專題23解直角三角形模型之新定義模型

解直角三角形的新定義模型，是體現(xiàn)選拔功能的試題中對(duì)初高中知識(shí)銜接的考查。高中數(shù)學(xué)為這類試

題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數(shù)學(xué)的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數(shù)

學(xué)知識(shí)內(nèi)容包裝、初中試題命制技術(shù)設(shè)置.）處理，命制出具有高中數(shù)學(xué)背景味道的試題。這類試題往往對(duì)

學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力要求較高，能有效檢驗(yàn)學(xué)生是否具備進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的潛能，所以平時(shí)教學(xué)挖掘這

方面解題技能及功效尤為重要。恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建模型可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題過(guò)程，豐富解題內(nèi)涵。

【知識(shí)儲(chǔ)備】

模型1、新定義模型

此類模型主要包含高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)定理（公式），而這些定理（公式）也

可利用初中數(shù)學(xué)知識(shí)證明。

若無(wú)特殊說(shuō)明，一般認(rèn)為△ABC的3個(gè)角/A、/8、NC,分別對(duì)應(yīng)邊a、b、

ab

1）正弦定理：如圖I,=2R（其中R是三角形外接圓的半徑）。

sinAsinBsinC

圖2

2)余弦定理：如圖2,a2=b2+c2-2/?ccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+h2-2abcosC.

3)正弦面積公式：如圖2,=—<z/?sinC=—bcs\nA=—4;c'sinB.

222

,八si，附

4）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：S加2夕+。/夕=1，tcuw=------

cos6

5）和（差）、二倍角角公式:

sin(a±/7)=sinacos/3±cosasin[3;sinlcc—fIsincccoscc.

cos(a±/3)=cosacos/3?sinasm/3;cos2a=cos~a-sin~a=2cos~a-1=1-2sin~a.

tana±tan(32tcma

tan(a±J3)=tanla=

\彳tcmatanp\-tatra

例1.（2025?湖南?中考真題）閱讀卜列材料:

在4ABe中，44、DB、NC所對(duì)的邊分別為“、b、c,求證：--=--

sinAsinB

證明：如圖1,過(guò)點(diǎn)。作CO_LA8于點(diǎn)。，貝IJ：

在RtABCD中，CZAasinB；在RtAACD中，CD=bsinA

.,..ab

asmBD=Z?sinAx--------=-------

sinAsinB

省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境.如圖3,規(guī)劃中的一片二角形區(qū)域需美化，已如NA-67。,

4=53。，AC=80米，求這片區(qū)域的面積.（結(jié)果保留根號(hào).參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,sin67°?0.9）

例2.（2025?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長(zhǎng)度與一個(gè)角余弦值關(guān)系的

數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問(wèn)題.余弦定理是這

樣描述的：在財(cái)8c中，團(tuán)4、回8、回。所對(duì)的邊分別為a、b、c,則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的

平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.

用公式可描述為：。2=52+02_2bccosA；b2=a2~}-c2-2accosB：c2=a2-\-b2-2abcosC

現(xiàn)已知在mBC中，AB=3,AC=4,朋=60°,則BC=.

例3.（2025?山東青島??？级＃﹩?wèn)題提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積.

問(wèn)題探究：為了解決上述問(wèn)題，我們先由特殊到一股來(lái)進(jìn)行探究.

探究一：如圖1,在中，ZABC=90°,AC=b,BC=a,ZC=Z?,求“BC的面積.

在RlZ\A8C中，ZABC=90°,.,.sina=-^~..A3=〃《sina...5.時(shí)=Lz?C?A8='a?0sina.

探究二：如圖2,J8C中，AI3=AC=b,BC=a,N8=Na,求“8c的面積（用含。、b、〃代數(shù)式

表示），寫出探究過(guò)程.

探究三：如圖3,中，AB=b,BC=a,N8=Na,求一A8C的面枳（用。、/八。表示）寫出探究

過(guò)程.

問(wèn)題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：（用文字?jǐn)⑹觯?

問(wèn)題應(yīng)用：如圖4,己知平行四邊形中，AB—b,BC-a，乙B—a,求平行四邊形/WCD的面積（用

a、b、。表示）寫出解題過(guò)程.

問(wèn)題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫出任意四邊形的面積（用〃、b、c、d、a、夕表示），

其中AB*BC=c,CD=d,4。=〃，Z4=a,

例4.（2025春?四川瀘州?八年級(jí)?？计谥校┢矫鎺缀螆D形的許多問(wèn)題，如：長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積、角度等問(wèn)

題，最后都轉(zhuǎn)化到三角形中解決.古人對(duì)任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積.具

體如下：設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為。、b、c,P=g（a+%+c）,則有下列面積公式：

22+/?2C：2

S=JP（P—a）（P-b）（P-c）（海倫公式）；S=Jl[aZ?-（-~）]（秦九貂公式）.

V42

⑴一個(gè)三角形邊長(zhǎng)依次是5、6、7,利用兩個(gè)公式，可以求出這個(gè)三角形的面積；

⑵學(xué)完勾股定理以后，已知任意形狀的三角形的三邊長(zhǎng)也可以求出其面積.如圖，在口，AB=\5,

BC=14,>40=13,求”笈。的面積和AC邊上得高A。的長(zhǎng).

例5.(2025?北京市?九年級(jí)?？计谀?關(guān)于三角函數(shù)有如F公式：sin(a+P)=sinacosP+cosasinP，sin(a

-P)=sinacosp-cosasinp；cos(a+3)=cosacosp-sinasinp,cos(a-p)=cosacosp+sinasinp；tan(a+p)

.cCDsinaACsinacosa、.

sin2a=——=-----：--------=---------：-------=2sina?cosa

OC11

22

閱讀以上內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：在Rt.AAC中，ZC=9O°,/1B=I.

（1）如圖3,若BC=g,則sina=_,sin2a=；

（2）請(qǐng)你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路，求出tan2a的表達(dá)式（用含sina,cosa的式子表示）.

例9.（2025?重慶??？家荒＃┎牧弦唬鹤C明：sin2cr+cos2<z=1.

證明：如圖，作團(tuán)BAC=0d在射線AC上任意取一點(diǎn)Q（異于點(diǎn)A）,過(guò)點(diǎn)。作。胴4用垂足為E.

團(tuán)0aM8于點(diǎn)E：.sinNBAC=—,cosZBAC=—sin2ZBAC=-^,cos2NBAC=

ADADAD2AD2

nj72Ap2nr2+AF2AD2

回在Rt^ADE中,DE\AE^AD2sin2ZBAC+cos2ZBAC=―=1

AD2AD2AD1AD2

005/4C=0fl0sin2a+cos2a=\.

材料二：學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后，我們知道，在直角三角形中，知道了一個(gè)直角三角形的兩條邊的長(zhǎng)或知道

直角三角形的一條邊的長(zhǎng)及其一個(gè)銳角的度數(shù)，我們可以求出這個(gè)直角三角形其它邊的長(zhǎng)度和其它角的度

數(shù)；由"SAS〃定理可知，如果一個(gè)三角形的兩條邊的長(zhǎng)度及其這兩條邊的夾角的度數(shù)知道了，那么這個(gè)三角

形的第三條邊一定可以求出來(lái).

應(yīng)用以上材料，完成下列問(wèn)題：⑴如圖，在（M8C中，AC=4,806,0C=6O°,求A3的長(zhǎng).

B

⑵在（1）題圖中，如果AC%，BC=a,0C=?,你能用a,5和cosa表示AB的長(zhǎng)度嗎？如果可以，寫出推

導(dǎo)過(guò)程；如果不可以，說(shuō)明理由.

例10.（2025春?湖北?九年級(jí)專題練習(xí)）在初中，我們學(xué)習(xí)過(guò)銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數(shù)，

即在圖1所示的直角三角形A8C,NA是銳角，那么sin八=〃的對(duì)邊+斜邊，8sA=NA的鄰邊+斜邊，

34=44的對(duì)邊+24的鄰邊.為了研究需要，我們?cè)購(gòu)牧硪粋€(gè)角度來(lái)規(guī)定一個(gè)角的三角函數(shù)的意義：設(shè)

有一個(gè)角。，我們以它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為x軸的正半軸。",建立直角坐標(biāo)系（圖2）,在角a

的終邊上任取一點(diǎn)P，它的橫坐標(biāo)是八縱坐標(biāo)是點(diǎn)P和原點(diǎn)（0,0）的距離為r=歷了。總是正的），

然后把角a的三角函數(shù)規(guī)定為：s\na=-,cosa=2,tana=之.我們知道，圖1的四個(gè)比值的大小與角

rrx

A的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無(wú)關(guān)，同樣圖2中四個(gè)比值的大小也僅與角a的大小有關(guān)，而與點(diǎn)P

在角a的終邊位置無(wú)關(guān).比較圖1與圖2,可以看出一個(gè)角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實(shí)際上是一樣的，

根據(jù)第二種定義回答下列問(wèn)題：

⑴若90。<0<180。，則角a的三角函數(shù)值sin。、cosa.tana,其中取正值的是:

⑵若角a的終邊與直線），=2x重合，則sina+cosa的值；

⑶若角a是鈍角，其終邊上一點(diǎn)P（x,2）,且cosa=3,求tana的值；

⑷若0。<aV90°,則sina+cosa的取值范圍是.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2025秋?廣東東莞?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長(zhǎng)度與一個(gè)角余弦值

關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問(wèn)題.余弦定

理是這樣描述的：在58C中，/A、NB、/C所對(duì)的邊分別為〃、b、c,則三角形中任意一邊的平方等

于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.用公式可描述為：

a2=b2+c2-2Z>ccosA：b2=a2+c2-laccosB：/=/+加一2時(shí)cosC；現(xiàn)已知在，.A5C中，AB=2,8C=4,

4=60。，則AC的長(zhǎng)為（）

A.2GB.V13+IC.Vl3-1D.372

2.（2024?四川廣元市?中考真題）規(guī)定:

sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny給出以下四個(gè)結(jié)論：⑴

sin(-30°)=--；(2)cos2x=cos2x-sin2x;(3)cos(x-y)=cosxcosy+sinxsin>；(4)

2

cos15。=XJZ其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

4

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.（2025年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九貂在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給

出了這樣的一個(gè)結(jié)論：三邊分別為。、b、c的的面積為工二二,小片片一二"C的邊

4、。、C所對(duì)的角分別是財(cái)、團(tuán)8、團(tuán)C,則S^ABC=^-ah<mC=^tzcsinB=1/?csin>1,下列結(jié)論中正確的是（）

22211

Aa+b-c,「（r+b--c__a-4-b--c

A.cosC=----------B.cosC=-----------C.cosC=-------------D.cosC=---------

2ablab2ac2bc

4.（2025?安徽滁州??？级＃┮阎切蔚娜呴L(zhǎng)分別為a、b、c,求其面積問(wèn)題.中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進(jìn)行

過(guò)深入研究，古希臘的幾何學(xué)家海倫給出求其面積的海倫公式S=Jp（p-a）（p-b）（p-c）,其中p=號(hào)上

我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式1sJ/。2Td,若

一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5,6,7,則其面積是（）

uG

A.6\/6B.6x/l5r

2

5.（2025?山東濰坊?統(tǒng)考二模）一般地，當(dāng)a、B為任意角時(shí)，tan（a+B）與tan（a-p）的值可以用下面的

1&

公式求得：tan(a±B)產(chǎn)±嗎.例如：.15。=麗(45。-3。。)―45-30=_號(hào)二沖

1^tanatan//l+tan45-tan30,^,733+V3

1+1x-----

3

（3一6尸

-2-73.請(qǐng)根據(jù)以上材料,求得tan75。的值為

-（3+V3）（3-5/3）

6.（2025?河北石家莊?九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題.

sin230°4-cos2300=___；

sin2450+cos2450=___；

sin260°4-cos260°=：

觀察上述等式，猜想：對(duì)任意銳角A,都有siMA+cos2A=—.

7.（2025秋?山東濟(jì)南?九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義一種運(yùn)算：sin（cz+/7）=sinacos/?+cosasin/7,

sin（a-/?）=sinacosp-cosasin/7N^||：當(dāng)a=60。，/=45。時(shí)，sin（60°-45°）=#x#-；x^=娓

則sin75。的值為—.

8.（2025?湖南婁底?統(tǒng)考一模）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：

sin（a-^）=sinacos^-cos<zsinp,sin（?+/?）=sin<zcos/7+ccsasin/7,

cos(a-/7)=cosacos/+sinasin夕，cos(a+/7)=cosacos/?-sinasinp.例：

sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=.若已知銳角二滿足條件sina=；,則

sinla=.

9.(2025?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題)定義一種運(yùn)算；sin(<z+fi]=sinacosfl+cosasinp,

sini6Z-/?)=sinacosfl-coscrsin/?.例如：當(dāng)a=45°,夕=30°忖，sin(45°+30°)=

馬與哈小色捍則加5。的值為

10.（2025?四川成都?成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？家荒＃┯^察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問(wèn)題

An

在銳角ZiABC中，團(tuán)A、（3B、EIC的對(duì)邊分別是a、b、c,過(guò)A作ADEIBC于D（如圖（1））,則sinB=-^,即

bcb

AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即----=----,同理有:，所以

sinfisinCsinCsinA'sinAsinB

a_b_c

sinAsinfisinC

UP：在一個(gè)銳角三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素（至少有一

條邊），運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素.

根據(jù)上述材料，完成下列各題.

圖（1）圖（2）圖（3）

(1)如圖(2),AABC中，0B=45°,0C-75°,BC=60,貝ljE)A=；AC-

（2）某次巡邏中，如圖（3）,我漁政船在C處測(cè)得釣魚島A在我漁政船的北偏西30。的方向上，隨后以40

海里/時(shí)的速度按北偏東30。的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得釣魚島A在的北偏西75。的方向上，

求此時(shí)漁政船距釣魚島A的距離AB.

11.（2025春?山東濟(jì)寧?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義：在中，若A8=c,AC=b,BC=a,則存在余弦

222222222

定理：a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,c=a+h-2ab-cosC,即三角形一邊的平方等于

另兩邊的平方和減去這兩邊與這兩邊夾角的余弦的積的2倍.

例如：在圖1中，AC2=AB2+BC1-2ABBC-cos￡?=42+（3x/2）2-2x4x372cos450=10,（MC=V10

請(qǐng)你利用余弦定理解答下列問(wèn)題：⑴應(yīng)用新知：在圖2中，①若。=2,b=3,0C=6O°,則。=；

②若a=20，/?=272?夜，求0A：

（2）遷移發(fā)散：如圖3,某客輪在A處看港口。在客輪的北偏東50。方向上，在A處看燈塔8在客輪的北偏西

30。方向距離26海里處，客輪由A處向正北方向航行到C處時(shí)，再看港口。在客輪的南偏東80。距離6海

里處，求此時(shí)C處到燈塔B的距離.

…aD?ab

0sinA=,sinB——,@c=,c=,回=,

ccsinAsinBsinAsinB

根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識(shí).在圖②的銳角AABC中，探究V、工、—J之間的關(guān)系，并寫出探究

sinAsinBsinC

過(guò)程.

圖①圖②

13.（2025?山東?一模）小明學(xué)完了“銳角三角函數(shù)”的相關(guān)知識(shí)后,通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：如圖1,在RWBC中,

如果(3C=90。，財(cái)=30。，BC=g,AC=b=+,A8=c=2,那么一二=，不=2.通過(guò)上網(wǎng)查閱資料，他又知

smAsinB

““?〃90。=1〃，因此他得到“在含30。角的直角三角形中，存在著的關(guān)系〃.

sin4sinBsine

這個(gè)關(guān)系對(duì)于一般三角形還適用嗎？為此他做了如下的探究：

(1)如圖2,在MA46C中，0C=9O°,BC=a,AC=b,AB=c,請(qǐng)判斷此時(shí)“￡=々=三"的關(guān)系是否成

sinAsinBsinC

立？答：.

(2)完成上述探究后，他又想“對(duì)于任意的銳角A/WC,上述關(guān)系還成立嗎？“因此他又繼續(xù)進(jìn)行了如下的

探究：

如圖3,在銳角A44C中，BC=a,AC=h,AB=cf過(guò)點(diǎn)C作。。L48于。，設(shè)CQM,

回在R0ADC和RILBDC中，^ADC=^BDC=90°,

^sinA=,sinB=.

ab

m回----=______________,—...=____________.

binAbinB

ab

回----=-----

sinAsinB

同理，過(guò)點(diǎn)人作人加8C于“，可證上二一^國(guó)仁二匕二三；

sinBsinCsin4sinfisinC

請(qǐng)將上面的過(guò)程補(bǔ)充完整.(3)運(yùn)用上面結(jié)論解答下列問(wèn)題：

①如圖4,在△A8C中，如果財(cái)=75。,<8=60°,(8=6,求AC的長(zhǎng).

②在△4BC中，如果回8-30。，AB-2氏,AC-2,那么AABC內(nèi)切圓的半徑為

14.(2025?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)階段練習(xí))閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式:

/,小tanor±tan/?

sin(a±/?)=sinacos/?±cosasin/?：；tan(a±⑶=------------

1±tana'tan0

利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值

tan45°-tan30°

例:tanl5°=tan(45o-30°>

I+tan450-tan30°

根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓酱鸢赶旅娴膯?wèn)題

⑴計(jì)算sinl5。：⑵棲靈塔是揚(yáng)州市標(biāo)志性建筑之一（如圖），小明殂利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)測(cè)量該塔的高度，

小華站在離塔底A距離7米的C處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5。，小華的眼睛離地面的距離。。為1.62米，請(qǐng)幫

助小華求出該信號(hào)塔的高度.（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：73^1.732,加=1.414）

15.（2025秋?江蘇常州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：sin（a+/3）=sin?cos^+co^/sin^；

cos（?+/?）=costzcos/?-sin?sin/7；tan?+tan/?=tana+（an,利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函

'I-tanatanp

數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值

o

如：sin75°=sin（30+45°）=sin30°-cos45°4-cos30°-sin45°=lx—x—x—=—+^=

2222444

根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問(wèn)題：

⑴求cos75。的值；（2）激光測(cè)速是目前道路測(cè)速方法中最為精準(zhǔn)的一種，它是對(duì)被測(cè)車輛進(jìn)行兩次有特定時(shí)

間間隔的激光測(cè)距，取得該一時(shí)段內(nèi)被測(cè)車輛的移動(dòng)距離，從而得到該車輛的移動(dòng)速度.如圖，在一條限

速為80千米/小時(shí)的國(guó)道邊上有一個(gè)激光測(cè)速儀P,該測(cè)速儀與車道中心的垂直距離尸C=4米，在某一時(shí)刻

測(cè)得某輛汽車從點(diǎn)4到點(diǎn)B的時(shí)間間隔為0.5秒，而第一次的點(diǎn)A在點(diǎn)P的北偏東75°,第二次的B點(diǎn)在點(diǎn)

產(chǎn)的北偏東45。，請(qǐng)問(wèn)該汽車是否超速？為什么？（6之1.732）

16.（2025?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考二模）在RlAiABC中，ZC=90°,財(cái)：回B,回。所對(duì)的邊分別是a,h,c,利用銳

角三角函數(shù)定義很容易推導(dǎo)出一些關(guān)系式，如sin24+cos24=|,sinA=cos8等，這些公式在三角函數(shù)式

子的變形中運(yùn)用比較廣泛.設(shè)a,夕是銳角，定義：當(dāng)用時(shí)，兩角和的余弦公式:

cos(a+〃)=cosacos〃-sinasin夕

例：計(jì)算cos75。的值.

cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos300-sin45°sin30°=x-x1=^--="一丁

72222444

兩角差的余弦公式：cos(a-/?)=cosacos^+sinasin^.利用類比的方法運(yùn)用公式求解.

(1)計(jì)算cosl5o=.(2)iIcos80°cos35°+sin800sin35°的值；

⑶一副斜邊長(zhǎng)均為16的三角板拼成如圖所示的圖形，求過(guò)A、8、C、。四點(diǎn)的矩形A8E/的面積.

專題23解直角三角形模型之新定義模型

解直角三角形的新定義模型，是體現(xiàn)選拔功能的試題中對(duì)初高中知識(shí)銜接的考查。高中數(shù)學(xué)為這類試

題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數(shù)學(xué)的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數(shù)

學(xué)知識(shí)內(nèi)容包裝、初中試題命制技術(shù)設(shè)置）處理，命制出具有高中數(shù)學(xué)背景味道的試題。這類試題往往對(duì)

學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力要求較高，能有效檢驗(yàn)學(xué)生是否具備送入高中學(xué)習(xí)的潛能，所以平時(shí)教學(xué)挖掘這

方面解題技能及功效尤為重要。恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建模型可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題過(guò)程，豐富解題內(nèi)涵。

【知識(shí)儲(chǔ)備】

模型1、新定義模型

此類模型主要包含高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)定理（公式），而這些定理（公式）也

可利用初中數(shù)學(xué)知識(shí)證明。

若無(wú)特殊說(shuō)明，一般認(rèn)為△ABC的3個(gè)角NA、NB、NC,分別對(duì)應(yīng)邊。、氏c；

b

1）正弦定理：如圖1,=2R（其中R是三角形外接圓的半徑）。

sinAsinBsinC

圖2

2)余弦定理：如圖2,a2=h2+c2-2/?ccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+kr-labcosC.

3)正弦面積公式：如圖2,S.=—absinC=—bcs]nA=—acsmB.

“222

4)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：+=tune=—,

cosO

5）和（差”二倍角角公式:

sin(a±/3)=sinacos/3±cosasin/3;siiiXcc=2sincccoscc.

cos(a=cosacosfl.sinasinp;cos2a=cos~a-sin~a=2cos~a-1=1-2sin~a.

tana±tan/3「2tana

tan(a±J3)=lan2a=--------.

1孑tanatanp\-tan~a

例L（2025?湖南?中考真題）閱讀下列材料:

在;.48。中，乙4、DB、NC所對(duì)的邊分別為“、b、c,求證：--=--

sinAsinB

證明：如圖1,過(guò)點(diǎn)。作CO_LA8于點(diǎn)。，貝IJ：

在RtABCD中，CZAasinB；在RtAACD中，CD=bsinA

.,..ab

asmBD=Z?sinAx-------=------

sinAsinB

根據(jù)上面的材料解決下列問(wèn)題：

hc

⑴如圖2,在AA席中，4、風(fēng)"所對(duì)的邊分別為。、b、c,求證：而=砧；⑵為了辦好湖南

省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境.如圖3,規(guī)劃中的一片二角形區(qū)域需美化，已如NA-67。,

4=53。，AC=80米，求這片區(qū)域的面積.(結(jié)果保留根號(hào).參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,sin67°%0.9)

【答案】⑴見(jiàn)解析(2)180073

【分析】(1)作8C邊上的高，利用三角函數(shù)表示A。后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解;

(2)作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出A￡和8c即可求解.

(1)證明：如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AOL8C于點(diǎn)。，在RMBD中,AD=csinB,

bc

在R/AACZ?中，AD=bs\nC，csin4=〃sinC,-=-；

sinBsinC

(2)解：如圖3,過(guò)點(diǎn)A作AE_LBC于點(diǎn)E,vZB/AC=67°,N3=53。，/.ZC=60°,

在心AACE中，AE=4Csin60=80X*=40G(〃?)

又.%「，即白=焉一?.3C=90(〃?)，.?.S“c=；x90x406=1800回叫

smBsinN84c0.80.92''

【點(diǎn)睛】本題考杳了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)

題的前提.

例2.(2025?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題)閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊K：度與一個(gè)角余弦值關(guān)系的

數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問(wèn)題.余弦定理是這

樣描述的：在中，M、團(tuán)8、窗。所對(duì)的邊分別為a、b、c,則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的

平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.

用公式可描述為：a2=b2-\-c2-IbccosA；b2=a2+c2-laccosB；c2=a2~}-b2-2abcosC

現(xiàn)已知在財(cái)3c中，AB=3,AC=4,財(cái)=60。，MBC=.

【答案】Vl3

【分析】從閱讀可得：B^AB^AC2-2AI^AC-cosA,將數(shù)值代入求得結(jié)果.

【詳解】解：由題意可得，

4c2A8?AC?cosA=32+42-2x3x4?cos600=13,MC=而，故答案為：如.

【點(diǎn)睛】本題考查閱讀理解能力，特殊角銳角三角函數(shù)值等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是公式的具體情景運(yùn)用.

例3.（2025?山東青島??？级＃﹩?wèn)題提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積.

問(wèn)題探究：為了解決上述問(wèn)題，我們先由特殊到一般來(lái)進(jìn)行探究.

探究一：如圖1,在/8C中，ZABC=90°,AC=b,BC=a,NC=Na,求的面積.

在RtZXAKC中，ZABC=90°,：.sina=—:.AB=b?sina.：.BC-AB=a./?sina.

AC22

探究二：如圖2,JISC中，AB=AC=b,BC=a,/B=/a,求的面積（用含〃、b、。代數(shù)式

表示），寫出探究過(guò)程.

探究三：如圖3,中，AB=b,BC=a,NB=Na,求一ABC的面積（用。、b、。表示）寫出探究

過(guò)程.

問(wèn)題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面枳方法是：（用文字?jǐn)⑹觯?

問(wèn)題應(yīng)用：如圖4,已知平行四邊形48co中，AB=b,BC=a,4B=a,求平行四邊形A8CD的面積（用

a、b、。表示）寫出解題過(guò)程.

問(wèn)題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論更接寫出任意四邊形的面積（用。、b、c、d、a、夕表示），

其中AB*BC=c,CD=d,AD=a,Z4=a,ZC=/7.

【答案】g他sina,見(jiàn)解析；1^sina,見(jiàn)解析；一個(gè)三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一生；他sina；

S四邊形AKD=；而sina+gcd?sin/7

【分析】探究二：如圖2中，作A〃_LC8于”.求出高A”，即可解決問(wèn)題：

探究三：如圖3中，作于”.求出高4”,即可解決問(wèn)題；

問(wèn)題解決：S=^abs\nZC（/。）是〃、〃兩邊的夾角）：

問(wèn)題應(yīng)用：如圖4中，作AM3C8于，.求出高即可解決問(wèn)題；

問(wèn)題拓廣：如圖5,連接5。，由探究三的結(jié)論可得出答案.

【詳解】解：探究二：如圖2中，作于，.

1

△zk之DAD

7R

BCBHCCBC

圖2圖3圖4圖5

AB=AC=b,BC=a,Z.B=Na,:.Z.B=Z.C=a,

AH

在心..A”C中，ZAHC=90°,.-.sina=—,AH=Z>sina,S^BC=；BC?AH=g（而sina.

AC

探窕三：如圖3中，作人”_LCB于〃.

AU

在我憶AWC中，ZAHC-900.^ina=--AW-Z>sina-.5=g"C?4H=gaZ>sina.

ACt

問(wèn)題解決：一個(gè)三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半.

故答案為：一個(gè)三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半.

問(wèn)題應(yīng)用：如圖4中，作A”J_C8于”.

在R『AH5中，ZA//B=90°.-.sina=—,..4"=/>sina?.S平行四邊形Mm=BC4〃=absina.

AB

問(wèn)趣拓廣：連接80，由探究三的結(jié)論可得：Sxwli=^xABxADxs\na=^ab>sina.

5=QXBCXCD=Qcdsin0.S|q邊'例8cA=-absina-￥-cd-sinp.

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、三角形的面積、平行四邊形的面積，銳角三角函數(shù)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題.

例4.(2025春?四川瀘州?八年級(jí)?？计谥?平面幾何圖形的許多問(wèn)題，如：長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積、角度等問(wèn)

題，最后都轉(zhuǎn)化到三角形中解決.古人對(duì)任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積.具

體如下：設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為。、b、c,P=^(a+b+c),則有下列面枳公式：

S=y]P(P-a)(P-b)(P-c)(海倫公式)；5=也而一(八-)2](秦九韶公式).

⑴一個(gè)三角形邊長(zhǎng)依次是5、6、7,利用兩個(gè)公式，可以求出這個(gè)三角形的面積；

⑵學(xué)完勾股定理以后，已知任意形狀的三角形的三邊長(zhǎng)也可以求出其面積.如圖，在348?？?，A4=15,

BC=14,AC=13,求叢的面積和8c邊上得高A。的長(zhǎng).

【答案】⑴66⑵“1BC的面積為84；邊上得高AD的長(zhǎng)為12

【分析】(1)利用兩個(gè)公式分別代入即可；

(2)設(shè)BO=x,則DC=14T,利用勾股定理得AD?心=6_附,EP132-(14-x)2=152-x2,

求解得x=9,即80=9,再利用勾股定理求解，然后利用三角形面積公式求出其面積即可.

【詳解】(1)解：P=：(a+A+c)=；x(5+6+7)=9,

由海倫公式可得s=QP(P-a)(P-b：(P-c)=79X(9-5)X(9-6)X(9-7)=6娓;

由秦九昭公式可得S=『2)=6瓜.

(2)解：設(shè)8O=x,則DC=I4—x,AD上BC,/.AD2=AC2-CD2,AD2=Aff-ffD2,

.-.132-(14-X)2=152-X2,解得X=9；m30=9

⑦AD7AB2-Bb2=652-92=12?0SABc=：BCAD=gxl4xl2=84.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及三角形面積求法，正確掌握三角形面積公式,和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

例5.(2025北京市?九年級(jí)?？计谀?關(guān)于三角函數(shù)有如下公式；sin(ai3)=sinacosP1cosasinp,sin(a

-P)=sinacosp-cosasinp；cos(a+p)=cosacosp-sinasinp,cos(a-p)=cosacosp+sinasinp：tan(a+p)

=tana+tan(1_tanatan^O),合理利用這些公式可以將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)

1-tanatanp

來(lái)求值，$IJsin90°=sin(30°+60°)=sin300cos600+cos30°sin60(,=—x—+—x—=1,利用上述公式計(jì)算下

2222

列三角函數(shù)①sinl05°=亞這，②taniOS*-2-石，③sinl5』、一二,④cos9CT=0,其中正確的

44

個(gè)數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】直接利用已知公式法分別代入計(jì)算得出答案.

【詳解】①sinl05°=sin(600+459)=sin600cos450+cos600sin45°=—+=舟&,故此選項(xiàng)正確；

22224

?tanlOSMan(6。。+45。)=警黑嚓=上哮=空包=2-6,故此選項(xiàng)正確：

I一〃〃!45°〃560°1-V3-2

(>00

③sinl50=sin(60°-45°)=sin600cos45-cos60sin45=^Ex--ix—=,故此選項(xiàng)正確：

22224

00<>0

(4)cos90°=cos(45°+45°)=cos45cos45-sin45sin45=2/lx---x—=0,故此選項(xiàng)正確；

2222

故正確的有4個(gè).故選D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及公式的應(yīng)用，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵.

例6.(2025年四川省廣元市中考真題數(shù)學(xué)試題)“一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)〃，某市20臺(tái)風(fēng)機(jī)依次克立在云遮霧繞的

山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬(wàn)戶.某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測(cè)量風(fēng)葉的長(zhǎng)

度進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量.如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120。，當(dāng)其中一片風(fēng)葉。8與塔干0。疊合時(shí)，在與塔

底。水平距離為60米的七處，測(cè)得塔頂部O的仰角NOED=45。，風(fēng)葉。4的視角NO￡A=3(T.

⑴已知。，夕兩角和的余弦公式為:cos(?+/?)=cosczcossinczsin/?,請(qǐng)利用公式計(jì)算cos75。；

(2)求風(fēng)葉。4的長(zhǎng)度.

【答案】⑴寫史（2）風(fēng)葉0A的長(zhǎng)度為（606-6。）米

【分析】（1）根據(jù)題中公式計(jì)算即可；（2）過(guò)點(diǎn)4作A/1/無(wú)，連接AC,OGA.AC,先根據(jù)題意求出OE,

再根據(jù)等腰對(duì)等邊證明OE=4石，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論用三角函數(shù)即可求所，再證明四邊形DEG是矩形,

即可求出.

【詳解】（1）解：由題意可得：cos750=cos（45°+30°）.

小（45。+30。）=—?！?5。5訪3。。邛＞4考十學(xué)

（2）解：過(guò)點(diǎn)連接AC，OGA.AC,如圖所示,

0E-DE_60"

由題意得：DE=60米，NOED=45。,0-cos/45。一四一~米，/DOE=45。,

V

團(tuán)三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120。，（3/004=120。，0ZAOE=12O°-45°=75°,

XUZOEA=30°,0Z.OAE=180°-75°-30°=75°,?NOAE=ZAOE,回OE=AE=60無(wú)米,

SZOEA=30°,NOED=45。,0ZAED=75°,由（1）得：cos75°=^~―,

4

團(tuán)?=AExcos750=306—30米，0￡>F=DE-EF=60-（30>/3-30）=90-3073

團(tuán)AF10E，OGA.AC,0D1DE,團(tuán)四邊形。州G是矩形，［3AG=D尸=90-3M米，

回三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120。，且三片風(fēng)葉長(zhǎng)度相等，團(tuán)NO4G=30°,

n4_^4G__90-30^/F\

團(tuán)嬴而—一忑-—（。山…叼米，田風(fēng)叫OA的長(zhǎng)度為阿75-60）米.

T

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意和作出輔助線是關(guān)鍵.

例7.（2025?四川宜賓??？既＃┩ㄟ^(guò)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊

長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角

之間的聯(lián)系.我們定義