中考數(shù)學一輪復習圖形的旋轉(zhuǎn)

一.解答題（共20小題）

1.綜合與實踐

【問題情境】

數(shù)學活動課上，老師發(fā)給每位同學一個直角三角形紙片ABC,ZBAC=9OC,A8=3,AC=4.

【問題發(fā)現(xiàn)】

奮進小組將三角形紙片ABC進行以下操作：第一步：折疊三角形紙片ABC使點C與點A重合，

然后展開鋪平，得到折痕。曰第二步：然后將△OEC繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△。尸G.點E,

。的對應(yīng)點分別是點F,G,直線G/與邊AC交于點M（點M不與點A重合）,與邊4B交于點

N.

如圖1小明發(fā)現(xiàn)，折痕OE的長很容易求出，并且M/和ME的數(shù)量關(guān)系也能證明.

如圖2小紅發(fā)現(xiàn)，在△O￡C繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，當直線GF經(jīng)過點8時或直線G尸//BC時，AM

奮進小組根據(jù)小明和小紅的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1和問題2,請你解答.

問題1：如圖1,按照如上操作

（1）折痕DE的長為；

（2）在△QEC繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，直接寫出M尸與ME的數(shù)量關(guān)系；

問題2：在△￡>￡（?繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，如圖2,探究當直線G尸〃8C時，求AM的長；

【拓展應(yīng)用】

小剛受到探究過程的啟發(fā)，在△。石。繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，嘗試畫圖，并提出問題3,請你解答.

問題3：在△OEC繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，連接A”，當A尸取最小值時，請直接寫出△人M。的面積.

2.在RlAABC中，N4CB=90°,AC=\,BC=3.

（1）問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,將△CAB繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CDE,連接A。，BE,線段A。與8E的數(shù)

量關(guān)系是，AO與BE的位置關(guān)系是；

(2)類比探究

將△CAB繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度得到△CDE,連接A。，BE,線段AZ)與BE的數(shù)量關(guān)

系，位置關(guān)系與(1)中結(jié)論是否一致？若AD交CE于點、N,請結(jié)合圖2說明理由；

(3)遷移應(yīng)用

如圖3,將△C/1A繞點。旋轉(zhuǎn)一定角度得到△。。石，當點。落到邊上時，連接BE,求線段BE

的長.

圖I圖2圖3

3.數(shù)學老師在課堂上給出了一個問題，讓同學們探究.在RtA48C中，ZACB=9()°,ZBAC=30<>,

點。在直線5c上，將線段AO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)6()。得到線段AE,過點石作石尸〃4C,交直線

人8于點F.

(1)當點。在線段BC上時，如圖①，求證：BD+EF=AB；

分析問題：某同學在思考這道題時，想利用AO=AE構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在4B上截取AM

=EF,連接。M,通過證明兩個三角形全等，最終證出結(jié)論：

推理證明：寫出圖①的證明過程：

探究問題：

(2)當點。在線段8c的延長線上時，如圖②：當點。在線段CB的延長線上時，如圖③，請判

斷并直接寫出線段B。，EF,AB之間的數(shù)量關(guān)系；

拓展思考：

(3)在(1)(2)的條件下，若AC=6g,CQ=28。，則月產(chǎn)=.

4.圖1、2是一個折疊梯的實物圖.圖3是折疊梯展開、折疊過程中的一個主視圖.圖4是折疊梯充

分展開后的主視圖，此時點E落在AC上，已知AB=AC,sinzB力C”京，點。、只G、J在A8

上，DE、FM、GH、JK均與BC所在直線平行，DE=FM=GH=JK=2Qcm,DF=FG=GJ=30cm.點、

N在AC上，AN、MN的長度固定不變.圖5是折疊梯完全折疊時的主視圖,此時A3、AC重合,

點E、M、H、N、K、。在A8上的位置如圖所示.

【分析問題】

(I)如圖5,用圖中的線段填空：AN=MN+EM+AD-

⑵如圖4,sinNMEN=,由AN=EN+AE=EN+AD,且AN的長度不變,

可得MN與EN之間的數(shù)量關(guān)系為

【解決問題】

(3)求MN的長.

從正面看

圖1圖2圖3圖4圖5

5.綜合與實踐

問題情境

在一次綜合與實踐課上，老師讓同學們以兩個全等的等腰直角三角形紙片為操作對象.紙片△ABC

和△。月/滿足/AC8=NEDF=90°,AC=BC=DF=DE=2cm.

下面是創(chuàng)新小組的探究過程.

操作發(fā)現(xiàn)

(1)如圖1,取A8的中點0,將兩張紙片放置在同一平面內(nèi)，使點0與點尸重合.當旋轉(zhuǎn)ADEF

紙片交AC邊于點“、交8C邊于點G時，設(shè)(1＜工＜2),4G=y,請你探究出y與x的

函數(shù)關(guān)系式，并寫出解答過程.

問題解決

(2)如圖2,在(1)的條件下連接G”，發(fā)現(xiàn)△CG”的周長是一個定值.請你寫出這個定值，并

說明理由.

拓展延伸

(3)如圖3,當點尸在A4邊上運動(不包括端點4、B),且始終保持NAFE=60".請你直接

寫出△OEF紙片的斜邊EF與△ABC紙片的直角邊所夾銳角的正切值

（結(jié)果保留根號）.

0(F)

圖1圖2圖3

6.在等腰直角△A8C中，ZACB=90°,AC=BC,。為直線8c上任意一點，連接AD將線段4。

繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得線段EQ,連接

【嘗試發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖1,當點。在線段8c上時，線段BE與CO的數(shù)量關(guān)系為

【類比探究】

（2）當點Z）在線段8C的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段BE與CO的數(shù)量關(guān)系

并證明;

【聯(lián)系拓廣】

請直接寫出sin/ECO的值.

圖1圖2

7.如圖①，小紅在學習了三角形相關(guān)知識后，對等腰直角三角形進行了探究，在等腰直角三角形A8C

中，CA=CB,ZC=90°,過點8作射線8O_LAB,垂足為8,點尸在C8上.

圖①圖②圖③

（1）【動手操作】

如圖②,若點P在線段CB上，畫出射線PA,并將射線PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°與BD交于點E,

根據(jù)題意在圖中畫出圖形，圖中的度數(shù)為度；

（2）【問題探究】

根據(jù)（1）所畫圖形，探究線段以與尸￡的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）【拓展延伸】

如圖③，若點P在射線C4上移動，將射線附繞點2逆時針旋轉(zhuǎn)90"與8。交于點￡,探究線段

8人,BP,8石之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

8.【問題呈現(xiàn)】

△C48和△CDE都是直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,連接AZ）,BE,

探究A。，BE的位置關(guān)系.

【問題探究】

（1）如圖1,當〃?=1時，直接寫出AQ,BE的位置關(guān)系:.

（2）如圖2,當〃?六1時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

【拓展應(yīng)用】

（3）當機=V5,AB=4小,。后=4時，將△COE繞點C旋轉(zhuǎn)，使A,D,E三點恰好在同一直線

9.1643年，法國數(shù)學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A,B,C,

求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利給出了分析

和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為''將軍巡營”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等

邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，

③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）

當△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，

如圖I,將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C,連接PP',

由PC=PC,NPCP=60°,可知為三角形，故PP'=PC,又"4'=

故％+P8+尸4'+PB+PP'2A'B,

由可知，當8,P,P',A'在同一條直線上時，附+P8+PC取最小值，如圖2,

最小值為A'B,此時的P點為該三角形的“費馬點

且有ZAPC=4BPC=NAPB=；

已知當△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若/

84021200,則該三角形的“費馬點”為點.

(2)如圖4,在△A8C中，三個內(nèi)角均小于12()°,且AC=3,8c=4,ZACB=30°,已知點P

為的“費馬點”，求力+P8+PC的值；

=60°.現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A,4C三個村莊鋪設(shè)電纜，己知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A,B,

。的鋪設(shè)成本分別為。元火力，。元/包?,6。元ikm,選取合適的戶的位置，可以使總的鋪設(shè)成本

最低為元.(結(jié)果用含〃的式子表示)

10.【模型建立】

(1)如圖1,/XABC和△EOE都是等邊三角形，點C關(guān)于A。的對稱點尸在BD邊上.

①求證：AE=CD；

②用等式寫出線段4。，BD,。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【模型應(yīng)用】

(2)如圖2,△A/3C是直角三角形，AB=AC,CDLBD,垂足為。，點。關(guān)于AO的對稱點尸在

邊上.用等式寫出線段AO,BD,。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【模型遷移】

(3)在(2)的條件下，若4/)=4或，BD=3CD,求cos/A尸B的值.

AA

問題情境

數(shù)學活動課上，老師發(fā)給每名同學一個等腰三角形紙片ABC,AB=AC,ZBAC>90°,要求同學

們將紙片沿一條直線折疊，探究圖形中的結(jié)論.

問題發(fā)現(xiàn)

奮進小組在邊人。上取一點D連接80,將這個紙片沿8。翻折，點人的對應(yīng)點為E,如圖1所

如圖2,小明發(fā)現(xiàn)，當點E落在邊上時，NDEC=2NACB.

如圖3,小紅發(fā)現(xiàn)，當點。是AC的中點時，連接CE,若已知48和CE的長，則可求8。的長.

問題提出與解決

奮進小組根據(jù)小明和小紅的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1,請你解答.

問題1：在△ABC中，AB=AC,NB/lC>90°,點。是邊4c上一點，將沿翻折得到

△EBQ.

(1)如圖2,當點E在邊BC上時，求證：NDEC=2NACB.

(2)如圖3,當點。是AC的中點時，連接CE,若A8=4,CE=3,求8。的長.

拓展延伸

小剛受到探究過程的啟發(fā)，將等腰三角形的頂角改為銳角，嘗試畫圖，并提出問題2,請你解答.

問題2：如圖4,點。是△44C外一點，AB=AC=BD=4,CD=1,/ABD=2/BDC,求3C的

12.如圖I,在△ABC中，A8=4C,點M,N分別為邊A8,8。的中點，連接MN.

初步嘗試：（1）MN與AC的數(shù)量關(guān)系是,MN與AC的位置關(guān)系

是

特例研討：（2）如圖2,若NAAC=90°,?C=4>/2,先將△OMN繞點/?順時針旋轉(zhuǎn)a（a為銳

角），得到△8ER當點A，E,尸在同一直線上時，AE與BC相交于點。，連接。汽

①求N3C”的度數(shù);

②求CD的長.

深入探究：（3）若NBACV90°,將△3MN繞點8順時針旋轉(zhuǎn)a,得到△BER連接AE,CF.當

旋轉(zhuǎn)角a滿足0°Va<360°,點C,E,廠在同一直線上時，利用所提供的備用圖探究NBAE與

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖1備用圖

13.【問題情境】如圖，在△ABC中，AB=AC,NACB=a，點、D在邊BC上.將線段DB繞點D

順時針旋轉(zhuǎn)得到線段DE（旋轉(zhuǎn)角小于18（）。）,連接/達，CE,以C七為底邊在其上方作等腰三

角形FEC,使N”CE=a,連接AF.

【嘗試探究】

（1）如圖1,當（x=60°時，易知A尸=8公

如圖2,當a=45°時，則Ar與8E的數(shù)量關(guān)系為；

（2）如圖3,寫出AF與8E的數(shù)量關(guān)系（用含a的三角函數(shù)表示），并說明理由;

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖4,當a=30°且點8,E,尸三點共線時.若RC=4小,BD二BC,請直接寫出4尸的

長.

圖1圖2

14.【特例感知】

(1)如圖1,ZSAOB和△C。。是等腰直角三角形，NAOB=NCOO=90°,點。在。4上，點。

在B0的延長線上，連接AD,BC,線段A。與8c的數(shù)量關(guān)系是；

【類比遷移】

(2)如圖2,將圖1中的ACO。繞著點。順時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),那么第(1)問的結(jié)

論是否仍然成立？如果成立，證明你的結(jié)論：如果不成立，說明理由.

【方法運用】

(3)如圖3,若A8=8,點C是線段A4外一動點，AC=3百，連接8c.

①若將繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD,連接AD,則AD的最大值是;

②若以BC為斜邊作Rt^BCD(8,C,。三點按順時針排列)，ZCDB=90°,連接AD,當N

CBQ=NDA8=30°時，直接寫出A。的值.

15.【問題情境】

在一次數(shù)學興趣小組活動中，小昕同學將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放.其中

NACB=NDEB=90°,NB=30°,BE=AC=3.

【問題探究】

小昕同學將三角板繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn).

（1）如圖2,當點E落在邊43上時，延長OE交4C于點P,求/好的長.

（2）若點C、E、。在同一條直線上，求點。到直線8C的距離.

（3）連接。C,取。C的中點G,三角板OE8由初始位置（圖1）,旋轉(zhuǎn)到點C、B、D首次在同

一條直線上（如圖3）,求點G所經(jīng)過的路徑長.

（4）如圖4,G為。C的中點，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點G到直線AB的距離的最大值

是.

16.在△ABC中，點。，E分別是4C邊上的點，DE//BC.

基礎(chǔ)理解：

（1）如圖1,若AO=4,BD=3,求一的值；

AC

證明與拓展：

（2）如圖2,將△/1/）上繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)度，得到△AOiEi,連接8/）1,CE\.

BDi_AD_

①求證:

CEi~AE

②如圖3,若NR4C=90°,AB<AC,/1D=6,△AOE在旋轉(zhuǎn)過程中，點Di恰好落在DE上時,

皿3

連接EEi,—=則△EiQiE的面積為____________

4

E\

17.

如圖，已知△ABC中，AB=AC=m,BC=n,ZBAC=a(00<a<180°)，點P為平面內(nèi)不與

點A、C重合的任意一點，連接CP,將線段CP繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)a,得線段PD,連接CD、AP

EF

點E、F分別為BC、CD的中點，設(shè)直線AP與直線￡廠相交所成的較小角為0,探究區(qū)的值和p

/11

的度數(shù)與加、〃、a的關(guān)系.

請你參與學習小組的探究過程，并完成以下任務(wù):

（I）填空:

【問題發(fā)現(xiàn)】

EFEF

小明研究了a=60°時，如圖1,求出了贏的值和p的度數(shù)分別為荔=.

P=

pppp

小紅研究了a=90°時，如圖2,求出了熱的值和P的度數(shù)分別為萬=.

【類比探窮J

他們又共同研究了a=120°時，如圖3,也求出了冬的值和0的度數(shù);

PA

【歸納總結(jié)】

最后他們終于共同探究得出規(guī)律：葛

（用含機、〃的式子表示）；P=

（用含a的式子表示）.

EF

（2）求山a=120°時落的值和B的度數(shù).

圖1圖2圖3

D

B

18.在一平面內(nèi)，線段4B=20,線段8C=CO=D4=10,將這四條線段順次首尾相接.把AB固定，

讓4。繞點A從A8開始逆時針旋轉(zhuǎn)角a(a>0°)到某一位置時，BC,C。將會跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)

的位置.

論證：如圖1,當40〃8c時，設(shè)43與CO交于點O,求證：AO=\0；

發(fā)現(xiàn)：當旋轉(zhuǎn)角a=60。時，NAQC的度數(shù)可能是多少？

嘗試：取線段C。的中點M,當點M與點B距離最大時,求點M到人8的距離；

拓展：①如圖2,設(shè)點D與8的距離為乩若N8CD的衛(wèi)分線所在直線交AB于點P,直接寫出

的長(用含”的式子表示)：

②當點C在AB下方，旦AD與C。垂直時，直接寫出(X的余弦值.

月------------------------------B

備用圖2

19.［初步嘗試］

(1)如圖①，在三角形紙片人8c中，NACB=90°,將△A8C折疊，使點8與點。重合，折痕

為MM則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為；

［思考說理］

(2)如圖②，在三角形紙片A8C中，AC=BC=6,AB=\O,將△ABC折疊，使點8與點C重合，

折痕為MM求器的值;

［拓展延伸］

（3）如圖③，在三角形紙片A8C中，4B=9,BC=6,N4C8=2NA,將△ABC沿過頂點C的直

線折疊，使點8落在邊4c上的點夕處，折痕為CM.

①求線段AC的長;

②若點0是邊AC的中點，點P為線段OB'上的一個動點，將△APM沿PM折疊得到AA'PM,

點人的對應(yīng)點為點A',4'M與CP交于點、F,求二的取值范圍.

MF

圖③

如圖1,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，^人8c的三個頂點均在格點上.

①請按要求畫圖：將△4BC繞點人順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點B的對應(yīng)點為點夕，點C的對應(yīng)點

為點C'.連接BB'；

②在①中所畫圖形中，ZAB'B=

（2）【問題解決】

如圖2,在RtzXA3c中，6c=1,ZC=90°,延長CA到。，使CQ=1,將斜邊A3繞點A順時

針旋轉(zhuǎn)90°到AE,連接。匕求NAOE的度數(shù).

（3）【拓展延伸】

如圖3,在四邊形ABCO中，AELBC,垂足為E,^BAE=Z.ADC,BE=CE=1,CQ=3,AD=

kAB（k為常數(shù)），求8。的長（用含々的式子表示）.

圖1圖2圖3

中考數(shù)學一輪復習圖形的旋轉(zhuǎn)

參考答案與試題解析

一.解答題（共20小題）

1.綜合與實踐

【問題情境】

數(shù)學活動課上，老師發(fā)給每位同學一個直角三角形紙片ABC,N8AC=90。，A8=3,4C=4.

【問題發(fā)現(xiàn)】

奮進小組將三角形紙片進行以下操作：第一步：折疊三角形紙片A8C使點C與點A重合，

然后展開鋪平，得到折痕QE；第二步：然后將△OEC繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△。尸G.點E,

C的對應(yīng)點分別是點F,G,直線G尸與邊4c交于點M（點M不與點4重合），與邊AB交于點

N.

如圖1小明發(fā)現(xiàn)，折痕?！甑拈L很容易求出，并且例尸和ME的數(shù)量關(guān)系也能證明.

如圖2小紅發(fā)現(xiàn)，在△OEC繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，當直線G尸經(jīng)過點B時或直線G8c時，AM

奮進小組根據(jù)小明和小紅的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1和問題2,請你解答.

問題1：如圖1,按照如上操作

3

（1）折痕。E的長為

（2）在△OEC繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，直接寫出與ME的數(shù)量關(guān)系；

問題2：在繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，如圖2,探究當直線G/〃8C時，求4M的長；

【拓展應(yīng)用】

小剛受到探究過程的啟發(fā)，在△。石。繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，嘗試畫圖，并提出問題3,請你解答.

問題3：在△OEC繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，連接AE當人“取最小值時，請直接寫出△人的面積.

【考點】幾何變換綜合題.

【專題】三角形.

315

問

題

3題

2?AM=3?--

?

【答案】問題1：(1)-；(2)MF=ME：IUJ?16

22;

【分析】問題I：(1)由折疊的性質(zhì)可知AE=CE,DE1AC,再證OE是△ABC的中位線，即可

得出結(jié)論；

(2)連接。M,由旋轉(zhuǎn)知。凡/DFM=NDEM=90：再證△OMF0ZXQME即可得出結(jié)

論；

問題2：過點A作A兒L8C于”，交FG于K.則四邊形。PK"是矩形，得出Z)F=KH=9,由

力KAM

三角形面積求出A〃，然后證△4KMS4A//C得出■二：/，即可得出結(jié)論；

AHAC

問題3：連接A。、DM,則AF+。產(chǎn)2AO,當A、F、。三點共線時，AF+DF=AD,MAF+DF

的值最小，A/最小，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得4)=±8C,證明△AMFSACBA,由相似

三角形的性質(zhì)得出AM的長，利用三角形面積公式即可解答.

【解答】解：問題1：(1)I?折疊三角形紙片44。使點C與點A重合，然后展開鋪平，得到折

痕DE,

：.AE=CE,DELAC,

???NBAC=90°,

:.DEaAB,

.CDCE

??—A,9

BDAE

：?CD—BD,

???QE為△A8C的中位線，

13

--

22

3

故答案為：

(2)如圖，連接。M,

???將AOEC繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△OR7,

：.DE=DF,NDFM=NDEM=90°,

在RtADA/F和RtADME中，

(DF=DE

IDA/=DM'

ARtADMF^RtADME(HL),

:?MF=ME；

問題2：①過點A作A"_L5C于H,交FG于K,

/.7HKF=90°.

VZDFG=90°,

???四邊形QPK”是矩形,

:?DF=KH=%

?；A8=3,AC=4,

：.BC=y/AB2+AC2=5,

yS^ABC=yB-AC=^BC-AH,

???3X4=5A〃，

解得：4H=導，

1239

.\AK=AH-HK=

,:GF〃BC,

：.XAKMsXAHC,

9

AKAM77AM

??加二就贊=7

5

解得:AM=I；

問題3：如圖，連接4。、DM,

B

yAF+DF^AD,

???A、F、。三點共線時，AF+DF=AD,此時AF+O廠的值最小，"最小，

???/B4C=90°,BD=CD,

：.AD=CD=|,

53

：.AF=AD-DF=^-^=1,ZDAC=ZC,

NAFM=NBAC,

：.XAMfs?CBk,

AFAM1AM

—=---,即一=---,

ACBC45

解得：AM=p

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判

定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵.

2.在RlZXABC中，NACB=90°,4c=1,BC=3.

（1）問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,將△C48繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CDE,連接A。，BE,線段AO與BE的數(shù)

量關(guān)系是BE=3AD,人。與B￡的位置關(guān)系是ADLBE；

（2）類比探究

將△CA8繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度得到△CQE,連接A。，BE,線段與8七的數(shù)最關(guān)

系，位置關(guān)系與（1）中結(jié)論是否一致？若AD交CE于點、N,請結(jié)合圖2說明理由；

（3）遷移應(yīng)用

如圖3,將△C48繞點。旋轉(zhuǎn)一定角度得到△《￡）￡當點。落到AB邊上時，連接8E,求線段8E

的長.

圖1圖2圖3

【考點】幾何變換綜合題.

【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似：推理能力.

【答案】（I）BE=3AD,AD1BE；

（2）線段A。與BE的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系與（1）中結(jié)論一致，理由見解析過程；

3710

（3）-------.

5

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得4C=OC=1,BC=CE=3,NECB=NACO=90°,由等腰直

角.三角形的性質(zhì)可得力。=RF.=3B.,ZCAn=7ADC=45Q,NCRE=/CER=45°,可證

ADIBE；

ADAC1

（2）通過證明△8C￡S/\AC。，可得一=一=一，ZCDA=ZCEB,可證BE=3AD,ADLBEx

BEBC3

（3）由勾股定理可求A8的長，通過證明△ACVSAABC可求AN的長，由等腰三角形的性質(zhì)可

求AO的長，即可求解.

【解答】解：（1）如圖1,延長OA交/法于從

圖1

???將△C4B繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CDE,

：.AC=DC=\,BC=CE=3,ZECB=ZACD=90°,

：.AD=V2,BE=3?NCAO=NAOC=45°,ZCBE=ZCEB=45a,

：.BE=3ADfNCAD=NEAH=45°,

???N￡7M=90°,

：,ADLBE,

故答案為：BE=3AD,AD^BEt

（2）線段4。與BE的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系與（1）中結(jié)論一致，理由如下:

如圖2,延長D4交BE于4,

圖2

??,將△CA/3繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度得到△COE,

：.AC=DC=\,BC=CE=3,/ECB=NACD,

ACCD1

?t?~,

BCCE3

：.4BCESXNCD,

ADAC1

t/CDA=/CEB,

''BE~BC~3

BE=3AD,

???NCEB+NENH=ZCDA+4CND=90°,

???NE”O(jiān)=90°,

：.ADA.BEx

(3)如圖3,過點C作CN_L48于N,

圖3

VZACB=90°,AC=\,BC=3,

：.AB=y/AC2+BC2=/TT9=同,

?：CNLAB,

???NANC=90°=ZACB,

又???ZA=ZA,

:.AACNs/\ABC,

ACAN

?■—9

ABAC

??.AN?，IU=1,

???AN=箸

'：AC=DC,CN1AB,

???AQ=2AN=%

由（2）可知：3￡=3AO=為獸.

【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角

形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

3.數(shù)學老師在課堂上給出了一個問題，讓同學們探究.在RtAABC中，N4C8=90°,N84C=30°,

點。在直線8c上，將線段AO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,過點E作E/〃BC,交直線

A8于點足

（1）當點。在線段4c上時，如圖①，求證：BD+EF=AB：

分析問題：某同學在思考這道題時，想利用人。=人石構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在上截取AM

=EF,連接。M,通過證明兩個三角形全等，最終證出結(jié)論：

推理證明：寫出圖①的證明過程：

探究問題：

（2）當點。在線段8c的延長線上時，如圖②：當點。在線段C8的延長線上時，如圖③，請判

斷并直接寫出線段5。，EF,A8之間的數(shù)量關(guān)系；

拓展思考：

（3）在（1）（2）的條件下，若AC=6/5,CD=2BD,則￡尸=10或18.

【考點】幾何變換綜合題.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】（1）證明見解析過程；

（2）圖②：AB=BD-EF,圖③：AB=EF-BD,

（3）10或18.

【分析】（I）在/W邊上截取八M=ER連接力M,根據(jù)即意證明出△人E尸（SAS）,得

至ljAb=/）M,然后證明出ABM。是等邊二角形，得到進而求解即可；

（2）圖②：在8。上取點，，使連接4H并延長到點G使4G=4凡連接。G,首先證

明出是等邊三角形，得到N8AH=60°,然后求出然后證明出△川

GAD(SAS),得至UE/=OG,ZAFE=ZG,然后證明山△O”G是等邊三角形，得到。H=OG=

EF,進而求解即可；

圖③：在“上取點”使凡同理證明出且△AQB(AAS),得到BD=AH,AB=EH,

進而求解即可；

(3)根據(jù)勾股定理和含30'角直角三角形的性質(zhì)求出8c=6,AB=\2,然后結(jié)合CO=28O,分

別(1)(2)的條件下求出3D的長度，進而求解即可.

【解答】(I)證明：在Rtz^ABC中，N4CB=90°,NBAC=30°,點。在直線BC上，將線段

4。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,過點E作E尸〃BC,交直線4B于點F.在AB邊上截取

AM=EF,連接QM.如圖I,

???NB=90°-ZBAC=90°-30°=60°.

VEF//BC,

：?NEFB=NB=60".

又???NE4D=60°,

:?NEFB=NEAD.

又?.?/BA/)=NEAD-ZEAF,NAEF=NEFB-NEAF,

：.ZBAD=ZAEF.

又???AO=AE,AM=EF,

???△D4M且Z\AE尸(SAS).

：.AF=DM.

：.Z/\MD=ZEM=180°-Z￡FB=180°-60°=120°.

，N8WO=I8()°-NAMO=I8()°-120°=60°.

VZB=60°,

：./BMD=NB=/BDM.

???△8WO是等邊三角形.

：,BD=BM=DM,

；?AB=EFiBD；

(2)解：圖②：AB=BD-EF,證明如下：

如圖2.1所示，在8D上取點兒使B”=AB,連接A”并延長到點G使AG=AF,連接DG,

圖2.1

???NA3C=60°,

:.是等邊三角形，

：.ZBAH=()0o,

???線段AD繞點4順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,

：.7DAE=60°.AE=AD,

：,ZBAH=ZDAE,

:./BAH-ZEAH=ZDAE-ZEAH,即NZME=NHAQ,

又?.?AG=AR

(SAS),

：.EF=DG,NAFE=NG,

?:BD"EF,

???NA8C=〃=NG=60°,

ZDHG=ZAHB=60°,

.??△OHG是等邊三角形，

：,DH=DG=EF,

：.AB=BH=BD-DH=BD-EF；

圖③：AB-EF-BD,證明如下：

如圖2.2所示，在后廠上取點”使

圖2.2

,:EF〃BC,

AZF=ZABC=60°,

'：AH=AF,

???△A”〃是等邊三角形，

AZAHF=ZHAF=6(r,

AZAHE=\20°,

???將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)6(T得到線段AE,

.\AD=AE,NOAE=60°,

???NZM8+NEA”=18(r-ZEAD-ZHAF=60°,

VZLH-ZDAB=ZABC=60°,

：,ZD=ZEAH,

VZDA?A=180°-NA8C=120°=NEHA,

乂???4D=AE,

:、△EAH9XADB(AAS),

:?BD=AH,AB=EH,

?:AH=FH,

:.BD=HF,

：,AB=EH=EF-FH=EF-BD；

(3)解：如圖3.1所示，

VZ^AC-30°,ZC-90c,

：.AB=2BC,AB2=BC2+AC2,

???(280)2=BC2+(66)2,

：,BC=6,

：?A8=2BC=12,

■:CD=2BD,BC=BD+CD,

：.BD=^BC=2,CD=4,

山（1）可知，BD\EF=AB,

：,EF=AB-BD=\2-2=\^

如圖3.2所示，當點。在線段8c的延長線.L：時,

圖3.2

?:CDVBD,與CD=2BD矛盾,

???不符合題意；

如圖3.3所示，當點。在線段CB的延長線上時,

圖3.3

?:CD=2BD=BD+BC,BC=6,

：?BD=BC=6,

由（2）可知，AB=EF-BD,

VAfi=2BC=12,

EF=AB+BD=12+6=18.

綜上所述，EF=IO或18,

故答案為：10或18.

【點評】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30°角

史角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點.

4.圖1、2是一個折疊梯的實物圖.圖3是折疊梯展開、折疊過程中的一個主視圖.圖4是折疊梯充

分展開后的主視圖，此時點E落在AC上，已知AB=AC,sinzB/C嗎，點Q、F、G、J在AB

上，DE、FM、GH、JK均與所在直線平行，DE=FM=GH=JK=20cni,DF=FG=GJ=30cm.點、

N在AC上，AN、MN的長度固定不變.圖5是折疊梯完全折疊時的主視圖，此時A3、4c重合，

點、E、M、H、N、K、C在A8上的位置如圖所示.

【分析問題】

（1）如圖5,用圖中的線段填空：AN=MN+EM+AD-DE；

4

(2)如圖4,sin/MENQ-，由AN=EN+AE=EN+AD,且4V的長度小變，可得WN與EN

-5-

之間的數(shù)量關(guān)系為MN+10=EN；

【解決問題】

【考點】幾何變換綜合題.

【專題】解宜角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力.

【答案】(1)DE；

、4

(2)一,MN+10=EM

5

(3)40cm.

(分析】(1)AN=MN+EM+AE=MN+EM：(.AD-DE)=MN+EM+AD-DE；

(2)可推出四邊形OEM/是平行四邊形，從而EM〃OF,從而NMEN=/8AC,進而得出sin/

4

5根據(jù)得出

MEN=sinZBAC=JAN=MN+EM+AD-DE,AN=EN+ADMN+EM+AD-DE=EN+AD,

進一步得出結(jié)果；

(3)作MW_LAC于W,解直角三角形EMN求得MW和￡卬,進而表示出WN,在直角三角形MNW

中根據(jù)勾股定理列出方程，進而得出結(jié)果.

【解答】解：(1)*：AE=AD-DE,

:,AN=MN+EM+AE=MN+EM+(AD-DE)=MN+EM+AD-DE,

故答案為：DE；

(2)?；DE、FM、GH、IK均與BC所在直線平行，

：.DE//FM,

,:DE=FM=2Qcm,

???四邊形。笈“/是平行四邊形,

：.EM//DF,

：?/MEN=/BAC,

4

AsinZMEN=sinZBAC=X

?：AN=MN+EM+AD-DE,AN=EN+AD,

:.MN+EM+AD-DE=EN+AD,

:.MN+EM-DE=EN,

.??MN+30-20=EM

：.MN+\O=EN,

4

故答案為：一，MN+TO=EN；

5

(3)如圖，

作MW_LAC于W,

/.ZMWN=ZMWE=90°,

.,.MVV2+WW2=A/^2,MW=EM?sinNMEN=30x[=24,

：.EW=y/EM2-MW2=V302-242=18,

設(shè)MN=a,則EN=〃+10,WN=EN?EW=a+10?18=。-8,

/.242+(a-8)2=a2,

A?=40,

，MN=40a〃.

【點評】本題考查了解直隹三角形的應(yīng)用，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是

理解題意，熟練應(yīng)用有關(guān)基礎(chǔ)知識.

5.綜合與實踐

問題情境

在一次綜合與實踐課上，老師讓同學們以兩個全等的等腰直角三角形紙片為操作對象.紙片△ABC

和△￡)￡：?滿足NAC8=NED尸=90°,AC=BC=DF=DE=2cm.

下面是創(chuàng)新小組的探究過程.

操作發(fā)現(xiàn)

(1)如圖1,取A8的中點。，將兩張紙片放置在同一平面內(nèi)，使