§7.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

【課標(biāo)要求】1.借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面

的位置關(guān)系的定義2了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問(wèn)題.

、?落實(shí)主干知識(shí)?，

1.基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩金點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).

基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有二條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

2.“三個(gè)”推論

推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.

推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.

3.空間中直線與直線的位置關(guān)系

’相交直線:在同一平面內(nèi)，有且只有一

共面直線?個(gè)公共點(diǎn)；

,平行直線:在同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)；

\-----

異面直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn).

4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)

相交L個(gè)

直線與平面—a

平行A_____/alia止個(gè)

在平面內(nèi)%-------a/aua無(wú)數(shù)個(gè)

平行7。個(gè)

A7

平面與平面

相交aC[6=1無(wú)數(shù)個(gè)

5.等角定理

如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

6.異面直線所成的角

（1）定義：已知兩條異面直線b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)。分別作直線優(yōu)〃a,b'//b,我們把直線。與

“所成的角叫做異面直線。與b所成的角（或夾角）.

（2）范圍：（0,非

3自主診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“Y”或“x”）

⑴沒(méi)芍公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線.（x）

⑵若直線與平面不平行，則直線與平面有公共點(diǎn).（Y）

（3）如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.（x）

（4）兩兩相交的三條直線共面.（X）

2.用符號(hào)表示“點(diǎn)/不在直線機(jī)上，直線機(jī)在平面。內(nèi)”，正確的是（）

A.4莊〃mc.aB./1生〃

C.AZm,〃?ua

答案A

解析由題意用符號(hào)表示“點(diǎn)A不在直線m上，直線m在平面以?xún)?nèi)”，即力生機(jī)，〃?ua.

3.（多選）下列命題正確的是（）

A.空間任意三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.一個(gè)點(diǎn)和一條直線確定一個(gè)平面

C.兩條相交直線確定一個(gè)平面

D.空間兩兩平行的三條直線確定T或三個(gè)平面

答案CD

解析A中，空間不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，A錯(cuò)；

B中，只有點(diǎn)在直線外時(shí)才能確定一個(gè)平面，B錯(cuò)；

C中，兩條相交直線確定一個(gè)平面，C正確；

D中，空間兩兩平行的三條直線確定一個(gè)平面或三個(gè)平面，D正確.

4.如圖，在正方體488-4869中，A/,N分別為棱8C和棱CG的中點(diǎn)，則異面直線4C,和MN所成的

角為

答案60°

解析因?yàn)镸N分別為棱"C和棱CG的中點(diǎn),

所以

又在正方體480力山iGOi中,

AC//A\C\,

所以/4G8或其補(bǔ)角為異面直線/C和A/N所成的角,

又在正方體48czM?田GG中，MCB為正三角形,

所以N4C8=60。,

即異面直線4c和例N所成的角為60°.

口微點(diǎn)提醒

1.異面直線的判定：經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線互為異面直線.

2.異面直線所成角的范圍：兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，可能等于兩異面直線所成的

角，也可能等于其補(bǔ)角.

?探究核心題型?

所以。石與8尸相交，設(shè)交點(diǎn)為“，

則由MWOE,OEu平面。1。。。］,

得平面。QCG,

同理，MW平面8山CG.

又平面OQCGA平面BiBCC尸CCi,

所以"WCG.

所以。E,BF,CG三線交于一點(diǎn).

思維升華共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明

⑴共面：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線（或點(diǎn)）在這個(gè)平面內(nèi).

（2）共線：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上.

⑶共點(diǎn)：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn).

跟蹤訓(xùn)練1（多選）（2024?湖南省教學(xué)教研聯(lián)盟聯(lián)考）如圖，在直三棱柱44GMsc中，E.F.G.

H分別為83,CCi,4為，4G的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.￡,F,G,〃四點(diǎn)共面

B.EF//GH

C./EGB尸/FHCi

D.EG,FH,力4三線共點(diǎn)

答案ABD

解析對(duì)于A,B,如圖，連接打,GH,

由題意可知G"是44囪G的中位線，所以G〃〃8G,

因?yàn)锽/〃G￡S.BiE=GF=^Bi,所以四邊形EEQG是平行四邊形,

所以EE〃囪G,所以EF〃GH,所以￡,F,G,”四點(diǎn)共面，A,B正確；

對(duì)于C,因?yàn)楫?dāng)時(shí)，tan/EG8i#tan/QG,

又/EGB\,NFH”（O,3則/EG8芋/Q/G,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,如圖，延長(zhǎng)EG,77/相交于點(diǎn)P,

因?yàn)镻￡EG,EGu平面48當(dāng)4,所以尸￡平面4

因?yàn)镻￡"/,"/u平面力CG4,所以平面力CG/i,

因?yàn)槠矫?441/10平面ACC\A\=AA\,

所以P￡44i,所以EG,FH,441三線共點(diǎn)，D正確.

題型二空間位置關(guān)系的判斷

例2（1）（多選）下列推斷中，正確的是（）

A.若A/￡a,MSB，aC8=l,貝!］M￡/

B.若口八夕=/,aua,bu］3,aC\b=A,貝！］%￡/

C./<Z?,AG0A生a

D/,B,CRa,A,B,且/,B,。不共線=見(jiàn)健合

答案ABD

解析對(duì)于A,因?yàn)锳/WaaC0=l,由基本事實(shí)3可知M￡/,A對(duì)；

對(duì)于B,若aua,buRiaC\b=A,則力￡a,A^.P，因?yàn)樗?日，B對(duì)；

對(duì)于C,若/加=4則有3,/日，但/￡見(jiàn)C錯(cuò)；

對(duì)于D,有三個(gè)不共線的點(diǎn)在平面處4中，故a,健合，D對(duì).

⑵（多選）（2025?紅河模擬）如圖，在正方體44CLM歸QA中，M,N分別為棱GO,的中點(diǎn),

則以下四個(gè)結(jié)論中，正確的有（）

A.直線［加與CC］是相交直線

B.直線BN與M囪是異面直線

C.4H與8V平行

D.直線4M與BN共面

答案BD

解析M,C,G三點(diǎn)在平面CQGG內(nèi)，M點(diǎn)不在直線CG上，力點(diǎn)不在平面COOG內(nèi)，所以4

C,G四點(diǎn)不共面，

根據(jù)異面直線的定義可得直線4必與CG是異面直線，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

B,N,囪三點(diǎn)在平面8CC/i內(nèi),

治不在直線8N上，

M點(diǎn)不在平面8CG囪內(nèi)，所以8,N,M,S四點(diǎn)不共面，

根據(jù)異面直線的定義可得直線BN與MS是異面直線，故選項(xiàng)B正確；

取。。的中點(diǎn)已連接4瓦EN,又N為GC的中點(diǎn)，

則有,48〃EN,AB=EN,

所以四邊形46NE是平行四邊形，所以力七〃BN,

AMf}AE=A,則與8N不平行，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

連接MN,84,CD-

因?yàn)镸,N分別為棱GA,GC的中點(diǎn)，

所以MN〃AC,由正方體的性質(zhì)可知，4B〃DiC,

所以MN〃48,則有小，8,A1,N四點(diǎn)共面，

所以直線4M與8N共面，故選項(xiàng)D正確.

思維升華判斷空間直線的位置關(guān)系一般有兩種方法：一是構(gòu)造幾何體（如長(zhǎng)方體、空間四邊形等）模型來(lái)

判斷二是排除法.特別地，對(duì)于異面直線的判定常用到結(jié)論：“平面夕一點(diǎn)4與平面內(nèi)一點(diǎn)8的連線和平

面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線是異面直線

跟蹤訓(xùn)練2⑴空間中有三條線段44,BC,CD,且/4BC=NBCD,那么直線力4與C。的位置

關(guān)系是（）

A.平行

B異面

C.相交或平行

D.平行或異面或相交均有可能

答案D

解析根據(jù)條件作出示意圖，容易得到以下三種情況,

由圖可知力8與。。有相交、平行、異面三種情況.

(2)若直線6和/2是異面直線，人在平面”內(nèi)，A在平面日內(nèi)，/是平面a與平面日的交線，則下列結(jié)論

正確的是()

A.I與h,，2都不相交

B./與八，/2都相交

C./至多與兒/2中的一條相交

D./至少與/],/2中的一條相交

答案D

解析如圖1,八與/2是異面直線，八與/平行，/2與/相交，故A,B不正確；如圖2,人與占是異面直線,

八，/2都與/相交，故C不正確.

圖1圖2

題型三異面直線所成的角

例3(1)在正方體力8。。-4囪。4中，E為3。的中點(diǎn)，則直線囪E與小。所成的角為()

A.300B.60°C.120°D.1500

答案A

解析如圖，在正方體力中，4B產(chǎn)DC,A向〃DC,

所以四邊形A\BCD為平行四邊形?

則有小?！ㄞkC,

所以直線BiE與4D所成的角等于直線8E與囪。所成的角，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則881=2,BE=CE=y/2,B\C=2\l2,

BiE=JBB：+BE2=&,

在△EBC中，cosNE'C一刃;岑尸一￡

所以NE8C=30。.

所以直線B】E與4D所成的角為30。.

（2）（2025?隨州模擬）如圖，在三棱錐44c中，M4J_平面/3C,△/AC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,

MA=2V3f尸是MC的中點(diǎn)，則異面直線"8與力廠所成角的余弦值是（）

M

專(zhuān)，

A遺B3C返D-

A?3B4。8口8

答案D

解析設(shè)E為8c的中點(diǎn)，連接EE,AE,如圖所示，

M

舄

因?yàn)镸4_L平面彳8C,AB,4Cu平面月8C,

所以MALAC,

所以由勾股定理得MBJ!M屋+力中=4,MC7M好+"2=4,

因?yàn)镕是8c的中點(diǎn)，尸是軟?的中點(diǎn)，所以屈=，/8=2,AF=2,AE=y/3,FE//MB,

所以異面直線MB與"所成的角為ZAFE或其補(bǔ)角，

所以在心中，由余弦定理可知cos/力花”If叫2：藍(lán)：；_；

所以異面直線MB與"所成角的余弦值為

O

思維升華異面直線所成角的求法

方法解讀

將異面直線中的某一條平移，使其與另一條

平移法相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平

行線，形成三角形求解

在該幾何體的某側(cè)補(bǔ)接上一個(gè)幾何體，在這

補(bǔ)形法兩個(gè)幾何體中找異面直線相應(yīng)的位置，形成

三角形求解

跟蹤訓(xùn)練3（2025?福州統(tǒng)考）已知軸截面為正方形ABCD的圓柱,AB為卜底面直徑，石是弧力4

的中點(diǎn)，則直線力￡與4。所成的角為（）

0E：

A?B.；

64

C-*

答案c

解析取血的中點(diǎn)E連接EF,BF,DF,則跖〃力。，且EF=AD,

故四邊形力。叫為平行四邊形，所以。尸〃力已

所以NFDB或其補(bǔ)角為直線AE與BD所成的角,

設(shè)46=1,則4>1,由勾股定理得0T，F(xiàn)B=

在△尸。8中，由余弦定理得

"尸+8￡>2FB2g+2-1」

cosNFDB=

2DFBD2x乎x&2

故

J

所以直線4E與BD所成的角為與

課時(shí)精練

（分值：80分）

知識(shí)過(guò)關(guān)

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共20分）

1.（2024?銀川模擬）力，8是兩個(gè)不同的點(diǎn)，/是一條直線，見(jiàn)您兩個(gè)不同的平面，下列推理錯(cuò)誤的是（）

A.力白，A^a,B0,BCaniua

B.J￡?,B￡a,Be[3=anB=AB

C./2Q,40=4七a

D.A曰，lua0A￡a

答案C

解析直線上兩個(gè)不同的點(diǎn)在某個(gè)平面內(nèi)，則直線在該平面內(nèi)，故A正確；

兩個(gè)不同的點(diǎn)同時(shí)在兩個(gè)不同的平面內(nèi)，則兩點(diǎn)所在直線為兩三面的交線，故B正確；

上〃有兩種情況，/與a相交或/〃見(jiàn)若/與a相交，且交點(diǎn)為4點(diǎn)，則力￡見(jiàn)故C錯(cuò)誤；

直線在平面內(nèi)，則直線上的點(diǎn)都在平面內(nèi)，故D正確.

2.若直線a,b,c滿足?！?，mc異面，則方與。（）

A.一定是異面直線

B.一定是相交直線

C.不可能是平行直線

D.不可能是相交直線

答案C

解析在正方體力BCD-48Goi中，

AB//DC,48和。9是異面直線，DCnDD,=D,

故直線即〃，c滿足a,c異面，則〃與?？赡芟嘟?，不一定是異面直線，故A,D錯(cuò)誤；

AB//DC,48和8Q是異面直線，。。和8Q是異面直線，

故直線叫h,c滿足?！?,a,c異面，則〃與c可能是異面直線，故B錯(cuò)誤；

直線。，6c滿足c異面，則由平行公理得力與c不可能是平行直線，故C正確.

3.已知平面an平面/M,點(diǎn)兒C5點(diǎn)、BR0,且B莊/,又力Cn/=/W,過(guò)力，B,C三點(diǎn)確定的平面為匕則

陽(yáng)健（）

A.直線CMB.直線BM

C.直線力8D.直線8c

答案B

解析已知過(guò)4B,C三點(diǎn)確定的平面為小則4Cuy.又4CD仁W,則A/E），，又平面aA平面/，=/,則toz,

/u"又因?yàn)?Cn/=M,所以,”￡人因?yàn)?￡/，，B^y,所此D尸8"

4.（2024?呼和浩特模擬）如圖，已知王四棱錐248CQ的所有棱長(zhǎng)均相等，E為棱尸力的中點(diǎn)，則異面直線

BE與PC所成角的余弦值為（）

A瓜B耳

A-T

答案C

解析連接4G取力。的中點(diǎn)O,連接80,EO,設(shè)正四棱錐Pd8c。的棱長(zhǎng)為2.

由題意知EO//PC,

則異面直線BE與PC所成的角為N8EO（或其補(bǔ)角）,

在△8OE中，EO=^PC=\,BO=^AC=y/2,BE聾PA=6,

gE24-EO2-gQ234-1-2

則cosNBEO=ZxBExEO273T

則異面直線BE與PC所成角的余弦值為圣

二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共12分）

5.給出以下四個(gè)命題，其中錯(cuò)誤的是（）

A.不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線

B.若點(diǎn)力，B,C,。共面，點(diǎn)4S,C,E共面，則點(diǎn)4B,C,D,E共面

C.若直線見(jiàn)人共面，直線環(huán)。共面，則直線6c共面

D.依次首尾相接的四條線段必共面

答案BCD

解析反證法：如果四個(gè)點(diǎn)中，有3個(gè)點(diǎn)共線，第4個(gè)點(diǎn)不在這條直線上，

根據(jù)基本事實(shí)2的推論可知，這四個(gè)點(diǎn)共面，這與已知矛盾，故A正確；

如圖1,A,B,C,。共面，A,B,C,E共面，但4B,C,D,E不共面，故B錯(cuò)誤;

如圖2,亞共面，a,c共面，但①c異面，故C錯(cuò)誤；

如圖3,a,b,c,4四條線段首尾相接，但a,b,c,d不共面,故D錯(cuò)誤.

6.（2025?昆明模擬）如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，則在該正方體中（）

N.AF//CN

C.CN與&W所成的角為60。

D.NE與8W是異面直線

答案BCD

解析展開(kāi)圖翻折成的正方體如圖所示，連接BE,CF,EM,因?yàn)镃N//BE,BE1AF,

因此CN_L4F,A錯(cuò)誤；同理。E/7C匕CF工BM,所以8M_LZ）邑B正確;

■或其補(bǔ)角是CN與8W所成的角，又是等邊三角形，所以NM8E=60。，

所以CN與BM所成的角是60°,C正確；

又NE〃平面MFBC,且NE與8M不平行，8Wu平面故NE與氏W是異面直線，D正確.

三、填空題（每小題5分，共10分）

7.已知Q,夕是不同的平面，/,相，〃是不同的直線，P為空間中一點(diǎn).若ad夕=/,mua,n^p,mC\n=P,則點(diǎn)

P與直線I的位置關(guān)系用符號(hào)表示為.

答案9

解析Ymua,nu0,mC\n=P,

；?PGaS.P￡從又anp=l,

??點(diǎn)P在直線/上，即P日.

8.（2024?西安模擬）如圖，在直三棱注”C-486中，—BC為等腰直角三角形，且48=4。苧4=1,則

異面直線43與4C所成角的正弦值為.

答案y

解析將直三棱柱ABC-4BC補(bǔ)形為如圖所示的正四棱柱,

連接B。,AD,則9?！ㄐ,

則異面直線/囪與小。所成的角為或其補(bǔ)角）,

由題意知441=無(wú)，則。81=4〃=*2+(或)2=百，JD=y]l2+12=V2,

由余弦定理可得

_(V3)2+(V3)2-(V2)2_2

cosZ051J

2x5/3xV33

所以異面直線481與4。所成角的正弦值為sinZZ）5iJ=Jl-=y.

四、解答題（共27分）

9.（13分）如圖，488為空間四邊形，點(diǎn)瓦尸分別是48,8c的中點(diǎn)，點(diǎn)G,〃分別在C。，力。上，且

DH=^AD,OG*D求證:

（1）E,F,G,"四點(diǎn)共面；（6分）

（2）EH,FG必相交且交點(diǎn)在直線BD±.（7分）

證明⑴連接痔，HG,

由乙廠分別為48,8c的中點(diǎn)，得EF//4C,

DH=^AD,DG=^CD,

得HG〃AC,

C.EF//HG,

:,E,F,G,〃四點(diǎn)共面.

（2）由。。，DG=CD,

易知HG勺C,

又已尸分別為48,8c的中點(diǎn),

即ER）/C,:.HGREF,

結(jié)合⑴的結(jié)論可知,四邊形EFGH是梯形,

???直線即，/G不平行，設(shè)它們的交點(diǎn)為P,則PEE”,

又￡7七平面月肛平面4肛

同理PW平面BCD,

又平面［BOA平面BCD=BD,

:?PJBD,

即￡7/,尸G必相交且交點(diǎn)在直線8。上.

10.（14分）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體力BCTM由Ci。中，E,尸分別是/慶CG的中點(diǎn)

⑴求三棱錐8?4■的體積；（5分）

（2）求異面直線小E與。尸所成角的余弦值.（9分）

解⑴'三雌BEEF力三雌FT向昌$△校"總乂卜2X2X24

（2）如圖，設(shè)88的中點(diǎn)為〃，連接〃￡EH.4H,因?yàn)槭荂G的中點(diǎn),

所以4D"/CB〃HF,A\D\=CB=HF,

因此四邊形4。小〃是平行1四邊形.

所以D/〃4”,D\F=A\H,

因此/E4”或其補(bǔ)角是異面直線小￡與。/所成的角.正方體囚G。的棱長(zhǎng)為2,￡是48的中點(diǎn),

所以A?E=A\H=^22+12=V5,

EH=>JI2+12=V2,

41￡2+4[〃2￡〃2

由余弦定理可知，cosZEA\H=