轉(zhuǎn)化思想

1.(2025秋?扶風(fēng)縣期末)二次函數(shù)y=加+次+c的部分圖象如圖所示，其中圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),

與y軸交于點(diǎn)。(0,-5),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(3,-8).

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)將此二次函數(shù)的解析式寫成)，=〃。-力)2+4的形式，并直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)以及它與x軸的另一個(gè)

交點(diǎn)8的坐標(biāo).

(3)利用以上信息解答下列問(wèn)題：若關(guān)于x的一元二次方程加+灰+c―=0(/為實(shí)數(shù))在T<x<3的

范圍內(nèi)有解，則，的取值范圍是.

2.(2025?沐陽(yáng)縣模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=加+云+3的圖象與x軸交于點(diǎn)4-G,

0),B(36,0),與y軸交于點(diǎn)C,其對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)D.

(1)求二次函數(shù)的解析式：

(2)若點(diǎn)E是線段4c上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為r，且EF=2EC,求點(diǎn)E的坐標(biāo)：

(3)若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接2/),直接寫出gpC+P。的最小值；

(4)若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接附,PC,設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,當(dāng)ZAPC不小于60。

時(shí)，求/的取值范圍.

3.(2025?南崗區(qū)模擬)如圖，4?為0。直徑，弦CD交AO于E,連接用)、BC.

(1)求證：NC+ZA^/)=SKT；

(2)若ZABC=2ZABO,求證：CB=BE；

(3)在(2)的條件下，連接AC,F、G在AC、BC上,且b=CG,連接所、EG,ZFEG=90°,

連接M,4CFB=/CGE,BG=24J,求處的長(zhǎng).

5.（2025?商河縣校級(jí)模擬）（1）初步思考

如圖1,在APCB中，已知PB=2,BC=4,N為BC上一點(diǎn)、且BN=1,試證明：PN=-PC

2

（2）問(wèn)題提出

如圖2,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,圓B的半徑為2,點(diǎn)。是圓3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最

2

小值.

（3）推廣運(yùn)用

如圖3,已知菱形AZ7CZ）的邊長(zhǎng)為4,ZZ7-60°,圓46勺半徑為2,點(diǎn)〃是圓3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，＜PD--PC

2

的最大值.

6.（2025?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，二次函數(shù)），=-：/+云+2的圖象與％軸交于點(diǎn)兒、B,與），軸

交于點(diǎn)C,點(diǎn)4的坐標(biāo)為（-4,0）,尸是拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C不重合）：

（1）則系數(shù)人=;點(diǎn)8的坐標(biāo)是;

（2）設(shè)直線PA與直線AC相交于點(diǎn)是否存在這樣的點(diǎn)P,使得QW:用4=1:2?若存在，求出點(diǎn)尸

的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）連接AC、BC,判斷NC4B和NCB4的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（4）設(shè)點(diǎn)M在二次函數(shù)的圖象上，以點(diǎn)M為圓心，半徑為|右的圓與直線AC相切，求點(diǎn)、取的坐標(biāo).

（備用圖）

7.（2024?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）問(wèn)題提出

（1）如圖1,正方形/WC"的對(duì)街線交于點(diǎn)O,△<_；/光是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，則。、“之間的距

離為；

問(wèn)題探究

（2）如圖2,在邊長(zhǎng)為6的正方形A8CD中，以8為直徑作半圓O,點(diǎn)尸為弧8上一動(dòng)點(diǎn)，求A、

。之間的最大距離；

問(wèn)題解決

（3）窯洞是我省陜北農(nóng)村的主要建筑，窯洞賓飾更是一道靚麗的風(fēng)景線，是因?yàn)楦G洞除了它的堅(jiān)固

性及特有的外在美之外，還具有冬暖夏涼的天然優(yōu)點(diǎn)家住延安農(nóng)村的一對(duì)即將參加中考的雙胞胎小寶

和小貝兩兄弟，發(fā)現(xiàn)自家的窯洞（如圖3所示）的門窗是由矩形A8CD及弓形AMD組成，AB=2m,

BC=3.2m,弓高WN=1.2"?（N為AD的中點(diǎn)，MN1AD）,小寶說(shuō)，門角8到門窗弓形弧AD的最大距離

是8、M之間的距離.小貝說(shuō)這不是最大的距離，你認(rèn)為誰(shuí)的說(shuō)法正確？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算求出門角3到門

窗弓形弧4）的最大距離.

8.（2025?寶安區(qū)校級(jí)三模）如圖①，已知線段與直線/,過(guò)A、B兩點(diǎn)、,作0。使其與直線/相切，

切點(diǎn)為尸，易證ZAP3=ZAHB>ZAQ8,可知點(diǎn)P對(duì)線段的視角最大.

問(wèn)題提出

（1）如圖②，已知A4BP的外接圓為O。，。。與0。相切于點(diǎn)P，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.

①請(qǐng)判斷N8PQ與NA的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

②若Q8=2,AB=6,求PQ的長(zhǎng).

問(wèn)題解決

（2）如圖③，一大型游樂(lè)場(chǎng)入口/W設(shè)在道路ON邊上，在“雪亮工程”中，為了加強(qiáng)安全管理，結(jié)

合現(xiàn)實(shí)情況，相關(guān)部門準(zhǔn)備在與地面道路力N夾角為60°的射線OM方向上（位于垂直于地面的平面內(nèi)）

確定一個(gè)位置C,并架設(shè)斜桿AC,在斜桿AC的中點(diǎn)P處安裝一攝像頭，對(duì)入口4?實(shí)施監(jiān)控（其中

點(diǎn)A、B、D、P、C>M、N在同一平面內(nèi)），已知D4=40米，48=25米，調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)NATO最

大時(shí)監(jiān)控效果最好，請(qǐng)問(wèn)在射線ZW上是否存在一點(diǎn)C,使得ZAP8達(dá)到最大？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)。在

OM上的位置及斜桿AC的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.(2025?永興縣二模)如圖1,拋物線y=V-4x與x軸相交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A,直線y=x與拋物線在

第一象限的交點(diǎn)為4點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為。點(diǎn).

(1)求點(diǎn)"和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)拋物線上是否存在點(diǎn)。，使得NDOB=NOBC?若存在，求出所有點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

(3)如圖2,點(diǎn)￡是點(diǎn)8關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)尸是直線08下方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，EF與

直線OB交于點(diǎn)G.設(shè)MAG和ABEG的面積分別為S；和邑，求色■的最大值.

10.(2025?瑤海區(qū)三模)已知拋物線C:)，=f_2法+C；

(1)若拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3),求力、c的值：

(2)當(dāng)c=〃+2,&2時(shí)，拋物線C的最小值是T,求〃的值；

(3)當(dāng)c=Z/+l,3效卜/"時(shí)，犬-2法+的工-2恒成立，則〃?的最大值為

11.已知如圖，直線A8:)，=-Gt+18G的圖象與x軸，)，軸分別相交于4、A兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AA上

由A向4點(diǎn)以每秒2個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段80上由4向。點(diǎn)以每秒1個(gè)單位運(yùn)動(dòng)(其中一點(diǎn)先到

達(dá)終點(diǎn)則都停止運(yùn)動(dòng))，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒(1?.0).

(1)請(qǐng)直接寫出A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)/值為多少時(shí)，APBQ為等邊三角形？

(3)是否存在/的值，使APBQ為直角三角形？若存在，求出，的值：若不存在，說(shuō)明理由.

12.(2025?雁塔區(qū)校級(jí)四模)(1)如圖①，在AAAC中，AB=ACfZft4C=120°,4c=12,求AAHC外

接圓的半徑r；

(2)如圖②，0。是一個(gè)半徑為20()米的圓形廣場(chǎng)，弦是廣場(chǎng)上一個(gè)長(zhǎng)為2(X)6米的納涼演繹舞

臺(tái)，現(xiàn)計(jì)劃在廣場(chǎng)上建一個(gè)長(zhǎng)為200米的手工藝集市CD,并在舞臺(tái)/W和集市CD之間修建兩個(gè)休閑

長(zhǎng)廊AD和BC,規(guī)劃長(zhǎng)廊、舞臺(tái)、集市圍成四邊形A8CD為活動(dòng)區(qū)域，那么能否在優(yōu)弧上確定兩

點(diǎn)C、D,使得長(zhǎng)廊AD+8C最長(zhǎng)？若能，請(qǐng)求出AD+8C的最大值，并計(jì)算此時(shí)么位)的度數(shù)及四邊

形A8CZ)的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖①

圖②

13.(2025秋?龍湖區(qū)校級(jí)月考)如圖①，OO的半徑為5,點(diǎn)A、A在上運(yùn)動(dòng)，以為邊向圓心

方向作正方形ABCL).

(1)當(dāng)48=5應(yīng)時(shí)，判斷并證明點(diǎn)。與0。的位置關(guān)系;

(2)如圖②，當(dāng)直線6與0。相切時(shí)，求回的長(zhǎng)；

(3)請(qǐng)直接寫出O、O兩點(diǎn)距離的最小值.

14.（2025?南岸區(qū)校級(jí)模擬）初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)理了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，并

結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程，以下我們研究函數(shù)），=|工|-2性質(zhì)及應(yīng)用的部分過(guò)程，請(qǐng)按要求完成

x-2

下列各小題.

（1）下表是工與），的幾組值，請(qǐng)?jiān)诒砀裰械目瞻滋幪钌锨‘?dāng)?shù)臄?shù)字;

X???-4-3-1021345???

~22

y???_244_8_4044???

3535~33

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，補(bǔ)全描出表格中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)，補(bǔ)全函數(shù)圖象;

（3）觀察函數(shù)y=|2|-2的圖象，請(qǐng)寫出函數(shù)的一條性質(zhì)：____.

x-2

（4）若方程=p為常數(shù)）有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則/的取值范圍為

15.(2025秋?惠民縣月考)小剛在用描點(diǎn)法畫拋物線)，=〃/+隊(duì)+c時(shí)，列出了下面的表格:

X??.-2-101234???

y???-3023320?.?

(1)請(qǐng)根據(jù)表格中的信息，寫出拋物線的一條性質(zhì):

(2)求拋物線的解析式；

(3)拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為A、8(4在8的左側(cè))與y軸的交點(diǎn)為C,其對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為

在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使APCD是以CZ)為腰的等腰三角形，求出產(chǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)；

(4)在(3)的條件下，拋物線上有一點(diǎn)Q,使A8CQ的內(nèi)心在大軸上，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

~OxO'

備用圖1爸用圖2

16.(2025?濱城區(qū)一模)如圖，在RtAABC中，4=90。，功=。廣，點(diǎn)石在4。上，以他為直徑的0。

經(jīng)過(guò)點(diǎn)。.

(1)求證：①4c是OO的切線；

②C￡>2=CEC4;

(2)若點(diǎn)尸是劣弧4)的中點(diǎn)，且CE=3,試求陰影部分的面積.

17.(2024?商水縣一模)自主學(xué)習(xí)，請(qǐng)閱讀下列解題過(guò)程.

解一元二次不等式：X2-5X>0

解：設(shè)丁-5x=O,解得$=0,再=5,則拋物線y=/-5x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(5,0).畫出二次

函數(shù)y=f-5x的大致圖象(如圖所示)，由圖象可知：當(dāng)x<0,或x>5時(shí)函數(shù)圖象位于x軸上方，此

時(shí)y>0,即f_5x>0,所以，一元二次不等式x2-5x>0的解集為：x<0,或x>5.

通過(guò)對(duì)上述解題過(guò)程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問(wèn)題:

(1)一元二次不等式V-5xv0的解集為.

(2)用類似的方法解一^元二次不等式：jv2-2x-3>0.

18.(2025?忻州模擬)閱讀與思考

如圖是小強(qiáng)同學(xué)的數(shù)學(xué)課堂筆記本，靖仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

平面直角坐標(biāo)系與直角三角形

x年X月X日星期三

原理：根據(jù)直角三角形的定義，性質(zhì)，判定，以直角三角形頂點(diǎn)分三種情況進(jìn)行

分類討論.口訣：“兩線一圓”

作圖：舉例如下：已知A(3,O)、6(0,4),在直線x=l上求點(diǎn)C,使得AA4c為直角

三角形.以下分三種情況討論：

情況一：當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作A3的垂線/交直線x=l于點(diǎn)C,則交點(diǎn)即

為所求點(diǎn)C.如圖①，有CI一個(gè)點(diǎn)；

情況二：當(dāng)8為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)8作A8的垂線/交直線x=l于點(diǎn)C,則交點(diǎn)即

為所求點(diǎn)c.如圖②，有G一個(gè)點(diǎn)；

情況三：當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，以A8為直徑作圓，則該圓與直線x=l的交點(diǎn)即為所

求點(diǎn)c.如圖③，有G，?！皟蓚€(gè)點(diǎn)；

圖I圖2圖3

方法：一、幾何法：構(gòu)造“K型”或“一線三垂直”相似；

二、代數(shù)法：兩點(diǎn)間的距離公式，列方程，解方程，檢臉根；

三、解析法：求垂線解析式，聯(lián)立方程組求交點(diǎn).

任務(wù)：(1)上面課堂筆記中的分析過(guò)程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是(從下面選項(xiàng)中選出兩個(gè)即可);

A.數(shù)形結(jié)合

B.統(tǒng)計(jì)思想

C.分類討論

D.轉(zhuǎn)化思想

(2)選擇一種課堂筆記本中記載的方法，求出“情況一”中C的坐標(biāo).

(3)直接寫出“情況二”中G的坐標(biāo)

(4)清你寫出在“情況三”中，確定G、U的坐標(biāo)位置及求坐標(biāo)過(guò)程中，所依據(jù)的教學(xué)定理或原理

(寫出一個(gè)即可).

19.(2025?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模)直線yi=x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),拋物線y=x2-2ax+4a-6經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(2,

m),其中〃和Z?為實(shí)數(shù).設(shè)拋物線)>2=12-2or+4a-6的頂點(diǎn)為M,過(guò)用作y軸的平行線交直線yi

=x+b于點(diǎn)N.

(1)求b和加的值;

(2)當(dāng)拋物線頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)取得最大值時(shí)，求線段MN的值；

(3)求線段MN的最小值.

20.(2025?微山縣二模)如圖，AA8C中，ZC=9O°,ZAAC的平分線交人C于點(diǎn)。，點(diǎn)。在4,上，以

點(diǎn)。為圓心，以?！睘榘霃降膱A經(jīng)過(guò)點(diǎn)"，交〃c于點(diǎn)七，交4y于點(diǎn)〃?

(1)求證：AC與0。相切；

(2)若8。=10,sinZDfiC=1,求AF的長(zhǎng).

1.（2025秋?扶風(fēng)縣期末）二次函數(shù)），=0爐+法+c的部分圖象如圖所示，其中圖象與x軸交于點(diǎn)4-1,0）,

與y軸交于點(diǎn)。（。,-5）,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（3,-8）.

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）將此二次函數(shù)的解析式寫成），=。（公4+左的形式，并直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)以及它與x軸的另一個(gè)

交點(diǎn)8的坐標(biāo).

（3）利用以上信息解答下列問(wèn)題：若關(guān)于工的一元二次方程內(nèi)二+區(qū)+c一=。。為實(shí)數(shù)）在的

范圍內(nèi)有解，則，的取值范圍是_-9,,/<0

【解答】解：（1）根據(jù)題意得,

a-b+c=0?

，c=-5②，

9a+3b+c=-8③

②分別代入①、③得，

a-b=5?t

3a+b=—i@t

④+⑤得，4rt=4,

解得a=l>

把〃=1代入④得，1=5,

解得Z>=T,

.??方程組的解是

a=I

"?二一4,

c=-5

??.此二次函數(shù)的解析式為），=丁-44-5；

二次函數(shù)的解析式為尸。-2）2-9,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-9),

對(duì)稱軸為x=2,

設(shè)另一點(diǎn)坐標(biāo)為3(40),

則-l+a=2x2,

解得a=5，

.??點(diǎn)B的坐標(biāo)是5(5,0);

(3)由(1)可知二次函數(shù)解析式為)，=/—4x-5,

S|Jy=(x-2)2-9,

x=—］時(shí)，y=9-9=0,

x=3時(shí)，y=1—9=—8>

?.?關(guān)于X的一元二次方程加+〃X+CT=O(/為實(shí)數(shù))在-lvx<3的范圍內(nèi)有解相當(dāng)于產(chǎn)江+云+c與直

線)，=7的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

.?.當(dāng)-9,,」<0時(shí),在-1<%<3的范圍內(nèi)有解.

故答案為：-9,,/<().

2.(2025?沐陽(yáng)縣模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)廣加+云+3的圖象與x軸交于點(diǎn)八(_6，

0),5(36，0),與y軸交于點(diǎn)C,其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)E是線段3C上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為尸，且b=2EC,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)若戶為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸直接寫出gpC+P。的最小值；

(4)若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸A,PC,設(shè)點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為1,當(dāng)ZAPC不小于60。

時(shí),求/的取值范圍.

【解答】解：（1）將4-6，0）,8（3百，0）代入產(chǎn)加+及+3,

3〃-回+3=0

得＜

27。+3回+3=0

1

a=——

3

解得J

,2G

D=-----

3

，二次函數(shù)的解析式為尸產(chǎn)+哈+3.

(2)???CO_Lx軸,M_Lx軸,

:.CO//EFf

;.MEFSMCO,

——BE=——EF，

BCCO

設(shè)EC=/〃，則&'=2/〃，

由8(3石，0),C(0,3)得BC=作&+3?=6,

6-in2m

----=--，

63

解得：〃i=9,

5

:.EF=2m=—,

5

又由竺：=變得"=兇，

BOCO5

A12百3百

??Or=.SV3----------=-------9

55

（3）過(guò)點(diǎn)C作直線3直線8C,

再PG_LAC,直線/,

則四邊形產(chǎn)GC”是矩形，

:.CG=PH,

?.?N8CO=60°,

:.CG=PCcosZBCO=PCcos60°=-PC,

2

-PC+PD=CG+PD=PH+PD,

2

.?.當(dāng)Z),P,〃三點(diǎn)共線時(shí)，Lpc+p。的值最小，

2

此時(shí)，Q”_L直線/,

乂作OQ_LBC則，

???P”_L直線/,Q”_L直線/,直線/_L8C,

四邊形/X?”是矩形，

DH=QC,

:.PH+PD=DH=QC=BC—BQ=6—BDcos30o=6-2&?=3,

.」PC+P/)=P〃+P/)的值最小值為3.

2

(4)：OC=3,OA=B

貝hanZCAO==-j==6，

OAV3

/.ZC46>=60°,

作NC4O的平分線AQ,交y軸于Q,

貝Ij/QAC=NQC4=3O。，

,-.Z^CC=120°,

以。為圓心，QA為半徑作圓，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)心,‘也，

當(dāng)點(diǎn)M在圓上時(shí)，則乙4MC=/4M￡=；ZAQC=60。，

當(dāng)點(diǎn)M在圓內(nèi)時(shí)，ZAMC>60°,

當(dāng)點(diǎn)M在圓外時(shí)，ZAMC<60°,

過(guò)Q作Q”垂直于對(duì)稱軸，

在RtAAOQ中，@M=30。，OA=&,則AQ=2,

在心△MQH中，拈2=1,

.-.W,D=1+1=2,M2D=1-1=O,

(1)求證：ZC+ZABD=90°;

(2)若ZABC=2ZABD,求證：CB=BE;

(3)在(2)的條件下，連接AC,FG在4C、BC上,且CF=CG,連接防、EG,NF￡G=90。,

連接郎\ZCFB=4CGE,BG=2M,求的長(zhǎng).

圖3

【解答】證明：（1）如圖1,連接4）,

BD=BD,

.\ZC=ZA,

?「/W是直徑，

/.Z4Z)B=90o，

/.ZA+ZABD=90o,

...ZC+ZABD=90°.

(2)：ZABC=2ZABD,設(shè)ZABO=a,

ZABC=2a,

-.-ZA+ZABD=90°,

/.ZA=90°-fz,

/.ZC=90°-a,

ZC￡B=l80o-ZABC-ZC=180°-2a-(90o-?)=90°-?,

:.NCEB=NC,

:.CB=IiE.

(3)如圖2,延長(zhǎng)在，使尸K=BF,連接AK,延長(zhǎng)所、BC交于點(diǎn)C,

?/ZFEG=ZFCG=90°,CF=CG,

.??四邊形EFCG對(duì)角互補(bǔ)且鄰邊相等，

NCEF=NCEG=45。,

?.?在RtAACB中，CB=CE,ZO?F=45°,

設(shè)/ABC=2/，則

/BEC=/BCE=9O°-0,

/AEF=180°-45°-(90°一尸)=45。+4，

??ZCB=90。，

.\ZACE=/?,

ZAFE=45°+^,

:.ZAFE=ZAEF.

:.AE=AFf

再設(shè)NCB尸=a,則

NCFB=900-a,

?；NCGE=/CFB,

.?.NCGE=90°—a,

ZAFE+NC莊=180。，NCGE+NC莊=180°,

ZAFE=ZCGE=90°-?,

/.Z.BFK=21ct,Z.L-ct?

???FK—FB,

.?.NK=90°-a,

.?.43K=90°,

?.?BF=KF=LF,

:?點(diǎn)F為KL中點(diǎn),點(diǎn)C為龍中點(diǎn)，

再設(shè)cr=〃?，則

BK=2m,

?/BEK=/BKE=9(f-a,

:.BE=BK=2m,

：.BC=2m,

CG=CF—ni，

:.BG=CG=m,

?/BG=2回,

/.m=2\/10?

BE=2m=4屈,

^^AF=AE=Xy則

在RtAABC中，有

(2x/I(j-x)2+(4V10)2=(x+4屈＞,

解得x=Vid,

4C=AF+CF=3x/10,

43

/.tanZ.CDB=tanZ.CAB=—>tan/CBA=—,

34

「.tanZBCD=3，

在ABC。中，如圖3,過(guò)點(diǎn)8作4"_LCD于點(diǎn)〃,

設(shè)/汨=123則

CH=Ak,DH=9k,BD=l5k,BC=，Mk,

BC=4x/10,

:.k=\f

:.BD=15.

4.（2025?羅平縣模擬）如圖，4;是57的宜徑，A。是弦，點(diǎn)￡在圓外，OKJLAC于點(diǎn)。，BE交?O

于點(diǎn)尸，連接8。、BC、CF,ZBFC=ZAED.

（1）求證：AE是0O的切線；

（2）求證：OB2=ODOE；

（3）沒(méi)AB4）的面積為S，的面積為S?,若tan/QO8=2,求色的值.

【解答】解：（I）證明：?.?NBFC=ZAE。,

又ZBFC=ZBAC,

/.ZBAC=ZAEDf

?.?0￡：_1,人。于點(diǎn)0,

/.ZA￡>E=ZAZX）=90o,

ZA￡D+Z￡XD=90°,

.?.NK4C+NE4O=90°,即ZCME=9O°,

.\OA±AEy

.?.AE是。。的切線;

（2）?.?ZCME=ZA/X>=90°>ZAOD=/EOA、

：.MOL^J\EOA,

OAOD

..-----=------9

OEOA

2

.-.OA=ODOEf

?：OB=OA,

OH2=ODOE\

（3）/AB為直徑，

/.ZACB=90°,

?/ZAZX>=90°,

:.ZACB=ZADO，

:.OENBC,

NODB=4DBC,

在RtABCD中，tanZDBC=tanZODB=--=-

BC3

設(shè)X=竊“貝lj8C=3〃z,

:.OD=-BC=-f

22

?.?。門八。于點(diǎn)。，

AD=DC=2m,

.-.OA=OB=ylOD2+AD2=—,

2

由（2）知OB=ODOE,

OBOE

~OD~~OBf

而ZBOD=NEOB,

:.ABOD^AEOBt

3m

.SAW型y=（2）2=2,

SgOB網(wǎng)25

2

設(shè)Smoi〉=9k>貝（JS^EOB=25&>

/.MDE的面積為S?=S謝B-S*D=\6k,

而^BAD的面積為S、=2S^OD=\Sk,

S'」8k_9

■'十項(xiàng)一限

5.（2025?商河縣校級(jí)模擬）（1）初步思考:

如圖1,在APCB中，已知依=2,BC=4,N為BC上一點(diǎn)且BN=1,試證明：PN=-PC

2

(2)問(wèn)題提出：

如圖2,已知正方形八笈6的邊長(zhǎng)為4,圓4的半徑為2,點(diǎn)P是圓4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最

2

小值.

(3)推廣運(yùn)用：

如圖3,已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為4,ZB=60°,圓8的半徑為2,點(diǎn)f是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PO-LpC

2

的最大值.

【解答】(1)證明:如圖1,

?；PB=2,8C=4,BN=\,

:.PB2=4,BNBC=4.

:.PB2=BNBC.

BNBP

又?.?4=4，

:.MPNsgCP.

PNBN

/.--=---=—1?

PCBP2

:.PN=、PJ

2

(2)如圖2,在6C上取一點(diǎn)G,使得3G=1,

D

P82rBe4r

*/-----=-=2,------=—=2

BG\PB2

—=—,ZP5G=/FBC

BGPB

"BGS&CBP

,PGBG\

~PC~~PB~2

PG=-PC

2

/.PD+-PC=DP+PG

2

?「DP+PG..DG

當(dāng)。,P,G共線時(shí),PD+-PC的值最小,

最小值為。G=&+32=5

（3）同（2）中證法，如圖3,

圖3

當(dāng)點(diǎn)尸在力G的延長(zhǎng)線上時(shí)，的最大值，最大值為。G=J方.

2

6.（2025?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，二次函數(shù)），=+法+2的圖象與犬軸交于點(diǎn)A、B,與），軸

交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（Y,。），。是拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)?與點(diǎn)A、B、。不重合）：

（1）則系數(shù)〃=--;點(diǎn)區(qū)的坐標(biāo)是；

—6---------

（2）設(shè)直線夕8與直線AC相交于點(diǎn)M,是否存在這樣的點(diǎn)P,4吏得PM:MB=1:2?若存在，求出點(diǎn)P

的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）連接AC、BC,判斷NC44和NCBA的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（4）設(shè)點(diǎn)M在二次函數(shù)的圖象上，以點(diǎn)M為圓心，半徑為|行的圓與直線AC相切，求點(diǎn)”的坐標(biāo).

y.y

（備用圖）

【解答】解：（1）點(diǎn)4-4,0）代入），=一：/+次+2,

得———4〃+2—0>

3

,5

.'.b=—,

6

.??拋物線的解析式為），+2.

36

?.?當(dāng)y=0時(shí),有-y+2=0,

解得％=-4,x2=-|,

.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)為g,0）,

故答案為：-』；（」，0）.

（2）（方法一）在）,=—工/一』工+2中，

36

令x=0,得y=2,

.\C（0,2）.

設(shè)直線AC的解析式為尸質(zhì)+c（心0）,

把4-4,0）、C（0,2）代入y=H+c中,

/曰［一4欠+。=0

得Jc，

c=2

解得卜=5,

c=2

???直線AC的解析式為y=gx+2.

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（〃J〃?+2）.

2

①當(dāng)點(diǎn)P、4在直線AC的異側(cè)時(shí)，

作PEJ.X軸，M/_Lx軸，

S.MF//PE,

BF_MF_BM

~BE~~PE~~BP'

PM

BM2

..---=一,

BP3

BF2MF2

??---——，---=一，

BE3PE3

?/B(—i0)?M(〃?」〃?+2),尸(〃?,0)，

22

BF=--m,MF=—m+2?

22

——3mr1—ni「+2r

J=2,22,

BE3PE3

933

:.BE=---in,PE=-m+3t

424

二點(diǎn)0的坐標(biāo)為+3),

?.?點(diǎn)P在拋物線y=--x2x+2_t,

36

把點(diǎn)尸代入得3〃2+3=-1X(3〃?一3)2--x(—7Z?--)4-2,

4324624

2

整理，得12m+20/H+9=0,

...△=202-4XI2X9=-32<0,

.??方程無(wú)解，即不存在符合題意得點(diǎn)尸，(舍去)；

②當(dāng)點(diǎn)P、“在直線AC的同側(cè)時(shí)，

同理得，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(，〃+5,

,二點(diǎn)、P在拋物線y=--x2x+2-t?

36

把點(diǎn)尸代入得1=--x(―tn+-)2-—x(―+—)+2,

4324624

整理,得4m2+44m-9=0,

il+x/130-I1+VI30

g=--------,niy=---------,

.??點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為一2-畫或-2+迎,

44

綜上所述：存在點(diǎn)P,使得?=點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為-2-叵或-2+叵.

44

(3)(解法一)NC8A=2NC48,理由如下：

作NC5A的角平分線，交)，軸于點(diǎn)石，過(guò)點(diǎn)石作M_L3C于點(diǎn)八

,點(diǎn)B(—,0),點(diǎn)C(0,2)，

2

35

:.OB=二，OC=2,BC=-.

22

設(shè)O￡=〃，則?！?2-〃，EF=n,

由面積法，可知：-Ol3CE=-BCEFf即3(2—〃)=2〃，

2222

解得：〃=3.

4

?/-=-=—,ZAOC=90°=ZBOE,

OA2OB

：.MOC^ABOE，

.?.NC4O=N￡BO,

ZCfiA=2NEBO=2ZC4B.

(解法二)NCBA=2NCAB，理由如下：

將BC沿y軸對(duì)折，交x軸于點(diǎn)6，

?.?點(diǎn)8也，0),點(diǎn)C(0,2),點(diǎn)A(T,0),

2

.".點(diǎn)B\——f0)?

2

,,^=_1_(_4)=|,B，C=,22+(|T，

：.AB,=B,C=BC,

:.ZCAB=ZAC^,ZCBA=4CBB.

ZABB=ZC4B+ZACE,

/.NCK4=2NC44.

(4)?以點(diǎn)M為圓心，半徑為的圓與直線AC相切,

.??點(diǎn)M到直線AC的距離為比L

5

?.?直線AC的解析式為y='x+2,即x—2.v+4=0,

.?.過(guò)點(diǎn)切作AC的平行線/,

則直線AC與直線/的距離為，.

.??設(shè)直線/解析式為y=Lr+z,即x-2y+2r=0,

根據(jù)兩條平行線之間的距離公式(補(bǔ)充)，

若直線4為：Ar+By+C,=0,直線為：Ar+By+C,=0,

則直線乙與直線/,的距離是：《PI,

VA2+B-

.-.由直線AC與直線/的解析式得，

|2/-4|二86

712+(-2)2-5，

.r=6或-2,

當(dāng)/=-6時(shí)，直線，為y=；x+6,

1?

y=—x+6

聯(lián)立.2,4，

y=——x——x+2

I36

消y整理得x2+4x+12=0,

.??此方程無(wú)解，(舍去)，

當(dāng)/=-2時(shí)，直線/為y=gx-2,

16

y=-x-2

聯(lián)立2,

V=一尸——x+2

36

消y整理得/+以-12=0,

二.5=-6,x2=2f

二點(diǎn)朋的坐標(biāo)為(-6,-5),(2,-1).

7.（2024?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）問(wèn)題提出

（1）如圖1,正方形A8CD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,父?。石是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，則。、E之間的距

離為_36+3_;

問(wèn)題探究

（2）如圖2,在邊長(zhǎng)為6的正方形A8C￡＞中，以8為直徑作半圓O,點(diǎn)夕為弧8上一動(dòng)點(diǎn)，求A、

夕之間的最大距離；

問(wèn)題解決

（3）窯洞是我省陜北農(nóng)村的主要建筑，窯洞賓館更是一道靚麗的風(fēng)景線，是因?yàn)楦G洞除了它的堅(jiān)固

性及特有的外在美之外，還具有冬暖夏涼的天然優(yōu)點(diǎn)家住延安農(nóng)村的一對(duì)即將參加中考的雙胞胎小寶

和小貝兩兄弟，發(fā)現(xiàn)自家的窯洞（如圖3所示）的門窗是由矩形A8CO及弓形AMO組成，AB=2fn,

BC=3.2m,弓高M(jìn)N=12〃（N為4）的中點(diǎn)，MNJ.AD）,小寶說(shuō)，門角5到門窗弓形弧4）的最大距離

是8、M之間的距離.小貝說(shuō)這不是最大的距離，你認(rèn)為誰(shuí)的說(shuō)法正確？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算求出門角3到門

窗弓形弧4）的最大距離.

【解答】解：（1）如圖1,連接4C,BD,對(duì)角線交點(diǎn)為O,連接OE交8于H,

貝l」8=OC,

??,ADC￡為等邊三角形，

:.ED=EC,

.,.QE狂直平分DC,

:.DH=-DC=3，

2

?.,四邊形八4C7）為正方形，

.?.△。/兀＞為等腰直角三角形，

:.OH=DH=3,

在RtzXDHE中，

HE=y^DH=3C，

:.OE=HE+OH=30+3,

故答案為：3y/3+3；

（2）如圖2,補(bǔ)全OO,連接4。并延長(zhǎng)交。。右半側(cè)于點(diǎn)P,則此時(shí)A、2之間的距離最大，

在RtAAOD中，AO=6,00=3,

/.AO=\lAD2+DO2=3\/5,

AP=AO+OP=3＞f5+3;

（3）小貝的說(shuō)法正確，理由如下，

如圖3,補(bǔ)全弓形弧4）所在的連接ON,OA＞過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)后，連接并延長(zhǎng)交

上端于點(diǎn)P，

則此時(shí)B、P之間的距離即為門角△到門窗弓形弧仞的最大距離，

由題意知，點(diǎn)N為4）的中點(diǎn)，

/.AN=-AD=\.6ONLAD,

2f

在RtAANO中，

設(shè)AO=r，貝ljCW=r-1.2,

AN?ON'=A(f,

/.L62+(r-1.2)2=r2,

解得，「=%

3

57

AE=ON=--\.2=—.

315

在RtAOEB中，OE=AN=16,BE=AB-AE=—,

15

BO=^OE2+BE2

15

BP=BO+PO=^^-+-,

153

二.門角8到門窗弓形弧4)的最大距離為+

8.（2025?寶安區(qū)校級(jí)三模）如圖①，已知線段AA與直線,,過(guò)A、3兩點(diǎn),作使其與直線/相切,

切點(diǎn)為P，易證ZAP8=ZA”3>ZAQ3,可知點(diǎn)尸對(duì)線段AB的視角最大.

問(wèn)題提出

（1）如圖②，已知AA4P的外接圓為OO,PQ與0。相切于點(diǎn)夕，交/W的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.

①請(qǐng)判斷4PQ與ZA的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

②若Q8=2,AB=6,求PQ的長(zhǎng).

問(wèn)題解決

（2）如圖③，一大型游樂(lè)場(chǎng)入口4?設(shè)在道路ON邊上，在“雪亮工程”中，為了加強(qiáng)安全管理，結(jié)

合現(xiàn)實(shí)情況，相關(guān)部門準(zhǔn)備在與地面道路ON夾角為60°的射線OM方向上（位于垂直于地面的平面內(nèi)）

確定一個(gè)位置C,并架設(shè)斜桿AC,在斜桿AC的中點(diǎn)P處安裝一攝像頭，對(duì)入口/W實(shí)施監(jiān)控（其中

點(diǎn)4、B、D、尸、C、MxN在同一平面內(nèi)），已知。4=40米，A6=25米，調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ZAPE最

大時(shí)監(jiān)控效果最好，請(qǐng)問(wèn)在射線OM上是否存在一點(diǎn)C,使得ZAP8達(dá)到最大？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)C在

DW上的位置及斜桿AC的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖②

備用圖

【解答】（1）解：①N4PQ=ZA,理由如下：

如圖②，連接也并延長(zhǎng)至圓上一點(diǎn)N,連接

貝Ij/B4B=NPN8,

?.?PN為圓的直徑,

,\ZPftV=90°,

.\ZPA?+ZA^B=90°,

???PQ與。。相切于點(diǎn)尸，

:.ZNPQ=90°f

:"NPB+/BPQ=9。。，

/BPQ=NPNB,

\-^PNB=ZA，

/.ZBPQ=ZA.

②?.?/8PQ=Z4,4BQP=4PQA,

\BPQ^^PAQ,

.BQ_PQ

"PQ~AQ1

AB=6，QB=2,

AQ=A6+8Q=6+2=8,

?,?--2=_-P-Q-，

PQ8

:.PQ=4.

(2)解：存在一點(diǎn)C,使得ZAP4達(dá)到最大.

如圖③，取/V)的中點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作。例的平行線防,

經(jīng)過(guò)A,“作OO與"相切于點(diǎn)P,

由題意知，此時(shí)NAP8最大.

?.?DMi/EF,尸是AC中點(diǎn)，

:.ZPEA=O)°tCD=2PE,

作直徑PG,連接AG,

則/PBE=NG,APAC=90。，

/.ZAPG+々PRE=90°，

???￡F是G)O的切線，尸是切點(diǎn)，

PG上EF,

:.ZEPA+ZAPG=9(r，

:.ZEPA=NPBE,

又ZAEP=NPEB,

"EASBEP,

PE2=EAEB=20x(20+25)=900,

.?.PE=30,

:.CD=2PE=0).

過(guò)點(diǎn)A作4/D于”，

?.?ZPE4=60°,

：.ZEAH=30°f

.\EH=-AE=-x20=\0,

22

A”=4Esin600=20x—=10x/3,

2

:.PH=PE—EH=30-10=20,

由勾股定理得,

PA7PH2+AH2=12()2+(106;=10V7,

:.AC=2PA=2x\0>j7=20>/7.

故點(diǎn)C在。M上距離點(diǎn)7）60/??處，斜桿AC的長(zhǎng)度為20歷〃.

9.（2025?永興縣二模）如圖1,拋物線y=d-4x與x軸相交于原點(diǎn)。和點(diǎn)入，直線），=x與拋物線在

第一象限的交點(diǎn)為8點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為C點(diǎn).

（1）求點(diǎn)“和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）拋物線上是否存在點(diǎn)。，使得NDOB=NOBC?若存在，求出所有點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

（3）如圖2,點(diǎn)￡是點(diǎn)8關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)尸是直線以下方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，EF與

直線OB交于點(diǎn)G.設(shè)MAG和ABEG的面積分別為S；和邑，求回■的最大值.

【解答】解：(1)?.?拋物線y=f一41=。一2)2-4,

?「4=1>0,

.?.當(dāng)x=2時(shí)，]，有最小值Y,

/.C(2,-4).

■.?直線)，=式與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為8點(diǎn)，

二.聯(lián)立P，，

y=x'-4x

解得F〈或(舍去)，

[y=5[y=0

8(5,5).

故點(diǎn)8和點(diǎn)。的坐標(biāo)分別為(5,5)和(2,~4)；

(2)設(shè)直線的解析式為：y=kx+b,

則將秋5,5),C(2T)代入.)，=丘+4得，

5k+b=5

2k+b=—4'

k=3

解得，

方二-10

直線的解析式為：y=3x-\0.

①當(dāng)點(diǎn)。在直線(M的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)5作軸，交x軸于點(diǎn)F,延長(zhǎng)。。，交BF于G,

3(5,5),

OF=BF，即NBOF=/OBF=45°,ZOFG=ZBFE=90°,

Y/DOB=/OBC,

:"GOF=/EBF,

:^OFG=\BFE{ASA),

:.EF=GF.

ID

當(dāng)）,_0時(shí)，3A—10-0,得:

??.F(y,0),

5

則GF=EF=OF-OE=5-3-9

33

二G(5,j),

易知宜線OG的解析式為：y=-xi

3

聯(lián)立：匕鏟1

y=x2-4.r

13

X=一

解得3或＜（舍去），

13「乂>'=0

y=一

9

:?。（找）;

②當(dāng)點(diǎn)。在直線OB的上方時(shí),

?.?nX）B=NOBC,

：,ODUBC,

?.?直線BC的解析式為：y=3x-10,

???直線OD的解析式為：y=3x,

聯(lián)立：P'=3：解得：[二或[a：（舍去），

y=x~-4x[y-21[y=0

/.D（7,21）.

綜上，當(dāng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（*