專題24.22圓的切線證明方法專題（基礎(chǔ)篇）（專項練習）

1.如圖，AD是。0的弦，AB經(jīng)過圓心0交（DO于點C,ZA=ZB=30°,連接BD.求

2.如圖，AB是OO的直徑，點C在。O上，過點C的直線與AB延長線相交于點P.若

ZCOB=2ZPCB,求證：PC是。O的切線.

ADA.BD,且2A。=8,點C是8。的延長線上

的一點，8=2,求證：AC是00的切線.

4.如圖，點。是。。的直徑A3延長線上的一點（夕8＜。8）,點E是線段0P的中點.在

直徑A8上方的圓上作一點C,使得求證：PC是0。的切線.

5.如圖，在△ABC中，ZA=45°,以AB為直徑的。0交于AC的中點D,連接CO,

CO的延長線交。O于點E,過點E作EF_LAB,垂足為點G.

（I）求證：BC時。。的切線;

(2)若AB=2,求線段EF的長.

6.如圖，48是。。的直徑，C。是0。的切線，切點為C,BELCD,垂足為￡,連

接入CBC.

(1)求證：8c平分ZA8E；

(2)若乙4=60。，0A=2,求CE的長.

7.如圖，AB是。。的直徑，弦CD_LAB于點E,AM是△ACD外角NDAF的平分線.

(1)求證：AM是。O的切線.

⑵若C是優(yōu)弧ABD的中點，AD=4,射線CO與AM交于N點，求ON的長.

8.如圖，在△48C中，AB=AC,。是邊4c上的點，以O(shè)C為半徑的圓分別交邊BC、

4c于點。、E,過點。作。凡LAB于點立

(1)求證：直線。尸是。。的切線；

(2)若OC=1,ZA=45°,求劣弧OE的長.

E.

D

9.如圖，己知AABC內(nèi)接于OO,點D在OC的延長線上，CD=CB,ZD=ZA

(1)求證：BD是。O的切線;

(2)若BC=2,求BD的長.

10.已知：如圖，A8是。。的直徑，點。在0。上，8。平分NA8C,AD=AE,4c與

相交于點E.

(1)求證：4。是0。的切線.

(2)若AD=OE=2,求BC的長.

11.如圖，已知AB是。O的直徑，BD是。O的弦，延長BD到C,使DC=BD,連接

AC,過點D作DE_LAC,垂足為E.

(1)求證：AB=AC：

(2)求證：DE是。。的切線；

(3)若。O的半徑為6,NBAO60。，貝ljDE=.

H

15.如圖,RsABC,ZABC=90°,點。在A8上,AD±CO交C0延長線于點D,

ZDAO=ZACO,以點。為圓心，04為半徑作圓.

(1)求證：AC是。。的切線；

(2)已知CB=6,AB=S,求0C的長？

R

16.如圖所示，A8為。。的直徑，在中,AB=BC,AC交。。于點。，過點。作

DE上BC,垂足為點E.

(1)證明OE是00的切線；

(2)AD=8,P為。。上一點,P到弦的最大距離為8.

①尺規(guī)作圖作出此時的P點，保留作圖痕跡；

②求DE的長.

17.如圖，線段A8經(jīng)過。。的圓心0,交圓。于點A,C,Z?C=I,4。為。。的弦,

連接3Q,ZI3AD=ZABD=3O0,連接。。并延長交。。于點E,連接8七交。。于點M.

(1)求證：直線是。。的切線;

(2)求線段8W的長.

18.如圖，卬△A8C中，NC=90。，點。在AC上，以0A為半徑的半圓0分別交AB,

AC于點。，E,過點。作半圓0的切線。片交BC于點F.

(1)求證：BF=DF；

(2)若4O=CE=4,CF=1,求8尸的長.

19.如圖，在RS408中，NAO8=90。，00與AB相交于點C,與A。相交于點E,

連接CE,已知NAOC=2NACE.

(1)求證：為。。的切線；

20.如圖，△A8C內(nèi)接于0。，AC是。。的直徑，點。是0。上一點，連接C。、AD,

過點8作的J_AD,交。A的延長線于點E,AB平分NCA七.

(I)求證：跖是。。的切線；

(2)若ZAC8=30。，0。的半徑為6,求隨的長.

21.如圖，在R//MEC中，NABC=90。，/朋。的平分線交8c于點O,。為4B上的

一點，OD=OC,以。為圓心，。8的長為半徑作(DO.

(1)求證：AC是。。的切線；

(2)若AB=6,BD=2,求線段AC的長.

22.如圖，在aABC中,AB=AC,以AB為直徑的。。與BC相交于點D,過點D作OE1AC

交4C于點E.

(1)試判斷直線。E與。O的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若。。的半徑為5,8c=16,求。E的長.

23.如圖，在中，ZACB=90°,以AC為直徑作。O,交A8于點O,E為BC

的中點，連接OE并延長交AC的延長線于點E.

(1)求證：。尸是0。的切線；

⑵若CF=2,DF=4,求。。的半徑.

24.如圖，A6為OO的直徑，點。在。O上，點P在84的延長線上，連接6C,OC,

PC.若AA=6,4。的長為兀.

(1)求NAOC的度數(shù)；

(2)若BC=PC,求證：直線尸。與。。相切.

參考答案

1.證明見分析

【分析】

連接OQ，求出NOQ8=90。，根據(jù)切線的判定推出即可.

解：如圖，連接OD,

VOD=OA,

AZODA=ZDAB=30°,

JZDOB=ZODA+ZDAB=60°,

.?.ZODB=180°-ZDOB-ZB=180°-60°-30°=90°,

即OD±BD,

【點撥】此題主要考查了切線的判定，三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是

證明0D上BD.

2.證明見分析.

【分析】

利用半徑OA=OC可得NC0B=2NA,然后利用NC0B=2NPCB即可證得結(jié)論，再

根據(jù)圓周角定理，易得NPCB+NOCB=90。，即OC_LCP；故PC是。。的切線.

解：連接AC,

VOA=OC,

AZA=ZACO.

???ZCOB=2ZACO.

又???NC0B=2NPCB,

/.ZACO=ZPCB.

???AB是。O的直徑，

AZACO+ZOCB=90°.

.\ZPCB+ZOCB=9()°,HPOC1CP.

???OC是。o的半徑，

???PC是。o的切線.

【點撥】此題主要考查了圓的切線的判定及圓周角定理的運用，關(guān)鍵是利用半徑0A=

OC可得NCOB=2NA.

3.證明見分析.

【分析】

先由勾股定理的逆定理證明垂直，再由切線的判斷進行解答即可.

證明：連接A&

?"8為直徑，人82=82+42=80,

VCD=2,AD=4

AAC2=22+42=20

VCD=2,BZ>8,

???

???AC2+AB-=CB2^

???ZBAC=90°

???人。是0。的切線.

【點撥】本題考查切線的判定，圓周角定理的推論，勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵是作

出輔助線構(gòu)造直角三角形.

4.證明見分析

【分析】

連接0c，根據(jù)線段中點的定義得到?！?"，求得0￡=￡C="，得到NCOK=N￡CO,

NECP=NP,利用三角形內(nèi)角和定理求出NECO+NECP=90。，根據(jù)切線的判定定理即可

得到結(jié)論.

證明：連接。C,

???點E是線段OP的中點,

：.OE=EP,

:EC=EP,

OE=EC=EP,

:?4COE=4EC0,ZECP=NP,

:NCOE+N￡CO+NECP+NP=180°,

AZECO+ZECP=90°,

???OCYPC,

???oc是。。的半徑，

???尸。是。。的切線.

【點撥】本題考查了切線的判定，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握切線的判

定定理是解題的關(guān)鍵.

5.（1）證明參見分析；（2）勺叵.

5

試題分析：（1）連接BD,由圓周角性質(zhì)定理和等腰三角形的性質(zhì)以及已知條件證明

NABC=90。即?。?）根據(jù)AB=2,則圓的直徑為2,所以半徑為1,U|JOB=OE=1,利用勾

股定理求出CO的長，再通過證明△EGO-ACBO得到關(guān)于EG的比例式可求出EG的長,

進而求出EF的長.

解:（1）如圖:連接BD,〈AB為OO的直徑，???NADB=90°,??.BD_LAC,?；AD=CD,

AAB=BC,AZA=ZACB=45°,AZABC=90°,ABC^00（2）VAB=2,ABO=1,

VAB=BC=2,?.C0=VBO2+BC2=?VEF±AB,BC1AB,AEFZ/BC,/.AEGO^ACBO,

考點：I.切線的判定；2.相似三角形的判定與性質(zhì)；3.勾股定理的運用.

6.（1）詳見分析；（2）CE=6

【分析】

（1）利用切線的性質(zhì)得OC_LDE,再證明OC〃BE得到NOCB=NCBE,加上NOCB

=ZCBO,所以NOBC=NCBE；

(2)利用圓周角定理得到NACB=90。，再證明AOAC等邊三角形得到AC=0A=2,

再利用勾股定理可計算出BC=2G，然后在RtACBE中利用含30度的直角三角形三邊的

關(guān)系求CE的長.

(I)證明：???8是。。的切線，

???OCA.DE,

又〈BELDE,

.?.OC//BE,

，NOCB=NCBE,

，/OBC=NCBE,

即BC平分ZABE；

(2)解：???A8為0。的直徑，

???Z4C5=90°,

VZA=60°,

???△OAC是等邊三角形，AC=OA=2.

AI3=2OA=4,

JBC=y]AB2-AC2=7l6-4=273

??,NO8C=；/AOC=30。，且NOBC=NCBE,

JZCBE=30°.

：.CE=-BC=y/3

2

【點撥】本題考查了切線的性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線;

常常“遇到切點連圓心得半徑

7.(1)證明見分析：(2)0N=8g.

3

【分析】

(1)根據(jù)垂徑定理得到AB垂直平分CD,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AC=AD,得

到NBAD=；ZCAD,由AM是仆ACD的外角ZDAF的平分線，得到NDAM=yZFAD,

于是得到結(jié)論；

(2)證明△ACD是等邊三角形，得到CD=AD=4,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)

論.

(I)證明：???AB是。0的直徑,弦CD_LAB于點E,

AAB垂直立分CD,

AAC=AD,

.?.ZBAD=^-ZCAD,

YAM是4ACD的外角NDAF的平分線，

.,.ZDAM=-jZFAD,

AZBAM=1(ZCAD+ZFAD)=90°,

AAB±AM,

JAM是。。的切線：

(2)解：???AC=AD,C是優(yōu)弧ABD的中點，

，AC=AD=CD,

???△ACD是等邊三角形，

???CD=AD=4,ZCAD=ZACD=6O°

由(1)知AB垂直平分CD,則AB平分NC4。

/.CE=DE=2,ZG4E=-ZC4D=30

2

\OC=OA

:.AACO=^CAE=3(f

AOCE=ZACD-ZACO=30

在中，設(shè)OC=x,則=

根據(jù)勾股定理得OE2+CE2=OC2，即(gx)2+22=x2

解得工=速

3

.,.OC=OA=—,

3

VZANO=ZOCE=30°,

.\ON=2OA=—.

3

【點撥】本題是圓與三角形的綜合題，涉及的知識點主要有切線的判定、垂徑定理、等

邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)，靈活利用圓與三角形的相關(guān)性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

3

8.(I)詳見分析；(2)77t.

4

【分析】

(1)連結(jié)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到人從根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N。。/

二90。，根據(jù)切線的判定定理證明；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙40。=180。-45。=135。，根據(jù)弧長公式計算即可.

證叨：如圖，連結(jié)OD,

*：AB=AC,

：.NB=4ACB,

\'OC=OD,

；?/ODC=/ACB,

：,ZB=ZODC,

：.OD//AB,

nLA從

；?ZODF=NBFD=90。,

???o。為半徑，

???直線。尸是。。的切線：

(2)解：VZA=45°,OD//AB,

.??4。。=180。-45。=135。，

???劣弧OE的長13S為x=:3笈.

1804

【點撥】本題主要考查了切線的判定及弧長的計算，熟練掌握切線的判定定理及弧長的

計算公式是解題的關(guān)鍵.

9.(1)見分析；⑵BD=26

【分析】

(I)由等腰二角形的性質(zhì)得出NCBD+NOBC=9CT,貝ijNOBD=9(T,可得出結(jié)論;

(2)證明AOBC為等邊三角形，得出NBOC=60。,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出答案.

(1)證明：VOB=OC,

AZOBC=ZOCB,

/.ZBOC4-2ZOBC=180°,

VZBOC=2ZA,

.\ZA+ZOBC=90°,

又,.?BC=CD,

/.ZD=ZCBD,

VZA=ZD,

???NCBD+NOBC=90。，

AZOBD=90°,

AOB1BD,

???BD是0O的切線；

(2)解：VZOBD=90°,ZD=ZCBD,

.\ZOBC=ZBOC,

???OC=BC,

又???OB=OC,

/.△OBC為等邊三角形，

.,.ZBOC=60°,

VBC=2,

AOB=2,

???BD=26

【點撥】本題考查切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，比角三角形的性質(zhì),

等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵.

10.(1)見分析(2)石

【分析】

(1)根據(jù)A8是。。的直徑，可得NC=90。，由8。平分NA4C,可得NC3Q=/A8。，

根據(jù)AQ=AE,可得NCEB=NDEA,進而可得N840=9()。，即可得證；

(2)連接A尸，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得。尸=：DE=1,勾股定理求得AF,證明

△AEF^^BEC,即可求解.

(1)???4B是00的直徑，/.ZC=90°,；?NCBE+NCEB=9()。,?.?以)平分N/WC,

：.ZCBD=ZABD,-：AD=AE,：,ZD=ZAED,ACEB=^DEA,A/ABD+/D=，CBE

+NCEB=90。，即/BAD=90。，???4D是。。的切線，

(2)連接AF,如圖,是。。的直徑，???NA/?8=90°,即

AFA-BD,,：AD=DE=2,：,DF=^DE=\,在用AAD尸中，AD=2,DF

=1,=1丁/O84+/O=/E48+ZDAE=90°,ZD=ZDAE=60°,

/.ZDBA=ZEAD,；?AE=DE,又NAZ7?=NC=90。,ZAEF=/CED,；?AAEF沿ADEC

(AAS),：,BC=AF=yl3.

【點撥】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，切線的判定，勾股定理，全等三角形的

性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

H.(1)見分析；(2)見分析；(3)3G.

【分析】

(1)連接AD,由直徑所對的圓周角度數(shù)及中點可證AD是BC的垂直平分線，根據(jù)線

段垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)連接OD,由中位線的性質(zhì)可得OD〃AC,由平行的性質(zhì)與切線的判定可證；

(3)易知△A8C是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得CB長及NC度數(shù)，利用直角

三角形30度角的性質(zhì)及勾股定理可得結(jié)果.

解：(1)連接AD.

二?AB是。O的直徑,

??.ZADB=90v.

AD±I3C

XVDC=BD,

二?AD是BC的垂直平分線

AAB=AC.

(2)連接OD.

DE1AC,

JZCED=90°.

???O為AB中點，D為BC中點，

AOD//AC.

???ZODE=ZCED=90°.

???DE是OO的切線.

(3)由(1)得

???NA4C=60。

」.△ABC是等邊三角形

/.ZC=60=AB=2x6=12

/.DC=BD=-BC=()

2

在Rt^CED中,4CDE=90°-60=30'

:.CE=-CD=3

2

根據(jù)勾股定理得+DE'=CD1

DE=y]CD2-CE2=V62-32=373

【點撥】本題考查了圓與三角形的綜合，涉及的知識點主要有圓的切線的判定、圓周角

定理的推論、垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形與直角三角形的性質(zhì)，靈活的將圖形與已知條

件相結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

12.(1)4(2)見分析

【分析】

(1)因為0C長度確定，所以當點P到0C的距離最大時△OPC的面積最大，當OPJLOC

時，當點P到0C的距離最大，等于圓。的半徑，求出此時的AOPC的面積即可；

(2)連接4P,BP,利用同圓中，相等的圓心角所對的弦相等，可得AP=OB,因為CP

=DB,所以”二CP,可證△AP8g/\CPO(SAS),得到NOPC=90。，即可證明CP是切線.

⑴解：???/W=4,

：?()B=2,OC=O4+4C=4.

在△OPC中，設(shè)OC邊上的高為/?,

，:SQPC=、OC?h=2h,

???當〃最大時.S4OPC取得最大值.

作夕，_LOC,如圖①，則2。＞尸”，當O?J_OC時，PO=PH,此時力最大，

如答圖I所不：

此時力=半徑=2,S.oy=；x4x2=4.

???△OPC的最大面積為4,

故答案為：4.

(2)證明：如答圖②，連接ARBP.

圖②

???NAOP=NBOD,

:?AP=BD,

?;CP=DB,

：,AP=CP,

，N4=/C,

在△4。8與4CP。中，

AP=CP

,N4=NC,

AB=CO

.二△APB公ACPO(SAS),

JZAPB=ZOPC,

???A8是直徑，

JNAP8=90。，

???NOPC=90°,

：.DPLPC,

???OP經(jīng)過圓心，

???PC是。。的切線.

【點撥】本題考查了圓，熟練掌握圓的半徑、切線、弦與圓心角的關(guān)系等知識是解題的

關(guān)鍵.

13.(1)見分析(2)13

【分析】

(I)連接。E,根據(jù)等邊對等角可得NO￡4=NO4￡,NP￡B=NA,根據(jù)對頂角相等，

等量代換后可得NOE4+N在＞8=90。即可得證；

(2)過點。作OG_LBE,根據(jù)垂徑定理可得AG=4=AC,[t]AO=OC-AC=9-4=5,

證明△AOGg“\8C，可得A8=5,根據(jù)8E=E4+AB即可求解.

(1)如圖，連接OE,

B

???RtZXABC中，ZACB=90°,/.ZC4B+Z^=90°.-OE=OA,ZOEA=ZOAE,

?.?NOAE=/CAB,；./OEA+/B=(^P-BF=EF，；.NFEB=NB，，NOEA+/FEB=90。，

即NFEO=90。，TOE是半徑，二.E尸是OO的切線;

(2)如圖，過點。作OG_L3E,

?.AE=8,:.EG=AG=-AE=4,vOC=9,AC=4,/.AO=OC-AC=9-4=5,

2

ZOGA=NBCA=90。

在△AOG與AABC中，?AG=AC=4???AAOGAABC,AB=AO=5.

NGAO=/CAB

..BE=BA+AE=5+S=\3,

【點撥】本題考杳了切線的判定定理，垂徑定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

14.(1)見分析(2)上/=近

【分析】

(1)連接OC,AC.先證明△ACD為等邊三角形.可得NAC。=NOAG30。.再由FG//DA,

可得N4C/=ND4C=60。.從而得到NOCF=90。.即可求證；

(2)根據(jù)AO〃〃G,可得NAGF=NDAE=30。.再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得尸G=2AF=4,

AG品FG2-AF=2日再證得AAOE二△GCE.可得AE=GE=V5.然后由勾股定

理，即可求解.

(I)證明：連接OC,AC.

??,45是。。的直徑，CDA.AB,

ACE=DE,AD=AC.

'：DC=AD,

：.DC=AD=AC.

???△ACO為等邊三角形.

JZD=ZDCA=^DAC=60°.

???ZAOC=30°,

\'OA=OC,

???Z4CO=ZOAC=30°.

?：FG//DA,

???ZACF=ZDAC=60°.

???ZOCF=90°.

C.OCVFG.

???0C為半徑，

???R7與。O相切.

⑵解:,:AD〃FG,

，ZAGF=^DAE=3>0°.

二'A/為。。的切線，

/.ZMG-900,

：.FG=2AF=4,

?*-AG=\lFG2-AF2=2>/3?

在△AOE和aGCE中，

c>

VZAGF=ZDAE=30.ZCEG=ZAEDfDE=CE,

.,.△ADE^AGCE.

:?AE=GE=6

,EF=>IAE2+AF2=y/l-

【點撥】本題主要考查了垂徑定理，切線的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角

形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，切線的性質(zhì)和

判定，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

15.(1)見分析(2)OC=3后

【分析】

(1)證明N8co二NAC。，推出。E二。從即可證明AC是。。的切線；

(2)證明△。^。^△。石。，利用勾股定理求得AC=10,在即A40E中，利用勾股定理列

式計算可求得圓的半徑，進一步求解即可.

(I)證叨：作OE_LAC,垂足為E,

VAD1C0,

JZADO=90°,

???ZADO=ZABC=90\

:NA0D=NB0C,

：?NDAO=NBCO,

???NOAO/4C。，

???NBCO=NAC。，

???08_L8C,OELAC,

*/0E=0B,

???1方是半徑，

??/C是。。的切線；

(2)解：?；0BC=N0EC,NBC0=NAC0,OC=CO,

C.^OBC^LOEC,

:?BC=EC=6,

在放AABC中，AC=\lAB2+CB2=>/82+62=10>

AE=AC-EC=10-6=4,

在心ZkAOE中，設(shè)半徑為R,

*：AE2+OE2=OA2,

???42+R2=（8-R）2,

.?.R=0C=3,

工在放AOBC中，0C=>l0B2+CB2=V32+62=3>/5-

【點撥】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練學

握切線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.⑴見分析⑵①見分析；@DE=4.S

【分析】

（1）連接OD、BD,求出BDLAC,可得4Q=OC,根據(jù)三角形的中位線得出OD//BC,

推出ODLDE,根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）①利用垂徑定理作出人。的垂直平分線即可；

②根據(jù)垂徑定理以及勾股定理求得90的半價和F0,再根據(jù)中位線中位線定理求得BD,

然后根據(jù)三角形面枳公式即“J求解.

（1）證明：連接0。，BD,

〈AB為。。的直徑，

???BDLAD,

又???A8=8C,ZMSC是等腰三角形,

???B。又是AC邊上的中線，

???0。是△ABC的中位線，

/.OD//BC,又DELBC,

：.DELOD,

???。。是。。的半徑，

???。￡是。。的切線；

(2)解：①如圖，作4D的垂直平分線與。。相交于點P,點P即為所求.

②如圖，A。的垂直平分線與4D相交于點片連接BZZ

丁PFLAD,

：,AF=-AD=4,

2

設(shè)(DO的半徑為r.

在R/AA/。中，AF2+FO2=AO2,

即42+(8-「)2=巴解得/=5.

???FO=PF-PO=3,

???尸。是△AB。的中位線，

???BD=2FO=6,

?「A〃為。O的直徑，

：.BDLAC,

又???A8=8C,

△A8C是等腰三角形，

：.AD=DC=S,

??.BC=AB=\O,

在足△BDC中，

SABDC=-BDCD=-BCDE,

22

ADE=4.8.

【點撥】本題考查了力線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，三

角形中位線等知識點的綜合運用.

17.(1)見分析(2)地

7

【分析】

（1）根據(jù)圓周角定理可得NB8=2NE4D=60。，從而得到NQD3=90。，即可求證;

（2）連接。M,RQ40。中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得40=20。，從而得到

OD=OC=\,BD=0再由。E為0。的直徑，可得DE=2,ZDME=90°,從而得到

BE=R，再由=可得。加=半，再由勾股定理，即可求

解.

（1）證明：'：/B0DWNBAD,

：.NBQD=2NBAD=60。,

又?:ZABD=30°,

；?NODB=90。,即。OJL肛

乂為。。的半徑，

???直線B。是0。的切線：

R3B0D中,/DBO=30。,

???BO=2OD=OC+BC,

乂BC=1,OD=OCt

??.OD=OC=\,

BD=0

為OO的直徑，

；?DE=2,NDME=90°,

在Rs8DE中,BE=ylDE2+BDr=77*

?:S“*DE=*DM，

.24_BDDE2V2T

??L)M=-------=-----，

BE7

在/?/△BDM中，BM=yjBD--DM1=乎.

【點撥】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知

識，熟練掌握切線的判定，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

18.(1)見分析(2)7

【分析】

⑴連接OD,得到/。4。=乙4。0,利用余角的性質(zhì)得到NZ?=N9,得出結(jié)果；

(2)連接OF,構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解.

(1)證明：連接。。，如圖，

???半圓。的切線。F,

???NODF=90。.

???ZAIX)+ZI3DF=90°.

???ZC=90°,

???NOAO+N8=90。.

?：OA=OD,

???ZOAD=ZADO.

AB=4BDF.

JBF=DF.

VAO=CE=4,AO=OE,

???oc=s.

VZC=90o=Z0DF=90°,CF=1,

；?OF2=OC-+CF1=OD-+DF1=65.

又?.?OD=4,

???DF=BF=1.

【點撥】本題考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及勾股定理，遇切線連接圓心和切

點時解決問題的關(guān)犍.

19.(1)見分析(2)8

【分析】

(1)根據(jù)OC=OE,得至lJ/OCE=/O石C,再根據(jù)NA0C=2NACE,得到NOCA=

ZOCE+ZACE=^-(ZOCE+ZOEC+ZAOC)=1x180=90°,即有OC_L/W3,結(jié)論得證；

22

(2)利用勾股定理求出AB,在根據(jù)三角形的面枳的不同算法「J求出OC,即AEnJ求.

(1)證明：yOC=OE,

：?/OCE=/OEC,

ZAOC=2ZACE,

JZOCA=ZOCE+^ACE=5(ZOCE+ZOEC+ZAOC)

=1x180=90°,

???OCYAB,

JAB為。。的切線；

(2)*：AO=2(),40=15,

???AB=y]OA1+OB2=>/202+152=25?

*.*—xOAxOB=—xABxOC,

22

嗎x20xl5=gx25xOC,

??.OC=12,

：,AE=OA-OE=20-12=8.

【點撥】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積的知識，利用勾股定

理解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

20.⑴見分析；(2)3萬.

【分析】

(1)根據(jù)切線的判定定理證明即可；

(2)證明△/仍。是等邊三角形，利用30。所對的直角邊等于斜邊的一半證明

AE=；A3=3,再由勾股定理，得

(I)證明：連接80.

,?OA=OB,

，/OAB=NOBA.

???A3平分NC4E,

，4OAB=NBAE,

???4OBA=/BAE.

/.OB//AE,

???ZEBO=180°-ZE=9()°,即BEA.OB,

又???08是0。的半徑，

「?跖是。。的切線.

(2)解：ZACB=30°.

JZAOZ?=60°.

又丁OA=OB,

???△A3O是等邊三角形，

???NO3A=60。，OA=OB=AB=6f

：.ZABE=30°,

AE=-AB=3.

2

由勾股定理，得BE=JAB?-AE?=3百?

【點撥】本題考查切線的判定定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，30°所對的直角邊等于

斜邊的一半，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.

21.(1)見分析(2)8

【分析】

(1)過。作OE_LAC于E,先證心△A8O名RfA4E。，OB=OE,即OE為圓的半徑,

即可求證；

(2)利用切線的性質(zhì)可得A8=AE,再證R公8。?？粘鯶kCOE,即有8。=。E=2：則

4?？汕?

(I)證明：過。作ORL4C于E.

???40平分N8AC,且N4BC=90。，OE1AC,

：.OB=OE,即0E為圓的半徑，

???4。是。。的切線；

(2)VZABC=90°,08為OO半徑,

???A8是。。的切線，

又由(I)人C是。。的切線，

：,AB=AE=6,

在R仙80。和陽ACOE中，

OB=OE

OD=OC'

BODgRdCOE,

:,BD=CE=2,

：.AC=AE+CE=^

【點撥】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，在0EJ_4C的條件下

證得0E為圓的半徑是解答本題的關(guān)鍵.

22.(1)?！晔?。。的切線，理由見分析；(2)OE的長為彳.

【分析】

(1)連接O。，根據(jù)等邊對等角性質(zhì)和平行線的判定和性質(zhì)證得OO_LQ￡,從而證得

OE是。。的切線；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)求出BO=CD=8,由勾股定理求出A。的長，根據(jù)三角形的面

枳得出答案.

(1)解：OE是