中考數(shù)學一輪復習三角形

一.解答題(共20小題)

1.【探究】

(1)已知aABC和△AQE都是等邊三角形.

①如圖1,當點。在8。上時，連接CE.請?zhí)骄緾A,C￡和CD之間的數(shù)量關系，并說明理由：

②如圖2,當點。在線段8c的延長線上時，連接CE.請再次探究CA,。￡和。。之區(qū)的數(shù)量關

系，并說明理由.【運用】

(2)如圖3,等邊三角形A8C中，相=6,點￡在AC上，26.點。是直線8c上的動點，

2.在△人8C中，BC=a,AC=b,AB=c,CO是人B邊的中線.

【初步探究】(1)如圖1,當N4C8=90°時，請用含q,h的式子表示CD2,CD2

_____________________,

(2)如圖2,當AC=BC=B時，請用含a,c的式子表示C。2,CD2=；

【提出問題】在一般三角形中，如何用。，力，c表示CD2.

【分析問題】在(2)中根據(jù)笨腰三角形的性質，可在直角三角形中利用勾股定理直接計算出C/Z類

似的方法，在一般的三角形中，也可以通過構造直角三角形，利用勾股定理.，間接計算出CD?.

【解決問題】如圖3,在△A8C中，BC=a,AC=b,AB=c,CO是AB邊的中線.求證：CD2=

押+吁上

證明：作△A8C的高CE,

/.Z/4EC-ZBEC-900,

在RlZ\AEC和RlZXBEC中：

CA2=CE2ME2=CE2+(.AD-ED)2=-

CB2=CE1+BE1=CE1+(BD+ED)2=-

(3)請補充完成以上證明過程.

【知識應用】如圖4,在邊長為1的止方形網(wǎng)格中，A、B兩點是網(wǎng)格的交點，利用無刻度直尺在

直線/上畫出一點P，使得P^PB1的值最小，并直接寫出M2+PB2的最小值

AA

3.圖1是運動員訓練使用的帶有乒乓球發(fā)射機的乒乓球臺示意圖.水平臺面的長和寬分別為28〃和

1.6〃?，中間球網(wǎng)高度為0.15,〃，發(fā)射機安裝于臺面左側邊緣，能以不同速度向右側不同方向水平發(fā)

射乒乓球，發(fā)射點距臺面高度為0.4〃?，乒乓球（看成點）在發(fā)射點。獲得水平速度八單位：〃加）

后，從發(fā)射點向右下飛向臺面，點Q是下落路線的某位置.忽略空氣阻力，實驗表明：P,Q的豎

直距離〃（單位：W與飛出時間/（單位：s）的平方成正比，且當，=1時，//=5；P,Q的水平

距離是“（單位：〃?）.

（1）設u=10〃?/s,用，表示點。的橫坐標x和縱坐標），，并求出y與x的函數(shù)關系式；（不必寫

x的取值范圍）

（2）在⑴的條件下,

①若發(fā)球機垂直于底線向正前方發(fā)球，根據(jù)（1）中的函數(shù)關系式及題目中的數(shù)據(jù)，判斷這次發(fā)球

能否過網(wǎng)？是否出界？并說明理由；

②若球過網(wǎng)后的落點是右側臺面內(nèi)的點M（如圖3,點M距底線03〃，邊線0.3m）,向發(fā)球點O

在底線上的哪個位置？（參考數(shù)據(jù)：夕*2.6）

（3）將乒乓球發(fā)射機安裝于臺面左側底線的中點，若乒乓球的發(fā)射速度u在某范圍內(nèi)，通過選擇

合適的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側臺面上（不接觸中網(wǎng)和底線），請直接寫出y的取值范

圍.（結果保留根號）

圖1圖2圖3

4.某校組織數(shù)學興趣探究活利，愛思考的小實同學在探究兩條直線的位置關系查閱資料時發(fā)現(xiàn)，兩

條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖1、國2、圖3中，ARBE是aABC的中線，

AF_L8E于點尸，像△48C這樣的三角形均稱為“中垂三角形”.

【特例探究】

（1）如圖1,當N%8=45°,A8=6/時，AC=,BC=：

如圖2,當sin/必8=J,48=4時，AC=,BC=；

【歸納證明】

（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想A）、B&AC:三者之間的關系，用等式表示出來，并

利用圖3證明你的結論.

【拓展證明】

（3）如圖4,在△ABC中，AB=4y/3,BC=2心，D、E、尸分別是邊48、AC.BC的中點，連接

。后并延長至G,使得GE=OE,連接BG,當BG_LAC于點M時，求G尸的長.

（1）如圖1，直線A,12,13表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它到三條公

路的距離相等，則可供選擇的地址有處.

問題探究

（2）如圖2,在△A8C中，內(nèi)角N43C的平分線8E和外角NACr的平分線CE,相交于點E,連

接AE,若N3EC=40°,請求出NE4C的度數(shù).

問題解決

（3）如圖3,某地在市政二程施工中需要對一直角區(qū)域1/408=90°）內(nèi)部進行圍擋，直角區(qū)

域NA08內(nèi)部有一棵大樹1點P）,工作人員經(jīng)過測量得到點P到0A的距離PC為10米，點P

到03的距離尸。為20米，為了保護大樹及節(jié)約材料，設計要求圍擋牌要經(jīng)過大樹位置（點P）

并且所用材料最少，即圍擋區(qū)域4E。/周長最小，請你根據(jù)以上信息求出符合設計的△EOF周長

6.將兩個完全相同的三角形紙片ABC和。EC重合放置，其中NC=90°,N8=NE=30°.

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2,冏定人人/?。.使八DEC繞點C旅轉,當點。恰好落在AA邊卜時,①線

段。E與AC的位置關系是.②設的面積為5i,△AEC的面積為S2,則3與

52的數(shù)量關系是.

（2）猜想論證：當△OEC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中Si與S2的數(shù)量

關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BOC和△4EC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想.

（3）拓展探究：已知N48C=60°,點。是角平分線上一點，BD=CD,BE=4,DE//ABBC

于點E（如圖4）.若在射線物上存在點E使S,，scF=S//O￡,請直接寫出相應的5F的長.

數(shù)學課上，老師出示了這樣一個問題

如圖1,△ABC中，NB=45°，點。、8分別在A3、BC,且CA=CO,AE1.CD,垂足為巴探

究線段4。、BD、4E之間的數(shù)量關系，并證明,

某學習小組的同學經(jīng)過思考，交流了自己的想法:

小明：”通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)N8C。與NZME存在某種數(shù)量關系”

小亮：“通過借助勾股定理或構造三角形證明三角形全等，進而可以得到線段A。、BD、AE之間

的數(shù)量關系”.

老師：保留原條件，再作AG平分NCA/交。。于G（如圖2）.如果給出蔡值，那么可求案的

值.

(1)寫出NBC。與/A4E之間的某種數(shù)量關系;

(2)探究線段4。、B。、4E之間的數(shù)量關系，并證明;

若祭=〃?,求案值（用含機的代數(shù)式表示）.

(3)

圖1圖2

8.小超在觀看足球比賽時，發(fā)現(xiàn)了這樣一個問題；兩名運動員從不同的位置出發(fā)，沿著不同的方向,

以不同的速度直線奔跑，什么時候他們離對方最近呢？

小超通過一定的測量，并選擇了合適的比例尺，把上述問題抽象成如下數(shù)學問題:

如圖，在RtZXA3c中，ZC=90°,AC=6cm,BC=Scm,點。以low/s的速度從點。向點8運

動，點E以2ams的速度從點A向點4運動，當點￡到達點4時，兩點同時停止運動，若點

E同時出發(fā)，多長時間后。E取得最小值？

小超猜想當時，DE最小,探究后發(fā)現(xiàn)用幾何的知識解決這個問題有一定的困難，于是根

據(jù)函數(shù)的學習經(jīng)驗，設C，D兩點間的距離為xc〃7,D,E兩點間的距離為yc〃?，對函數(shù)），隨自變

量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.

下面是小超的探究過程，請補充完整:

（1）由題意可知線段AE和CD的數(shù)量關系是.

（2）按照下表中自變量上的值進行取點、畫圖、測晟，得到了y與x的幾組對應值:

x/cm02345

y/cm6.04.83.82.73.0

（說明：補全表格時相關數(shù)值保留一位小數(shù)）

（3）在平面直角坐標系中，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象；

（4）結合畫出的函數(shù)圖象，解決問題，小超的猜想；（填“正確”或“不正確”）當

兩點同時出發(fā)了s時，DE取得最小值，為cm.

9.感知：如圖①，在△A8C中，分別以A8、AC為邊在△ABC外部作等邊△A8。、等邊aACE,連

接CD、BE,則8E=OC（不需證明）；

探究：如圖②，在△ABC中，分別以A8、AC為邊在△ABC外部作等腰△A/3。、等腰△ACE,使

AB=AD,AC=AE,且N8AO=NG4E,連接CO、BE,求證：BE=DC；

應用：如圖③，在△ABC中，AB>AC,分別以4B、AC為邊在內(nèi)部作等腰△ABO、等腰△

ACE,點七恰好在8C邊上，使AB=4。，AC=AE,且NBAD=NC4E,連接CD,CE=3crn,CD

=2cm,△ABC的面積為1（心〃I求△AC。的面積.

10.在△A8C和中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF,連接CF.

【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①，若N84C=30°,延長BE交CF于點。，則BE與CF的數(shù)量關系

是,N8QC的度數(shù)為

【類比探究】如圖②，若N84C=120°,延長8E,R7相交于點D,請猜想BE與C廣的數(shù)量關

系及N8。。的度數(shù)，并說明理由.

【拓展延伸】如圖③，若NB4C=90°,且點8,E,F在同一條直線上，過點A作AAf_L3F,垂

足為點M,請猜想BF,CF,AM之間的數(shù)量關系，并說明理由.

11.綜合與實踐：

【問題背景】人教版教材九年級上冊063第10題“探索研究”：等邊△A3。和等邊△ACE,將4

ACE繞點A旋轉到某一位置，要求觀察圖形，提出問題并加以解決.

【探究發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖I,小明連結BE、CD,并發(fā)現(xiàn)/AOC'與/A6E的數(shù)量關系，請你探完后寫出證明過程.

(2)如圖2,得知小明的結論后，小華又連結DE,已知AC_L8E,AE=5,BE=\2,請你求出

OE的長；

【拓展探究】

(3)如圖3,小穎畫出了等腰直角△4BC和等腰直角△ADE,其中/B4C=NOAE=90°,AB=

AC,人。=人七，點。在OE上，請你直接寫出C。、CE和4C之間的數(shù)最關系.

5

圖1圖2圖3

12.問題探究

(1)如圖①，在四邊形A8CQ中，N84C=90°,AB=AC=4yf2,CD=4,E為A。中點，連

接BE,求/組的最大值；

問題解決

(2)如圖②，某小區(qū)計劃在一片足夠大的空地上修建四邊形的花園4BC7),其中BC=40米，AD

=CD,ADLCD,AB//CD,由于受地理位置的影響，N八BCV900.根據(jù)要求，現(xiàn)計戈！給該花園

修建條筆直的綠色長廊，且綠色長廊的入口。定為BC的中點，出口定為點D,為了盡可能地提

高觀賞體驗，要求綠色長廊0。最長，試求綠色長廊。。最長為多少米？

圖②

13.全等三角形是我們初中數(shù)學的重要知識點之一，它為我們學習后面幾何知識做好鋪墊，掌握全等

三角形的證明是做一系列復雜幾何證明的基礎.

【問題初探】

（1）構造全等三角形的方法有很多，有一種常見的方法是作高線，將需要證明的邊或角放在兩個

直角三角形中進而通過全等證明關系.比如，我們可以通過作高線證明三角形中一個重要的結論

“在同一個三角形中，如果兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”.如圖1,在△ABC中，

已知可證A8=AC,小聰同學的作法是作8C邊上的高線AO.現(xiàn)在請你完成小聰同學

的證明過程；

【類比分析】

（2）通過.上述例子，我們發(fā)現(xiàn)通過作高線構造直角三角形證明全等確實是?種有效的方法，由此

推出了三角形中的重要結論.現(xiàn)在請你借助上述的方法或結論繼續(xù)探索，如圖2,在△A3C中，

已知N/WC=N4C8,點E為邊AC上一點，點r為邊/W延長線上一點，連結石r與邊8C交于

點。，若點。恰為線段E尸中點，試探究線段CE與線段的數(shù)量關系，并說明理由；

【學以致用】

（3）如圖3,在△A8C中，NC4B=90°,AO,4E分別為△ABC的角平分線和中線，過點E作

E/_LA。與線段AZ）的延長線交于點G,與邊A8的延長線交于點尸，已知△A8C的面積是30,線

段Ar的長為8,求△AE。的面積.

定義：在同一平面內(nèi)，點4,B分別在射線PM,PN上，過點A垂直尸M的直線與過點B垂直PN

的直線交于點Q,則我們把NAQ8稱為NAP8的“邊垂角”（四邊形內(nèi)角和等于360°）.

（1）如圖1和2,若NAQB是NAPB的“邊垂角”，貝IJ/AQ8與NAP8的數(shù)量關系

是.

【遷移運用】

（2）如圖3,CD,BE分別是△NBC的兩條高，兩條高交于點F,根據(jù)定義，我們知道NOBE是

NOCE的“邊垂角”或NQCE是NQBE的“邊垂角”，/DAE的“邊垂角”是.

【拓展延伸】

（3）如圖4,若NACO是乙的“邊垂角”，且A5=AC.3。交AC于點E,點C關于直線

8。的對稱點為點F,連接AF,EF,且NCA/=45°,延長84和C/相交于點G.

①請說明：△AGCgZXAEB：

15.定義：如果1條線段將一個三角形分割成2個等腰三角形，我們把這條線段叫做這個三角形的“雙

等腰線”.如果2條線段將一個三角形分成3個等腰三拜形，我們把這2條線段叫做這個三角形

的“三等腰線”.如圖I,BE是△A8。的“雙等腰線”，AD.BE是△4BC的“三等腰線”.

（1）請在圖2三個圖中，分別畫出△A/C的“雙等腰線”，并做必要的標注或說明.

①NC=90°②NB=70°,/A=35°③ZB=81°,4W7°

（2）如果一個等腰三角形有“雙等腰線”，那么它的底角度數(shù)是

Q

（3）如圖3,△ABC中，4c=+NB,N8V45°.間出△/WC所有可能的“三等腰線”，使得

對NB取值范圍內(nèi)的任意值都成立，并做必要的標注或說明.（每種可能用一個圖單獨表示，如

果圖不夠用可以自己補充）

（圖3）

16.定義：三角形一邊中線的中點和該邊的兩個頂點組成的三角形稱為中原三角形.如圖①，A。是

△A8C的中線，r是的中點，則△F8C是中原三角形.

（1）求中原三角形與原三角形的面積之比（直接寫出答案）.

（2）如圖②，人。是△ABC的中線，E是邊AC上的點，AC=3AE,BE與人。相交十點F,連接

CF.求證：△/BC是中原三角形.

（3）如圖③，在（2）的條件下，延長C/交AB于點M,連接ME,求△f'EM與△48C的面積之

比.

①②③

17.如圖1,等邊△A8C的邊長為4,點。是直線AB上異于A,B的一動點,連接CQ,以C。為邊

長，在C￡）右側作等邊△CDE,連接BE.

【初步感知】

（1）求證：ACAD出ACBE；

【類比探究】

（2）當點。在直線48上運動時，①4。與的數(shù)量關系是：

②石的周長是否存在最小值？若存在，求此時的長；若不存在，說明理由；

【拓展應用】

（3）當點。在直線48上運動時，ABOE能否形成直角三角形？若能，請直接寫出此時A。的長：

若不能，說明理由.

cc

18.【問題情境】

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題:

如圖①，△人8c中，若AB=1（）,AC=6,求8c邊上的中線人。的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長A。至點E,使。E=A。，連接BE.請

根據(jù)小明的方法思考:

（1）由已知和作圖能得到用，依據(jù)是,

4.SSS

B.SAS

C.AAS

D.HL

（2）由“三角形的三邊關系”可求得AO的取值范圍是.

解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的

已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形之中.

【初步運用】

如圖②，AO是△ABC的中線，BE交AC于E,交AD于凡且AE=EF.若EF=5,￡C=3,求

線段B尸的長.

【靈活運用】

如圖③，在△ABC中，ZA=90°,D為BC中點,DEA.DF,DE交AB于點、E,。小交AC于點E

連接E立試猜想線段BE、CF.E1/三者之間的等量關系，并證明你的結論.

19.【問題情境】

如圖1,在RtaABC中，N8C4=90°,ZB=30°,AC=4,AB的垂直平分線交AB于點。，交

8c于點E,作射線AE.

（1）則CE的長為；

【變式思考】

（2）在“問題情境”的基礎上，如圖2,點尸是射線AE上的動點，過點P分別作戶廣所在

直線于點凡作PHVBC所在直線于點H.

①求馬△「出面枳之和的最小值；

②連接求"/的最小值是多少？

【拓展探完】

（3）在“問題情境”的基礎上，如圖3,/XABC內(nèi)有點。，且NAQC=60°,AB、BC上分別有

一點M、N,連接QM、QN、MM直接寫出△QMN周長的最小值.

20.【基礎鞏固】（1）如圖1,在△人BC與△COE中，AC=BC,CD=CE,NACB=NDCE,連接

A。，BE；求證：XACD在△BCE：

【嘗試應用】（2）如圖2,在△ABC與△CQE中，AC=BC,CD=CE,NAC8=NQCE=90°,

連接A。，BE,A、D、E三點在一條直線上，8c與。E交于點F；

①求NBE4的大小；

②若。尸=3互且〃E=2,求△/?（?￡的面積；

【拓展提高】（3）如圖3,在△ABC與△COE中，AC=BC,CD=CE,NACB=NDCE=9（）°,

點G為。石的中點，AE交BC于點兒連接G",GHLAB,且〃為18,求C4的長.

圖1圖2圖3

中考數(shù)學一輪復習三角形

參考答案與試題解析

一.解答題（共20小題）

1.【探究】

（1）已知△A3C和△AO￡都是等邊三角形.

①如圖1,當點。在3c上時，連接CE.請?zhí)骄緾A,CE和CO之間的數(shù)量關系，并說明理由；

②如圖2,當點。在線段8c的延長線上時，連接CE.請再次探究CA,C￡和C。之心的數(shù)量關

系，并說明理由.【運用】

（2）如圖3,等邊三角形人BC中，88=6,點E在人C上，=點。是直線8C上的動點，

連接OE,以DE為邊在DE的右側作等邊三角形。ER連接CF.當ACE尸為直角三角形時，請

【考點】三角形綜合題.

【專題】壓軸題；存在型；模型思想；應用意識.

【答案】（1）①CE+CO=C4,理由詳見解析；?CA+CD=CE,理由詳見解析；（2）6-8或6+26.

【分析】（1）①根據(jù)條件易證aAB。絲AACE（SAS）,再進行線段轉化易得答案；②與第①小

問思路一樣，證出△ABQgZ\ACE（SAS）即可；

（2）由△CE/為直角三角形可知，需要分類討論確定哪個角是直角三角形，再根據(jù)點。的位置

關系去討論即可，因為點。是動點，所以按照前面兩問帶給我們的思路，去構造類似的全等三角

形，進而討論求解即可.

【解答】解：⑴?CE+CD=CA.理由如下，

???XABC和△ADE是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,AD=AE=DE,NBAC=/DAE=6。",

AZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

:.NBAD=NCAE,

在△ABO和△ACE中，

(AB=AC

1/-BAD=/-CAE,

(AD=AE

/.(SAS),

：，CE=BD

■:BD+CD=BC,

：,CE+CD=CA.

②C4+CQ=CE.理由如下，

'：/\ABC和是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,AD=AE=DE,ZBAC=ZDAE=6()<3,

???ZBAC+ZDAC=ZDAE+ZDAC,

：,ZBAD=ZCAE,

在△ABD和△ACE中，

(AB=AC

l￡BAD=LCAE,

\AD=AE

???△"/屋△4CE(SAS),

：.CE=BD,

?；CB+CD=BD,

：,CA+CD=CE.

(2)過E作E”〃48,則△E”C為等邊三角形.

①當點。在〃左側時，如圖1,

■;ED=EF,/DEH=NFEC,EH=EC,

:?△EDgREFC(SAS),

AZECF=ZEHD=120°,

此時ACE尸不可能為直角三角形.

②當點。在〃右側，且在線段C"上時，如圖2,

同理可得???△E?！鼻摇鳌耆?（SAS）,

；?NFCE=NEHD=60",NFEC=/DEH<NHEC=60’,

此時只有NCFE有可能為90°,

當/CFE=90°時，NEDH=90°,

：,ED1CH,

,:CH=CE=2?

:?CD=^CH=圾,

又?.?A8=6,

:.BD=6-?

圖2

③當點。在”右側，且HC延長線上時，如圖3,

此時只有NCE尸=90°,

VZDEF=60°,

：.ZCED=30°,

VZECH=60°,

：,ZEDC=CED=30°,

:.CD=CE=25

??.即=6+2技

圖3

綜上：BD的長為6-百或6+2V5.

【點評】本題主要考查三角形綜合題，熟練掌握全等三角形的性質和判定是解題的關鍵.

2.在/XABC中，BC=a,AC=b,AB=c,CO是人B邊的中線.

【初步探究】（1）如圖1，當/ACB=90°時，請用含a"的式子表示CD?,。及2=1（^+/?2）.

-4----------------

（2）如圖2,當AC=4C=a時，請用含小。的式子表示CO2,CP2=a2-^；

【提出問題】在一般三角形中，如何用小b,。表示C》.

【分析問題】在（2）中根據(jù)筆腰三角形的性質，可在直角三角形中利用勾股定理直接計算出C》.類

似的方法，在一般的三角形中，也可以通過構造直角三角形，利用勾股定理，間接計算出C。2.

【解決問題】如圖3,在△A8C中，BC=a,AC=b,AB=c,CQ是AB邊的中線.求證：CD2=

/（a?+b2）-

證明：作△48C的高CE,

/.ZAEC=ZBEC=90a,

在RtAAEC和RtABEC中，

CA1=CE1+AE2=CE1+CAD-ED）2=-

CB2=CE2+BE2=CE2+（BD+ED）2=-

???

（3）請補充完成以上證明過程.

【知識應用】如圖4,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、8兩點是網(wǎng)格的交點，利用無刻度直尺在

直線/上畫出一點P,使得PA^PB1的值最小，并直接寫出P^PB1的最小值為

【考點】三角形綜合題.

【專題】幾何綜合題：壓軸題：運算能力：應用意識.

1

【答案】（1）二（。2+必）：

4

⑵4y；

（3）證明見解答；

（4）限2+p/F的最小值為]g,作圖見解答.

【分析】【初步探究】（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和勾股定理即可求得答

案；

（2）利用等腰三角形“三線合一”的性質及勾股定理即可求得答案；

【解決問題】（3）運用勾股定理即可將證明過程補充完整；

【知識應用】作點A關于直線/的對稱點A',連接A'/U',PB,AAr與直線/交于點

E,過點B作直線/于F,設PE=x,則PF=4-x,運用勾股定理可得：PA2+PB2=2x2-8x+26

=2（x-2）2+18,根據(jù)非負數(shù)的性質即可得出答案.

【解答】【初步探究】（1）解：???C。是RtZSABC斜邊48上的中線，

:.CD=

:.CD2=

在RtAuAAC中，AB1=AC1-BC1=a1+b1,

.?.CD2=1AS2=1（/+/）,

]

故答案為：-（/+/）;

4

（2）解：*：AC^BC-a,CD是八8邊的中線，

：，CDLAB,BD=

在RdBC。中，5=13（？-BD1=a1-^c1,

故答案為：a2—^-2；

【解決問題】（3）證明：作△ABC的高CE,

/.zlAEC-Z^EC-90°,

在R（Z\AEC和RlZXBEC中，

CA2=CE2+AE2=CE2+（AD-ED）2=CE1+AD1-2ADXED+ED1?,

CB2=CE1+BE2=CE1+（BD+ED）2=CE1+BD1+2BDXEIXED2@,

???C。為43邊中線，

：,AD=BD=如，

?:CE是AABC的高,

AZCED=90°,

.\CE1+ED2=CD1,

???①+②得：CA2+CB2=2CE2+^AB2+2ED2=2CD2+^AB2,

乙乙

Z.CD2=1(C/42+CB2)-％解，

即CO2=i(/+.)-I*2.

乙*

【知識應用】如圖4,過點B作5。_1直線/于O,以直線/為x軸，直線08為y軸建立平面直角

坐標系，

設點尸(x,0)是x軸的動點，點Q是A8的中點，連接出，PB,PQ,

則M2=(X+4)2+12=X2+&T+17,

PB2—X2+32~X1+9?

PQ1=\2+(X+2)2=X2+4X+5,

AB2=42+42=32,

由(2)知，P。'2(以2+PB?)-^AB2,

.\A2+4A-+5=ICP/^+PB2)-1x32,

：.B\2+PB2=2(/+4.i+5)+16=2(x+2)2+18,

:.當x=-2時，PA2+PB2有最小值18,

此時點。的坐標為(-2,0),

如圖所示，點。即為所求作的點.

【點評】本題是三角形綜合題，考查了勾股定理的應用，直角三角形的性質，非負數(shù)的性質、因

式分解的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用因式分解的方法和非負數(shù)的性質解答.

3.圖1是運動員訓練使用的帶有乒乓球發(fā)射機的乒乓球臺示意圖.水平臺面的長和寬分別為28〃和

1.6〃?，中間球網(wǎng)高度為015/〃，發(fā)射機安裝于臺面左側邊緣，能以不同速度向右側不同方向水平發(fā)

射乒乓球，發(fā)射點距臺面高度為0.4〃?，乒乓球（看成點）在發(fā)射點。獲得水平速度八單位：〃心）

后，從發(fā)射點向右下飛向臺面，點Q是下落路線的某位置.忽略空氣阻力，實驗表明：P,Q的豎

直距離〃（單位：加）與飛出時間，（單位：s）的平方成正比，且當r=l時，〃=5；尸，Q的水平

距離是0（單位：〃?）.

（1）設u=10〃?/s,用/表示點。的橫坐標x和縱坐標），，并求出y與x的函數(shù)關系式；（不必寫

x的取值范圍）

（2）在（1）的條件下，

①若發(fā)球機垂直于底線向正前方發(fā)球，根據(jù)（1）中的函數(shù)關系式及題目中的數(shù)據(jù)，判斷這次發(fā)球

能否過網(wǎng)？是否出界？并說明理由；

②若球過網(wǎng)后的落點是右側臺面內(nèi)的點M（如圖3,點M距底線03〃，邊線0.3加），叵發(fā)球點O

在底線上的哪個位置？（參考數(shù)據(jù)：V7?2.6）

（3）將乒乓球發(fā)射機安裝于臺面左側底線的中點，若乒乓球的發(fā)射速度u在某范圍內(nèi)，通過選擇

合適的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側臺面上（不接觸中網(wǎng)和底線），請直接寫出y的取值范

圍.（結果保留根號）

【考點】三角形綜合題.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題；運算能力；應用意識.

【答案】（1）一告W+0.4：

（2）①這次發(fā)球能過網(wǎng)，會出界.理由見解答;

②發(fā)球點O在距右側邊線1.6m處,即左上角;

（3）----<v<<106.

5

【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案;

⑵①當工=1.4時，y=-^xl.42+0.4=0.302>0.15,可判斷這次發(fā)球能過網(wǎng)；當），=0時，解

方程一4f+0.4=0,即可判斷這次發(fā)球會出界；

4U

②如圖,過點M作MNLOA于N,則AN=0.3m,MN=2.8?0.3=2.5m，利用勾股定理即可求得

答案；

（3）當垂直底線發(fā)球，恰巧過網(wǎng)，此時口值最小，可求得v的最小值為噌，當斜發(fā)球恰巧與右

下底線與邊線邊緣相碰，即球落在右下角點/處時，此時V值最大，可求得I，的最大值為，麗，

即可得出答案.

【解答】解：（1）設〃=火?，把/=1,力=5代入得：k=5,

：Ji=5r,

當v=時，點Q的橫坐標為103縱坐標為0.4-h=0.4-5?,

/.x=10r,y=0.4-5r,

y=一4/+0.4：

（2）①這次發(fā)球能過網(wǎng)，會出界.理由如下：

Vy=一4/+0.4,

當x=1.4時，尸一^x1.42+0.4=0.302>0.15,

???這次發(fā)球能過網(wǎng)；

當y=0時，一奈+0.4=0,

解得：xi=2V2,.X2=-2V2（舍去），

V2V2>2.8,

???這次發(fā)球會出界；

②如圖，過點M作MN_LO4于N,則AN=03〃，MN=2.8?0.3=2.5/〃，

由①知：OM=2&,

在RtZkOMN中，ON=\l0M2-MN2=J（2>/2）2-2.52=^?1.3（加）,

/.OA=ON+AN=1.3+0.3=1.6（w）,

答：發(fā)球點0在距右側邊線16〃處，即左上角：

中網(wǎng)］:

2.8m前

J'{0.3m

,,1.邊線

L6m底線

（3）當垂直底線發(fā)球，恰巧過網(wǎng)，此時I，值最小,

???中間球網(wǎng)高度為0.156,

.??y=0.15機，

：.h=0A-0.15=0.25m,

/.A=5?=0.25,

解得：仁霽/2二一需（K符合題意,舍去），

???底線到中網(wǎng)的距離為1.4m,

.1.41475

?"=逅=M'

Io

當斜發(fā)球恰巧與右下底線與邊線邊緣相碰，即球落在右下角點8處時，此時y值最大，如圖，連

接。8,設右上角為點A,

則OA=0.8/〃，AB=2.8陽,

在RlZiO/IA中，OB=，。摩+=Io.82+2.82=

O

:中同

,邊線

L6m底線

:這時的〃=0.4"3

/./?=5/2=0.4,

解得：仁事“一日（天符合題意，舍去），

=V106,

.1475

i?<v<V106.

5

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)解決實際問題，勾股定理等,

構造直角三角形運用勾股定理是解題關鍵.

4.某校組織數(shù)學興趣探究活匆，愛思考的小實同學在探究兩條直線的位置關系查閱資料時發(fā)現(xiàn)，兩

條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖1、區(qū)2、圖3中，AF、BE是△48。的中線，

于點P,像△A8C這樣的三角形均稱為“中垂三角形”.

【特例探究】

(1)如圖I,當N%8=45°,44=6立時，AC=6V5,BC=64；

如圖2,當sinN以5=4，48=4時，AC=2g,BC=277；

/--------------

【歸納證明】

(2)請你觀察(1)中的計算結果，猜想4解、Bd、AC：三者之間的關系，用等式表示出來，并

利用圖3證明你的結論.

【拓展證明】

(3)如圖4,在△ABC中，AB=4y/3,BC=2瓜。、E、產(chǎn)分別是邊A3、AC.BC的中點，連接

。石并延長至G,使得GE=QE,連接4G,當4G_LAC于點M時，求G尸的長.

【考點】三角形綜合題.

【專題】壓軸題；應用意識.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)如圖1,由等腰直角三角形的性質得到AP=80=6,根據(jù)三角形中位線的性質和平

行線分線段成比例定理可得夕上=夕尸=3,利用勾股定理可得AC和4c的長；如圖2,根據(jù)特殊三

角函數(shù)值可得/用1。=30°,計算和AP的長，同理由中線的性質和勾股定理可得結論；

(2)設PF=m,PE=n則4P=2/〃，PB=2〃,根據(jù)勾股定理分別列等式，可得結論；

(3)如圖4,作輔助線，證明四邊形EFCG是平行四邊形，得Q是廣G的中點，根據(jù)中垂三角形

的定義可知：△尸CG是中垂三角形，利用(2)中三邊的關系可得G/的長.

【解答】(1)解：如圖1,???AFJL5E,

/.ZAPB=ZAPE=ZBPF=90°,

VZ/^B=45°,AB=6右

:?AP=PB=6,

圖1

如圖1,連接E凡

VAF,BE是△ABC的中線,

???￡/是△"(?的中位線，

：,EF//AB,且EF=^AB,

PEPF1

???____,

PBPA2

:.PE=PF=3,

由勾股定理得：AE=BF=<AP2+PE2=x/62+32=375,

：,AC=BC=2AE=6\fS,

1

如圖2,VsinZB4B=AB=4,AF1BE,

：,ZPAB=30°,

：.BP=^AB=2,

VAF>BE是△ABC的中線，

APE=I,PF=^AP=V3,

由勾股定理得：AE=>JPE2+AP2=J12+(2V3)2=V13,

BF=y/PF24-PB2=J(V3)24-22=干,

AAC=2AE=2V13,BC=2BF=S,

故答案為：6V5,6V5,2g,2V7：

(2)解；猜想；AB2.BC2.AC2三者之間的關系是；AC2+I3C2=5AB2,

證明：如圖3,設PF=m,PE=n則AP=2/〃，PB=2n,

在RtZXAPB中，（2m）2+⑵）2=人解①，

力C

在Rt/LAPE中，（2〃?）2+戶=（—）2②，

2

Be

在RtZ\8P產(chǎn)中，機2+（2〃）2=（—）2③，

2

222

由①得：，〃2+〃2=券-，由②+③得：5（+〃2）=4c:BC,

：.AC1+BC2=5AB2；

(3)解：如圖4,連接CG,EF,過點尸作FN〃BG交CG于點、N,/G與AC交于點。

圖4

■:FN//BG,BGA.AC,

???FN_LAC,

?"是BC的中點，

???N是CG的中點，

???￡＞、E分別是A8、AC的中點，

:.DE=FC,DE//FC,

*：ED=EG,

:.EG=FC,EG//FC,

???四邊形EFCG是平行四邊形，

???Q是FG的中點,

???△FCG是中垂三角形，

???A8=4V5,BC=2瓜

:,CG=EF=BD=2?FC=V5,

由（2）中結論可知：5FC2=CG2+FG2,

即5X5=（2V3）2+FG2,

:,GF=713.

【點評】本題考查三角形綜合題、中垂三角形的定義和應用、勾股定理、三角形的中位線定理、

平行四邊形的性質和判定等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造中垂三角形解決問題,

屬于中考壓軸題.

5.問題提出

（1）如圖1，直線八，12,13表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它到三條公

路的距離相等，則可供選擇的地址有4處.

問題探究

（2）如圖2,在△ABC中，內(nèi)角/4BC的平分線8E和外角/AC廣的平分線CE,相交于點E,連

接若N3￡C=40°,請求出N￡AC的度數(shù).

問題解決

（3）如圖3,某地在市政工程施工中需要對一直角區(qū)域1NAOB=90°）內(nèi)部進行圍擋，直角區(qū)

域NAOB內(nèi)部有一棵大樹［點尸），工作人員經(jīng)過測量得到點P到0A的距離PC為10米，點P

到OB的距離P。為20米，為了保護大樹及節(jié)約材料，設計要求圍擋牌要經(jīng)過大樹位置（點P）

并且所用材料最少，即圍擋區(qū)域尸周長最小，請你根據(jù)以上信息求出符合設計的周長

的最小值，并說明理由.

【專題】壓軸題；應用意識.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）作直線八、12、/3所圍成的三角形的外角平分線和內(nèi)角平分線，外角平分線相交于

點P、尸2、P3,內(nèi)角平分線相交于點向，然后根據(jù)角平分線的性質進行判斷；

（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和和角平分線的定義列式并整理得到/

BAC=2NBEC,過點￡作E凡L84交延長線于凡作EG_LAC于G,作。于H,根據(jù)角平

分線上的點到角的兩邊的距離相等可得￡/="/,EG=EH,然后求出E/=￡G,再根據(jù)到角的兩

邊距離相等的點在角的平分線上判斷出/1E是/。/的平分線,再根據(jù)角平分線的定義解答即可；

（3）根據(jù)前兩問的啟發(fā)，設/八08、NAEF、/BbE的角平分線交于點Q,作QNJ_O8于N,QM

_LOA于M,QHLEF于H,連接QP,可得四邊形OMQV是正方形，設正方形邊長為了，則所求

的△OEF的周長為2)，，再根據(jù)“斜邊大于等于直角邊“，即列出不等式，解不等式可

得)，的最小值.

【解答】解：作直線“、/2、/3所圍成的三角形的外角平分線和內(nèi)角平分線，外角平分線相交于點

Pl、尸2、P3,內(nèi)角平分線相交于點04,根據(jù)角平分線的性質可得到這4個點到三條公路的距離分

別相等.

故答案為:4；

(2)解：、?/ABC與/ACD的角平分線相交于點E,

11

AZCBE=^ZABC,NECD=/ACD,

由三角形的外角性質得，^ACD=ZABC+ZBAC,

/ECD=NBEC+/CBE,

1i

：-AACD=/BEC+〃ABC,

22

11

???一-NBEC+^/ABC,

22

整理得，NBAC=2NBEC,

VZBEC=40°,

：.ZBAC=2X40°=80。，

過點E作￡H_LB4交延長線于“，作EG_LAC于G,作EF_L3c于尸，

??浜平分NA4C,

：.EF=EH,

平分NAC。，

：?EG=EF,

：,EH=EG,

???AE是/CA尸的平分線，

/.ZCAE=1(180°-ZBAC)=1(180°-80°)=50,；

(3)如圖，設/AOB、ZAEF.28FE的角平分線交于點。

作QNLOB于N,QMLOA于W,QHYEF于H.連接QP.

B

則QN=QH=QM=y,FH=FN,EH=EM,

4OEF的周長：OE+OF+EF=OF+F