǎn)C,作C/_Lx軸于點(diǎn)產(chǎn),

.?直線《：.y=2x+4分另U與)，軸，X軸交于點(diǎn)A,B,

當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)y=0時(shí)，x=-2>

A(0,4),以一2,0),

.\OA=4,013=2,

???N84C=45。，ZABC=90°,

AB=CB，

/.ZABO4-ZC6F=90°,

ZBAO+ZABO=90°,

:./CBF=NBAO

?,B_Lx軸,

/.Z^FC=ZAOB=90°,

.\ABCF^AABO(A4S),

/.CF=BO=2,=AO=4,

；.OF=OB+BF=2+4=6,

/.C(-6,2),

設(shè)直線，2的解析式為：y=/oc+bf將C(-6,2),A(0,4)代入得,

-6k+/?=2

解得，

b=4

b=4

圖3

(3)如圖4,過點(diǎn)。作MN//x軸，交,，軸于點(diǎn)M,交C8的延長線于點(diǎn)N,

?.?4BJ.)，軸，8C_Lx軸,

.?.Z<74S=90°,4C//y軸,

又MN//x軸，

ZAMQ=/QNP=90°,

?.AAP。是等腰直角三角形,

/.Z40P=9O°,AQ=PQ,

ZAQM+ZPQN=90°f

?：ZAQM+ZQAM=90°,

.-.NQA”=/PQN,

:.^AQM^^QPN(AAS),

：.AM=QN,

Q(a,。十2),

:.MQ=a,NQ=6-a,0W=a+2,

AM=QN=6—?,

:.OM=OA+AM即4+6-〃=〃+2,

解a=4,

6.（2025?濰坊三模）如圖1,將一個(gè)等腰直角三角尺A8C的頂點(diǎn)。放置在直線/上，ZABC=9O。，

AB=BC,過點(diǎn)A作AT>_U于點(diǎn)￡>,過點(diǎn)8作8￡_L/于點(diǎn)E.

觀察發(fā)現(xiàn)：

（1）如圖1,當(dāng)A,4兩點(diǎn)均在直線/的上方時(shí)

①猜測(cè)線段4），CE與能的數(shù)量關(guān)系并說理由；

②直接寫出線段DC,AD與跳:的數(shù)量關(guān)系：

操作證明：

（2）將等腰直角三角尺A3C繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，線段DC,4）與8E又有怎樣的數(shù)

量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，并寫出證明過程；

拓廣探索：

（3）將等腰直角三角尺ABC繞著點(diǎn)C繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí)，AD與BC交于點(diǎn)、H,若CD=3,

4）=9,請(qǐng)直接寫出Z?〃的長度.

【解答】解：（1）①AD+CE=BE,理由如下：

如圖，過點(diǎn)8作8E_LA￡>,交ZM的延長線于點(diǎn)尸,

§1

vBE_L/,BFYAD.

:.NBEC=/F=90°,

又?.AD_L/,

/.ZFDE=90°，

.??四邊形。以亦為矩形，

/.ZraE=90°,

X-.ZABC=90°,

/.ZABC-ZABE=ZFBE-ZABE，

:"CBE=ZABF,

在△。4￡與中，

NCBE=NABF

<NBEC=NBFA,

CB=AB

:.^CBE=MBF(AAS),

:.CE=AF,BE=BF,

又?I四邊形。耽為矩形，

.??四邊形力砌少為正方形，

.?.BE=DE=FD=FB,

：.AD-^CE=AD+AF=FD=BE;

②由①知：DC+AD=DE+CD+AD=DE+DF=2BE;

（2）DC-AD=2BE,理由如下：

如圖，過點(diǎn)3作8G_LA。，交4）延長線于點(diǎn)G,

?.BE±i,8G_LA。，

/.ZBEC=ZG=90°,

又ADJJ,

/.ZGDE=90°,

二.四邊形OEBG為矩形，

;.NGBE=90。,

乂ZABC=90。，

ZABC-ZABE=ZGBE-ZABE，

NCBE=ZABG,

在MCE與MAG中，

ZCBE=/ABG

?NBEC=NBGA,

CB=AB

.?.ABCENABAG(AAS),

:.CE=AG,BE=BG,

又?.?四邊形。砧為矩形，

.??四邊形。EBG為正方形，

;.DE=BE=BG=DG,

CD=CE+DE，

:.CD=AG+BE=AD+DG+BE=AD+2BE,

：.DC-AD=2BE;

(3)如圖，過點(diǎn)8作交D4于點(diǎn)F,

由（2）同理可證ABAFMABCE,四邊形尸為正方形,

:.CE=AF,ED=BE=DF,

?.CD=CE—ED,

：.CD=AF-BE

=AD-DF-BE

=AD-2BE,

；.AD-CD=2BE,

vCD=3,4）=9,

:.BE=ED=3,CE=CD+ED=6,

DH//Eli,

DHCD

:?，

EBCE

/?-D-H-=一3，

36

3

：.DH=-.

2

7.（2025春?南安市期末）如圖，直線/:丁=爾+4〃7〃〃為常數(shù)，/"0）與工軸負(fù)半軸交于點(diǎn)4，與），軸

正半軸交于點(diǎn)8,且。4=。8,點(diǎn)。，。分別為x軸和）軸上的動(dòng)點(diǎn).

?（1）求〃，的值；

（2）若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-2,0）,且/BPQ=45。,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（40）,將即繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段“，當(dāng)四邊形八PC0是平行四邊形

時(shí)，用含。的代數(shù)式表示四邊形"CQ的面積5.

備用圖

【解答】解：（1）由y=〃a+4〃?（"?為常數(shù)，/〃￥0）與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A與y軸正半軸交于點(diǎn)8,

得當(dāng)x=0時(shí)，y=4m；當(dāng)y=0時(shí)，x=-4>

/.A(-4,0),8(0,4〃?)，

OA=OB,

.,.4=4/〃，解得〃?=1,

即機(jī)的值為1?

(2)如圖一，作8C_L8P,交P0延長線于點(diǎn)C;作軸，垂足為點(diǎn)8;作C￡>_L5O于點(diǎn)。,

?.N4PQ=45。，BC工BP,

APAC是等腰直角三角形，PB=CB,

?./PBC=NOBD=W,

即NPBQ+Z.QBC=4QBC+NCBD,

/PBQ=NCBD,

又?.NPOB=NSA=90。，PB=CB,

/.&PBO^^CUD^AAS),

:.PO=CD=2,OB=DB=4,

/.C(4,2),

設(shè)k=日+匕，將。(4,2),P(-2,0)代入得,

聯(lián);「解得3

2'

3

將x=0代入得y=g,

(3)①如圖二，當(dāng)點(diǎn)尸在x軸負(fù)半軸時(shí)，點(diǎn)Q在y軸負(fù)半軸,

作SJ_x軸于點(diǎn)H,PB=PC,

.NCHP=NBPC=^F,

：.N尸C”+乙CPH=ZCFH4-匕BP(J,

:"BP0=4PCH,

又12POB=/CHP,PB=PC,

:.hPOB"CHP(AAS),

：.PO=CH=-a,

X\AP=\\a-(-4)\\=\\a+4\\f

SAPCQ=APxCH=IIa+4||x(-a),

②如圖三，當(dāng)點(diǎn)尸在x軸正半軸時(shí)，點(diǎn)Q在y軸正半軸,

作SJLx軸于點(diǎn)〃，PB=PC,

?./BPC=/CHP=90。,

；.ZPCH+NCPH=NCPH+ZBPO,

:.ZBPO=NPCH,

又，.NPOB=NCHP,PB=PC,

;."OB合ACHP(AAS),

:.PO=CH=a>

又?.AP=4+a,

「?SAPS=APxCH=(4+4)X4'

綜上,四邊形APCQ的面積S=114+dkllall.

圖二

8.（2025春?萊蕪區(qū)期中）問題背景：（1）如圖①，已知刖AC中，NBAC=9O。，AB=AC,直線機(jī)

經(jīng)過點(diǎn)A,4。_1直線小，C上JL直線〃？，垂足分別為點(diǎn)。、上，請(qǐng)直接寫出比人CE、/比的數(shù)量關(guān)

系.

拓展延伸：（2）如圖②，將（I）中的條件改為：在AA8C中，AB=ACf。、A、E三點(diǎn)都在直線機(jī)

上，并且有ZB/）A=ZAR7=N8AC請(qǐng)寫出DE、BD、CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

實(shí)際應(yīng)用：（3）如圖③，在AAC/3中，N4CB=9O。，AC=BC,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,0）,點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（-6.3）,求8點(diǎn)的坐標(biāo).

RKD

【解答】解：（1）BD+CE=DE，理由如下:

.?.Z4BD+NE4￡>=90°,

Z^C=90°,

/.ZC4E+Za4Z)=90o,

:.ZABD=ZCAEt

在AA6￡>和ACAE中，

NADB=ACEA

<ZABD=ZCAE,

AB=CA

:.^ABD^SCAE(AAS),

BD=AE，AD=CE，

;.BD+CE=AE+AD=DE;

(2)BD+CE=DE,理由如下：

在MBD中，ZABD=180°-ZADB-/BAD,

NC4E=180O-NK4C-NR4。，NBDA=NBAC,

:.ZABD=^CAE.

在A/題和ACAE中，

ZBDA=ZAEC

<ZARD=ZCAE,

AB=CA

：.SABD^^CAE(AAS),

；.BD=AE,AD=CE,

：.BD+CE=AE+AD=DE;

(3)如圖③，過A作A￡_Lx軸于點(diǎn)E,過4/3F_Lx軸于點(diǎn)P,

.,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-6,3),

.?.OC=2,OE=6,AE=3f

:.CE=OE-OC=6-2=4,

由(1)可知，MEC=^CFB(AAS)f

..CF=AE=3,BF=CE=4,

：.OF=CF-OC=3-2=\,

.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,4).

9.(2025春?青秀區(qū)校級(jí)月考)(1)如圖1,在等腰直角zMHC中，ZACA=90。，AC=BC,過點(diǎn)C作

直線QE,4)，￡)石于點(diǎn)。，BE上DE于點(diǎn)E,求證：AADC=ACEB;

(2)如圖2,在等腰直角4ABe中，ZACfi=90°,AC=BC,過點(diǎn)C作直線CE,AO_LCE于點(diǎn)。，

BE±CE于點(diǎn)、E,AD=2.5cm,DE=17cm,求8E的長；

(3)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，A(TO),C(l,3),為等腰直角三角形，ZACB=90°,

AC=BC,求點(diǎn)8坐標(biāo).

B

【解答】(1)證明：，?4O_LOE，I3EA.DE,

.?.ZADC=NC￡B=90。，

ZACB=90°f

ZACD+ZECB=90°,ZDAC+ZACD=90°，

；.ZDAC=ZECB,

在AADC和ACEB中,

NADC=/CEB

<NDAC=Z1ECB,

AC=CB

.-.AADC^ACE?(A45);

(2)解：vBElCE,AD1.CE,

.?.ZADC=NCEB=90。，

.\ZCBE+ZECB=90°,

ZAO?=90°,

...NECB+44a)=90。，

ZACD=/CBE,

在AADC和ACEB中，

NADC=NCEB

<ZACD=ZCBE,

AC=CB

:.^ADC=^CEB(AAS),

/.AD=CE=2.5cm,CD=BE,

:.BE=CD=CE-DE=2.5-\J=0.^ctn),

即班:的長為0.&初；

(3)解：如圖3,過點(diǎn)C作直線///X軸，交y軸于點(diǎn)6,過A作AE_L/于點(diǎn)上，過8作于點(diǎn)

F,交％軸于點(diǎn)〃，

則ZAEC=ZCFB=ZACB=90°,

?.?A(-1,O),C(l,3),

,,EG=OA=\,CG=1,FH=AE=OG=3,

：.CE=EG+CG=2,

ZACE+ZE4C=90°,ZACE+ZFCB=90°,

/.ZEAC=NFCB,

在MEC和bCFB中，

NAEC=NCFB

<NEAC=NFCB,

AC=CB

：.MEC^^CFB(AAS)f

AE=CF=3,BF=CE=2,

/.FG=CG+CF=1+3=4,BH=FH-BF=3-2=1,

一.A點(diǎn)坐標(biāo)為(4,1).

10.(2025?尤溪縣校級(jí)模擬)在矩形/WC。中，連接AC,線段是線段AC繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得

到，平移線段他得到線段小(點(diǎn)A與點(diǎn)。對(duì)應(yīng)，點(diǎn)上與點(diǎn)尸對(duì)應(yīng))，連接分別交AC,CE于

點(diǎn)、M,N,連接

(1)求證：RN=FN：

(2)求N/吃的大??；

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